Старт в науке. Координатная плоскость Как строится координатная плоскость

Для указания взаимного расположения каких-то исследуемых объектов используются:

1. координатный луч, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по одну сторону от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
2. координатная прямая, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по разные стороны от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
3. координатная плоскость, когда их размещение или движение происходят вдоль произвольной непрямой линии.

Элементы координатной плоскости

Координатная плоскость отличается от обычной плоскости тем, что на неё наносится система координат. Примером может служить изображение любого материка с нанесёнными на него параллелями и меридианами, которые и задают систему географических координат, позволяющих находить или задавать положение любого объекта на карте.

Система координат представляет собой две взаимно пересекающиеся под прямым углом координатные прямые в точках начала отсчёта. Горизонтальную координатную прямую принято называть осью абсцисс (абсцисса с лат. яз. – отрезок). Вертикальную прямую – осью ординат (ордината с лат. яз. – выстраивание по порядку).

Аналогично, координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что на ней выбирают какую-то точку за начало отсчёта; выбирают масштаб единичного отрезка в зависимости от того, какие расстояния предстоит изображать; положительное направление отсчёта, обозначаемое на координатной прямой стрелкой.

Положение объекта на такой плоскости обозначают точкой с двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.

Использование координатных плоскостей

Координатные плоскости широко используются для решения геометрических и физических задач. Причём в физике за ось абсцисс часто принимают ось времени. Тогда ось ординат задаёт координату тела на координатной прямой, располагаемой вдоль прямолинейной траектории движения тела.

Место урока в общей теме:

Общая тема "Положительные и отрицательные числа"

Это 1 урок по теме "Координаты"

• учащиеся знают определения положительных и отрицательных чисел
• учащиеся знают понятие координатной прямой
• умеют определять координаты точек координатной прямой
• умеют отмечать точки на координатной прямой по заданным координатам

Цели урока:

1) образовательные:

• ввести понятие координат
• ввести понятие системы координат, координатных осей и координатной плоскости
• ввести понятие координат точки: абсциссы и ординаты
• научить определять координаты точек
• научить отмечать точки на координатной плоскости по заданным ее координатам
• закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений

2) развивающие:

• создать у учащихся положительную мотивацию к выполнению умственных и практических действий
• развитие коммуникативной и информационной компетентностей учащихся
• помочь развитию интереса у учащихся не только к содержанию, но и к процессу овладения знаниями
• развивать умение применять полученные знания в конкретной ситуации
• развивать логическое мышление, память, самостоятельность

3) воспитывающие:

1. воспитывать у учащихся чувство удовлетворения от возможности показать на уроке свои знания не только по математике, но и в других областях школьных знаний
2. развитие интереса к изучению математики
3. расширить умственный кругозор учащихся, помочь школьникам лучше понять роль математики в истории общества
4. воспитание дисциплинированности, организованности

Тип урока: урок усвоения новых знаний

В соответствие с типом урока выбраны следующие этапы урока

• организационный момент
• актуализация
• подготовка к активному и сознательному усвоению нового материала
• усвоение нового материала
• упражнения на понимание
• обобщение и систематизация знаний
• подведение итогов урока
• оглашение домашнего задания

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие. Постановка пред учащимися долговременных целей по теме и задач по уроку.

II. Устная работа

Направлена на подготовку учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Координаты в жизненных ситуациях используются очень широко.

1. Привести примеры того, как в жизни используются координаты.

2. Предложить учащимся на основе рассмотренных примеров дать понятие координат.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие системы координат и координатной плоскости.

Учащимся предлагается рассмотреть рисунок и рассказать, что на нем изображено или ответить на вопросы.

Можно ли утверждать, что на рисунке изображены координатные прямые? Почему?

Под каким углом расположены эти прямые к друг другу?

Охарактеризовать точку пересечения этих прямых.

Что напоминает запись ? Чем она отличается от записи координаты точки на координатной прямой?

Под каким углом из точки А проведены стрелки к координатным прямым и ?

Какая связь между точками координатных прямых, на которые указывают стрелки, и записью ?

Выслушать ответы учащихся. Сделать выводы и ввести понятие системы координат, координатных осей, координатной плоскости, координат точки.

Координаты точки – пара чисел, по которым определяется положение точки на плоскости, где на первом месте стоит абсцисса, а на втором - ордината этой точки.

