Cum să găsiți lungimea liniei mediane. Trapez, linia mediană a unui trapez, triunghi

Linia de mijloc a triunghiului. Bună prieteni! Astăzi, materialul teoretic este asociat cu un triunghi. Examenul include un grup de sarcini care folosesc proprietatea liniei mediane. Și nu numai în problemele cu triunghiurile, ci și cu trapezele. A existat unul, în care am sugerat să ne amintim pur și simplu aceste fapte, acum mai detaliat...

Care este linia de mijloc a unui triunghi și care sunt proprietățile acestuia?

Definiție. Linia mediană a unui triunghi este segmentul de linie care leagă punctele medii ale laturilor triunghiului.

Este clar că există trei linii de mijloc în triunghi. Să le arătăm:

Fără nicio dovadă, probabil ați observat până acum că toate cele patru triunghiuri formate sunt egale. Acest lucru este adevărat, dar despre asta vom vorbi mai detaliat mai târziu.

Teorema... Linia de mijloc a triunghiului, care leagă punctele medii ale acestor două laturi, este paralelă și egală cu jumătatea celei de-a treia laturi.

Dovada:

1. Să ne uităm la triunghiurile BMN și BAC. Prin condiție, avem BM = MA, BN ​​​​= NC. Putem scrie:

În consecință, triunghiurile sunt similare în două laturi proporționale și unghiul dintre ele (al doilea semn de similitudine). Ce rezultă din asta? Dar faptul că:

Pe baza paralelismului dreptelor MN || AC.

2. De asemenea, din asemănarea triunghiurilor rezultă că

Adică MN este la jumătate. Dovedit!

Să rezolvăm o problemă tipică.

În triunghiul ABC, punctele M, N, K sunt punctele medii ale laturilor AB, BC, AC. Aflați perimetrul triunghiului ABC dacă MN = 12, MK = 10, KN = 8.

Soluţie. Desigur, în primul rând, ar trebui să se verifice existența triunghiului MNK (și, prin urmare, existența triunghiului ABC). Suma celor două laturi mai mici trebuie să fie mai mare decât a treia latură, scriem 10 + 8> 12. Îndeplinit, deci triunghiul există.

Să construim o schiță:

Astfel, perimetrul triunghiului ABC este 24 + 20 + 16 = 60.

* Acum mai detaliat despre triunghiurile obținute la construirea tuturor celor trei linii de mijloc. Egalitatea lor este ușor de dovedit. Aruncă o privire:

Sunt egali pe trei laturi. Desigur, aici se aplică și alte caracteristici. Înțelegem asta

Cum se utilizează această proprietate în elementele incluse în examen? Aș dori în special să mă concentrez pe problemele stereometriei. Există tipuri în care vorbim despre o prismă triunghiulară.

De exemplu, se spune că planul trece prin punctele medii ale laturilor bazei și este paralel cu a treia margine a bazei. Se ridică întrebări despre modificarea suprafeței prismei, volumul acesteia și altele.

Deci asta este. Cunoscând și înțelegând informațiile menționate mai sus, veți stabili imediat că acest plan decupează o pătrime parte de la baza prismei indicate și veți rezolva problema oral. Iată sarcinile.

Asta e tot! Toate cele bune!

Descărcați materialul articolului

Salutări, Alexander Krutitskikh.

\ [(\ Mare (\ text (Similitudinea triunghiurilor))) \]

Definiții

Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.
(se spune că laturile sunt similare dacă se află opuse unghiurilor egale).

Coeficientul de similitudine al triunghiurilor (asemănătoare) este un număr egal cu raportul laturilor similare ale acestor triunghiuri.

Definiție

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor tuturor laturilor sale.

Teorema

Raportul dintre perimetrele a două triunghiuri asemănătoare este egal cu coeficientul de similitudine.

Dovada

Luați în considerare triunghiurile \ (ABC \) și \ (A_1B_1C_1 \) cu laturile \ (a, b, c \) și respectiv \ (a_1, b_1, c_1 \), (a se vedea figura de mai sus).

