3 от чего зависит значение геометрической вероятности. Геометрическая вероятность. Геометрическое определение вероятности. Задачи с решениями

ТВ Случайным явлением

1. Классический

2. Стохастический основным факторам второстепенным

Событием

Различают достоверное невозможное случайное

Свойства вероятности:

<Р(С)<1.

Два события А и В называются несовместными совместными

единственно-возможными

полную группу

противоположными .

Под отрицанием

частоте данного события

Теорема Бернулли по вероятности

Достоинством

Недостатками

Вероятность события

комбинаторики .

Сочетаниями из n по m называются соединения, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов. Число сочетаний из n по m равно числу способов выбора m элементов из имеющихся n: , где n>m.

сочетаниями с повторениями : .

Размещениями

размещениями с повторениями : .

Перестановками

Основные понятия мат.статистики

Аналогом СВ из теории вероятности является признак Х в мат.статистике.

Множество всевозможных значений признака Х, позволяющее оценить параметры распределения, а также само распределение признака Х с исчерпывающей точностью, называют генеральной совокупностью.

Выборкой признака Х называют ограниченный объем стат.данных генеральной совокупности: ; - элементы выборки, n – объем выборки

Отбор выборочных данных из ген.совокупности – акт случайности ⇒ выборку можно рассмотреть как многомерную СВ. Значит, каждый элемент выборки – это СВ.

Закон распределения выборки и её элементов совпадает с законом распределения ген.совокупности, их которых она извлечена.

Основным св-ом выборки является её случайность. Это обеспечивает репрезентативность (представительность) выборки. В противном случае говорят об ошибке – презентативности.

Точечная оценка параметров распределения. Требования к функциям выборки.

Функцией выборки называется нек-я ф-ция, переводящая элементы выборки в числовое значение. Функция выборки используется для оценки параметров распределения, границ доверительного интервала и оценки статистики критерия. Т.к.элементы выборки случайны, то число полученное по функции выборки- также величина случайная. Точечной оценкой Qn (с тильдой наверху) параметра распределения Q наз-ся величина, характеризующая истинное значение параметра Q. Для оценки одного и того же параметра распределения можно составить несколько различных функций выборки. Требования : 1.состоятельности -оценка параметра при n стремящимся к бесконечности сходится по вероятности к истинному значению этого параметра. Записывается так и так . 2.несмещенности - мат.ожидание оценок параметров распределения = истинному значению этого параметра. Если это равенство выполняется прия любых n, то это абсолютная несмещенность; а если при n стремящемся к бесконечности то асимптотическая. 3.эффективности - эффективной называют ту функцию выборки (оценку), к-я обладает наименьшей дисперсией. , где в числителе -дисперсия исследуемой оценки, в знаменателе -дисперсия эффективной оценки. Чем ближе коэффициет эффективности e к 1, тем эффективнее исследуемая оценка. Если это условие выполняется при n стремящемся к бесконечности, то это ассимптотическая эффективность.

Гистограмма распределения.

Первое, что можно получить из всякой конкретной выборки Х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) – это начальное представление о законе распр-я. Осуществляется это путем построения так называемой гистограммы распр-я. Для этого опр-ся диапазон изменения возможных значений исследуемого признака (аналог СВ в ТВ) по имеющейся выборке Х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) – от x’=min{x i } до x”= max{x i }. Этот диапазон условно подразделяется на М интервалов – так называемых разрядов, или «карманов» гистограммы. Число М выбирается исследователем. Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число М интервалов разбиения M . Если выбрать все разряды одинаковыми по ширине, то ширина разряда будет равняться: h= .

Затем для i-го разряда (i=1,2,…,M) подсчитывается число m i попавших в него значений СВ. Полученные значения m i или откладываются в масштабе по вертикали применительно к каждому разряду. Полученная таким образом гистограмма получила название гистограммы распределения признака Х:

На основе гистограммы получаем первичное представление о виде закона распр-я исследуемого признака. При этом выполняются условия: ; .

Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

ТВ - раздел математики, занимающийся изучением закономерностей в массовых случайных явлениях. Случайным явлением называют явление, обладающее след. свойствами: неопределенности исхода, возможности воспроизведения, возможности измерения исхода каждого события.

Для изучения случайных явлений используются 2 подхода:

1. Классический (детерменистский): закономерности случайных явлений определяются по основным факторам, чаще всего применяется в естественнонаучных исследованиях. Пренебрежение второстепенными факторами приводит к появлению элемента случайности в исследуемых явлениях.