2. Ввести правило позволяющее определять координаты указанных точек.

Учащимся предлагается рассмотреть рисунок и определить координаты отмеченных точек.

Попросить учащихся сформулировать правило, позволяющее определить координаты точки. Повторить его.

Чтобы определить координаты точки - надо из точки опустить перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.

Для закрепления этого правила учащимся предлагается самостоятельно определить координаты отмеченных точек координатной плоскости, изображенных на экране. А затем проверить свое решение с тем, что на экране.

3. Определение положения точки на координатной плоскости по известным координатам.

Учащимся дается точка с заданными координатами. Задание – по известным координатам определить положение точки на координатной плоскости.

Сформулировать правило, позволяющее определять положение точки на координатной плоскости.

Чтобы определить положение точки на координатной плоскости – надо провести прямые, перпендикулярные осям, и найти точку их пересечения.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Учащимся предлагается построить координатную плоскость в тетрадях и отметить точки с указанными координатами, с последующей проверкой.

2. Резервное задание. Найти площадь прямоугольника, если известны координаты его вершин.

V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Что нового узнали сегодня на уроке? Чему научились?

С какими понятиями познакомились?

Какие правила сегодня изучили?

VI. Домашнее задание.

Практическое задание: начертить на листе бумаги в клетку систему координат, взяв единичные отрезок длиной 1 см (две тетрадные клетки). Отметить произвольно десять точек, не указывая их координаты.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В речи взрослых вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, по которым его можно найти. Те из вас, кто играл в «морской бой», пользовались при этом соответствующей системой координат. Аналогичная система координат используется в шахматах. Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду. Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась ещё в древности. Система координат пронизывает всю практическую жизнь человека и имеет огромное практическое применение. Поэтому мы решили создать данный проект, чтобы расширить свои познания по теме «Координатная плоскость»

Задачи проекта :

ознакомиться с историей возникновения прямоугольной системой координат на плоскости;

выдающимися деятелями, занимающимися данной темой;

найти интересные исторические факты;

хорошо воспринимать на слух координаты; четко и аккуратно выполнять построения;

подготовить презентацию.

ГлаваI. Координатная плоскость

Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась ещё в древности - прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт, календарей.

§1. Зарождение координат. Система координат в географии

За 200 лет до нашей эры греческий ученый Гиппарх ввёл географические координаты. Он предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу. С помощью этих двух чисел можно точно определить положение острова, поселка, горы или колодца в пустыне и нанести их на карту или глобус, Научившись определять в открытом мире широту и долготу местонахождения корабля, моряки получили возможность выбирать нужное им направление.

Восточную долготу и северную широту обозначают числами со знаком «плюс», а западную долготу и южную широту — со знаком «минус». Таким образом, пара чисел со знаками однозначно определяет точку на земном шаре.

Географическая широта? - угол между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0 до 90 в обе стороны от экватора. Географическая долгота? - угол между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начала меридиана(см. Гринвичский меридиан). Долготы от 0 до 180 к востоку от начала меридиана называют восточными, к западу - западными.

Чтобы найти некоторый объект в городе, в большинстве случаев достаточно знать его адрес. Трудности возникают, если нужно объяснить, где находится, например, дачный участок, место в лесу. Универсальным средством указания местоположения служат географические координаты.

При попадании в аварийную ситуацию, человек первым делом должен уметь ориентироваться на местности. Иногда необходимо определить географические координаты своего местоположения, например, чтобы передать спасательной службе или для других целей.

В современной навигации стандартно используется всемирная система координат WGS-84. В этой системе координат работают все GPS навигаторы и основные картографические проекты в Интернете. Координаты в системе WGS-84 столь же общеупотребимы и понятны всем, как всемирное время. Общедоступная точность при работе с географическими координатами составляет 5 - 10 метров на местности.

Географические координаты представляют собой числа со знаком (широта от -90° до +90°, долгота от -180° до +180°) и могут записываться в различных формах: в градусах (ddd.ddddd°); градусах и минутах (ddd° mm.mmm"); градусах, минутах и секундах (ddd° mm" ss.s"). Формы записи могут быть элементарно пересчитаны одна в другую (1 градус = 60 минут, 1 минута = 60 секунд). Для обозначения знака координат часто используются буквы, по названию сторон света: N и E - северная широта и восточная долгота - положительные числа, S и W - южная широта и западная долгота - отрицательные числа.