Atunci \ (P_ (ABC) = a + b + c = ka_1 + kb_1 + kc_1 = k (a_1 + b_1 + c_1) = k \ cdot P_ (A_1B_1C_1) \)

Teorema

Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.

Dovada

Fie triunghiurile \ (ABC \) și \ (A_1B_1C_1 \) să fie similare și \ (\ dfrac (AB) (A_1B_1) = \ dfrac (AC) (A_1C_1) = \ dfrac (BC) (B_1C_1) = k \)... Să notăm cu literele \ (S \) și respectiv \ (S_1 \) ariile acestor triunghiuri.

Deoarece \ (\ unghi A = \ unghi A_1 \), atunci \ (\ dfrac (S) (S_1) = \ dfrac (AB \ cdot AC) (A_1B_1 \ cdot A_1C_1) \)(prin teorema raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghiuri egale).

pentru că \ (\ dfrac (AB) (A_1B_1) = \ dfrac (AC) (A_1C_1) = k \), atunci \ (\ dfrac (S) (S_1) = \ dfrac (AB) (A_1B_1) \ cdot \ dfrac (AC) (A_1C_1) = k \ cdot k = k ^ 2 \), după cum este necesar pentru a dovedi.

\ [(\ Mare (\ text (asemănarea triunghiului))) \]

Teorema (primul criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Dovada

Fie \ (ABC \) și \ (A_1B_1C_1 \) să fie triunghiuri astfel încât \ (\ unghi A = \ unghi A_1 \), \ (\ unghi B = \ unghi B_1 \). Apoi prin teorema privind suma unghiurilor unui triunghi \ (\ unghi C = 180 ^ \ circ - \ unghi A - \ unghi B = 180 ^ \ circ - \ unghi A_1 - \ unghi B_1 = \ unghi C_1 \), adică unghiurile triunghiului \ (ABC \) sunt, respectiv, egale cu unghiurile triunghiului \ (A_1B_1C_1 \).

Deoarece \ (\ unghi A = \ unghi A_1 \) și \ (\ unghi B = \ unghi B_1 \), atunci \ (\ dfrac (S_ (ABC)) (S_ (A_1B_1C_1)) = \ dfrac (AB \ cdot AC) (A_1B_1 \ cdot A_1C_1) \)și \ (\ dfrac (S_ (ABC)) (S_ (A_1B_1C_1)) = \ dfrac (AB \ cdot BC) (A_1B_1 \ cdot B_1C_1) \).

Din aceste egalităţi rezultă că \ (\ dfrac (AC) (A_1C_1) = \ dfrac (BC) (B_1C_1) \).

Se poate dovedi în mod similar că \ (\ dfrac (AC) (A_1C_1) = \ dfrac (AB) (A_1B_1) \)(folosind egalitățile \ (\ angle B = \ angle B_1 \), \ (\ angle C = \ angle C_1 \)).

Ca urmare, laturile triunghiului \ (ABC \) sunt proporționale cu laturile similare ale triunghiului \ (A_1B_1C_1 \), după cum este necesar.

Teoremă (al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)

Dacă cele două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale celuilalt triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Dovada

Luați în considerare două triunghiuri \ (ABC \) și \ (A "B" C "\) astfel încât \ (\ dfrac (AB) (A "B") = \ dfrac (AC) (A "C") \), \ (\ unghi BAC = \ unghi A "\). Să demonstrăm că triunghiurile \ (ABC \) și \ (A" B "C" \) sunt similare. Având în vedere primul semn de asemănare al triunghiurilor, este suficient să arătăm că \ (\ unghi B = \ unghi B "\).

Considerăm un triunghi \ (ABC "" \) cu \ (\ unghi 1 = \ unghi A "\), \ (\ unghi 2 = \ unghi B" \). Triunghiurile \ (ABC "" \) și \ (A "B" C "\) sunt similare în primul semn de asemănare a triunghiurilor, apoi \ (\ dfrac (AB) (A "B") = \ dfrac (AC "") (A "C") \).

