Апории на Зенон. Парадокси на Зенон от Елей - описание, значение и интересни факти Елейски мислител, автор на известни апории

И други тези дискусии продължават и до днес (виж), научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение за същността на парадоксите.

Философия на елеатите

Елейската философска школа (елеати) съществува от края на 6 век пр.н.е. д. до първата половина на 5 век пр.н.е. д., неговият прародител се счита за Парменид, учителят на Зенон. Школата разработи уникална доктрина за съществуването. Философските си възгледи Парменид очертава в поема, от която до нас са достигнали отделни фрагменти.

Елеатите защитаваха единството на битието, вярвайки, че идеята за множествеността на нещата във Вселената е погрешна. Битието на елеатите е цялостно, реално и познаваемо, но същевременно то е неделимо, неизменно и вечно, то няма нито минало, нито бъдеще, нито раждане, нито смърт. Мисленето, каза поемата на Парменид, е идентично по съдържание с предмета на мисленето („мисленето и това, за което е мисълта, са едно и също нещо“). Освен това Парменид логично извежда характеристиките на едно наистина съществуващо нещо: то „не е възникнало, не е унищожено, е интегрално [няма части], уникално, неподвижно и безкрайно [във времето].“

Познаването на този интегрален свят е възможно само чрез разумни (логически) разсъждения, а сетивната картина на света, включително и наблюдаемите движения, е измамна и противоречива. От същите позиции елеатите за първи път в науката поставят въпроса за допустимостта на научните понятия, свързани с безкрайността.

„В бързия [полет] на стрелата има момент на отсъствие както на движение, така и на спиране.“
„Ако всеки ден отнемате половината от пръчка [дължина] на едно чи, то няма да бъде завършено дори след 10 000 поколения.“

Аристотеловата критика на апориите

Позицията на Аристотел е ясна, но не безупречна – и най-вече защото той самият не е успял да открие логически грешки в доказателствата или да даде задоволително обяснение на парадоксите... Аристотел не е успял да опровергае аргументите по простата причина, че в логически смисъл, доказателствата на Зенон са безупречно събрани.

Атомистичен подход

В резултат на това наблюдаваното движение се променя от непрекъснато към рязко. Александър от Афродизия, коментатор на Аристотел, очерта възгледите на привържениците на Епикур по следния начин: „Твърдейки, че пространството, движението и времето са съставени от неделими частици, те също така твърдят, че движещо се тяло се движи в цялото пространство, състоящ се от неделими части, като върху всяка от включените в него неделими части няма движение, а само резултат от движение.“ Такъв подход веднага обезценява парадоксите на Зенон, тъй като премахва всички безкрайности оттам.

Дискусия в New Times

Споровете около апориите на Зенон продължават и в наши дни. До 17 век няма интерес към апориите и тяхната аристотелова оценка е общоприета. Първото сериозно изследване е предприето от френския мислител Пиер Бейл, автор на известния „Исторически и критичен речник“ (). В статия за Зенон Бейл критикува позицията на Аристотел и стига до заключението, че Зенон е прав: понятията за време, разширение и движение включват трудности, които са непреодолими за човешкия ум.

Теми, подобни на апориите, са засегнати в антиномиите на Кант. Хегел в своята История на философията подчертава, че диалектиката на материята на Зенон „не е опровергана и до днес“ ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt) . Хегел оценява Зенон като „баща на диалектиката“ не само в древния, но и в хегеловия смисъл на думата диалектика. Той отбеляза, че Зенон прави разлика между сетивното и мислимодвижение. Последното, в съответствие със своята философия, Хегел описва като комбинация и конфликт на противоположности, като диалектика на понятията. Хегел не отговаря на въпроса доколко този анализ е приложим към реалното движение, ограничавайки се до заключението: „Зенон осъзна дефинициите, съдържащи се в нашите идеи за пространство и време, и откри противоречията, съдържащи се в тях.“

През втората половина на 19 век много учени, изразяващи различни гледни точки, анализират парадоксите на Зенон. Между тях :

и много други.

Съвременна интерпретация

Доста често е имало (и продължават да се появяват) опити да се опровергаят математически разсъжденията на Зенон и по този начин да се „затвори темата“. Например, чрез изграждане на поредица от намаляващи интервали за апорията „Ахил и костенурката“, лесно може да се докаже, че тя се сближава, така че Ахил ще изпревари костенурката. Тези „опровержения“ обаче променят същността на спора. В апорията на Зенон не говорим за математически модел, а за реално движение и следователно няма смисъл да ограничаваме анализа на парадокса до вътрешноматематически разсъждения - в крайна сметка Зенон точно поставя под въпрос приложимостта на идеализираните математически концепции към реалното движение . За проблема с адекватността на реалното движение и неговия математически модел вижте следващия раздел на тази статия.

Обикновено те се опитват да заобиколят този парадокс, като твърдят, че сумата от безкраен брой от тези времеви интервали все още се събира и по този начин дава краен период от време. Това разсъждение обаче абсолютно не засяга една по същество парадоксална точка, а именно парадокса, който се крие във факта, че определена безкрайна последователност от последователни събития, последователност, чието завършване не можем дори да си представим (не само физически, но поне по принцип) , всъщност, в крайна сметка трябва да свърши.

Сериозните изследвания на апорията на Зенон разглеждат заедно физическите и математическите модели. Р. Курант и Г. Робинс смятат, че за разрешаването на парадоксите е необходимо значително да задълбочим нашето разбиране за физическото движение. С течение на времето движещо се тяло последователно преминава през всички точки от своята траектория, но ако за всеки ненулев интервал от пространство и време е лесно да се посочи интервалът след него, тогава за точка (или момент) е невъзможно посочете точката след него и това нарушава последователността. „Остава неизбежно несъответствие между интуитивната идея и точния математически език, предназначен да опише нейните основни линии в научни, логически термини. Парадоксите на Зенон ясно разкриват това несъответствие."

Хилберт и Бернайс изразяват мнението, че същността на парадоксите се крие в неадекватността на непрекъснатия, безкрайно делим математически модел, от една страна, и физически дискретната материя, от друга: „не е задължително да вярваме, че математическият пространствено-времевото представяне на движението има физическа стойност за произволно малки интервали от пространство и време. С други думи, парадокси възникват поради неправилното прилагане към реалността на идеализираните понятия „точка в пространството“ и „момент от време“, които нямат аналози в реалността, тъй като всеки физически обект има ненулеви измерения, ненулеви продължителност и не може да се дели безкрайно.

Подобни гледни точки могат да бъдат открити при Анри Бергсон и Никола Бурбаки. Според Анри Бергсон:

Противоречията, изтъкнати от елейската школа, се отнасят не толкова до самото движение като такова, а по-скоро до изкуствената трансформация на движението, която нашият ум прави.

Бергсон вярва, че има фундаментална разлика между движението и изминатото разстояние. Изминатото разстояние може да бъде произволно разделено, докато движението не може да бъде произволно разделено. Всяка стъпка на Ахил и всяка стъпка на костенурката трябва да се считат за неделими. Същото важи и за полета на стрела:

Истината е, че ако една стрела напусне точка А и удари точка Б, тогава нейното движение АВ е толкова просто, толкова неразложимо - тъй като това е движение - като напрежението на лъка, който я изстрелва.
- Бергсон А.Творческа еволюция. Глава четвърта. Кинематографичен механизъм на мислене и механистична илюзия. Поглед към историята на системите, реалното формиране и фалшивия еволюционизъм

Въпросът за безкрайната делимост на пространството (несъмнено поставен от ранните питагорейци) доведе, както е известно, до значителни трудности във философията: от елейтите до Болцано и Кантор, математиците и философите не бяха в състояние да разрешат парадокса - как крайно количество може да се състои от безкраен брой точки, без размер.

Теорията, че пространството е непрекъснато, ми се струва погрешна, защото [в квантовата механика] води до безкрайно големи количества и други трудности. Освен това не дава отговор на въпроса какво определя размерите на всички частици. Силно подозирам, че простите представяния на геометрията, разширени до много малки области от пространството, са неправилни.

Дискретното пространство-време беше активно обсъждано от физиците през 50-те години на миналия век - по-специално във връзка с проекти за единна теория на полето - но значителен напредък по този път не можа да бъде постигнат.

С. А. Векшенов смята, че за разрешаване на парадокси е необходимо да се въведе числена структура, която е по-съгласувана с интуитивните физически концепции, отколкото континуума на точките на Кантор. Пример за непродължителна теория на движението е предложен от Садео Шираиши.

« Математически енциклопедичен речник"вярва, че същността на апорията е доста дълбока и разглежда различни начини за решаване на проблема:

Човек може да оспори удобството или адекватността на често използван математически модел спрямо реалното движение. За да се изучи концепцията за физически безкрайно малки и безкрайно големи количества, многократно са правени опити да се изгради теория на реалните числа, в която аксиомата на Архимед не е валидна. Във всеки случай теорията за неархимедовите подредени полета е много значима част от съвременната алгебра.

Следващият раздел на тази статия разглежда повече подробности по тази тема.

Адекватност на аналитичната теория на движението

Общата теория на движението с променлива скорост е разработена в края на 17 век от Нютон и Лайбниц. Математическата основа на теорията е математическият анализ, първоначално основан на концепцията за безкрайно малко количество. В дискусията за това какво представлява безкрайно малко, бяха възобновени два древни подхода.

Първият подход, който Лайбниц следва, доминира през целия 18 век. Подобно на древния атомизъм, той разглежда безкрайно малките като специален вид числа (по-големи от нула, но по-малки от всяко обикновено положително число). Строга обосновка за този подход (т.нар. нестандартен анализ) е разработена от Ейбрахам Робинсън през 20 век. Анализът на Робинсън се основава на разширената числова система ( хиперреални числа). Разбира се, безкрайно малките на Робинсън имат малко сходство с древните атоми, дори само защото са безкрайно делими, но те ни позволяват правилно да разглеждаме една непрекъсната крива във времето и пространството като състояща се от безкраен брой безкрайно малки секции.
Вторият подход е предложен от Коши в началото на 19 век. Неговият анализ се основава на обикновени реални числа, а концепцията за граница се използва за анализиране на непрекъснати зависимости. Нютон, Д'Аламбер и Лагранж поддържаха подобно мнение относно оправдаността на анализа, въпреки че не винаги бяха последователни в това мнение.

И двата подхода са практически еквивалентни, но от гледна точка на физиката първият е по-удобен; Учебниците по физика често съдържат фрази като „нека dV- безкрайно малък обем...” От друга страна, въпросът кой подход е по-близо до физическата реалност не е решен. При първия подход не е ясно на какво съответстват безкрайно малките числа в природата. Във втория случай адекватността на физико-математическия модел е възпрепятствана от факта, че операцията за достигане до границата е инструментална изследователска техника, която няма естествен аналог. По-специално, трудно е да се говори за физическата адекватност на безкрайни серии, чиито елементи принадлежат на произволно малки интервали от пространство и време (въпреки че такива модели често и успешно се използват като приблизителен модел на реалността). И накрая, не е доказано, че времето и пространството са структурирани по някакъв начин, подобен на математическите структури на реални или хиперреални числа.

Допълнителна сложност във въпроса внесе квантовата механика, която показа, че в микросвета ролята на дискретността рязко се увеличава. Така дискусиите за структурата на пространството, времето и движението, започнати от Зенон, активно продължават и далеч не са завършени.

Други апории на Зенон

Горната (най-известна) апория на Зенон засяга прилагането на концепцията за безкрайност към движението, пространството и времето. В други апории Зенон демонстрира други, по-общи аспекти на безкрайността. Въпреки това, за разлика от трите известни апории за физическото движение, други апории са посочени по-малко ясно и се отнасят главно до чисто математически или общи философски аспекти. С появата на математическата теория за безкрайните множества интересът към тях значително спадна.