Форма записи координат в ГРАДУСАХ наиболее удобна для ручного ввода и совпадает с математической записью числа. Форма записи координат в ГРАДУСАХ И МИНУТАХ является предпочтительной во многих случаях, такой формат установлен по умолчанию в большинстве GPS навигаторов и стандартно используется в авиации и на море. Классическая форма записи координат в ГРАДУСАХ, МИНУТАХ И СЕКУНДАХ в действительности не находит большого практического применения.

§2. Система координат в астрономии. Мифы о созвездиях

Как было сказано выше идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась в древности у астрономов при составлении звездных карт. Людям нужно было считать время, предсказывать сезонные явления (приливы, отливы, сезонные дожди, затопления), нужно было ориентироваться на местности во время путешествий.

Астрономия - это наука о звёздах, планетах, небесных телах, их строении и развитии.

Прошли тысячи лет, наука шагнула далеко вперёд, а человек по-прежнему не может оторвать восхищённого взгляда от красоты ночного неба.

Созвездия - участки звёздного неба, характерные фигуры, образуемые яркими звёздами. Всё небо разделено на 88 созвездий, которые облегчают ориентирование среди звёзд. Большинство названий созвездий пришло из древности.

Самое известное созвездие - Большая Медведица. В Древнем Египте его называли “Гиппопотам”, а казахи называли “Конь на привязи”, хотя внешне созвездие не напоминает ни одного, ни другого животного. Какое же оно?

У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой Медведиц. Всемогущий бог Зевс решил взять себе в жены прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую медведицу, ее любимую собаку - в Малую Медведицу и взял их на небо. Перенести созвездия Большой и Малой Медведиц со звездного неба на координатную плоскость. . Каждая из звёзд “ Ковша большой медведицы” имеет свое название.

МЕДВЕДИЦУ БОЛЬШУЮ

Узнаю по КОВШУ я!

Семь звёзд сверкают тут,

А вот как их зовут:

ДУБХЕ освещает мрак,

Рядом с ним горит МЕРАК,

Сбоку ФЕКДА с МЕГРЕЦОМ,

Разудалым молодцом.

От МЕГРЕЦА на отлёт

Расположен АЛИОТ,

А за ним - МИЦАР с АЛЬКОРОМ

(Эти двое светят хором).

Замыкает ковшик наш

Бесподобный БЕНЕТНАШ.

Он указывает глазу

Путь в созвездье ВОЛОПАСА,

Где АРКТУР прекрасный светит,

Всяк теперь его заметит!

Не менее красивая легенда о созвездиях « Цефея», «Кассиопеи» и «Андромеды» .

Когда-то Эфиопией правил царь Цефей. Однажды его супруга, царица Кассиопея, имела неосторожность похвастать своей красотой перед обитательницами моря - нереидами. Последние, обидевшись, пожаловались богу моря Посейдону, и разгневанный дерзостью Кассиопеи властитель морей напустил на берега Эфиопии морское чудовище - Кита. Чтобы избавить свое царство от разрушений, Цефей, по совету оракула, решил принести жертву чудовищу и отдать ему на съедение свою любимую дочь Андромеду. Он приковал Андромеду к прибрежной скале и оставил ее в ожидании решения своей участи.

А в это время на другом краю света мифический герой Персей совершил смелый подвиг. Он проник на уединенный остров, где жили горгоны - удивительные чудовища в образе женщин, у которых на головах вместо волос кишели змеи. Взгляд горгон был так ужасен, что каждый на кого они смотрели, мгновенно превращался в камень.

Воспользовавшись сном этих чудовищ, Персей отсек голову одной из них -Горгоне Медузе. В этот момент из отрубленного тела Медузы выпорхнул конь Пегас. Персей схватил голову медузы, вскочил на Пегаса и по воздуху помчался к себе на родину. Когда он пролетал над Эфиопией, то увидел прикованную к скале Андромеду. В этот момент Кит уже вынырнул из морских пучин, готовясь проглотить свою жертву. Но Персей, ринувшись в смертельный бой с Китом, победил чудовище. Он показал Киту еще не потерявшую силу голову медузы, и чудовище окаменело, превратившись в остров. Что же касается Персея, то, расковав Андромеду, он вернул ее отцу, а растроганный от счастья Цефей отдал Андромеду в жены Персею. Так благополучно закончилась эта история, главные герои которой были помещены древними греками на небо.

