Апории зенона. Парадоксы зенона элейского - описание, значение и интересные факты Элейский мыслитель автор знаменитых апорий

И др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. ), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось .

Философия элеатов

Элейская философская школа (элеаты) существовала в период с конца VI века до н. э. до первой половины V века до н. э., родоначальником её считается Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учение о бытии. Парменид изложил свои философские взгляды в поэме, от которой до нас дошли отдельные фрагменты .

Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной ошибочно . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Мышление, говорилось в поэме Парменида, по своему содержанию тождественно предмету мышления («одно и то же - мышление и то, о чём мысль»). Далее Парменид логически выводит характеристики истинно сущего: оно «не возникло, не уничтожимо, целокупно [не имеет частей] , единственно, неподвижно и нескончаемо [во времени]».

Познание этого целостного мира возможно только путём разумных (логических) рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . С этих же позиций элеаты впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Как следствие, наблюдаемое движение из непрерывного становится скачкообразным. Александр Афродисийский , комментатор Аристотеля, так изложил взгляды сторонников Эпикура: «Утверждая, что и пространство, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении пространства, состоящего из неделимых частей, а на каждой из входящих в него неделимых частей движения нет, а есть только результат движения» . Подобный подход сразу обесценивает парадоксы Зенона, так как убирает оттуда все бесконечности.

Обсуждение в Новое время

Полемика вокруг зеноновских апорий продолжилась и в Новое время. До XVII века интерес к апориям не отмечается, и их аристотелевская оценка являлась общепринятой. Первое серьёзное исследование предпринял французский мыслитель Пьер Бейль , автор известного «Исторического и критического словаря» (). В статье о Зеноне Бейль подверг критике позицию Аристотеля и пришёл к выводу, что Зенон прав: понятия времени, протяжённости и движения связаны с трудностями, непреодолимыми для человеческого ума .

Сходные с апориями темы затронуты в антиномиях Канта . Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) . Гегель оценил Зенона как «отца диалектики» не только в античном, но и в гегелевском смысле слова диалектика . Он отметил, что Зенон различает чувственно воспринимаемое и мыслимое движение. Последнее, в соответствии со своей философией, Гегель описал как сочетание и конфликт противоположностей, как диалектику понятий . Гегель не даёт ответа на вопрос, насколько этот анализ приложим к реальному движению, ограничившись выводом: «Зенон осознал определения, содержащиеся в наших представлениях о пространстве и времени, и обнаружил заключающиеся в них противоречия»

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них :

и многие другие.

Современная трактовка

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями - ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий . О проблеме адекватности реального движения и его математической модели см. следующий раздел данной статьи.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения . С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой : «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкие точки зрения можно найти у Анри Бергсона и у Николя Бурбаки . Согласно Анри Бергсону :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Бергсон полагал, что есть принципиальная разница между движением и пройденным расстоянием. Пройденное расстояние можно произвольно делить, между тем как движение произвольному делению не поддаётся. Каждый шаг Ахиллеса и каждый шаг черепахи должны рассматриваться как неделимые. Это же относится и к полёту стрелы:

Истина заключается в том, что если стрела выходит из точки А и попадает в точку В, то её движение АВ так же просто, так же неразложимо - поскольку это есть движение, - как напряжение пускающего её лука.
- Бергсон А. Творческая эволюция. Глава четвёртая. Кинематографический механизм мышления и механистическая иллюзия. Взгляд на историю систем, реальное становление и ложный эволюционизм

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным , то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Ричард Фейнман заявил :

Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что [в квантовой механике] она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны.

Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы - в частности, в связи с проектами единой теории поля , - однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садэо Сирайси .

«Математический энциклопедический словарь » считает, что сущность апорий достаточно глубока, и рассматривает разные пути решения проблемы :

Можно оспаривать удобство или адекватность реальному движению общеупотребительной математической модели. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры.

Следующий раздел данной статьи содержит более подробное изложение этой темы.

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем . Математической основой теории служит математический анализ , первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется понятие предела . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Д’Аламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физики удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика , показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Другие апории Зенона

Вышеприведённые (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, то есть в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории «Стрела».

По другим интерпретациям, идея этой апории аналогична парадоксу Галилея или «колесу Аристотеля» : бесконечное множество может быть равномощно своей части .

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Сходные вопросы обсуждаются в диалоге Платона «Парменид» , где Зенон и Парменид обстоятельно разъясняют свою позицию. На современном языке данное рассуждение Зенона означает , что множественное бытие не может быть актуально бесконечно и поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX -XX веков антиномии теории множеств , особенно парадокс Кантора : с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и своё предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Более подробно эти же аргументы присутствуют в комментариях Филопона . Также аналогичные рассуждения Зенона цитирует и критикует Аристотель в своей «Метафизике» :

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает её больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

В изложении Аристотеля апория утверждает: если всё существующее помещается в известном пространстве (месте , греч. топос ), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность . Аристотель замечает на это, что место не есть вещь и не нуждается в собственном месте. Данная апория допускает расширенное толкование, поскольку элеаты не признавали пространство отдельно от тел, в нём расположенных, то есть отождествляли материю и пространство, ею занимаемое . Хотя Аристотель и отвергает рассуждение Зенона, но в своей «Физике» он приходит по существу к тому же выводу, что и элеаты: место существует лишь относительно тел, в нём находящихся. При этом Аристотель обходит молчанием естественный вопрос, как происходит изменение места при движении тела .