Стадион

Апорията „Стадион“ (или „Риста“) у Аристотел („Физика“, Z, 9) не е формулирана съвсем ясно:

Четвъртият [аргумент] е за равни тела, движещи се през стадиона в противоположни посоки, успоредни на равни на тях тела; някои [се движат] от края на сцената, други от средата с еднаква скорост, от което, както той мисли, следва, че половината време е равно на двойно.

Изследователите предлагат различни интерпретации на тази апория. Л. В. Блинников го формулира по следния начин:

Нека времето се състои от неделими разширени атоми. Нека си представим двама бегачи в противоположните краища на списъците, толкова бързи, че всеки от тях изисква само един атом време, за да тича от единия край на списъците до другия. И нека двете изтичат от противоположните краища едновременно. Когато се случи срещата им, неделимият атом на времето ще бъде разделен наполовина, тоест в атомите на времето телата не могат да се движат, както се предполага в апорията на стрелата.

Според други интерпретации идеята за тази апория е подобна на парадокса на Галилей или колелото на Аристотел: безкрайно множество може да бъде равно по сила на своята част.

множественост

Част от апорията е посветена на обсъждането на проблема за единството и множествеността на света.

Подобни въпроси се обсъждат в диалога на Платон Парменид, където Зенон и Парменид обясняват позицията си в детайли. На съвременен език това разсъждение на Зенон означава, че множественото битие не може да бъде действително за неопределено време и следователно трябва да бъде ограничено, но винаги могат да се добавят нови неща към съществуващите неща, което противоречи на крайността. Извод: битието не може да бъде множествено.

Коментаторите посочват, че тази апория по своята схема изключително много напомня антиномиите на теорията на множествата, открити в началото на 19-ти и 20-ти век, особено парадокса на Кантор: от една страна, силата на множеството на всички множества е по-голяма отколкото мощността на всяко друго множество, но от друга страна, за всяко множество не е трудно да се посочи множество с по-голяма кардиналност (теорема на Кантор). Това противоречие, съвсем в духа на апорията на Зенон, се разрешава недвусмислено: абстракцията на множеството от всички множества се признава за неприемлива и несъществуваща като научно понятие.

Измерете

Доказвайки, че „ако едно нещо няма величина, то не съществува“, Зенон добавя: „Ако нещо съществува, необходимо е то да има някаква величина, някаква дебелина и да има известно разстояние между това, което представлява взаимна разлика в то." Същото може да се каже и за предишното, за онази част от това нещо, която предшества по малко в дихотомичното деление. И така, този предишен също трябва да има определена стойност на своя предишен. Казаното веднъж може винаги да се повтори. По този начин никога няма да има крайна граница, където няма да има части, различни една от друга. Така че, ако има множество, необходимо е нещата да бъдат едновременно големи и малки, и толкова малки, че да нямат размер, и толкова големи, че да са безкрайни... Което няма абсолютно никакъв размер, никаква дебелина, няма обем, това изобщо не е така.

С други думи, ако разделянето на нещо наполовина запазва неговото качество, тогава в границата получаваме, че нещото е едновременно безкрайно голямо (тъй като е безкрайно делимо) и безкрайно малко. Освен това не е ясно как едно съществуващо нещо може да има безкрайно малки размери.

Същите тези аргументи присъстват по-подробно в коментарите на Филопон. Също подобни разсъждения на Зенон са цитирани и критикувани от Аристотел в неговата Метафизика:

Ако едното в себе си е неделимо, тогава според позицията на Зенон то трябва да е нищо. Всъщност, ако добавянето на нещо към нещо не го прави повече и отнемането му от него не го прави по-малко, тогава, твърди Зенон, това нещо не принадлежи към съществуващото, ясно вярвайки, че съществуващото е величина, и тъй като величина, тогава нещо телесно: в крайна сметка телесното е напълно съществуващо; обаче други величини, като равнина и права, ако се добавят, нарастват в един случай, а не в друг; точка и единица не правят това по никакъв начин. И тъй като Зенон твърди грубо и тъй като нещо неделимо може да съществува и освен това по такъв начин, че да бъде по някакъв начин защитено от разсъжденията на Зенон (защото ако се добави такова неделимо, то обаче няма да се увеличи, а ще умножение), тогава въпросът е как да Дали една такава единица или няколко ще имат еднаква стойност? Да приемем, че това е все едно да кажем, че една линия е съставена от точки.

За мястото

В разказа на Аристотел апорията гласи: ако всичко, което съществува, се постави в определено пространство ( място, Гръцки топос), тогава е ясно, че ще има пространство от пространство и така отива до безкрайност. Аристотел отбелязва за това, че мястото не е нещо и не се нуждае от собствено място. Тази апория позволява разширено тълкуване, тъй като елеатите не са разпознавали пространството отделно от намиращите се в него тела, т.е. идентифицирали са материята и пространството, заемано от нея. Въпреки че Аристотел отхвърля разсъжденията на Зенон, в своята „Физика“ той стига по същество до същото заключение като елеатите: едно място съществува само във връзка с телата в него. В същото време Аристотел подминава с мълчание естествения въпрос как става промяната на мястото при движение на тялото.

Медимни зърна

Формулировката на Зенон е критикувана, тъй като парадоксът е лесно обясним чрез позоваване на прага на възприемане на звука - отделно зърно не пада безшумно, а много тихо, така че звукът от падането не се чува. Смисълът на апорията е да се докаже, че частта не е подобна на цялото (качествено различна от него) и следователно безкрайната делимост е невъзможна. Подобни парадокси са предложени през 4 век пр.н.е. д. Eubulides - парадоксите на „плешивия” и „купчината”: „едно зърно не е купчина, добавянето на едно зърно не променя нещата, с какъв брой зърна започва купчината?”

Историческо значение на апорията на Зенон

„Зенон разкрива противоречията, в които изпада мисленето, когато се опитва да разбере безкрайното в понятията. Неговите апории са първите парадокси, възникнали във връзка с концепцията за безкрайното." Ясното разграничение на Аристотел между потенциална и действителна безкрайност до голяма степен е резултат от разбирането на апориите на Зенон. Други исторически достойнства на елейските парадокси:

Както беше отбелязано по-горе, формирането на древния атомизъм беше опит да се отговори на въпросите, поставени от апорията. Впоследствие в изследването на проблема бяха включени математически анализ, теория на множествата и нови физически и философски подходи; нито едно от тях не се превърна в общоприето решение на проблема, но самият факт на непрекъснат засилен интерес към древния проблем показва неговата евристична плодотворност.

В статията на Зураб Силагадзе се разглеждат различни допирни точки между апориите на Зенон и съвременната наука. В заключение на тази статия авторът заключава:

Проблемите, поставени преди две хилядолетия и половина и изследвани многократно оттогава, все още не са изчерпани. Парадоксите на Зенон засягат фундаментални аспекти на реалността - местоположение, движение, пространство и време. От време на време се откриват нови и неочаквани аспекти на тези концепции и всеки век намира за полезно да се връща отново и отново към Зенон. Процесът на достигане на окончателното им разрешаване изглежда безкраен, а нашето разбиране за света около нас е все още непълно и фрагментарно.

Апории на Зенон в литературата и изкуството

В този исторически анекдот „дръзкокосият мъдрец“ е поддръжник на Зенон (коментаторът Елиас, както бе споменато по-горе, приписва аргументацията на самия Зенон), а неговият опонент в различни версии на анекдота е Диоген или Антистен (и двамата те са живели значително по-късно от Зенон, така че с него не може да се спори). Една версия на анекдота, спомената от Хегел, съобщава, че когато елейците намират аргумента на Диоген за убедителен, Диоген го бие с пръчка за това, че се доверява твърде много на доказателствата.

Сюжетът на фантастичната история на Ф. Дик „За неуморната жаба“ се основава на апорията „Дихотомия“.

Ахиловата апория се споменава няколко пъти в произведенията на Борхес. Парадоксалната ситуация, описана в него, намира отражение и в различни хумористични творби. Такеши Китано режисира филма Ахил и костенурката през 2008 г.

Вижте също

Бележки

, С. 90.
, част 14.
, 29. ЗЕНОН ЕЛЕЙСКИ.
, С. 15-16.
, С. 116-118.
Ивин А. А.По законите на логиката. - М.: Млада гвардия, 1983. - 208 с. - ("Еврика").
Рожански И. Д.Древна наука. - М.: Наука, 1980. - С. 52. - 198 с. - (История на науката и техниката).
Велика съветска енциклопедия// Апория.
Парменид / А. В. Лебедев // Нова философска енциклопедия В. С. Степин Мисъл, 2010. - 2816 с.
Елейска школа / А. В. Лебедев // Нова философска енциклопедия: в 4 тома / прев. научно-изд. Съвет V. S. Stepin. - 2-ро изд., рев. и допълнителни - М.: Мисъл, 2010. - 2816 с.
Рожански И. Д.Ранна гръцка философия // Фрагменти от ранни гръцки философи
, част 16.
Лосев А.Ф.Зенон от Елея // Философска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В.Ф.Елейска школа // Антична философия. - М.: Висше училище, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0.
, част 15.
Зенон от Елея // Станфордска енциклопедия по философия.
, С. 50-52.
Диоген Лаерций.Живот, учения и изказвания на известни философи, глава "Питагор".
, С. 18-20.
, С. 21.
"Физика" от Аристотел.
, С. 29-30.
, С. 38.
Лури С.Очерци от историята на древната наука. - М.-Л.: Издателство. Академия на науките на СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, С. 31-35.
, С. 35-41.
Хегел Г. В. Ф.Съчинения в 14 тома. - М.: Соцекгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
кожарска фабрика П.Първите стъпки на древногръцката наука. - Санкт Петербург. , 1902 г.
Папа-Грималди, Алба. Защо математическите решения на парадоксите на Зенон пропускат смисъла: Връзката едно и много на Зенон и забраната на Парменид (недефиниран) . Прегледът на метафизиката. Архивиран от оригинала на 28 август 2011 г.
Гилбърт Д., Бернайс П.Основи на математиката. Логическо смятане и формализиране на аритметиката. - М., 1979. - С. 40.
Курант Р., Робинс Г.Какво е математика. - 3-то изд. - М.: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6.
, С. 93.
цитат от: Данциг, Тобиас.Числата са езикът на науката. - М.: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7.
Никола Бурбаки.Архитектура на математиката. Есета по история на математиката. - М.: Чуждестранна литература, 1963. - С. 38.
ван Бендегем, Жан Пол.Дискусия: Парадоксите на Зенон и аргументът на плочката (недефиниран) // Философия на науката - Белгия, 1987. - Т. 54. - С. 295-302.
Файнман Р.Естеството на физичните закони. - Ед. 2-ро. - М.: Наука, 1987. - С. 152-153. - 160 с. - (Bible Quantum, брой 62).
Кузнецов Б. Г.Айнщайн. живот. Смърт. Безсмъртие. - 5-то изд., преработено. и допълнителни - М.: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М.Математика. Загуба на сигурност. - М.: Мир, 1984. - С. 401-402.
Драгалин А.Г.Антиномия // Математически енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия, 1988. - С. 73-75. - 847 стр.
Успенски В. А.Какво е нестандартен анализ. - М.: Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятието време и проблемът за континуума (недефиниран) . Посетен на 10 януари 2011 г. Архивиран на 14 август 2011 г.
Силагадзе, З. К. Зенон среща съвременната наука(Английски) . Посетен на 30 декември 2010 г. Архивиран на 14 август 2011 г.
Блинников Л.В. Кратък речник на философските личности (недефиниран) . Посетен на 30 април 2010.

"и други апории на Зенон за движението, които се обсъждат повече от две хиляди години, на тях са посветени стотици изследвания. Платон не ги споменава в Парменид, така че В. Я. Комарова предполага, че парадоксите на движението са написани от Зенон по-късно от други.

