Неопределенный интеграл определение и простейшие свойства. Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение. Инвариантность форм интегрирования
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Изучаем понятие « интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
« Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df= f’(x) dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x ) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)= f(x) или dF(x)= F’(x) dx= f(x) dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)= f(x) или dF(x)= f(x) dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F 1 (x) и F 2 (x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F 2 (x)= F 1 x)+ C, где С – постоянная .
- Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+ C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
- (1)В формуле (1) f(x) dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
и .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
- Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u= x) , так и функцию от независимой переменной (u= u(x)) .)
(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|). (|u| < |a|).
Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
- Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл
, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t) dt.Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(
Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.
Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b .
Основные свойства определенного интеграла
Определение 1Функция y = f (x) , определенная при х = а, аналогично справедливому равенству ∫ a a f (x) d x = 0 .
Доказательство 1
Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [ a ; a ] и любого выбора точек ζ i равняется нулю, потому как x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.
Определение 2
Для функции, интегрируемой на отрезке [ a ; b ] , выполняется условие ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x .
Доказательство 2
Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х = b .
Определение 3
∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x применяется для интегрируемых функций типа y = f (x) и y = g (x) , определенных на отрезке [ a ; b ] .
Доказательство 3
Записать интегральную сумму функции y = f (x) ± g (x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g
где σ f и σ g являются интегральными суммами функций y = f (x) и y = g (x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 получаем, что lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .
Из определения Римана это выражение является равносильным.
Определение 4
Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [ a ; b ] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .
Доказательство 4
Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:
σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x
Определение 5
Если функция вида y = f (x) интегрируема на интервале x с a ∈ x , b ∈ x , получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .
Доказательство 5
Свойство считается справедливым для c ∈ a ; b , для c ≤ a и c ≥ b . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.
Определение 6
Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c ; d ∈ a ; b .
Доказательство 6
Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.
Определение 7
Когда функция интегрируема на [ a ; b ] из f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 при любом значении x ∈ a ; b , тогда получаем, что ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .
Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζ i с условием, что f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 , получаем неотрицательной.
Доказательство 7
Если функции y = f (x) и y = g (x) интегрируемы на отрезке [ a ; b ] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:
∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , е с л и f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , е с л и f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b
Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.
Определение 8
При интегрируемой функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] имеем справедливое неравенство вида ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Доказательство 8
Имеем, что - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Определение 9
Когда функции y = f (x) и y = g (x) интегрируются из отрезка [ a ; b ] при g (x) ≥ 0 при любом x ∈ a ; b , получаем неравенство вида m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , где m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) .
Доказательство 9
Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f (x) , определенной из отрезка [ a ; b ] , тогда m ≤ f (x) ≤ M . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g (x) , что даст значение двойного неравенства вида m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Необходимо проинтегрировать его на отрезке [ a ; b ] , тогда получим доказываемое утверждение.
Следствие: При g (x) = 1 неравенство принимает вид m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .
Первая формула среднего значения
Определение 10При y = f (x) интегрируемая на отрезке [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) имеется число μ ∈ m ; M , которое подходит ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .
Следствие: Когда функция y = f (x) непрерывная из отрезка [ a ; b ] , то имеется такое число c ∈ a ; b , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f (x) d x = f (c) · b - a .
Первая формула среднего значения в обобщенной форме
Определение 11Когда функции y = f (x) и y = g (x) являются интегрируемыми из отрезка [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) , а g (x) > 0 при любом значении x ∈ a ; b . Отсюда имеем, что есть число μ ∈ m ; M , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .
Вторая формула среднего значения
Определение 12Когда функция y = f (x) является интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , а y = g (x) является монотонной, тогда имеется число, которое c ∈ a ; b , где получаем справедливое равенство вида ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В дифференциальном исчислении решается задача:под анной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F " (x)=ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х) .
Функция F(x) называетсяпервообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство
F " (x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).
Например , первообразной функции у=х 2 , х є R, является функция, так как
Очевидно, что первообразными Будут также любые функции
где С - постоянная, поскольку
Tеоpeмa 29. 1. Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а;b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x)+С, где С - постоянное число.
▲ Функция F(x)+С является первообразной ƒ(х).
Действительно, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).
Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции ƒ(х) , т. е. Ф " (x)=ƒ(х). Тогда для любого х є (а;b) имеем
А это означает (см. следствие 25. 1), что
где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+С.▼
Множество всех пepвoобpaзныx функций F(x)+С для ƒ(х) называетсянеопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом∫ ƒ(х) dx.
Таким образом, по определению
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Здесь ƒ(х) называетсяподынтегральнoй функцией , ƒ(x)dx — подынтегральным выражением, х -переменной интегрирования , ∫ -знаком неопределенного интеграла .
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+C (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называетсяинтегральной кривой .
Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?
Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следoвaтельно, и неопределенный интеграл.
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.
1.
Дифференциал
от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а
производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(х).
Дeйcтвительнo, d(∫ ƒ(х) dx)=d(F(x)+С)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(х) dx
(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).
Блaгoдapя этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство
∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С
верно, так как (х 3 +4х+С)"=3x 2 +4.
2. Hеопpедeлeнный интеграл от диффepeнциaла некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
∫dF(x)= F(x)+C.
Действительно,
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
α ≠ 0 - постоянная.
Действительно,
(положили С 1 /а=С.)
4. Неопределенный интеграл от aлгeбpaическoй суммы конечного числа непрерывных функций равен aлгебpaичecкoй сумме интегралов от слагаемых функций:
Пусть F"(x)=ƒ(х) и G"(x)=g(x). Тогда
где С 1 ±С 2 =С.
5. (Инвариантность формулы интегрирования).
Если, где u=φ(х) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
▲ Пусть х - независимая переменная, ƒ(х) - непрерывная функция и F(x) - ее пepвoобpaзнaя. Тогда
Положим теперь u=ф(х), где ф(х) - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)). В силу инвараинтности формы первого дифференциала функции (см. с. 160) имеем
Отсюда▼
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.
Так, из формулыпутем замены х на u (u=φ(х))получаем
В частности,
Пример 29.1. Найти интеграл
где С=C1+С 2 +С 3 +С 4 .
Пример 29.2. Найти интеграл Решение:
- 29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул диффepeнциaльнoгo исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.
Например , так как
d(sin u)=cos u . du,
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения пepвoобpaзных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (coгласнo свойству инвариантности формулы интeгpиpoвания).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв диффepeнциaл правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция 1/u определена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.
Если u > 0, то ln|u|=lnu, тогда Поэтому
Eсли u<0, то ln|u|=ln(-u). Но Значит
Итак, формула 2 верна. Aнaлoгичнo, провepим формулу 15:
Таблица оснoвныx интегралов
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.