Pe de altă parte, de condiție \ (\ dfrac (AB) (A "B") = \ dfrac (AC) (A "C") \)... Din ultimele două egalități rezultă că \ (AC = AC "" \).

Triunghiurile \ (ABC \) și \ (ABC "" \) sunt egale pe două laturi și, prin urmare, unghiul dintre ele, \ (\ unghi B = \ unghi 2 = \ unghi B "\).

Teoremă (al treilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Dovada

Fie laturile triunghiurilor \ (ABC \) și \ (A "B" C "\) să fie proporționale: \ (\ dfrac (AB) (A "B") = \ dfrac (AC) (A "C") = \ dfrac (BC) (B "C") \)... Să demonstrăm că triunghiurile \ (ABC \) și \ (A "B" C "\) sunt similare.

Pentru aceasta, ținând cont de al doilea semn de similitudine al triunghiurilor, este suficient să se demonstreze că \ (\ unghi BAC = \ unghi A "\).

Considerăm un triunghi \ (ABC "" \) cu \ (\ unghi 1 = \ unghi A "\), \ (\ unghi 2 = \ unghi B" \).

Triunghiurile \ (ABC "" \) și \ (A "B" C "\) sunt similare în primul semn de asemănare a triunghiurilor, prin urmare, \ (\ dfrac (AB) (A "B") = \ dfrac (BC "") (B "C") = \ dfrac (C "" A) (C "A") \).

Din ultimul lanț de egalități și condiție \ (\ dfrac (AB) (A "B") = \ dfrac (AC) (A "C") = \ dfrac (BC) (B "C") \) rezultă că \ (BC = BC "" \), \ (CA = C "" A \).

Triunghiurile \ (ABC \) și \ (ABC "" \) sunt egale pe trei laturi, prin urmare, \ (\ unghi BAC = \ unghi 1 = \ unghi A "\).

\ [(\ Mare (\ text (teorema lui Thales))) \]

Teorema

Dacă, pe una dintre laturile colțului, marchează segmente egale și trage linii drepte paralele prin capete, atunci aceste linii drepte vor tăia și segmente egale pe a doua latură.

Dovada

Mai întâi să dovedim lema: Dacă o linie dreaptă \ (a \ paralelă BB_1 \) este trasată în \ (\ triunghi OBB_1 \) prin mijlocul \ (A \) laturii \ (OB \), atunci va traversa latura \ (OB_1 \) tot la mijloc.

Desenați \ (l \ paralel OB \) prin punctul \ (B_1 \). Fie \ (l \ cap a = K \). Atunci \ (ABB_1K \) este un paralelogram, prin urmare, \ (B_1K = AB = OA \) și \ (\ unghi A_1KB_1 = \ unghi ABB_1 = \ unghi OAA_1 \); \ (\ unghi AA_1O = \ unghi KA_1B_1 \) ca verticală. Prin urmare, conform celui de-al doilea criteriu \ (\ triunghi OAA_1 = \ triunghi B_1KA_1 \ Săgeată la dreapta OA_1 = A_1B_1 \)... Lema este demonstrată.

Să trecem la demonstrarea teoremei. Fie \ (OA = AB = BC \), \ (a \ paralel b \ paralel c \) și trebuie să demonstrați că \ (OA_1 = A_1B_1 = B_1C_1 \).

Astfel, prin această lemă \ (OA_1 = A_1B_1 \). Să demonstrăm că \ (A_1B_1 = B_1C_1 \). Desenați o linie dreaptă \ (d \ paralel OC \) prin punctul \ (B_1 \) și fie \ (d \ cap a = D_1, d \ cap c = D_2 \). Atunci \ (ABB_1D_1, BCD_2B_1 \) sunt paralelograme, prin urmare, \ (D_1B_1 = AB = BC = B_1D_2 \). Prin urmare, \ (\ unghi A_1B_1D_1 = \ unghi C_1B_1D_2 \) ca pe verticală, \ (\ unghi A_1D_1B_1 = \ unghi C_1D_2B_1 \) ca întins în cruce și, prin urmare, conform celui de-al doilea criteriu \ (\ triunghi A_1B_1D_1 = \ triunghi C_1B_1D_2 \ Săgeată la dreapta A_1B_1 = B_1C_1 \).

teorema lui Thales

Liniile drepte paralele decupează segmentele proporționale de pe părțile laterale ale colțului.