Грешка е тези аргументи да се възприемат като софизми или да се вярва, че с появата на висшата математика всички апории са разрешени. Бъртран Ръсел пише, че апориите на Зенон „под една или друга форма засягат основите на почти всички теории за пространството, времето и безкрайността, които са били предложени от негово време до наши дни“. „Проблематиката на аргументите на Зенон надхвърля конкретната историческа ситуация, породила появата им. На анализа на апориите на Зенон е посветена колосална литература; „Особено голямо внимание им беше обърнато през последните сто години, когато математиците започнаха да виждат в тях предусещане на парадоксите на съвременната теория на множествата.“ Научните дискусии, породени от разсъжденията на Зенон, значително задълбочиха разбирането на такива фундаментални концепции като ролята на непрекъснатото и дискретното (прекъснатото) в природата, адекватността на физическото движение и неговия математически модел и т.н. Тези дискусии продължават и до днес (вижте списъка на препратки), дойде Научната общност все още не е успяла да достигне до общо мнение относно същността на парадоксите.

Позицията на Аристотел е ясна, но не безупречна – и най-вече защото той самият не е успял да открие логически грешки в доказателствата или да даде задоволително обяснение на парадоксите... Аристотел не е успял да опровергае аргументите по простата причина, че в логически смисъл, доказателствата на Зенон са безупречно събрани.

Обикновено те се опитват да заобиколят този парадокс, като твърдят, че сумата от безкраен брой от тези времеви интервали все още се събира и по този начин дава краен период от време. Това разсъждение обаче абсолютно не засяга една по същество парадоксална точка, а именно парадокса, който се крие във факта, че определена безкрайна последователност от последователни събития, последователност, чието завършване не можем дори да си представим (не само физически, но поне по принцип) , всъщност, в крайна сметка трябва да свърши.

Подобни гледни точки могат да бъдат открити при Анри Бергсон и Никола Бурбаки. Според Анри Бергсон:

Противоречията, изтъкнати от елейската школа, се отнасят не толкова до самото движение като такова, а по-скоро до изкуствената трансформация на движението, която нашият ум прави.

Истината е, че ако една стрела напусне точка А и удари точка Б, тогава нейното движение АВ е толкова просто, толкова неразложимо - тъй като това е движение - като напрежението на лъка, който я изстрелва.

Бергсон А.Творческа еволюция. Глава четвърта. Кинематографичен механизъм на мислене и механистична илюзия. Поглед към историята на системите, реалното формиране и фалшивия еволюционизъм

Въпросът за безкрайната делимост на пространството (несъмнено поставен от ранните питагорейци) доведе, както е известно, до значителни трудности във философията: от елейтите до Болцано и Кантор, математиците и философите не бяха в състояние да разрешат парадокса - как крайно количество може да се състои от безкраен брой точки, без размер.

Теорията, че пространството е непрекъснато, ми се струва погрешна, защото [в квантовата механика] води до безкрайно големи количества и други трудности. Освен това не дава отговор на въпроса какво определя размерите на всички частици. Силно подозирам, че простите представяния на геометрията, разширени до много малки области от пространството, са неправилни.

Човек може да оспори удобството или адекватността на често използван математически модел спрямо реалното движение. За да се изучи концепцията за физически безкрайно малки и безкрайно големи количества, многократно са правени опити да се изгради теория на реалните числа, в която аксиомата на Архимед не е валидна. Във всеки случай теорията за неархимедовите подредени полета е много значима част от съвременната алгебра.

Апорията „Стадион“ (или „Риста“) у Аристотел („Физика“, Z, 9) не е формулирана съвсем ясно:

Четвъртият [аргумент] е за равни тела, движещи се през стадиона в противоположни посоки, успоредни на равни на тях тела; някои [се движат] от края на сцената, други от средата с еднаква скорост, от което, както той мисли, следва, че половината време е равно на двойно.

Нека времето се състои от неделими разширени атоми. Нека си представим двама бегачи в противоположните краища на списъците, толкова бързи, че всеки от тях изисква само един атом време, за да тича от единия край на списъците до другия. И нека двете изтичат от противоположните краища едновременно. Когато се случи срещата им, неделимият атом на времето ще бъде разделен наполовина, тоест в атомите на времето телата не могат да се движат, както се предполага в апорията на стрелата.

И следователно трябва да има крайност, но към съществуващите винаги могат да се добавят нови неща, което противоречи на крайността. Извод: битието не може да бъде множествено.

Движението е невъзможно. По-конкретно, невъзможно е да пресечете стая, тъй като за да направите това, първо трябва да пресечете половината стая, след това половината от останалия път, след това половината от това, което е останало, след това половината от останалото...

Зенон от Елея принадлежи към онази гръцка философска школа, която учи, че всяка промяна в света е илюзорна, а съществуването е едно и непроменимо. Неговият парадокс (формулиран под формата на четири апории (от гръцки. апория„безнадеждност“), които оттогава са породили още около четиридесет различни варианта) показва, че движението, пример за „видима“ промяна, е логически невъзможно.

Повечето съвременни читатели са запознати с парадокса на Зенон в горната формулировка (понякога се нарича дихотомия- от гръцки. дихотомия„разделяне на две“). За да пресечете стаята, първо трябва да изминете половината път. Но тогава трябва да преодолеете половината от това, което е останало, след това половината от това, което е останало след това и т.н. Това разполовяване ще продължи безкрайно, което означава, че никога няма да можете да прекосите стаята.

Апория, известна като Ахил, още по-впечатляващо. Древногръцкият герой Ахил е на път да се състезава с костенурка. Ако костенурката тръгне малко по-рано от Ахил, тогава, за да я настигне, той първо трябва да изтича до началната си точка. Но докато стигне там, костенурката ще е пропълзяла известно разстояние, което Ахил ще трябва да измине, преди да настигне костенурката. Но през това време костенурката ще пропълзи напред още малко. И тъй като броят на тези сегменти е безкраен, бързоногият Ахил никога няма да настигне костенурката.

Ето още една апория, по думите на Зенон:

Ако нещо се движи, то се движи или на мястото, което заема, или на мястото, където не заема. Но не може да се движи на мястото, което заема (тъй като във всеки един момент заема цялото това пространство), но не може да се движи и на мястото, където не съществува. Следователно движението е невъзможно.

Този парадокс се нарича стрелка(във всеки момент от време летяща стрела заема пространство, равно на нейната дължина, следователно не се движи).

И накрая, има четвърта апория, която се отнася до две колони с еднаква дължина от хора, движещи се успоредно с еднаква скорост в противоположни посоки. Зенон твърди, че времето, необходимо на колоните да преминат една през друга, е половината от времето, необходимо на един човек да премине цялата колона.

От тези четири апории първите три са най-известни и най-парадоксални. Четвъртото се дължи просто на неразбиране на природата на относителното движение.

Най-грубият и неелегантен начин да опровергаете парадокса на Зенон е да се изправите и да прекосите стаята, да изпреварите костенурка или да изстреляте стрела. Но това по никакъв начин няма да повлияе на хода на неговите разсъждения. До 17 век мислителите не могат да намерят ключа за опровергаване на неговата гениална логика. Проблемът беше разрешен едва след като Исак Нютон и Готфрид Лайбниц представиха идеята за диференциално смятане, което оперира с концепцията лимит; след като се изясни разликата между разделението на пространството и разделението на времето; накрая, след като се научи да борави с безкрайни и безкрайно малки количества.

Да вземем примера с пресичането на стая. Наистина, във всяка точка от пътя трябва да изминете половината от оставащия път, но само ще ви отнеме половината време. Колкото по-кратко е останалото разстояние, толкова по-малко време ще отнеме. По този начин, когато изчисляваме времето, необходимо за преминаване на стая, ние събираме безкраен брой безкрайно малки интервали. Сборът от всички тези интервали обаче не е безкраен (в противен случай би било невъзможно да се пресече стаята), а е равен на някакво крайно число - и следователно ние Могапрекоси стаята за ограничено време.

Този курс на доказване е подобен на намирането на границата в диференциалното смятане. Нека се опитаме да обясним идеята за граница от гледна точка на парадокса на Зенон. Ако разделим разстоянието, което сме изминали през стаята, на времето, необходимо за прекосяване на стаята, ще получим средната скорост за този интервал. Но въпреки че и разстоянието, и времето намаляват (и в крайна сметка клонят към нула), съотношението им може да бъде крайно - всъщност това е скоростта на вашето движение. Когато разстоянието и времето клонят към нула, това отношение се нарича ограничение на скоростта. В своя парадокс Зенон погрешно приема, че когато разстоянието се доближи до нула, времето остава същото.

Но любимото ми опровержение на парадокса на Зенон идва не от смятането на Нютон, а от цитат от скеч във Second City, комедиен театър в моя роден град Чикаго. В този очерк лекторът описва различни философски проблеми. Достигайки до парадокса на Ахил и костенурката, той казва следното.

Зенон от Елея

(старогръцки Ζηνων ο Ελεατης) (ок. 490 пр. н. е. - ок. 430 пр. н. е.), древногръцки философ, ученик на Парменид. Известен е със своите апории, с които доказва немислимостта на движението, пространството и множеството. Научните дискусии, породени от тези парадоксални разсъждения, значително задълбочиха разбирането на такива фундаментални понятия като ролята на дискретното и непрекъснатото в природата, адекватността на физическото движение и неговия математически модел и т.н. Тези дискусии продължават и до днес.

Нашата цел няма да бъде да реконструираме аргументите на Зенон, а да се стремим да разберем от гледна точка на съвременната наука какви реални трудности Зенон от Елея посочи при анализа на движението. Това е точно това, което той посочи, тъй като не може да става въпрос за опит да се припише директно на Зенон съвременната формулировка на проблемите на движението. Между другото, това твърдение в логико-философската литература не се отличава със своето единство. Често отговорността за парадоксите на движението се приписва на неточността и неяснотата на използваните понятия. Нека изясним понятията и парадоксите ще изчезнат. Ние не сме съгласни с това. Апорията на Зенон засяга самите основи на човешкото разбиране за света. Те изискват не просто изясняване на понятията, а избор на философска платформа за обяснение на реалността. Тъй като работата по изграждането на такива платформи не може да бъде завършена, докато съществува мислещият ум, изборът на една от тях носи печата на неизбежните исторически ограничения. Горното, разбира се, в пълна степен важи и за конструкциите в тази статия. Но днес, несъмнено, разбираме и знаем преди повече от две и половина хилядолетия, а утре може да успеем да напреднем още повече.

Нека започнем нашето разглеждане на трудностите на Зенон с апории за движението.

Ахил и костенурката

Ахил е герой и, както бихме казали сега, изключителен атлет. Известно е, че костенурката е едно от най-бавните животни. Въпреки това Зенон твърди, че Ахил би загубил състезание с костенурка. Нека приемем следните условия. Нека Ахил е отделен от финала на разстояние 1, а костенурката на ½. Ахил и костенурката започват да се движат едновременно. За категоричност нека Ахил тича 2 пъти по-бързо от костенурка. След това, изминавайки разстояние от ½, Ахил ще открие, че костенурката е успяла да измине разстояние от ¼ за същото време и все още е пред героя. След това картината се повтаря: избягал една четвърт от пътя, Ахил ще види костенурка на една осма от пътя пред себе си и т.н. Следователно, когато Ахил преодолее разстоянието, което го дели от костенурката, последната успява да изпълзи от него и все още остава напред. Така Ахил никога няма да настигне костенурката. Щом Ахил започне движение, той никога няма да може да го завърши.

Тези, които познават математическия анализ, обикновено посочват, че серията

се сближава с 1. Следователно, казват те, Ахил ще измине целия път за краен период от време и, разбира се, ще изпревари костенурката. Но ето какво пишат за това Д. Гилбърт и П. Бернайс:

„Обикновено те се опитват да заобиколят този парадокс, като твърдят, че сумата от безкраен брой от тези времеви интервали все още се събира и по този начин дава краен период от време. Това разсъждение обаче абсолютно не засяга една по същество парадоксална точка, а именно парадокса, който се крие във факта, че определена безкрайна последователност от последователни събития, последователност, чието завършване не можем дори да си представим (не само физически, но поне по принцип) , всъщност все още трябва да свърши.