На звездной карте можно найти не только Андромеду с ее отцом, матерью и мужем, но и волшебного коня пегаса и виновника всех бед - чудовища Кита.

Созвездие Кита расположено ниже Пегаса и Андромеды. К сожалению, оно не отмечено какими-нибудь характерными яркими звездами и поэтому принадлежит к числу второстепенных созвездий.

§3. Использование идеи прямоугольных координат в живописи.

Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. В погребальной камере пирамиды отца Рамсеса на стене имеется сеть квадратиков. С их помощью перенесено изображение в увеличенном виде. Прямоугольной сеткой пользовались и художники Возрождения.

Слово «перспектива» в переводе с латинского означает «ясно вижу». В изобразительном искусстве линейная перспектива — это изображение предметов на плоскости в соответствии с кажущимися изменениями их величины. Основу современной теории перспективы заложили великие художники эпохи Возрождения — Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие. На одной из гравюр Дюрера (рис. 3) изображён способ рисования с натуры через стекло с нанесённой на него квадратной сеткой. Этот процесс можно описать так: если встать перед окном и, не изменяя точки зрения, обвести на стекле всё, что видно за ним, то полученный рисунок и будет перспективным изображением пространства.

Египетские методы проектирования, которые, похоже, основывались на схемах квадратной сетки. В египетском искусстве имеются многочисленные примеры, показывающие, что художники и скульпторы сначала рисовали сетку на стене, которую предстояло расписать или вырезать, для того чтобы сохранить установленные пропорции. Простые числовые отношения этих сеток служат сердцевиной всех великих художественных произведений египтян.

Тот же метод использовался многими художниками Возрождения, в том числе и Леонардо да Винчи. В Древнем Египте это нашло свое воплощение в Великой пирамиде, что и подкрепляется ее тесной связью с узором на Марлборо-Дауне.

Приступая к работе, египетский художник расчерчивал стену сеткой прямых линий и затем тщательно переносил на нее фигуры. Но геометрическая упорядоченность не мешала ему воссоздавать натуру с детальной точностью. Наружность каждой рыбы, каждой птицы передана с такой правдивостью, что современные зоологи без труда определяют их виды. На рис.4 дана деталь композиции с иллюстрации- дерево с птицами, схваченными сетью Хнумхотепа. Движение руки художника направлялось не только запасами его навыков, но и глазом, чувствительным к очертаниям натуры.

Рис.4 Птицы на акации

Глава II. Метод координат в математике

§1. Применение координат в математике. Заслуги

французского математика Рене Декарта

Долгое время лишь география "землеописание" - пользовалась этим замечательным изобретением, и только в 14 веке французский математик Никола Орем (1323-1382) попытался приложить его к "землеизмерению" - геометрии. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

На основе этого удачного нововведения возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании этого метода принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596 - 1650). В его честь такая система координат называется декартовой, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до "нулевой широты" - оси абсцисс " и "нулевого меридиана" - оси ординат.

Однако этот гениальный французский ученый и мыслитель XVII века (1596 - 1650) далеко не сразу нашел свое место в жизни. Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, например, разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.

После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.

1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта.

Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.

В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1628 Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.

В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.

В 1637 на французском языке выходит работа Декарта «Рассуждение о методе», с которой, как многие считают, и началась новоевропейская философия.

Большое влияние на европейскую мысль оказала и последняя философская работа Декарта «Страсти души», опубликованная в 1649 г. В том же году по приглашению шведской королевы Кристины Декарт отправился в Швецию. Суровый климат и непривычный режим (королева заставляла Декарта вставать в 5 утра, чтобы давать ей уроки и выполнять другие поручения) подорвали здоровье Декарта, и, подхватив простуду, он

умер от пневмонии.

По традиции, введенной Декартом, "широта" точки обозначаются буквой x, "долгота" - буквой y

На этой системе основаны многие способы указания места.

Например, на билете в кинотеатр стоят два числа: ряд и место — их можно рассматривать как координаты места в зале.

Подобные координаты приняты в шахматах. Вместо одного из чисел берется буква: вертикальные ряды клеток обозначаются буквами латинского алфавита, а горизонтальные — цифрами. Таким образом, каждой клетке шахматной доски ставится в соответствие пара из буквы и числа, и шахматисты получают возможность записывать свои партии. О применении координат пишет в своём стихотворении "Сын артиллериста" Константин Симонов.