2. Стохастический : используется в социально-экономических исследованиях, закономерности случайных явлений определяются как по основным, так и по второстепенным факторам. Полный учёт второстепенных факторов практически невозможен, поэтому результаты исследований носят вероятностный характер. К основным факторам относятся факторы, оказывающие сущ-ое влияние на исход испытания. К второстепенным относятся факторы с незнач. влиянием на исход испытания.

Элемент случайности в явлениях снижается: при воспроизведении большего числа второстепенных факторов, с ростом массовых явлений.

Событием называется всякий факт, который может (не)произойти при выполнении определенного комплекса условий (А, В,..., А 1 , А 2).

Различают достоверное (событие, которое наступает обязательно при выполнении комплекса условий), невозможное (событие, которое не может наступить при выполнении определенного комплекса условий) и случайное (все остальные события) событие.

Вероятностью события называется численная мера объективной возможности наступления этого события (Р(А), р 1 ,...).

Свойства вероятности:

вероятность достоверного события равна 1: Р(А)=1;

вероятность невозможного события равна 0: Р(В)=0;

вероятность случайного события определяется: 0<Р(С)<1.

Два события А и В называются несовместными (или), если наступление одного из них исключает наступление другого. События называются совместными (и), если они могут появиться одновременно в одном испытании.

События А 1 , А 2 ,...,А n называются единственно-возможными , если в результате испытания наступает хотя бы одно из этих событий.

События А 1 , А 2 ,...,А n образуют полную группу событий, если являются возможно-несовместными и единственно-возможными.

Два события, образующие полную группу называются противоположными .

Под отрицанием события понимают наступление противоположного события: А, .
2. Относительная частота события. Теорема Бернулли.

Вероятности событий, эксперименты по воспроизведению которых не обладают свойством симметрии исходов, определяются по частоте данного события или статистической вероятностью этого события.

Статистической вероятностью события А называется отношение числа экспериментов, в которых событие наступило, к общему числу экспериментов: W(A)=P*(A)=m/n, где n-общее число экспериментов, m-число, в которых наступило событие А.

Статистическая вероятность события - лишь оценка истинного значения вероятности этого события. Её использование возможно при выполнении след. условий:

1. Должны существовать возможности многократного воспроизведения экспериментов на предмет наступления события А при определенных условиях.

2 События должны обладать статистической устойчивостью или устойчивостью относительных частот.

3. Число экспериментов должно быть достаточно велико.

Теорема Бернулли : С ростом числа экспериментов, т.е. при n→¥, относительная частота события сходится по вероятности к истинному значению вероятности этого события: , .

Достоинством частотной схемы определения вероятности является широкий класс решаемых задач.

Недостатками являются: приближенное значение вероятности события; большие моральные, материальные и временные затраты для получения этой оценки.
3. Классическое определение вероятности события. Формулы комбинаторики.

Вероятность события - эксперимент, по воспроизведению которого можно разложить на равновозможные исходы равна: Р(А)=m/n, где n-общее число возможных исходов, m-число исходов, благоприятствующих событию А.

Для нахождения значения m и n используют формулы комбинаторики .

Если в сочетаниях выбираемые элементы могут повторяться, то их называют сочетаниями с повторениями : .

Размещениями из n по m называются соединения, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования: .

Если в размещениях элементы могут повторяться, то их называют размещениями с повторениями : .

Перестановками из n элементов называются соединения, состоящие из n элементов, и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов: .

Геометрическое определение вероятности события.

В случаях, когда исходы испытания равняются равновозможными, а их число бесконечным множеством, вероятность некоторых событий можно определить как отношение меры благоприятствующей области к мере области, т.е. P(A)=m(G)/n(S).

В качестве меры областей может выступать длина отрезка, площадь плоской фигуры или объем тела.

Вся область S и благоприятствующая область G должны быть замкнутыми и измеримыми.

Рассмотрим плоскую фигуру S, внутри которой появляется случайная точка. Выделим подобласти S 1 и S 2 . Событие A - случайно выбранная точка, окажется внутри заштрихованных областей S 1 и S 2 . P(A)=(S 1 +S 2)/S.
5. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу событий.

Суммой 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении либо события А, либо события В: С=А+В.

Произведением 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении как события А, так и В: С=A×B.

Под отрицанием события А понимают наступление противоположного ему события: .