Основната непълнота на тази последователност се крие във факта, че в нея липсва последният елемент. Всеки път, когато посочим следващия член на редицата, можем да посочим и следващия след него. Интересна забележка, която също показва парадоксалния характер на ситуацията, се намира у Г. Вейл:

„Нека си представим компютър, който ще извърши първата операция за ½ минута, втората за ¼ минута, третата за ⅛ минута и т.н. Такава машина може до края на първата минута да „преизчисли“ цялата естествена серия ( напишете, например, преброим брой единици). Ясно е, че работата по проектирането на такава машина е обречена на провал. Така че защо тяло, напускащо точка А, достига края на сегмент В, „отброявайки“ изброим набор от точки A1, A2,..., An,...?“

Древните гърци са били още по-неспособни да си представят пълна, безкрайна съвкупност. Следователно заключението на Зенон, че движението не може да приключи поради необходимостта от „преброяване“ на безкраен брой точки, още тогава направи голямо впечатление. Апорията за невъзможността да се започне движение се основава на подобни аргументи.

Дихотомия

Разсъждението е много просто. За да измине целия път, едно движещо се тяло трябва първо да измине половината път, но за да преодолее тази половина, трябва да измине половината от половината и т.н. ad infinitum. С други думи, при същите условия, както в предишния случай, ще имаме работа с обърнат ред от точки: (½)n,..., (½)3, (½)2, (½)1. Ако в случая с апорията Ахил и Костенурката съответната серия няма последна точка, то в Дихотомията тази серия няма първа точка. Следователно, заключава Зенон, движението не може да започне. И тъй като движението не само не може да свърши, но и не може да започне, няма движение. Има една легенда, която А. С. Пушкин припомня в стихотворението си „Движение“:

Няма мърдане, каза брадатият мъдрец.

Другият млъкна и започна да върви пред него.

Той не би могъл да възрази по-силно;

Всички похвалиха сложния отговор.

Но, господа, това е смешен случай

Друг пример идва на ум:

В края на краищата всеки ден слънцето се разхожда пред нас,

Въпреки това, упоритият Галилей е прав.

Всъщност, според легендата, един от философите „възразил“ на Зенон. Зенон заповяда да го бият с пръчки: в края на краищата той нямаше да отрече сетивното възприятие на движението. Той говори за неговата немислимост, за това, че строгото мислене за движение води до неразрешими противоречия. Следователно, ако искаме да се отървем от апориите с надеждата, че това е общо взето възможно (а Зенон точно вярваше, че е невъзможно), тогава трябва да прибягваме до теоретични аргументи, а не да се позоваваме на сетивни доказателства. Нека разгледаме едно интересно теоретично възражение, повдигнато срещу апорията на Ахил и костенурката.

„Нека си представим, че бързоногият Ахил и две костенурки се движат по пътя в една и съща посока, от които Костенурка-1 е малко по-близо до Ахил, отколкото Костенурка-2. За да покажем, че Ахил няма да може да надбяга Костенурка-1, разсъждаваме по следния начин. През времето, през което Ахил изминава разстоянието, което ги разделя в началото, Костенурка-1 ще има време да пропълзи малко напред, докато Ахил изминава този нов сегмент, тя отново ще се придвижи по-нататък и тази ситуация ще се повтаря безкрайно. Ахил ще се приближава все повече и повече до Костенурка 1, но никога няма да може да я изпревари. Подобно заключение, разбира се, противоречи на нашия опит, но все още нямаме логическо противоречие.

Нека обаче Ахил започне да настига по-далечната Костенурка-2, без да обръща внимание на по-близката. Същият начин на разсъждение ни позволява да кажем, че Ахил ще може да се доближи до Костенурка-2, но това означава, че той ще изпревари Костенурка-1. Сега стигаме до логическо противоречие.

Трудно е да се възрази нещо тук, ако останете в плен на образните идеи. Необходимо е да се идентифицира формалната същност на въпроса, което ще позволи на дискусията да премине в основното русло на строгото разсъждение. Струва ни се, че първата апория се свежда до следните три твърдения:

(1) Всеки сегмент може да бъде представен като безкрайна последователност от сегменти, намаляващи по дължина....

(2) Тъй като безкрайната последователност ai (1 ≤ i ‹ ω) няма последна точка, невъзможно е да се завърши движението чрез посещение на всяка точка от тази последователност.

Това заключение може да се илюстрира по различни начини. Най-известната илюстрация - „най-бързият никога не може да настигне най-бавния“ - беше обсъдена по-горе. Но можем да предложим по-радикална картина, в която потен Ахил (напуснал точка А) безуспешно се опитва да изпревари костенурка, спокойно припичаща се на Слънцето (в точка Б) и дори не мисли за бягство. Това не променя същността на апорията. Тогава илюстрация ще бъде много по-трогателно твърдение - „най-бързият никога не може да настигне неподвижния“. Ако първата илюстрация е парадоксална, то втората е още повече.

В същото време никъде не е посочено, че намаляващите последователности от сегменти ai for и ai" for трябва да бъдат еднакви. Напротив, ако сегментите и са различни по дължина, разделянето им на безкрайни последователности от намаляващи сегменти ще се превърне В горното разсъждение Ахил е отделен от костенурките 1 и 2 на различни разстояния, следователно имаме два различни сегмента с обща начална точка А. Неравните сегменти генерират различни безкрайни последователности от точки и е неприемливо да се различават. използвайте една от тях вместо другата, а тази незаконна операция се използва в аргументите за две костенурки.

Ако не бъркаме илюстрациите и същността на апорията, тогава може да се твърди, според нас, че апориите на Ахил и Дихотомията са симетрични една спрямо друга. Наистина, Дихотомията също води до следните три твърдения:

(0) Какъвто и да е сегментът, тяло, движещо се от А към В, трябва да посети всички точки на сегмента.

(1) Всеки сегмент може да бъде представен като безкрайна последователност от сегменти с намаляваща дължина ... ... .

(2) Тъй като безкрайната редица bi няма първа точка, е невъзможно да се посети всяка от точките на тази редица.

По този начин апорията на Ахил се основава на тезата за невъзможността за завършване на движение поради необходимостта да се посети последователно всяка от точките на безкрайна серия, подредена по тип ω (т.е. по вида на реда на естествените числа), който няма последен елемент. От своя страна Дихотомията твърди невъзможността за започване на движение поради наличието на безкрайна поредица от точки, подредени от тип ω* (така се подреждат отрицателните цели числа), която няма първи елемент.

Анализирайки по-внимателно горните две апории, ще открием, че и двете се основават на предположението за непрекъснатост на пространството и времето в смисъл на тяхната безкрайна делимост. Това предположение за приемственост е различно от съвременното, но се е появило в древни времена. Без предположението, че всеки пространствен или времеви интервал може да бъде разделен на по-малки интервали, и двете апории се сриват. Зенон разбираше това перфектно. Следователно той представя аргумент, основан на предположението за дискретност на пространството и времето, тоест предположението за съществуването на елементарни, по-нататък неделими дължини и времена.

И така, нека приемем съществуването на неделими сегменти от пространство и времеви интервали. Разгледайте следната диаграма, в която всяка клетка от таблицата представлява неделим блок пространство. Има три реда обекти A, B и C, всеки от които заема три блока пространство, като първият ред остава неподвижен, а редовете B и C започват да се движат едновременно в посоката, посочена от стрелките:

Ред С, твърди Зенон, в един неделим момент от време премина едно неделимо място от фиксирания ред А (място А1). Въпреки това, през същото време ред C премина две места от ред B (блокове B2 и B3). Според Zeno това е противоречиво, тъй като моментът на преминаване на блок B2, показан на следната диаграма, трябваше да бъде изпълнен:

Но къде беше ред А в тази междинна позиция? Просто не е останало подходящо място за него. Остава или да признаем, че няма движение, или да се съгласим, че ред А е разделен не на три, а на по-голям брой места. Но в последния случай ние отново се връщаме към предположението за безкрайната делимост на пространството и времето, отново попадайки в безизходицата на апориите на Дихотомията и Ахил. Какъвто и да е резултатът, движението е невъзможно. Известният английски физик-космолог и философ Дж. Уитроу коментира настоящата ситуация по следния начин:

Апорията на етапите, „въпреки цялото си остроумие, е решена доста просто, защото ако пространството и времето се състоят от дискретни единици, в този случай относителните движения трябва да са такива, че преходите от типа 0 → 1 - AA да могат да се появят в следващите моменти . Отричането на тази възможност от Зенон не се основава на логически закон, а просто на погрешно позоваване на „здравия разум“, тъй като в действителност той мълчаливо приема постулат за приемственост, който е несъвместим с хипотезата, приета в началото на аргумента. Колкото и странно да изглежда, ако приемем подобни хипотези, тогава движението ще бъде прекъсната последователност от различни конфигурации като във филм и в нито един момент няма да има междинни конфигурации. Преходът на електрона от една орбита в друга се разглежда в елементарната теория на атома на Бор именно като преход от този тип.

Ние вярваме, че казаното от Withrow е правилно. От логическа гледна точка, междинната позиция (0/1) не трябва да присъства в който и да е момент от времето, тъй като предположението за липсата й е последователно. Друг е въпросът, че обичайните ни представи за движение, основани на интуицията за непрекъснатост, се оказват неадекватни в отделен случай. Това е разликата между дискретна ситуация и ситуация с безкрайна делимост на пространствени и времеви интервали. Твърдението, че серията ½1, ½2, ½3,…, ½n ще приключи, е логически противоречиво, ако n не е ограничено. По същия начин, необикновената изчислителна машина на Херман Вайл никога не би могла да завърши своите изчисления в който и да е момент от време поради неограничения брой стъпки, включени в процеса на преизчисляване на набора от естествени числа. Можете, като използвате концепцията за граница, да обобщите споменатата серия и да получите една или, като въведете трансфинитни числа, да позволите броя на стъпките, които да бъдат извършени по време на изчисленията, равен на първото безкрайно число ω. Такива конструкции вече ще бъдат последователни. Но според нас те имат съществен недостатък.

Разсъждавайки върху принципите, лежащи в основата на теорията на множествата (която може, както знаем, да се счита за основа на съвременната математика), Дж. Р. Шенфийлд посочва „следния фундаментален въпрос: даден набор от S стъпки, има ли стъпка след всяка стъпка от С?" Разглеждайки случаите, когато S се състои от една стъпка или безкрайна последователност от стъпки Sn, Si,..., той отговаря положително на поставения въпрос: „В първите два случая можем ясно да си представим ситуация, при която всички стъпки от S вече са завършени.“ Нека приложим тези аргументи към апорията на Ахил. Редът ½1, ½2, ½3,…, ½n,… не може да бъде завършен, защото липсва последният елемент. Но нека си представим, че Ахил вече е посетил всяка една от точките, която следва всички точки от безкрайната поредица и е краят на пътя. Така движението е завършено. Проблемът обаче е как е станало така, че Ахил е посетил всички точки от безкрайната поредица ½1, ½2, ½3,..., ½n,...? Ако вече е „дадено“, тогава няма какво да се говори - апорията се разрешава всъщност чрез постулиране на наличието на решение.