Dovada

Fie drepte paralele \ (p \ paralel q \ paralel r \ paralel s \)împărțiți una dintre linii în segmente \ (a, b, c, d \). Apoi a doua linie dreaptă, aceste drepte ar trebui să fie împărțite în segmente \ (ka, kb, kc, kd \), respectiv, unde \ (k \) este un număr, același coeficient de proporționalitate al segmentelor.

Desenați o linie dreaptă \ (p \ paralel OD \) (\ (ABB_2A_1 \) este un paralelogram prin punctul \ (A_1 \), prin urmare \ (AB = A_1B_2 \)). Atunci \ (\ triunghi OAA_1 \ sim \ triunghi A_1B_1B_2 \)în două colțuri. Prin urmare, \ (\ dfrac (OA) (A_1B_2) = \ dfrac (OA_1) (A_1B_1) \ Săgeată la dreapta A_1B_1 = kb \).

În mod similar, trasăm o linie dreaptă prin \ (B_1 \) \ (q \ paralel OD \ Săgeată la dreapta \ triunghi OBB_1 \ sim \ triunghi B_1C_1C_2 \ Săgeată la dreapta B_1C_1 = kc \) etc.

\ [(\ Mare (\ text (linia mediană a triunghiului))) \]

Definiție

Linia mediană a unui triunghi este segmentul de linie care leagă punctele medii ale oricăror două laturi ale triunghiului.

Teorema

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și este egală cu jumătatea acesteia.

Dovada

1) Paralelismul liniei mediane la bază rezultă din cele de mai sus leme.

2) Să demonstrăm că \ (MN = \ dfrac12 AC \).

Desenați o linie dreaptă prin punctul \ (N \) paralel cu \ (AB \). Fie ca această linie să intersecteze latura \ (AC \) în punctul \ (K \). Atunci \ (AMNK \) este un paralelogram ( \ (AM \ paralel NK, MN \ paralel AK \) la punctul anterior). Prin urmare, \ (MN = AK \).

pentru că \ (NK \ paralel AB \) și \ (N \) este punctul de mijloc al lui \ (BC \), apoi, după teorema lui Thales \ (K \) este punctul de mijloc al lui \ (AC \). Prin urmare, \ (MN = AK = KC = \ dfrac12 AC \).

Consecinţă

Linia de mijloc a triunghiului taie din el un triunghi similar cu acesta cu coeficientul \ (\ frac12 \).

Cum să găsești mijlocul unui triunghi: un puzzle de geometrie. Principalele probleme elementare din geometria euclidiană ne-au venit din antichitate. Ele conțin esența primară în sine și cunoștințele de bază necesare despre percepția umană a formelor spațiale. Una dintre astfel de probleme este problema găsirii mijlocului unui triunghi. Astăzi, această sarcină este considerată o metodă educațională pentru dezvoltarea abilităților intelectuale ale școlarilor. În lumea antică, cunoașterea modului de găsire a mijlocului triunghiului a fost folosită și în practică: în gestionarea terenurilor, în fabricarea diferitelor mecanisme etc. Care este esența acestui puzzle geometric?

Care este mediana? Înainte de a rezolva problema, trebuie să vă familiarizați cu cea mai simplă terminologie geometrică referitoare la triunghiuri. În primul rând, fiecare triunghi are trei vârfuri, trei laturi și trei unghiuri, din care provine numele acestei figuri geometrice. Este important să știți cum se numesc liniile care leagă vârfurile cu laturile opuse: înălțimea, bisectoarea și mediana.