Теорема сложения совместных событий : Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B).

□ Пусть n-общее число возможных исходов, из них m способствуют наступлению события А, k благоприятствует событию В, l-число исходов, способствующих совместному наступлению А и В:

Р(А)=m/n, Р(В)=k/n, P(A×B)=l/n, А+В→m+k-l.

Р(А+В)=(m+k-l)/n=m/n+k/n–l/n= P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B)■.

Теорема сложения несовместных событий : Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

□ Т.к. А и B–несовместные события, то A×B–невозможное событие:

P(A+B)=P(A)+P(B)–0=P(A)+P(B)■.

Следствие 1 : Сумма вероятностей событий, образованных полную группу событий=1: Р(А 1 , А 2 ,...,А n)=1.

□ Т.к. А 1 , А 2 ,...,А n образуют полную группу событий, то они попарно несовместно и является единственно возможными, тогда А 1 , А 2 ,...,А n –достоверное событие:

Р(А 1 , А 2 ,...,А n)= Р(А 1)+Р(А 2)+...+Р(А n)=1■.

Следствие 2 : Вероятность суммы противоположных событий=1: Р(А+ )=Р(А)+Р()=1.
6. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Два события А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от наступления другого события, в противном случае события независимые (если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого).

Под условной вероятностью события А понимают вероятность этого события, вычисленную при условии, что событие В наступило: Р(А/В), Р В (А).

Теорема (зависимость события) умножения : Вероятность произведения 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события: P(A×B)=Р(А)×Р(В/А)=Р(В)×Р(А/В).

□ Пусть n-общее число возможных исходов, из них m благоприятствуют событию А, k-событию В, l-одновременно событию А и В:

Р(В/А)=l/m=(l/n)/(m/n)= P(A×B)/Р(А)=> P(A×B)=Р(А)×Р(В/А).

1 из m исходов наступил 1/m (событие А наступило), из этих m исходов l способствуют наступлению события:

Р(А/В)=l/k=(l/n)/(k/n)= P(A×B)/P(B)=> P(A×B)=Р(В)×Р(А/В)■.

Для n зависимых событий теорема умножения вероятностей примет вид:

Р(А 1 ×А 2 ×...×А n)=Р(А 1)×Р(А 2 /А 1)×Р(А 3 /А 1 ×А 2)×...×Р(А n /А 1 ×А 2 ×...×А n -1).

Р(А)=Р(А/В)=> А 1 ×В -независимые события, Р(А)≠Р(А/В)=> А 1 ×В -зависимые события.

7. Полная группа событий. Формула полной вероятности:

Набор событий H1, H2, …, Hn называется полной группой попарно несовместных событий если:

Пусть мы имеем полную группу несовместных событий H1, H2, …, Hn, определяющих варианты условий, в которых может осуществляться опыт по воспроизведению некоторого события А. Каждой гипотезе будет соответствовать своя условная вероятность события А: P(A/Hi), i=1,2,…,n.

Теорема: Если H1,H2,…,Hn – полная группа попарно несовместных событий, причем P(Hi) 0, i=1,2,…,n,то для любого события А имеет место равенство:

- формула полной вероятности.

8. Формула Байеса переоценки вероятностей гипотез. Ее практическое значение.

Одним из самых важных следствий формулы полной вероятности является формула Байеса.

, i=1,2,…,n.

Используя формулу Байеса, мы оцениваем вероятность того, какая из возможных причин в действительности имела место при условии, что событие А произошло.

Вероятности при -априорные вероятности. -апостериорные вероятности. Процесс решения задач по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно представить виде граф.схемы типа дерева, кот имеет одну корневую и несколько корневых вершин, соединенных м/у собой звеньями.

9. Формула Бернулли и Пуассона:

Теорема Бернулли: если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pm,n того, то событие А наступит m раз в n независимых испытаниях Бернулли, равна:

, где q=1-p.

Формула Бернулли применяется при сравнительно небольших m и n.

Теорема Пуассона: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремиться к 0 (p->0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n-> )/. Причем произведение np стремится к постоянному числу (), то вероятность того,что событие А появиться m раз n независимых испытаниях удовлетворяет предельному равенству.

Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Поэтому при решении задач, в которых рассматриваются такие испытания, вместо формулы применяется другой подход, называемый геометрическим определением вероятности. На этом уроке мы познакомимся с понятием геометрической вероятности: введём определение, выясним, что оно похоже на классическое определение вероятности. Также разберём некоторые примеры на разные меры, используемые в определении геометрической вероятности (длину, площадь и объём).

2) Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной 3 м идёт перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он подорвётся?

3) В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность того, что он: 1) прямоугольный; 2) равнобедренный; 3) тупоугольный?

1) Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С. Ал-геб-ра и ма-те-ма-ти-че-ский ана-ли-з для 11 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изуч. математики - М.: Просвещение, 1998.

2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Дрофа.

3) М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

Формула P(A)=m/n теряет смысл, если число всех равновозможных несовместных случаев неограниченo (образует бесконечное множество). Однако возможно иногда всей совокупности бесконечных равновозможных несовместных случаев дать количественную характеристику S в некоторых мерах длины, площади, объема, времени и так далее, а части этой совокупности, благоприятствующей наступлению рассматриваемого события A - характеристику S б в тех же мерах. Тогда вероятность появления события A определяется соотношением:

Пример №1 . Из промежутка наудачу выбраны два числа x и y. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
Решение. Испытание состоит в случайном выборе из промежутка пары чисел x и y. Будем это интерпретировать как выбор наудачу точки M(x;y) из множества всех точек квадрата, сторона которого равна двум. Рассмотрим фигуру Ф, представляющую собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют системе неравенств x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная точка M(x;y) принадлежит фигуре Ф.

По формуле (8) искомая вероятность равна отношению площади фигуры Ф к площади квадрата:

Пример №2 . Двое договорились о встрече в определенном месте. Каждый из них приходит в условленное место независимо друг от друга в случайный момент времени из и ожидает не более чем время . Какова вероятность встречи на таких условиях?

Решение. Обозначим через x время прихода первого в условленное место, а через y - время прихода туда второго лица. Из условия вытекает, что x и y независимо друг от друга пробегают промежуток времени . Испытание состоит в фиксации времени прихода указанных лиц к месту встречи. Тогда пространство элементарных исходов данного испытания интерпретируется как совокупность всех точек M(x;y) квадрата Ω={(x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T}. Интересующее нас событие A - “встреча произошла” наступает в том и только том случае, когда выбранная точка M(x;y) окажется внутри фигуры Ф, представляющей собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству |x – y| ≤ t. По формуле (8) искомая вероятность
представляет собой отношение площади фигуры Ф к площади квадрата Ω:

Анализируя полученный в этой задаче результат, видим, что с возрастанием увеличивается вероятность встречи. Пусть, например, T = 1 час, t = 20 мин, тогда

, то есть чаще чем в половине случаев встречи будут происходить, если многократно договариваться на указанных выше условиях.

Пример №3 . На отрезке l наугад выбраны две точки.
P(0- ? , вероятность того, что расстояние между ними меньше k-l

Пример №4 . В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое ее расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Решение . Вероятность того, что точка окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а будет равна отношению площади квадрат к площади круга.
Площадь квадрата: Sкв = a 2 .
Площадь круга: S = πr 2
Тогда вероятность составит: p = Sкв / S = a 2 / πr 2

Пример №5 . С промежутке выбирают наугад два действительных числа. Найдите вероятность того, что их сумма будет больше 4, а произведение - меньше 4.
Решение.
Всего чисел 5: 0,1,2,3,4. Вероятность их появления p=1/5 = 0.2
а) вероятность того, что их сумма будет больше 4
Всего количество таких исходов равно 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 и 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0.2*0.2*8 = 0.32
б) произведение - меньше 4.
Всего количество таких исходов равно 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 и 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3*1
P = 0.2*0.2*13 = 0.52

Задачи для самостоятельного решения
4.3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километром линии? (Вероятность обрыва провода в любом месте считать одинаковой).
Ответ: 1/6.

4.4. В круг радиуса r наугад брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в данный круг правильного треугольника.
Ответ:

4.5. Найдите вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
Ответ: 0;25.

4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно.
Ответ: π/15.

4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64?
Ответ: 0;36.

4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
Ответ: 5/9.

4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго - двум часам.
Ответ: ≈ 0;121.

4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Ответ: ≈ 0;38.

4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Ответ: 1/3.

4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Ответ: 2/3.

4.13. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25, а область g - этой окружностью и параболой 16x - 3y 2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g.
Ответ: ≈ 0;346.

4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09.
Ответ: ≈ 0;198.