Логично всичко това е последователно (противно на мнението на самия Зенон). Но тук процесът на движение, който според условията на задачата съдържа безкраен брой стъпки, всъщност се свежда до три стъпки: на стъпка 1 серия от точки ½1, ½2, ½3,... , ½n,... се въвежда, на стъпка 2 се постулира, че Ахил е посетил всяка от тези точки, а на стъпка 3 се прави заключение за завършване на движението в крайната точка, която не принадлежи на реда под разглеждане. В резултат на това серията, подредена по тип ω+1, се „преизчислява“, така да се каже. Привидно говорим за процес с безкраен брой стъпки, докато всъщност процесът при този подход е завършен в три стъпки. Казаното става по-ясно, ако се обърнем към симетричната ситуация с апорията на Дихотомията. Тук първо поставяме движещото се тяло в началната точка. След това добавяме към съществуващата начална точка набор от точки, подредени по тип ω*, като по този начин получаваме линеен ред от тип 1+ω*, и на последната стъпка постулираме, че тялото е посетило всяка от точките на серия ω*. Това означава, че движението е започнало успешно, въпреки че има безкраен брой междинни точки между началната точка и всяка от следващите точки. Отново имаме процес от три стъпки и отново въпросът за фундаменталната възможност за преизчисляване на безкрайния ред тип 1+ω* се избягва чрез постулиране на преодоляването на безкрайността в една стъпка.

Лесно е да си представим колекции, подредени по типове ω+1 и 1+ω* като дадености. Но е логически невъзможно да си представим процеса на получаване на тези агрегати стъпка по стъпка, елемент по елемент, в съответствие с реда върху тях. Неизбежно, на дадена стъпка, или а) редът на преминаване на елементите ще бъде нарушен (заедно с движенията от предишни точки към следващи, ще е необходимо да се въведат скокове от следващи точки към предишни), или б) ще бъде необходимо да се постулира преход не от елемент към елемент, а от набор от елементи към елемент или обратно. Първата алтернатива е убягнала от вниманието на изследователите и затова изисква специален анализ, който ще бъде извършен в бъдеще.

Що се отнася до втората алтернатива, именно тя е реализирана в разглежданите псевдорешения на парадоксите на движението. Междувременно в апорията на Зенон движението се разбира като преход от точка към точка, но в никакъв случай като преход от набор от точки към точка или обратно. Проблемът е дали е възможно, преминавайки от една точка на пътя към друга, да завършите движението и дали, след като сте достигнали някаква точка, е възможно да намерите друга точка, до която трябва да стигнете на следващата стъпка, която е необходимо за започване на процеса на движение. Ако вместо да се движим от точка на точка в процеса на движение, ни се препоръчва да се движим от набор от точки към отделни точки или от отделни точки към набори от точки, тогава поставеният проблем се заменя с други. Освен това, ако в процеса на движение трябва да посетим безкраен брой точки, то самият процес неизбежно се оказва, че съдържа безкраен брой стъпки. Както беше показано, преходите от колекции от точки към точки и обратно могат да бъдат осъществени в крайна последователност от стъпки. Просто на една от тези стъпки ще се използва безкраен набор от точки, въведени като действителна даденост, но не получени в процеса на поетапно изграждане. Това е недостатъкът в предложеното разрешение на апориите.

Летяща стрела

В резултат на това се оказва, че трудностите, свързани с апориите на Ахил и Раздвоението, не са преодолени. Друго нещо е апорията на етапите, която оставя надежда за положително решение на проблема с движението в отделен случай. Но Зенон има апория срещу движението, която изобщо не е свързана нито с трудностите при опериране с безкрайността, нито с въпроса за непрекъснатостта или дискретността на пространството и времето. Това е апорията на Летящата стрела. Формулира се много просто. Във всеки момент от полета стрелата заема определено място и се опира в него. В противен случай ще трябва да приемем, че една стрелка може да промени местоположението си за миг, което е абсурдно. Следователно движението на стрелката е сумата от състоянията на покой, т.е. стрелката не се движи.

Същността на трудността е, че според Зенон движението на тялото означава промяна в неговото местоположение. За един миг не могат да настъпят промени в местоположението на телата. Но тъй като времето е съставено от моменти, във всеки от които всички тела са в покой, няма движение. Обърнете внимание, че това разсъждение не може да бъде опровергано чрез цитиране на факта, че движещо се тяло има ненулева моментна скорост, както понякога се смята. Наистина, помислете за следната фигура. Вижда се, че по-високата скорост на бягане на Ахил в сравнение с костенурката се отразява от по-малкия ъгъл на наклона на графиката му спрямо оста S, както е известно, свързан с моментна скорост, чиято стойност се определя от тангенса на ъгъла на допирателната към графиката на функцията. Всичко това обаче не отменя факта, че във всеки един момент t Ахил и костенурката се намират на строго определени точки по пътя. В тези точки те са напълно неподвижни. Цялата картина на тяхното взаимно разположение във времето и пространството е дадена наведнъж, в нейната цялост. И нищо в тази картина не се движи; всичко се състои от състояния на покой във всяка точка на графиките.

Разглежданото представяне на движението е статично по природа. Това е напълно подобно на изобразяването на движение чрез кинематографията. Както знаете, изображението на движение на филма се състои от отделни кадри, в които всичко е неподвижно. Но ако превъртите тази лента със скорост 24 кадъра в секунда, се появява илюзията за движение. Сега си представете, че броят на кадрите на лентата е неизброим и че всички те са подредени по същия начин като реалните числа, което води до един кадър, съответстващ на всеки момент във времето. В резултат на това ще получим точно тази картина на движение, която я свежда до сумата от състояния на покой (отделни кадри), подредени по непрекъснат начин (за разлика от истинските филми). Но точно така се описва движението в съвременната физика. Изтъкнати учени усетиха това. Например, такъв тънък анализатор като Б. Ръсел всъщност директно разпозна това, което Зенон отрече като парадокс: „... ние живеем в непроменен свят и... стрелата всъщност е в покой във всеки момент от своя полет,“ обаче Според Ръсел това обстоятелство не затруднява разпознаването на наличието на движения и промени в смисъл, че в различни моменти от време светът е в различни състояния.

А. Грюнбаум в отговор на това възразява, че кадрите на филма съществуват едновременно и затова онези, които обвиняват съвременната физика, че оприличава света на филм, й приписват абсурдната позиция, че всички събития са едновременни. Въпреки че някои автори са мотивирали подобни упреци, като цяло повдигнатото възражение е погрешно. Имаме работа с троп, който може да се нарече кинематографична метафора, така че, разбира се, не говорим за буквално отъждествяване на света и реалните филми. В кинематографичната метафора единичен кадър съответства на състоянието на света в определен момент от времето, така че различните кадри представляват различни моменти от времето, в пълно съответствие с физиката. И когато опонентите на А. Грюнбаум говорят за съвместното съществуване на последователни моменти от време в статична картина на света, тогава терминът „съжителствам“ може да се използва в безкраен смисъл. Нека разгледаме фразите „поредица от събития от 1997 г.“ и „поредица от събития от 9997 г.“. От статична гледна точка и двете споменати множества не се променят. Те съществуват в непроменен вид, независимо от каквото и да е препращане към момента „сега“ или „сега“ или към каквито и да е други времеви интервали, което ни позволява да говорим за тях като съжителстващи в безвременен смисъл, подобен на този, в който говорим за колекции от обекти, изобразени в кадрите с номера 1997 и 9997. Но за разлика от истинските филми, не може да се твърди, че „кадрите“ на „набора от събития от 1997 г.“ и „набора от събития на 9997 г.“ съществуват едновременно. Това обаче не означава, че фразата „Има събития от 1997 г. и има събития от 9997 г.“ е загубила смисъла си. Напротив, в статичната концепция за време то има пълен смисъл. Но това е всичко, което е необходимо, за да се потвърди съвместното съществуване на многовременни набори от събития.

Разбира се, имаше гласове против такъв статичен подход към описанието на времето и движението в съвременната наука. Един от критиците беше философът интуиционист А. Бергсон. Той настоя, че е необходимо да се прави разлика между описанието на резултатите от движението и описанието на движението като специален процес или акт. Според Бергсон науката по принцип не е в състояние да разбере движението като процес или действие:

„... Ако във времето механиката разбира само едновременността, то в движението - само неподвижността.

Човек би могъл да предвиди този резултат, ако си спомним, че механиката непременно работи с уравнения, а алгебричното уравнение винаги изразява свършен факт. Междувременно самата същност на продължителността и движението, както изглеждат на нашето съзнание, се крие в процеса на непрекъснато ставане; алгебрата може да изрази в своите формули резултатите, получени в определен момент на продължителност, и позицията, заета в пространството от движещо се тяло, но не е в състояние да изрази самата продължителност и самото движение.

В случай на движение ние „не се занимаваме с нещо, а с процес“, следователно „в движението трябва да разграничим два елемента: пресеченото пространство и действието, чрез което тялото преминава през него“. Тези елементи трябва да се третират по различен начин. Например „нещо може да бъде разделено, но не и действие“. Зенон, според Бергсон, смесва процеса на движение, чийто всеки акт е неделим, с безкрайно делимо пространство.

„Защо Ахил изпреварва костенурката? Тъй като всяка стъпка на Ахил и всяка стъпка на костенурката са неделими като движения, а като пространство са различни величини, което означава, че пространството, изминато от Ахил, ще бъде по-голямо от сбора на разстоянията, изминати от костенурката, и разстоянието, което тя първоначално покрити напред. Зенон изобщо не взема предвид, че само пространството може да бъде разложено и прекомпозирано, следователно, пресъздавайки движението на Ахил по същия закон като движенията на костенурката, той бърка пространството с движението.

Тук А. Бергсон греши. Изглежда, че за Зенон не е имало съмнение, че движението е именно процес. В края на краищата той не говори за трудностите при въвеждането на завършени в своята даденост сегменти от пространството, а за немислимостта на процеса на преминаване през тях. Или движението ще бъде описано като процес, като поредица от последователни операции или действия за осъществяване на движение, или ще е необходимо да се признае, че всеки опит за такова описание неизбежно води до противоречия, което ще означава логическа невъзможност за движение. Според Парменид и Зенон втората алтернатива е неизбежна. Движение като процес няма и не може да има. От своя страна, обявявайки апориите срещу движението за софизми, Бергсон не е в състояние да им предложи приемливо решение. Подобно решение не може да се счита за наивно обръщение към интуицията. В същото време разсъжденията на френския философ за фундаменталната разлика между статичната идея за движение и процедурната съдържат рационално зърно.

Съвременната наука, особено математиката и физиката, брилянтно потвърди елейската философия, като прие статични идеи за движението. Картината на движението, която дава, вероятно би удовлетворила напълно както Парменид, така и Зенон от гледна точка на липсата на процес на движение в нея. Докато изпреварва костенурката, Ахил не се движи в смисъл, че не се мести от едно място на друго. Просто в един момент той е на едно място, в друг - на друго, точно както една кола, която бърза по магистрала във филма, просто е поставена в различни кадри на този филм. Имаше само промяна в терминологията с непроменен подход, предложен от елеатите. Едва ли биха се съгласили да разглеждат уравнения и графики на функции, които показват къде се намира движещо се тяло във всеки момент от времето, като описание на движението. Този вид апарат е способен да записва текущия резултат от движението, но не може да обясни как тялото се движи от едно място на друго. И тъй като няма актове на преход, няма и движение. Но можете да загърбите проблема с процесуалността на движението, като го замените със статично геометрично представяне: вместо актове на преход, вземете графики на съответните функции и ги наречете описания на движението на телата.

Човек може да си представи, че ако на елеатите беше представен съвременен възглед за движението, който се свежда до факта, че в някои моменти от време телата са тук, а в други там, тогава те едва ли биха оспорили подобна позиция. По същество точно това твърди Зенон в апорията „Летящата стрела“. Стрелата е на различни места в различни моменти от своя полет. Той дори не мисли да оспорва тази позиция. Само ако съвременната наука сложи край на това, считайки, че философските проблеми на описанието на движението са изчерпани и всичко, което остава, е да се преодолеят технически трудности, елейтите отиват по-далеч, изисквайки, ако искате, представянето на някакъв вид алгоритми на движение, а не геометрични функции или уравнения. Техният извод за невъзможността за движение се основава единствено на неуспехите на опитите за конструиране на такива алгоритми. Остава да се върнем към една статична картина на света, в която в различни моменти от време телата могат да бъдат на различни места, но да са в покой във всяко от тях. Сякаш вслушвайки се в призива на елеатите, съвременната наука послушно следва зададената от тях парадигма. Единствената разлика е, че науката не се е съгласила да разглежда движението като нещо повече от това да си на различни места по различно време. Но наистина това е бунт на колене. Всъщност съвременната наука е приела заключенията на елеатите, забравяйки къде и как са получени, като същевременно променя терминологията и нарича нещо, което елеатите не могат да позволят да се счита за движение.