Înălțime - o linie perpendiculară pe latura opusă vârfului din care este desenată; bisectoare - reduce la jumătate unghiul; mediana împarte latura opusă vârfului de ieșire în jumătate. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să știți cum să găsiți coordonatele punctului de mijloc al segmentului, deoarece punctul de intersecție al medianelor triunghiului este punctul de mijloc al acestuia.

Găsiți punctele medii ale laturilor triunghiului. Găsirea punctului mijlociu al unui segment de dreaptă este, de asemenea, o problemă geometrică clasică care necesită o busolă și o riglă fără diviziuni. Punem acul busolei în punctul final al segmentului și desenăm un semicerc mai mare de jumătate din segment în mijlocul ultimului. Faceți același lucru de cealaltă parte a liniei. Semicercurile rezultate se vor intersecta în mod necesar în două puncte, deoarece razele lor sunt mai mult de jumătate din segmentul original.

Conectăm două puncte de intersecție ale cercului cu o linie dreaptă folosind o riglă. Această linie intersectează linia originală exact în mijloc. Acum, știind cum să găsim punctul de mijloc al segmentului, facem asta cu fiecare latură a triunghiului. După ce ați găsit toate punctele de mijloc ale laturilor triunghiului, totul este gata să-și construiască propriul punct de mijloc.

Construim mijlocul triunghiului. Conectând vârfurile triunghiului cu punctele medii ale laturilor opuse cu linii drepte, obținem trei mediane. Acest lucru poate surprinde pe cineva, dar una dintre legile armoniei acestei figuri geometrice este că toate cele trei mediane se intersectează întotdeauna într-un punct. Acest punct va fi punctul de mijloc dorit al triunghiului, care nu este atât de greu de găsit dacă știi cum să construiești punctul de mijloc al unui segment.

De asemenea, este interesant faptul că punctul de intersecție al medianelor nu este doar punctul de mijloc geometric, ci și „fizic” al triunghiului. Adică, dacă, de exemplu, tăiați un triunghi din placaj, găsiți mijlocul acestuia și plasați acest punct pe vârful acului, atunci în mod ideal o astfel de cifră se va echilibra și nu va cădea. Geometria elementară poartă multe astfel de „secrete” interesante, a căror cunoaștere ajută la înțelegerea armoniei lumii înconjurătoare și a naturii lucrurilor mai complexe.

1 Construcție suplimentară care duce la teorema pe dreapta mediană a unui triunghi, trapez și proprietăți de asemănare a triunghiurilor.

Si ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Corolarul 1.
Corolarul 2.

Din aceasta este clar că

1 Toate triunghiurile dreptunghiulare cu același unghi ascuțit sunt similare. O privire asupra funcțiilor trigonometrice.

Triunghiurile cu laturile hașurate și nehașurate sunt similare în ceea ce privește egalitatea a două unghiuri. Deci de unde vine

Aceasta înseamnă că aceste relații depind doar de unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic și, de fapt, îl determină. Acesta este unul dintre motivele apariției funcțiilor trigonometrice:

Adesea, scrierea funcțiilor trigonometrice ale unui unghi în triunghiuri dreptunghiulare similare este mai clară decât scrierea rapoartelor de similitudine!

Să coborâm înălțimea CH până la ipotenuza AB. Avem trei triunghiuri similare ABC, AHC și CHB. Să scriem expresii pentru funcțiile trigonometrice:

Din aceasta este clar că ... Însumând, obținem teorema lui Pitagora, deoarece:

Pentru o altă demonstrație a teoremei lui Pitagora, vezi comentariul la problema 4.
3 Un exemplu important de construcție suplimentară este construcția unui unghi egal cu unul dintre colțurile unui triunghi.