Всю ночь, шагая как маятник,

Глаз майор не смыкал,

Пока по радио утром

Донёсся первый сигнал:

"Всё в порядке, добрался,

Немцы левей меня,

Координаты (3;10),

Скорее давайте огня!

Орудия зарядили,

Майор рассчитал всё сам.

И с рёвом первые залпы

Ударили по горам.

И снова сигнал по радио:

"Немцы правей меня,

Координаты (5; 10),

Скорее ещё огня!

Летели земля и скалы,

Столбом поднимался дым.

Казалось, теперь оттуда

Никто не уйдёт живым.

Третий сигнал по радио:

"Немцы вокруг меня,

Координаты (4; 10),

Не жалейте огня.

Майор побледнел, услышав:

(4;10) - как раз

То место, где его Лёнька

Должен сидеть сейчас.

Константин Симонов "Сын артиллериста"

§2. Легенды об изобретении системы координат

Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта.

Легенда 1

До наших времён дошла такая история.

Посещая парижские театры, Декарт не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Легенда2. Однажды РенеДекарт весь день пролежал в кровати, думая о чем-то, а муха жужжала вокруг и не давала ему сосредоточиться. Он стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени математически, чтобы иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И...придумал, декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества.

Марковцев Ю.

Однажды в незнакомый город

Приехал молодой Декарт.

Его ужасно мучил голод.

Стоял промозглый месяц март.

Решил к прохожей обратиться

Декарт, пытаясь, дрожь унять:

Где тут гостиница, скажите?

И дама стала объяснять:

- Идите до молочной лавки,

Потом до булочной, за ней

Цыганка продает булавки

И яд для крыс и для мышей,

Найдете в них наверняка

Сыры, бисквиты, фрукты

И разноцветные шелка…

Все объяснения эти слушал

Декарт, от холода дрожа.

Ему хотелось очень кушать,

- За магазинами - аптека

(аптекарь там - усатый швед),

И церковь, где в начале века

Венчался, кажется, мой дед…

Когда на миг умолкла дама,

Вдруг произнес ее слуга:

- Идите три квартала прямо

И два направо. Вход с угла.

Это - третья небылица о случае, который подсказал Декарту идею координат.

Заключение

Создавая, свой проект мы узнали о применении координатной плоскости в различных областях науки и повседневной жизни, некоторые сведения из истории возникновения координатной плоскости и математиках сделавших большой вклад в это изобретение. Материал, который мы собрали в ходе написания работы, может быть использован на занятиях школьного кружка, в качестве дополнительного материала к урокам. Всё это может заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

А закончить нам бы хотелось такими словами:

«Представь свою жизнь координатной плоскостью. Ось у — твое положение в обществе. Ось х — продвижение вперед, к цели, к твоей мечте. И как мы знаем, она бесконечна… мы можем падать вниз, все дальше углубляясь в минус, можем оставаться на нуле и ничего не делать, абсолютно ничего. Можем подниматься вверх, можем падать, можем идти вперед или возвращаться назад, а все из-за того, что вся наша жизнь это координатная плоскость и самое главное здесь, какая у тебя координата…»

Список используемой литературы

Глейзер Г.И. История математики в школе: - М.: Просвещение, 1981. - 239 с, ил.

Ляткер Я. А. Декарт. М.: Мысль, 1975. - (Мыслители прошлого)

Матвиевская Г. П. Рене Декарт, 1596-1650. М.: Наука, 1976.

А. Савин. Координат. Квант. 1977. №9

Математика - приложение к газете «Первое сентября», №7, №20, №17, 2003г., №11, 2000г.

Зигель Ф.Ю. Звёздая азбука: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1981. - 191 с., ил

Стив Паркер, Николас Харрис. Иллюстрированная энциклопедия для детей. Тайны вселенной. Харьков Белгород. 2008

Материалы с сайта http://istina.rin.ru/

Математика - наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость - это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат - строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь "декартовой".

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты - одну координату буквенную, вторую - цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось - абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как (Ox ). Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy ). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0 . Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината - положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная - ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy . Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное - углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка - центр окружности, вторая - точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость - это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, - умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую - перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 - 4 Or x - 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c - график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) - c - график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) - график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x - c) - график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x - 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x - 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x - 3| + 2

Постройте график

y = x 2 - 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x - 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 - 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f