Приликите могат да бъдат проследени до смешните малки неща. Попитайте един съвременен космолог как изглежда Вселената от гледна точка на външен наблюдател? Често срещан отговор е, че Вселената, от гледна точка, е четириизмерна хиперсфера с крайни размери. Точно както същество, което се движи около сфера в една посока, се връща в същата точка, пътникът през нашата Вселена, ако не се е обърнал никъде, ще се върне отново на Земята, въпреки че през цялото време се е отдалечавал от нея. Вярно е, че периодът от време ще бъде много дълъг. Така че не само централната теза на елеатите за отсъствието на движение намира подкрепа в съвременната естествена наука, но дори такава незначителна подробност от философията на Парменид като крайността и сферичността на битието също среща благоприятен прием в съвременната космология.

Друго нещо е, че приемането на основните заключения на елейската философия (терминологичните различия не се броят) се случва несъзнателно в науката. Не всички физици и математици дори са чували за Парменид, въпреки че може би името на Зенон им е по-известно. Съвременната наука възприема основната теза на елеатите, която се състои в противопоставянето на сетивното знание и умопостигащото знание. Искайки да опишат всеки природен феномен с помощта на математиката, учените са най-малко склонни да обърнат внимание на съответствието на приетите теоретични предположения с данните от възприятието и дори експеримента. Например, предположението в съвременната математика и физика за безкрайни структури, които са много проблематични от гледна точка на емпирична обосновка, стана наистина широко разпространено. По този начин времето често се идентифицира с набор от реални числа, чийто брой е не само безкраен, но и неизброим. Ясно дискретната структура на нашия опит не влияе по никакъв начин на мащаба на приложение на непрекъснати образувания във физиката (като току-що споменатата реална линия) и т.н. - броят на примерите е лесен за умножаване...

цитат според апорията на Анисов А.М. и проблемът за движението // Доклади на изследователския семинар на Логическия център на Института по философия на Руската академия на науките / РАН. Институт по философия, общ. Институт по логика, познание и развитие на личността. – М., 2000. – Бр. 14 / Редакционна колегия: А. С. Карпенко (главен редактор) и др. – Стр. 139-153.

Връзки

Виж, например, Voishvillo E.K. Още веднъж за парадокса на движението относно диалектическите и формално-логическите противоречия // “Философски науки”, 1964, № 4.

Малко вероятно е в този случай да споделяме оптимизма на А. М. Анисов, тъй като ние не знаем повече за пространството и времето, а следователно и за движението, отколкото древните гърци. Научните теории, които по правило ни дават нови знания, отдавна са се отдалечили от проблема за движението и от времето на Галилей движението се нарича „напредък“. Самият проблем за движението остана извън обхвата на науката. (Руслан Хазарзар.)

Всъщност апорията на Ахил и костенурката ни е известна преди всичко във формулировката на Аристотел (Физика, 29 A 26 DK): „Най-бързият бегач никога няма да настигне най-бавния, тъй като този, който го догонва, трябва първо да достигне мястото, от което бегачът се е преместил, така че по-бавният винаги ще бъде малко по-напред.” На това противниците на Зенон като правило възразяват: „Защо „винаги е малко напред“? Нека скоростта на първия е 10 m/s, на втория – 5 m/s, първоначалното разстояние между тях е 5 m, тогава след 2 секунди по-бързият бегач ще бъде с 5 m напред, следователно думата „винаги "е неправилно."

Наистина е удивително как умът може да се заплита в догматичното нежелание да признае своята слабост: „винаги (костенурката е напред)“, „никога (Ахил ще я настигне)“ - не означава безкрайно течение на времето. Според апорията времето няма да надхвърли границата си. Но парадоксът не се опровергава от изказването му. Просто се потвърждава от изявлението. За съжаление, мнозина са толкова научени да опровергават, като водят до противоречие, че са готови да „оборят” самите противоречия (парадокси) по същия начин. В края на краищата можете да преформулирате апорията по следния начин: „Една секунда никога няма да изтече, защото когато измине половин секунда, ще остане половин секунда, когато измине половин секунда (¼), ще остане ¼ от секундата ...” и т.н. Как всъщност се опровергава парадоксът? Той се опровергава, като се демонстрира какво го кара да съществува. Тоест, необходимо е да се посочи фундаментално неправилно твърдение в разсъжденията на Зенон, а не да се демонстрира чрез други разсъждения или емпирии, че Зенон е стигнал до противоречие - самият Зенон е знаел много добре за това и сам е говорил за това. И накрая, формулировката на апорията може да бъде променена, без да се промени нейната същност: „Най-бързият бегач няма да може да настигне най-бавния (въпреки че няма да спре да се движи), защото този, който го догонва, трябва първо да стигне до мястото. от който бегачът се е преместил, така че по-бавният ще бъде напред " (Руслан Хазарзар.)

Хилберт Д., Бернайс П. Основи на математиката. Логическо смятане и формализиране на аритметиката. М., 1979. С. 40.

цитат от Daan-Dalmedico A., Penffer J. Paths and labyrinths. Есета по история на математиката. М., 1986. С. 237.

Сидоренко Е. А. Логически заключения на доказателствата и теорията на дедукцията // Логика на научното познание. М., 1987. С. 92. Наскоро авторът отново потвърди своята позиция. Виж: Сидоренко Е. А. За парадоксите и как Ахил може да настигне костенурката // “Философски изследвания”, № 3. М., 1999.

Както остроумно отбеляза Л. Н. Евтушенко по този въпрос, нека всеки си гони костенурката. В крайна сметка, ако можете да представите Костенурка-1 и Костенурка-2, тогава защо не можете да представите Ахил-1 и Ахил-2?

Withrow J. Естествена философия на времето. М., 1964. С. 177.

Уви, Анисов напразно се съгласява с Уитроу. Въпросът, поставен от Зенон, е абсолютно легитимен от логическа гледна точка: ако е възможно едно тяло да се движи спрямо друго (в този случай обект B спрямо обект C) с едно „дискретно“ пространство, тогава, следователно, минава определен интервал от време, което означава, че въпросът е напълно легитимен: как се е променило положението на обект A спрямо обекти B и C през този период от време и променило ли се е изобщо? Ако позицията на обект А се е променила, тогава стигаме до противоречието, отбелязано от Зенон. Ако не се промени, тогава движещото се тяло просто е почивало в една точка за определен период от време, което само по себе си е противоречиво (вижте апорията на Летящата стрела). В квантовата механика този въпрос се разрешава чрез постулиране на максималната възможна скорост - скоростта на светлината c. Съгласно тази постулация обектите, движещи се един към друг със скорост c, се приближават един към друг със същата скорост c, а не 2 s, тъй като никакви обекти не могат да се приближат един към друг (или да се отдалечат един от друг) със скорост, по-голяма от скоростта на светлината . Но, първо, подобна постулация, доколкото знам, се оспорва от съвременните физици, и второ, тя не само не решава проблемите на движението, но и поставя нови. (Руслан Хазарзар.)

Shenfield J.R. Аксиоми на теорията на множествата // Справочник по математическа логика. Теория на множествата. М., 1982. С. 11.

Там, стр. 12.

Същността на проблема се крие в интегрирането на безкраен брой части, а науката - по-специално математическият анализ - разглежда само диференцирането на вече дефинирана и следователно актуализирана безкрайност: цялото вече е дадено и всичко, което остава, е да разделете го на части; докато Зенон задава въпроса, как може това цяло да бъде съставено от такива части (и едва след това да се опитаме да го разделим)? Оказва се, че самото решение е възможно само в края на процеса, т.е. всъщност то е възможно само в действителната безкрайност. При потенциална безкрайност, т.е. при условията, определени от Зенон, първите две апории (Ахил и Дихотомия) са неразрешими. Но поставените от Зенон условия са безупречни от гледна точка на логиката. Предпоставката може да бъде или невярна, или универсална. Никой не твърди, че предпоставката е невярна. Но ако е универсален, тогава заключението е логически вярно, защото обратното твърдение противоречи на универсалността на предпоставката, което е абсурдно. Следователно твърдението, че грешката на Зенон се предполага, че се крие във факта, че границата на една безкрайна последователност не е член на тази последователност, не е твърдение за грешката на Зенон, а точно че той е бил прав: наистина, границата, „уловена“ в Разсъжденията на Зенон не работят. Логично всичко е перфектно.

Въпреки това, когато разглеждах проблемите, свързани с апорията на Ахил и костенурката, веднъж трябваше да се сблъскам със следния аргумент: „В нашето състояние на апория разделянето е направено на безкраен брой части. Следователно фактът, че не можем да посочим на какъв краен етап бегачът ще настигне костенурката, не може да служи като основа за твърдението, че той няма да я настигне в безкраен брой етапи. Доказателството чрез противоречие не е приложимо тук; ние не можем да докажем, въз основа на предпоставките, нито валидността на твърдението, нито валидността на отричането. Привидно логичното разсъждение, че тъй като бегачът не настига костенурката на краен брой етапи (не можем да посочим последния етап, на който той ще я настигне), тогава той няма да я настигне на безкраен брой , е порочен кръг: доказано е точно твърдението, което е основата.“ Тоест законът за изключената среда, който поражда доказателство чрез противоречие, е поставен под въпрос (което, между другото, само по себе си вече поставя разсъжденията на Зенон в поредица от парадокси). Но по подобен начин конвергентните суми се постулират в математиката: никой не може директно да докаже, че те няма да превишат границата си; това се доказва чрез противоречие. На всеки етап Ахил не настига костенурката и броят на тези етапи е потенциално безкраен. Следователно не само не можем да посочим последния етап, на който Ахил ще настигне костенурката, ние знаем, че такъв етап е невъзможен, защото противоречи на предпоставката. И тук няма порочен кръг като логическа грешка, тук е именно „доказано е точно това твърдение, което е поставено в основата“. Circulus vitiosus като грешка е възможен при условно приемане на предпоставката, но в апорията предпоставката е безспорна. Освен това всяка логика е тавтологична, ако е вярна и извежда точно това, което е вложено в нея. Тоест отново се връщаме там, откъдето тръгнахме: за да се опровергае една апория, е необходимо да се опровергае предпоставката, а именно тя е неоспорима.

Друг не безинтересен аспект е тривиалността на апорията Ахил и самата костенурка: казват, че винаги говорим за настигане на Ахил, а настигащият (потенциална безкрайност), разбира се, не настига. Но, от друга страна, ако, както при математическия анализ, вече е „дадено“ (действителна безкрайност), тогава няма какво да говорим - апорията се разрешава всъщност чрез постулиране на наличието на решение. Но такова „решение“ е не по-малко тривиално от разсъжденията на Зенон. Проблемът е, че и двата варианта са тривиални и се оказва, че и в двата случая получаваме точно това, което постулираме. Но нетривиалността на тази апория се крие във факта, че Зенон показва неизводимостта на действителната безкрайност от потенциалната безкрайност. В същото време от опит знаем, че догонващият, ако е по-бърз, става догонващ и изпреварен. И проблемът с описанието на движението в апорията на Ахил и костенурката остава – поне докато не се постулира дискретността на пространство-времето. (Руслан Хазарзар.)

Daan-Dalmedico A., Penffer J. Цит. оп. стр. 238.

Цитирано от Withrow J. Пак там. стр. 179.

Грюнбаум А. Философски проблеми на пространството и времето. М., 1969. С. 405.