Desenați un segment de dreaptă din vârful unghiului drept, făcând un unghi cu cateta CA egal cu unghiul CAB al triunghiului dreptunghic ABC dat. Ca rezultat, obținem un triunghi isoscel ACM cu colțuri la bază. Dar și celălalt triunghi rezultat dintr-o astfel de construcție va fi isoscel, deoarece fiecare dintre unghiurile sale de la bază este egal (prin proprietatea unghiurilor unui triunghi dreptunghic și prin construcție - unghiul a fost „scăzut” din dreapta unghi). Deoarece triunghiurile BMC și AMC sunt isoscele cu o latură comună MC, avem egalitatea MB = MA = MC, adică. MC - mediana trasată la ipotenuza unui triunghi dreptunghic, si ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Corolarul 1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este centrul unui cerc circumscris acestui triunghi, deoarece se dovedește că punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de vârfurile triunghiului dreptunghic.
Corolarul 2. Linia de mijloc a unui triunghi dreptunghic, care leagă mijlocul ipotenuzei și mijlocul catetei, este paralelă cu catetul opus și este egală cu jumătatea acestuia.

În triunghiurile isoscele BMC și AMC, coborâm înălțimile MH și MG până la baze. Deoarece într-un triunghi isoscel, înălțimea coborâtă până la bază este și mediana (și bisectoarea), MH și MG sunt liniile unui triunghi dreptunghic care leagă mijlocul ipotenuzei cu punctele medii ale catetelor. Prin construcție, ele se dovedesc a fi paralele cu picioarele opuse și egale cu jumătățile lor, deoarece triunghiurile sunt egale cu MHC și MGC sunt egale (mai mult, MHCG este un dreptunghi). Acest rezultat stă la baza demonstrării teoremei pe linia mediană a unui triunghi arbitrar și, în continuare, a liniei mediane a unui trapez și a proprietății de proporționalitate a segmentelor tăiate de drepte paralele pe două drepte care le intersectează.

Sarcini
Folosind proprietăți de similitudine -1
Utilizarea proprietăților de bază - 2
Utilizarea construcției suplimentare 3-4

1 2 3 4

Înălțimea căzută de la vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este egală cu rădăcina pătrată a lungimii segmentelor în care împarte ipotenuza.

Soluția pare evidentă dacă cunoașteți derivarea teoremei lui Pitagora din asemănarea triunghiurilor:

\ (\ mathrm (tg) \ beta = \ frac (h) (c_1) = \ frac (c_2) (h) \),
de unde \ (h ^ 2 = c_1c_2 \).

Găsiți locul punctelor (GMT) de intersecție a medianelor tuturor triunghiurilor dreptunghic posibile, a căror ipotenuză AB este fixă.

Punctul de intersecție al medianelor oricărui triunghi separă o treime din mediană, numărând din punctul de intersecție cu latura corespunzătoare. Într-un triunghi dreptunghic, mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză. Prin urmare, GMT-ul dorit este un cerc de rază egal cu 1/6 din lungimea ipotenuzei, centrat în mijlocul acestei ipotenuze (fixe).

Linia de mijloc a unui triunghi este un segment de linie care leagă punctele medii ale celor 2 laturi ale sale. În consecință, fiecare triunghi are trei linii de mijloc. Cunoscând calitatea liniei mediane, precum și lungimile laturilor triunghiului și unghiurile acestuia, este posibil să se determine lungimea liniei mediane.

Vei avea nevoie

• Laturile unui triunghi, colțurile unui triunghi

Instrucțiuni

1. Fie într-un triunghi ABC MN linia mediană care leagă punctele medii ale laturilor AB (punctul M) și AC (punctul N). Prin proprietate, linia mediană a triunghiului care leagă punctele mijlocii a două laturi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea sa. Aceasta înseamnă că linia de mijloc MN va fi paralelă cu latura BC și egală cu BC / 2. Prin urmare, pentru a determina lungimea liniei centrale a unui triunghi, este suficient să cunoaștem lungimea laturii acestei a treia laturi. .

