Ребра параллельные грани. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед и его виды

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Прямоугольный параллелепипед». В начале урока мы повторим, что такое произвольный и прямой параллелепипеды, вспомним свойства их противоположных граней и диагоналей параллелепипеда. Затем рассмотрим, что такое прямоугольный параллелепипед, и обсудим его основные свойства.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 , называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом .

Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (равные параллелограммы по определению),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так как АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так как АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда : 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА 1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА 1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА 1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник .

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию . Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ 1 и АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежит в одной плоскости - в плоскости АВВ 1 , а точка D в другой - в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А 1 АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА 1 - перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ- 1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А 1 АD - линейный угол данного двугранного угла. ∠А 1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС 1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС 1 А - прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD - противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС 1 = АА 1 , то что и требовалось доказать.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

• прямой;
• наклонный;
• прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано : прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение : Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2.

Дано : наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение : Сначала необходимо зарисовать дано.

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Рассмотрим эти предметы:

Строительный кирпич, игральный кубик, микроволновая печь. Эти предметы объединяет форма.

Поверхность, состоящая из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1

и четырех параллелограммов АА1В1В и ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D называется параллелепипедом.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.

При этом грани АВСD и А1В1С1D1 чаще называют основаниями, а остальные грани боковыми.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.

Ребро СС1, не принадлежит основаниям, оно называются боковое ребро.

Вершины параллелограммов называют вершинами параллелепипеда.

Вершина D1. Вершина В. Вершина С.

Вершины D1 и В

не принадлежат одной грани и называются противоположными.

Параллелепипед можно изображать разными способами

Параллелепипед в основании, которого лежит ромб, При этом изображениями граней являются параллелограммы.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат. Невидимые рёбра АА1, АВ, АD изображаются штриховыми линиями.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат

Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани квадраты. Чаще его называют кубом.

Все рассмотренные параллелепипеды обладают свойствами. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Рассмотрим параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и докажем, например, параллельность и равенство граней ВВ1С1С и АА1D1D.

По определению параллелепипеда грань АВСD параллелограмм, значит по свойству параллелограмма ребро ВС параллельно ребру АD.

Грань АВВ1А1 тоже параллелограмм, значит ребра ВВ1 и АА1 параллельны.

Это означает что две пересекающиеся прямые ВС и BB1 одной плоскости соответственно параллельны двум прямым АD и АА1 соответственно другой плоскости, значит плоскости АВВ1А1 и ВСС1D1 параллельны.

Все грани параллелепипеда параллелограммы а значит ВС=АD, ВВ1 =АА1.

При этом стороны углов В1ВС и А1АD соответственно сонаправлены, значит они равны.

Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ВСС1D1, значит эти параллелограммы равны.

Параллелепипед обладает ещё свойством о диагоналях. Диагональю параллелепипеда называется отрезок соединяющий не соседние вершины. На чертеж пунктирной линией показаны диагонали В1D, BD1, А1С.

Итак, свойство 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства свойства рассмотрим четырехугольник ВВ1D1D. Его диагонали В1D, BD1 являются диагоналями параллелепипеда АВСDА1В1С1D1.

В первом свойстве мы уже выяснили, что ребро ВВ1 параллельно и равно ребру АА1, но ребро АА1 параллельно и равно ребру DD1. Следовательно рёбра ВВ1 и DD1 параллельны и равны, что доказывает четырехугольник ВВ1D1D- параллелограмм. А в параллелограмме по свойству диагонали В1D, BD1 пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

Четырехугольник ВС1D1А также является параллелограммом и его диагонали С1А, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали параллелограмма С1А, ВD1 являются диагоналями параллелепипеда, а значит сформулированное свойство доказано.

Для закрепления теоретических знаний о параллелепипеде рассмотрим задачу на доказательство.

На рёбрах параллелепипеда отмечены точки L,M,N,P так, что BL=CM=A1N=D1P. Доказать, что ALMDNB1C1P параллелепипед.

Грань ВВ1А1А параллелограмм, значит ребро ВВ1 равно и параллельно ребру АА1, но по условию отрезки BL и A1N, значит равны и параллельны отрезки LB1 и NA.

3)Следовательно, четырехугольник LB1NA по признаку параллелограмм.

4) Так как СС1D1D-параллелограмм, значит ребро СС1 равно и параллельно ребру D1D, а СМ равно D1P по условию, значит равны и параллельны отрезки МС1и DP

Следовательно, что четырехугольник MC1PD тоже параллелограмм.

5) Углы LB1N и MC1P равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

6) Мы получили, что у параллелограммов и MC1PD соответствующие стороны равны и углы между ними равны, значит параллелограммы равны.

7) Отрезки равны по условию, значит BLMC- параллелограмм и сторона BC параллельна стороне LM параллельна стороне В1С1.

8) Аналогично из параллелограмма NA1D1P следует, что сторона A1D1 параллельна стороне NP и параллельна стороне AD.

9)Противоположные грани ABB1A1 и DCC1D1 параллелепипеда по свойству параллельны, а отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями равны, значит отрезки В1С1, LM, AD,NP равны.

Получено, что в четырехугольниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD две стороны параллельны и равны, значит они параллелограммы. Тогда наша поверхность ALMDNB1C1P состоит из шести параллелограммов, два из которых равны, а по определению это параллелепипед.

|
параллелепипед, параллелепипед фото
Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον от др.-греч. παρ-άλληλος - «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον - «плоскость») - призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм .

• 1 Типы параллелепипеда
• 2 Основные элементы
• 3 Свойства
• 4 Основные формулы
  • 4.1 Прямой параллелепипед
  • 4.2 Прямоугольный параллелепипед
  • 4.3 Куб
  • 4.4 Произвольный параллелепипед
• 5 математическом анализе
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=Ро*h, где Ро - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо - площадь основания

Объём V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности:
Объём: , где - ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения:215.

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Примечания

1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «παραλληλ-επίπεδον»
2. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1985. - 232 с.

Ссылки

• Прямоугольный параллелепипед
• Параллелепипед, учебный фильм

параллелепипед, параллелепипед дэлгэмэл, параллелепипед зураг, параллелепипед и параллелограмм, параллелепипед из картона, параллелепипед картинки, параллелепипед обьем, параллелепипед определение, параллелепипед формулы, параллелепипед фото

Параллелепипед Информацию О