Ето един пример как небрежното използване на думи допринася за възникването на основателни съмнения за неразбиране на елементарни неща. Да се твърди, че „механиката разбира само едновременността“, означава да се влезе в явно противоречие с действителното състояние на нещата в тази наука. Нека повторим още веднъж: критиката на статичните, Парменидови, идеи за времето и движението на съвременната наука не трябва да й приписва абсурдното твърдение за едновременността на събитията в различни времена.

Bergson A. Опит върху непосредствените данни на съзнанието // Bergson A. Op. Т. 1. М., 1992. С. 101.

Точно там. стр. 98.

Точно там. стр. 99.

Уви, призивът към интуицията изобщо не ни дава решение на проблема с движението. Така М. Мерло-Понти в работата си „Космос“ пише: „Опитвайки се да мислим за движението и да развиваме неговата философия, ние веднага попадаме под влиянието на критично отношение, насочено към проверка на истината. Питаме се какво всъщност ни се дава в движението; ние сме готови да отхвърлим феномените, за да разберем истината за движението, без да осъзнаваме, че именно това отношение намалява феномена и се противопоставя на желанието ни да го прегърнем, тъй като въвежда, заедно с концепцията за истината, предположение, което може да скрие генезисът на движението от нас. Да предположим, че хвърлям камък. Той лети над градината. За момент се превръща в отдалечаващ се обект, наподобяващ метеор, а след това, когато падне на земята на известно разстояние, отново се превръща в камък. Ако искам „ясно“ да мисля за това явление, тогава то трябва да бъде разделено на съставните му части. Трябва да приема, че самият камък всъщност не се променя, когато се движи. Тъй като камъкът, който държах в ръката си и който намерих на земята в края на полета му, е същият, следва, че това е същият камък, който се е движел във въздуха. Движението е само атрибут на движещо се тяло и е невидимо в самия камък. Това може да бъде само промяна в отношенията между камъка и заобикалящата го среда. Можем да говорим за движение дотолкова, доколкото камъкът запазва своята идентичност, противопоставяйки се на заобикалящата го среда в различни пропорции. Ако, от друга страна, предполагам, че камъкът изчезва при достигане на точка P и друг камък, идентичен на първия, се появява от нищото в точка P, която е на възможно най-близкото разстояние до първата точка, тогава, в в този случай имаме едно, но две различни движения, различно от движещо се тяло, което да го пренесе от началната точка до крайната точка, тъй като движението по никакъв начин не е присъщо движещо се тяло, но е изцяло във връзката му със заобикалящата го среда, наистина, показалецът е най-добрият начин за приписване на движение на „тяло в движение“. тяло в движение и движението е установено, тогава няма нито движение без движещо се тяло, нито движение без обективен указател, нито абсолютно движение. Тази идея обаче всъщност отрича движението. За да се разграничи точно движещото се тяло от движението, е необходимо, строго погледнато, да се твърди, че „движещото се тяло“ не се движи. Веднага щом въвеждаме идеята за движещо се тяло, което остава същото по време на движението си, аргументите на Зенон отново намират своята релевантност. В този случай е безполезно да се твърди, че не трябва да разглеждаме движението като последователност от дискретни позиции, съответстващи на последователност от дискретни моменти във времето, и че пространството и времето не се състоят от набор от дискретни елементи. Дори ако разгледаме два завършени последователни момента и две фиксирани съседни точки, все още има разлика между тях във всеки случай, въпреки че е по-малка от всяка предварително определена величина и тяхното разграничаване е в начален етап. Идеята за движещо се тяло, идентично във всички фази на движение като просто явление, изключва феномена на "преместването" и предполага идеята за пространствени и времеви позиции, които винаги са идентични сами по себе си, дори и да са не е така за нас и следователно такова положение на камъка, което винаги съществува и никога не се променя. Дори и да създадем математически метод, който ни позволява да фиксираме неопределено множество позиции и моменти, пак е невъзможно да разберем самия акт на преход, който се извършва в едно и също движещо се тяло, който винаги се извършва между два момента и два позиции, независимо на каква близост една до друга ги избираме. Така, опитвайки се да мисля ясно за движението, не мога да разбера как е възможно неговото начало и как може да ми бъде дадено като феномен.

В допълнение, противниците на Зенон казват, че апорията на стрелата съдържа следната грешка: твърди се, че във всеки момент от време стрелата е в покой (скорост = 0), а в отделна точка не може да се каже нищо за движението / скорост на обекта. В тази апория обаче говорим за дискретен, прекъснат модел, в който всеки интервал е сбор от неделими точки, точки „атоми“. И тук трябва да зададем въпроса: тяло, което е преодоляло определена празнина, е посетило всички „атоми“ на тази празнина? Трябва да приемем, че е било (в противен случай тялото е „размазано“ върху определен сегмент, т.е. аморфно). Може ли да се движи във всяка отделна „атомна“ точка? Не. Защото напредването с половин „атом“ е невъзможно дори само защото самото движещо се тяло няма такава част – половин „атом“, която да може да напредва. И така, какво направи тялото, когато беше в определена точка, ако не можеше да се движи в своята рамка? Нищо, отговарят опонентите на Зенон, защото какво може да се направи за нулев период от време (те казват, че дори не можем да кажем, че тялото е било в покой в този момент, тъй като в отделна точка не можем да различим движението от неподвижността)? Но празнината не е нула, а по-малка от „дискретния“ параметър. Въпреки че всъщност в този „интервал от време“ (не нула, а по-малък от „дискретния“ параметър) самото време „замръзва“, т.е. в този „интервал“ няма самото време. И можем да продължим твърдението на диалектическия материализъм „Има движение и няма движение“ до „Има време и няма време“.

Възникват и други псевдовъзражения. Например, някои твърдят, че летяща стрела във всеки момент от времето е различна от стрела в покой, защото те имат различни надлъжни размери на телата си. Например, размерите l на всички тела в покой в L се оказват намалени с #zz1.jpg пъти в посока v: #zz2.jpg, когато се измерват в L ".

Какво можете да кажете на това? Един скептичен ум, като този на елеатите, няма да се задоволи с изкуствени формули. Всъщност, какво означава v в тази формула? С относителността на движението можем да кажем, че y на стрелката v = 0 (стрелката е в покой), а y на околната атмосфера е различно от нула. Тоест, оказва се, че надлъжният размер на стрелката директно и изцяло зависи от това коя част от v поставяме върху стрелката и коя част от околната среда. На по-прецизен език, валидността на принципа на относителността означава, че разликата между състояния на покой и равномерно праволинейно движение няма физическо съдържание. Ако физическата система B се движи равномерно и праволинейно (със скорост v) спрямо система A, то със същото право можем да приемем, че A се движи спрямо B (със скорост v).

Но това дори не е целта. Просто трябва да зададете въпроса: стрелката посети ли всички точки („дискретни“) по пътя?... Какво правеше там, дори и да имаше различен надлъжен размер?... И т.н.

Апорията на стрелата ни показва, че в дискретния модел на света обект дори не скача от точка в съседна точка, а изчезва от една точка и се появява в друга (в противен случай стигаме до приемственост). По същество това са два различни обекта, тъй като между тях няма връзка, приемственост или идентичност, а това коренно противоречи на интуитивното разбиране за движение, защото никой не нарича изчезването на един обект на едно място и появата на друг обект. в друга точка движение. Движението се мисли и разбира от нас като движение на едно и също тяло, тъй като движението е атрибут на движещо се тяло и може да бъде само промяна в отношенията между тялото и заобикалящата го среда. Можем да говорим за движение дотолкова, доколкото тялото запазва своята идентичност, контрастирайки в различни отношения с околната среда. (Руслан Хазарзар.)

Третият основен представител на елейската школа, Мелис, смята съществуването за безкрайно.

Елейската философска школа (елеати) съществува в края – първата половина на V в. пр.н.е. д. , за негови основатели се смятат Ксенофан и Парменид, учителят на Зенон. Училището разработи уникално учение за битието. Елеатите защитават единството на битието, вярвайки, че идеята за множествеността на нещата във Вселената е изкуствено разделение. Битието на елеатите е цялостно, реално и познаваемо, но същевременно то е неделимо, неизменно и вечно, то няма нито минало, нито бъдеще, нито раждане, нито смърт. Познаването на този интегрален свят е възможно само чрез рационални разсъждения, а сетивната картина на света, включително наблюдаваните движения, е измамна и противоречива. В същото време елеатите също смятат геометричния (и като цяло математически) метод на познание, характерен за питагорейците, като отстъпка пред сетивните доказателства, предпочитайки чисто логическия подход. От същите позиции те за първи път в науката поставят въпроса за допустимостта на научните понятия, свързани с безкрайността.

Двете апории (Ахил и Дихотомия) предполагат, че времето и пространството са непрекъснати и неопределено делими; Зенон показва, че това предположение води до логически трудности. Третата апория („Стрела“), напротив, разглежда времето като дискретно, съставено от точки-моменти; в този случай, както показа Зенон, възникват други трудности. Нека отбележим, че е некоректно да се твърди, че Зенон е смятал движението за несъществуващо, тъй като според елейската философия е невъзможно да се докаже несъществуването на каквото и да било: „това, което не съществува, е немислимо и неизразимо“. Целта на аргумента на Зенон беше по-тясна: да се идентифицират противоречията в позицията на противника.

Често „Стадионът” се включва сред апориите на движението (виж по-долу), но тематично този парадокс е по-скоро свързан с апориите на безкрайността. След това съдържанието на апорията е преразказано с помощта на съвременна терминология.

Под влияние на възникналите философски спорове се формират две гледни точки за структурата на материята и пространството: първата твърди тяхната безкрайна делимост, а втората - съществуването на неделими частици, „атоми“. Всяка от тези школи решава по свой начин поставените от елеатите проблеми.

Ахил и костенурката

„В бързия [полет] на стрелата има момент на отсъствие както на движение, така и на спиране.“
„Ако всеки ден отнемате половината от пръчка [дължина] на едно чи, то няма да бъде завършено дори след 10 000 поколения.“

Аристотеловата критика на апориите

Позицията на Аристотел е ясна, но не безупречна – и най-вече защото той самият не е успял да открие логически грешки в доказателствата или да даде задоволително обяснение на парадоксите... Аристотел не е успял да опровергае аргументите по простата причина, че в логически смисъл, доказателствата на Зенон са безупречно събрани.

Атомистичен подход

Епикур от Самос

Дискусия в New Times

и много други.

Съвременна интерпретация

Обикновено те се опитват да заобиколят този парадокс, като твърдят, че сумата от безкраен брой от тези времеви интервали все още се събира и по този начин дава краен период от време. Това разсъждение обаче абсолютно не засяга една по същество парадоксална точка, а именно парадокса, който се крие във факта, че определена безкрайна последователност от последователни събития, последователност, чието завършване не можем дори да си представим (не само физически, но поне по принцип) , всъщност, в крайна сметка трябва да свърши.

Подобен възглед може да се намери в Анри Бергсон:

Противоречията, изтъкнати от елейската школа, се отнасят не толкова до самото движение като такова, а по-скоро до изкуствената трансформация на движението, която нашият ум прави.

Въпросът за безкрайната делимост на пространството (несъмнено поставен от ранните питагорейци) доведе, както е известно, до значителни трудности във философията: от елейтите до Болцано и Кантор, математиците и философите не бяха в състояние да разрешат парадокса - как крайно количество може да се състои от безкраен брой точки, без размер.

Забележката на Бурбаки означава, че е необходимо да се обясни как един физически процес приема безкрайно много различни състояния за крайно време. Едно възможно обяснение: пространство-времето всъщност е дискретно, тоест има минимални части (кванти) както от пространството, така и от времето. Ако това е така, тогава всички парадокси на безкрайността в апорията изчезват. Дискретното пространство-време беше активно обсъждано от физиците през 50-те години на миналия век - по-специално във връзка с проекти за единна теория на полето - но значителен напредък по този път не можа да бъде постигнат.

С. А. Векшенов смята, че за разрешаване на парадокси е необходимо да се въведе числена структура, която е по-съгласувана с интуитивните физически концепции, отколкото континуума на точките на Кантор. Пример за неконтинуална теория на движението е предложен от Садео Шираиши.