2. Să fie cunoscute acum laturile, ale căror puncte medii sunt conectate prin linia de mijloc MN, adică AB și AC, precum și unghiul BAC dintre ele. Deoarece MN este linia de mijloc, atunci AM = AB / 2 și AN = AC / 2, atunci după teorema cosinusului este obiectiv: MN ^ 2 = (AM ^ 2) + (AN ^ 2) -2 * AM * AN * cos (BAC) = (AB ^ 2/4) + (AC ^ 2/4) -AB * AC * cos (BAC) / 2. Fromsell, MN = sqrt ((AB ^ 2/4) + (AC ^ 2/4) -AB * AC * cos (BAC) / 2).

3. Dacă laturile AB și AC sunt celebre, atunci linia de mijloc MN poate fi găsită, cunoscând unghiul ABC sau ACB. Să zicem, colțul ABC este celebru. Deoarece MN este paralel cu BC prin proprietatea dreptei din mijloc, unghiurile ABC și AMN sunt corespunzătoare și, prin urmare, ABC = AMN. Apoi, prin teorema cosinusului: AN ^ 2 = AC ^ 2/4 = (AM ^ 2) + (MN ^ 2) -2 * AM * MN * cos (AMN). În consecință, latura MN poate fi găsită din ecuația pătratică (MN ^ 2) -AB * MN * cos (ABC) - (AC ^ 2/4) = 0.

Sfat 2: Cum să găsiți latura unui triunghi pătrat

Un triunghi pătrat este mai corect numit triunghi dreptunghic. Relația dintre laturile și unghiurile acestei figuri geometrice este discutată în detaliu în disciplina matematică a trigonometriei.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - un stilou;
• - mese Bradis;
• - calculator.

Instrucțiuni

1. Descoperi latură dreptunghiular triunghi cu sprijinul teoremei lui Pitagora. Conform acestei teoreme, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: c2 = a2 + b2, unde c este ipotenuza triunghi, a și b sunt picioarele lui. Pentru a aplica această ecuație, trebuie să cunoașteți lungimea oricăror 2 laturi ale unui dreptunghi triunghi .

2. Dacă dimensiunea catetelor este specificată în funcție de condiții, găsiți lungimea ipotenuzei. Pentru a face acest lucru, cu ajutorul unui calculator, extrageți rădăcina pătrată a sumei catetelor, fiecare dintre acestea fiind pătrat în avans.

3. Calculați lungimea unuia dintre catete dacă sunt cunoscute dimensiunile ipotenuzei și ale celuilalt catete. Folosind un calculator, extrageți rădăcina pătrată a diferenței dintre ipotenuză pătrat și catetul cunoscut, de asemenea, pătrat.

4. Dacă problema conține ipotenuza și unul dintre colțurile ascuțite adiacente, utilizați tabelele Bradis. Ele dau valorile funcțiilor trigonometrice pentru un număr mare de unghiuri. Utilizați un calculator cu funcții sinus și cosinus și teoreme de trigonometrie care descriu relația dintre laturile și unghiurile unui dreptunghi. triunghi .

5. Găsiți catetele folosind funcțiile trigonometrice de bază: a = c * sin?, B = c * cos?, Unde a este catetul opus colțului ?, b este piciorul adiacent colțului ?. Calculați dimensiunea laturilor în același mod. triunghi, dacă se dau ipotenuza și un alt unghi ascuțit: b = c * sin?, a = c * cos?, unde b este catetul opus colțului?, iar catetul este adiacent colțului ?.

6. În cazul în care purtăm catetul a și un unghi ascuțit adiacent acestuia, nu uitați că într-un triunghi dreptunghic suma unghiurilor ascuțite este invariabil egală cu 90 °: +? = 90 °. Aflați valoarea unghiului opus catetului a:? = 90 ° -?. Sau folosiți formulele de reducere trigonometrice: sin? = sin (90 ° -?) = cos?; tg? = tg (90 ° -?) = ctg? = 1/tg?.

7. Dacă avem un catet a și un unghi ascuțit opus acestuia, folosind tabele Bradis, un calculator și funcții trigonometrice, calculați ipotenuza folosind formula: c = a * sin?, Cat: b = a * tg?.

Videoclipuri similare