Классическое определение вероятности имеет ограничение по его применению. Предполагается, что множество элементарных событий Ω конечно или счетное, т.е. Ω = {ω 1 , ω 2 , … , ω n , …}, а все ω i – равновозможные элементарные события. Однако, на практике встречаются испытания, для которых множество элементарных исходов бесконечно. Например, при изготовлении на станке некоторой детали нужно выдержать определенный размер. Здесь точность изготовления детали зависит от мастерства рабочего, качества режущего инструмента, совершенства станка и т.д. Если под испытанием понимать изготовление детали, то в результате такого испытания возможно бесконечное множество исходов, в данном случае получение деталей требуемого размера.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, иногда используют некоторые понятия геометрии (если, конечно, позволяют обстоятельства испытания). Во всех таких случаях предполагается возможность проведения (хотя бы теоретически) любого числа испытаний, и понятию равновозможности также отводится главная роль.

Пусть рассматривается испытание с пространством событий, элементарные исходы которых представляются в виде точек, заполняющих некоторую область Ω (в трёхмерном пространстве R 3). Пусть событие А состоит в попадании брошенной случайным образом точки в подобласть D области Ω. Событию А благоприятствуют элементарные события, в которых точка попадает в некоторую подобласть D . Тогда под вероятностью события А будем понимать отношение объёма подобласти D (выделенная область на рис. 1.11) к объёму области Ω, Р (А ) = V (D ) / V (Ω).

Рис. 1. 11

Здесь, по аналогии с понятием благоприятствую-щего исхода, область D будем называть благопри-ятствующей появлению события А . Аналогично определяется вероятность события А, когда множество Ω представляет собой некоторую область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объёмы областей заменяются соответственно площадями фигур или длинами отрезков.

Таким образом, мы приходим к новому определению ‒ геометрической вероятности для испытаний с бесконечным несчётным множеством элементарных событий, которое формулируется следующим образом.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры подобласти, благоприятствующей появлению этого события, к мере всей области, т.е.

р(А) = mesD / mes Ω,

где mes – мера областей D и Ω, D Ì Ω.

Геометрическая вероятность события обладает всеми свойствами, присущими классическому определению вероятности. Например, 4-е свойство будет таким: р (А + В ) = р (А ) + р (В ).

IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Справочный материал и принципы решения задач

Классическое определение вероятности

Под опытом или экспериментом будем понимать всякое осуществление комплекса определенных условий, в результате которых будет происходить интересующее нас явление.

Пример 1. Опыт σ: стрельба по мишени. Событие А – попадание по мишени. Событие В – промах.

Пример 2. Опыт σ: выбор изделий из партии готовых. Событие А – изделие браковано. Событие В – изделие стандартное.

Элементарным событием (или элементарным исходом) называется любой простейший, то есть неделимый в рамках данного эксперимента, исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных событий и обозначать Ω. То есть множество исходов опытов образует пространство элементарных событий, если:

В результате опыта один из исходов обязательно происходит;

Появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

В рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

Записывают это так:

Ω ={w 1, w 2, …w n ,…}={w k , k=1…n, …}.

Пример 3. Опыт: подбрасывание монеты 1 раз.

Здесь Ω={w г, w ц }, где w г – выпадение герба, w ц – выпадение цифры.

Опыт: монета подбрасывается 2 раза. В данном случае пространство элементарных событий Ω={w г г, w г ц, w ц г, w ц ц }.

Опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию за время Т. Здесь Ω={0,1,2.…n,… }.

Любой набор элементарных исходов или произвольное подмножество А Ω называется случайным событием .

Пусть Ω - пространство элементарных событий, S - некоторое подмножество случайных событий, удовлетворяющее следующим условиям:

Множество S – замкнуто относительно операций сложения, умножения и отрицания.

Достоверное E и невозможное события принадлежат S.

Иногда требуют большего: для любой бесконечной последовательности событий

Подмножество S, удовлетворяющее этим условиям, называется σ – алгеброй.

Пусть задана функция, которая каждому случайному событию из S ставит в соответствие число из интервала ; Р: S → , и при этом выполняются следующие аксиомы:

,

Р(Е)=1, Р(Ø)=0,

Для любой последовательности А 1 ,…А n … попарно несовместных событий А i ÎS,

"i,j, і≠ј ,

.

Функцию Р, удовлетворяющую этим аксиомам, называют вероятностью , а значение Р(A) называют вероятностью события А .