Адекватност на аналитичната теория на движението

Първият подход, който Лайбниц следва, доминира през целия 18 век. Подобно на древния атомизъм, той разглежда безкрайно малките като специален вид числа (по-големи от нула, но по-малки от всяко обикновено положително число). Строга обосновка за този подход (т.нар. нестандартен анализ) е разработена от Ейбрахам Робинсън през 20 век. Анализът на Робинсън се основава на разширената числова система ( хиперреални числа). Разбира се, безкрайно малките на Робинсън имат малко сходство с древните атоми, дори само защото са безкрайно делими, но те ни позволяват правилно да разглеждаме една непрекъсната крива във времето и пространството като състояща се от безкраен брой безкрайно малки секции.
Вторият подход е предложен от Коши в началото на 19 век. Неговият анализ се основава на обикновени реални числа, а теорията на границите се използва за анализиране на непрекъснати зависимости. Нютон, д'Аламбер и Лагранж поддържаха подобно мнение относно оправдаността на анализа, въпреки че не винаги бяха последователни в това мнение.

И двата подхода са практически еквивалентни, но от гледна точка на физика първият е по-удобен; Учебниците по физика често съдържат фрази като „нека dV- безкрайно малък обем...” От друга страна, въпросът кой подход е по-близо до физическата реалност не е решен. При първия подход не е ясно на какво съответстват безкрайно малките числа в природата. Във втория случай адекватността на физико-математическия модел е възпрепятствана от факта, че операцията за достигане до границата е инструментална изследователска техника, която няма естествен аналог. По-специално, трудно е да се говори за физическата адекватност на безкрайни серии, чиито елементи принадлежат на произволно малки интервали от пространство и време (въпреки че такива модели често и успешно се използват като приблизителен модел на реалността). И накрая, не е доказано, че времето и пространството са структурирани по някакъв начин, подобен на математическите структури на реални или хиперреални числа.

Други апории на Зенон

Стадион

Апорията „Стадион“ (или „Риста“) у Аристотел („Физика“, Z, 9) не е формулирана съвсем ясно:

Четвъртият [аргумент] е за равни тела, движещи се през стадиона в противоположни посоки, успоредни на равни на тях тела; някои [се движат] от края на сцената, други от средата с еднаква скорост, от което, както той мисли, следва, че половината време е равно на двойно.

Изследователите предлагат различни интерпретации на тази апория. Л. В. Блинников го формулира по следния начин: .

С. А. Яновская предлага различна интерпретация, основана на атомистични предпоставки:

Нека времето се състои от неделими разширени атоми. Нека си представим двама бегачи в противоположните краища на списъците, толкова бързи, че всеки от тях изисква само един атом време, за да тича от единия край на списъците до другия. И нека двете изтичат от противоположните краища едновременно. Когато се случи срещата им, неделимият атом на времето ще бъде разделен наполовина, т.е. телата не могат да се преместят в атоми на времето, както се предполага в апорията<Стрела>.

Според други интерпретации тази апория е подобна на парадокса на Галилей: едно безкрайно множество може да бъде равно по сила на своята част.

множественост

Част от апорията е посветена на обсъждането на проблема за единството и множествеността на света.

Измерете

Доказвайки, че „ако едно нещо няма величина, то не съществува“, Зенон добавя: „Ако нещо съществува, необходимо е то да има някаква величина, някаква дебелина и да има известно разстояние между това, което представлява взаимна разлика в то." Същото може да се каже и за предишното, за онази част от това нещо, която предшества по малко в дихотомичното деление. Така че това предишно също трябва да има известна величина от своето предишно. Казаното веднъж може винаги да се повтори. По този начин никога няма да има крайна граница, където няма да има части, различни една от друга. Така че, ако има множество, необходимо е нещата да бъдат едновременно големи и малки, и толкова малки, че да нямат размер, и толкова големи, че да са безкрайни... Което няма абсолютно никакъв размер, никаква дебелина, няма обем, това изобщо не е така.

Ако едното в себе си е неделимо, тогава според позицията на Зенон то трябва да е нищо. Всъщност, ако добавянето на нещо към нещо не го прави повече и отнемането му от него не го прави по-малко, тогава, твърди Зенон, това нещо не принадлежи към съществуващото, ясно вярвайки, че съществуващото е величина, и тъй като величина, тогава нещо телесно: в крайна сметка телесното е напълно съществуващо; обаче други величини, като равнина и права, ако се добавят, нарастват в един случай, а не в друг; точка и единица не правят това по никакъв начин. И тъй като Зенон твърди грубо и тъй като нещо неделимо може да съществува и освен това по такъв начин, че да бъде по някакъв начин защитено от разсъжденията на Зенон (защото ако се добави такова неделимо, то обаче няма да се увеличи, а ще умножение), тогава въпросът е как да Дали една такава единица или няколко ще имат еднаква стойност? Да приемем, че това е все едно да кажем, че една линия е съставена от точки.

За мястото

Медимни зърна

Историческо значение на апорията на Зенон

Проблемите, поставени преди две хилядолетия и половина и изследвани многократно оттогава, все още не са изчерпани. Парадоксите на Зенон засягат фундаментални аспекти на реалността - местоположение, движение, пространство и време. От време на време се откриват нови и неочаквани аспекти на тези концепции и всеки век намира за полезно да се връща отново и отново към Зенон. Процесът на достигане на окончателното им разрешаване изглежда безкраен, а нашето разбиране за света около нас е все още непълно и фрагментарно.

Апории на Зенон в литературата и изкуството

Сюжетът на фантастичната история на Ф. Дик „За неуморната жаба“ се основава на апорията „Дихотомия“.

Вижте също

Бележки

, С. 90
, част 14
, 29. ЗЕНОН ЕЛЕЙСКИ
, С. 15-16
, С. 116-118
Ивин А. А.По законите на логиката. - М.: Млада гвардия, 1983. - 208 с. - ("Еврика").
Голяма съветска енциклопедия // Апория.
, част 16
Лосев А.Ф.Зенон от Елея // Философска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В.Ф.Елейска школа // Антична философия. - М.: Висше училище, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0
, част 15
, С. 50-52
, С. 18-20
, Яновская С. А.
, С. 21
"Физика" от Аристотел.
, С. 29-30
, С. 38
Лури С.Очерци от историята на древната наука. - М.-Л.: Издателство. Академия на науките на СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, С. 31-35
, С. 35-41
Хегел Г. В. Ф.Съчинения в 14 тома. - М.: Соцекгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
кожарска фабрика П.Първите стъпки на древногръцката наука. - Санкт Петербург. , 1902 г.
Папа-Грималди, Алба.Защо математическите решения на парадоксите на Зенон пропускат смисъла: Връзката едно и много на Зенон и забраната на Парменид. Прегледът на метафизиката(1996). Архивиран от оригинала на 28 август 2011 г.
Гилбърт Д., Бернайс П.Основи на математиката. Логическо смятане и формализиране на аритметиката. - М., 1979. - С. 40.
Курант Р., Робинс Г.Какво е математика. - 3-то изд.: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6
, С. 93
цитат от: Данциг, Тобиас.Числата са езикът на науката. - М.: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
Никола Бурбаки.Архитектура на математиката. Есета по история на математиката. - М.: Чуждестранна литература, 1963. - С. 38.
ван Бендегем, Жан Пол (1987). „Дискусия: Парадоксите на Зенон и аргументът за плочката.“ Философия на науката 54 : 295-302. Посетен на 27 февруари 2010 г.
Кузнецов Б. Г.Айнщайн. живот. Смърт. Безсмъртие. - 5-то изд., преработено. и доп.. - М.: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М.Математика. Загуба на сигурност. - М.: Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенски В. А.Какво е нестандартен анализ. - М.: Наука, 1987.
Гайденко П. П.Понятието време и проблемът за континуума. Архивиран от оригинала на 14 август 2011 г. Посетен на 10 януари 2011 г.
Силагадзе, З. К.Зенон среща съвременната наука (английски). Архивирано
Блинников Л.В.Кратък речник на философските личности. Архивиран от оригинала на 14 август 2011 г. Посетен на 30 април 2010 г.
, С. 127
Парадоксите на Зенон, Станфордска енциклопедия по философия.
Зенон от Елея. - Енциклопедия по света. Архивиран от оригинала на 14 август 2011 г. Посетен на 30 декември 2010 г.
Аристотел.Метафизика, книга I, глава IV.
Аристотел.Физика, IV, 1, 209а.
, С. 124-129
Ивин А. А.Логики. Учебно ръководство, глава 7.
, С. 122-124
, С. 27
, С. 89
ДВИЖЕНИЕ.
, С. 19
Карол, Луис.Инвенция от две части, или какво каза костенурката на Ахил // Знанието е сила .- 1991. - № 9. - С. 6-12.
Валери, Пол.Гробище край морето.

Литература

Антични автори

Древните философи за Зенон. Архивиран от оригинала на 14 август 2011 г. Посетен на 21 декември 2010 г.
Аристотел.Физика. – В сборника: Философите на Гърция. Основи: логика, физика, етика. - Харков: EKSMO, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6
Платон.Парменид. – В сборника: Платон, Съчинения в три тома. - М.: Мисъл, 1968-1972. - (Философско наследство).
Фрагменти от ранни гръцки философи. Част I. От епичните теокосмогонии до появата на атомизма. - М.: Наука, 1989. - 576 с.

Книги от съвременни автори

Асмус В.Ф.История на античната философия. - М.: Висше училище, 1965. - С. 40-45.
Гайденко П. П.. - М.: Наука, 1980.
История на математиката / Под редакцията на А. П. Юшкевич, в три тома. - М.: Наука, 1970. - T. I. - P. 88-93.
Комарова В. Я.Учението на Зенон от Елея: опит за реконструкция на системата от аргументи // Вестник ЛСУ. - Л., 1988.
Кузнецов Б. Г.Еволюция на картината на света. - 1-во изд. (2-ро издание: URSS, 2010). - М.: Издателство на Академията на науките на СССР, 1961. - 352 с. - (Из наследството на световната философска мисъл: философия на науката). - ISBN 978-5-397-01479-3.
Маковелски А. О.Предсократици. В 3 тома. - Минск: Harvest, 1999. - 784 с. - (Класическа философска мисъл)..
Смородинов Р. А.Философията на постоянното съмнение. - Волгоград: Печат, 2006. - С. 41-68.
Грюнбаум А.Съвременната наука и парадоксите на Зенон - Allen & Unwin, 1968. - ISBN 978-0045130047
Генон Р. Les Principles du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 г. и множество препечатки.- „Принципи на изчисляване на безкрайно малки“
Salmon W. C. (редактор)Парадоксите на Зенон. - 2-ро изд.. - Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 с. - ISBN 978-0872205604

Кратка библиография на научни статии с анализ на апории

Литературата е изброена в хронологичен ред.

Сватковски В. П.Парадоксът на Зенон за летящата стрела // Вестник на Министерството на народното просвещение. - 1888. - No 4 отдел. 5. - стр. 203-239.
Херсонски Н. Х.В началото на теорията на познанието. Относно аргументите на Зенон срещу движението // . - 1911. - No XXXIV (август) отдел. 2. - стр. 207-221.
Болцано Б.Парадокси на безкрайното. - Одеса, 1911.
Богомолов С. А.Аргументите на Зенон от Елея в светлината на доктрината за действителната безкрайност // Вестник на Министерството на народното просвещение. - 1915, нова серия - No LVI (април). - стр. 289-328.
Дмитриев Г.Още веднъж за парадокса на Зенон „Ахил и костенурката“ и объркването на В. Фридман // Под знамето на марксизма. - 1928. - № 4.
Богомолов С. А.Действителна безкрайност: Зенон от Елея, Исак Нютон и Георг Кантор. - Л.-М., 1934.
Яновская С. А.Апории на Зенон //