Определение. Тройка объектов (Ω, S, Р) , где Ω – пространство элементарных событий, S – σ-алгебра, Р – вероятность, называется вероятностным пространством.

Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходов опыта конечное число n и все исходы равновозможны. В классическом определении вероятности полагают:

;

Вероятность события равной

Иными словами вероятность события равна отношению числа элементарных событий , входящих в , к общему числу элементарных событий в .

Общепринята так же следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события называется отношение числа исходов опыта, благоприятствующих появлению события , к общему числу равновозможных исходов опыта.

То есть вероятность события определяется как .

Пример 4. Какова вероятность появления герба, по крайней мере, один раз при двукратном бросании монеты?

Решение. Пространство равновозможных элементарных событий данного опыта состоит из следующих событий: Событие ={при двукратном бросании монеты герб появится, по крайней мере, один раз} состоит из несовместных элементарных событий . Следовательно, .

Таким образом, .

Пример 5. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на одиннадцать без остатка?

Решение. Так как всех двузначных чисел 90, то число равновозможных исходов данного опыта . Из этих чисел на 11 без остатка делятся 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию {двузначное число будет делиться на одиннадцать без остатка} . Искомая вероятность будет равна .

Пример 6. Какова вероятность того, что в сентябре наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

Решение. В сентябре любого года 30 дней. Количество воскресений в сентябре зависит от того, какой день недели будет 1-е сентября. 1-е сентября может быть любым днём недели. Так как в неделе 7 дней, то и число всех возможных исходов . Если сентябрь начнется с понедельника, вторника, среды, четверга или пятницы то воскресений будет 4. Если сентябрь начнется с субботы или воскресенья, то воскресений будет 5. Среди 7 равновозможных исходов 2 будут благоприятны событию {в сентябре наугад выбранного года окажется 5 воскресений}, следовательно, . Искомая вероятность .

Пример 7. Имеются пять отрезков длиной 3, 5, 6, 9 и 11 см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

Решение. Имеется равновозможных исходов данного опыта: , , , , , , , , , .

Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо, чтобы больший отрезок был меньше суммы двух других отрезков. Этому условию удовлетворяют следующие исходы , , , , . Число таких исходов . Следовательно,

.

В тех случаях, когда прямой перебор всех возможных исходов становится громоздким, целесообразно использовать комбинаторику.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество , состоящее из элементов. Существуют два принципиально различных способа выбора элементов из множества : выбор элементов без возвращения и выбор элементов с возвращением.

Первый способ выбора элементов приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний без повторений или просто перестановок, размещений и сочетаний; второй – к понятиям перестановок, размещений и сочетаний с повторениями.

Перестановкой из элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Каждая перестановка содержит элементов. Перестановки различаются между собой лишь порядком расположения элементов. Число различных перестановок из элементов вычисляется по формуле

.

Размещением из элементов по называется любой упорядоченный набор из различных элементов, выбранных из общей совокупности в элементов. Размещения отличаются друг от друга или порядком расположения элементов, или хотя бы одним элементом.

Число размещений вычисляется по формуле .

Сочетанием из элементов по называется любой неупорядоченный набор из различных элементов, выбранных из общей совокупности в элементов. Сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляется по формуле

.

Свойства сочетаний:

Пример 8. Пусть имеется множество из трёх элементов. Тогда все размещения двух элементов из трёх таковы: Все перестановки множества имеют вид: и Все сочетания двух элементов из множества таковы:

Размещения и сочетания с повторениями отличаются от размещений и сочетаний без повторений только тем, что в этих соединениях могут присутствовать повторяющиеся элементы.

Число размещений из элементов по с повторениями вычисляется по формуле .

Число сочетаний из элементов по с повторениями вычисляется по формуле .

Поскольку в таком виде соединений как перестановки с повторениями участвуют все элементы множества , то повторение элементов должно быть заложено в элементах множества . Так, если содержит элементов первого типа, элементов второго типа, …, элементов го типа , то число перестановок с повторениями вычисляется по формуле .

При решении комбинаторных задач могут быть полезны следующие два правила:

Правило суммы: если объект может быть выбран способами, а объект может быть выбран способами, то выбор «либо , либо » может быть осуществлен способами.

Правило произведения: если объект может быть выбран способами и после каждого из таких выборов объект , в свою очередь, может быть выбран способами, то выбор « и » в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Пример 9. Пусть имеется групп элементов, причем -я группа состоит из – элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы, тогда общее число способов, которыми можно произвести такой выбор по правилу произведения

. (1)

Если , то можно считать, что выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда .

Пример 10. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым студентом любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из троих задуманные числа совпадут.

Решение . Вначале посчитаем общее количество исходов. Первый из студентов выбирает одно из 10 чисел, Второй и третий делают то же самое, Согласно формуле (1), общее число способов будет равно Подсчитаем число благоприятных исходов. Для этого сначала найдем общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений. Первый студент может выбрать любое из 10 чисел, второй любое из 9 чисел, а третий студент – любое из оставшихся 8 чисел. Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, по формуле (1) равно Остальные случаи (1000 – 720 =280) характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятность равна

Пример 11. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом «мир».

Решение. Русский алфавит содержит 33 буквы. Так как по линии связи передаются все буквы, то число равновозможных исходов опыта . Из этих исходов благоприятными появлению события {появится последовательность букв, которая начинается словом «мир»} будут все исходы, в которых на первых трех позициях будет стоять слово «мир» (такому выбору соответствует один исход), а остальные позиции будут заполнены любым образом (число таких вариантов ). По правилу произведения число благоприятных исходов .

Следовательно,

Пример 12. Из урны, содержащей 3 шара, три раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

Решение. По условию задачи шары возвращаются в урну, следовательно, имеем схему выбора элементов с возвращением.

Число всех возможных исходов данного опыта – это число размещений из трех элементов по три с повторениями, то есть

.

Благоприятными событию A ={ } будут те исходы, в которых элементы (шары) не будут повторяться. Число таких исходов – это число размещений из трех элементов по три, или число перестановок из трех элементов, то есть . Так как все исходы опыта равновозможные, то

.

Пример 13. Технический контроль проверяет из партии в 500 деталей 20 деталей, взятых наудачу. Партия содержит 15 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные?

Решение. Так как по условию задачи 20 деталей из 500 извлекаются наудачу, то все возможные варианты извлечения 20 деталей из 500 естественно считать равновозможными и для нахождения требуемой вероятности воспользоваться классической схемой (классическим определением вероятности).

Порядок следования стандартных и нестандартных деталей в извлекаемых 20 не играет роли. Важно только количество стандартных и нестандартных деталей. Следовательно, количество всех возможных способов, которыми это можно сделать, равно , то есть .

Событию ={среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные} (следовательно, остальные 18 должны быть стандартными), будет соответствовать (правило произведения) исходов, то есть . Таким образом,

.

Пример 14. Трехзначное число составляется следующим образом: бросаются три игральные кости: белая, синяя и красная; число выпавших очков на белой кости – это число сотен, число выпавших очков на синей кости – это число десятков, а число выпавших очков на красной кости – это число единиц трехзначного числа. Какова вероятность того, что полученное таким образом число будет больше 456?

Решение. Количество всех чисел, которые можно получить указанным способом, в соответствие с правилом произведения, будет равно .

Посчитаем количество исходов опыта, благоприятных появлению события А. Числа, большие 456, будут получаться, если число сотен будет больше 4, то есть 5 или 6 или число сотен будет равно 4, а число десятков будет больше чем 5, то есть 6. Пусть число сотен будет равно 5. Таких опытов будет так как число десятков и единиц может произвольно меняться от 1 до 6. Такие же рассуждения справедливы, если число сотен равно 6. Опытов, у которых первые две цифры 45 будет 6. Используя правила произведения и суммы, найдем количество таких чисел . Так как все исходы опыта равновозможные, то искомая вероятность .

Пример 15. Трем радиостанциям разрешена работа на шести различных частотах. Определить вероятность того, что, по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

Решение. Число всех равновозможных исходов опыта – это число размещений из шести элементов (частот) по три с повторениями, то есть . Благоприятными событию A ={по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах} будут те исходы, в которых элементы (частоты) будут повторяться. Число таких исходов – представляет собой сумму исходов, в которых две радиостанции работают на одной частоте – и три радиостанции работают на одной частоте – . Число исходов, в которых две из трех радиостанций могут работать на одной из шести частот, – это . Число различных частот – 6. Третья радиостанция может работать на одной из пяти «незанятых» частот. По правилу произведения . Очевидно, что число исходов (три радиостанции будут работать на одной частоте) равно 6 .

Таким образом, .

Следовательно, .

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение обобщает классическое определение вероятности на случай, когда пространство элементарных событий представляет собой подмножество пространства .