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча »: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

«Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории - это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного» . Чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности у Аристотеля - во многом результат осмысления зеноновских апорий. Другие исторические заслуги элейских парадоксов:

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ , теория множеств , новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» - это сторонник Зенона (комментатор Элиас, как сказано выше, приписывал аргументацию самому Зенону ), а его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (оба они жили существенно позднее Зенона, так что с ним самим спорить не могли). Одна из версий анекдота, упоминаемая Гегелем , сообщает, что когда элеат признал аргумент Диогена убедительным, Диоген побил его палкой за чрезмерное доверие к очевидности .

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса . Парадоксальная ситуация, описанная в ней, нашла также отражение в различных юмористических произведениях . Такэси Китано в 2008 году снял фильм «Ахиллес и черепаха» .

См. также

Примечания

, с. 90.
, часть 14.
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ.
, с. 15-16.
, с. 116-118.
Ивин А. А. По законам логики . - М. : Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Рожанский И. Д. Античная наука. - М. : Наука, 1980. - С. 52. - 198 с. - (История науки и техники).
Большая советская энциклопедия // Апория .
Парменид / А. В. Лебедев // Новая философская энциклопедия В. С. Стёпин Мысль , 2010. - 2816 с.
Элейская школа / А. В. Лебедев // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин . - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Мысль , 2010. - 2816 с.
Рожанский И. Д. Ранняя греческая философия // Фрагменты ранних греческих философов
, часть 16.
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М. : Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия. - М. : Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0 .
, часть 15.
Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
, с. 50-52.
Диоген Лаэртский. Жизнь, учения и изречения знаменитых философов, глава «Пифагор» .
, с. 18-20.
, с. 21.
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30.
, с. 38.
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35.
, с. 35-41.
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М. : Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition (неопр.) . The Review of Metaphysics . Архивировано 28 августа 2011 года.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М. , 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд. - М. : МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6 .
, с. 93.
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М. : Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7 .
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М. : Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul. Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument (неопр.) // Philosophy of Science. - Belgium, 1987. - Т. 54 . - С. 295-302 .
Фейнман Р. Характер физических законов. - Изд. 2-е. - М. : Наука, 1987. - С. 152-153. - 160 с. - (Библ. Квант, выпуск 62).
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М. : Мир, 1984. - С. 401-402.
Драгалин А. Г. Антиномия // Математический энциклопедический словарь. - М. : Советская энциклопедия, 1988. - С. 73-75. - 847 с.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М. : Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума (неопр.) . Дата обращения 10 января 2011. Архивировано 14 августа 2011 года.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Дата обращения 30 декабря 2010. Архивировано 14 августа 2011 года.
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий (неопр.) . Дата обращения 30 апреля 2010.

» и другие апории Зенона о движении, которые обсуждаются более двух тысячелетий, им посвящены сотни исследований. Платон в «Пармениде» их не упоминает, поэтому В. Я. Комарова предполагает, что парадоксы движения были написаны Зеноном позднее других .

Ошибочно воспринимать эти рассуждения как софизмы или полагать, что с появлением высшей математики все апории разрешены . Бертран Рассел писал, что апории Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства , времени и бесконечности , предлагавшихся с его времени до наших дней» . «Проблематика аргументов Зенона далеко выходит за пределы конкретной исторической ситуации, обусловившей их появление. Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература; особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств » . Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль непрерывного и дискретного (прерывного) в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. список литературы), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось .

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Близкие точки зрения можно найти у Анри Бергсона и у Николя Бурбаки . Согласно Анри Бергсону :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Истина заключается в том, что если стрела выходит из точки А и попадает в точку В, то её движение АВ так же просто, так же неразложимо - поскольку это есть движение, - как напряжение пускающего её лука.

Бергсон А. Творческая эволюция. Глава четвёртая. Кинематографический механизм мышления и механистическая иллюзия. Взгляд на историю систем, реальное становление и ложный эволюционизм

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что [в квантовой механике] она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны.

Можно оспаривать удобство или адекватность реальному движению общеупотребительной математической модели. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры.

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, то есть в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории «Стрела».

И поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл , еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел ; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени . Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее.

Зенон Элейский

(др.-греч. Ζηνων ο Ελεατης) (ок. 490 до н. э. - ок. 430 до н. э.), древнегреческий философ, ученик Парменида. Знаменит своими апориями, которыми он доказывал немыслимость движения, пространства и множества. Научные дискуссии, вызванные этими парадоксальными рассуждениями, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время.

Нашей целью будет не реконструкция зеноновских аргументов, а стремление понять с точки зрения современной науки, на какие реальные трудности в анализе движения указал Зенон Элейский. Именно указал, поскольку о попытке приписать непосредственно Зенону современную постановку проблем движения не может быть и речи. Кстати говоря, эта постановка в логико-философской литературе не отличается единством. Нередко ответственность за парадоксы движения возлагается на неточность и размытость используемых понятий. Уточним понятия – парадоксы исчезнут. Мы с этим не согласны. Апории Зенона касаются самих основ человеческого миропонимания. Они требуют не просто уточнения понятий, а выбора философской платформы объяснения реальности. Поскольку дело построения таких платформ не может быть завершено, пока существует мыслящий разум, на выборе одной из них лежит печать неизбежной исторической ограниченности. Сказанное, разумеется, в полной мере относится и к построениям в данной статье. Но сегодня, несомненно, мы понимаем и знаем больше, чем два с половиной тысячелетия назад, а завтра, возможно, удастся продвинуться вперед еще дальше.

Начнем рассмотрение зеноновских затруднений с апорий о движении.

Ахилл и черепаха

Ахилл – герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху – ½. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи. Тогда, пробежав расстояние ½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.

Знающие математический анализ обычно указывают, что ряд

сходится к 1. Поэтому, дескать, Ахилл преодолеет весь путь за конечный промежуток времени и, безусловно, обгонит черепаху. Но вот что пишут по данному поводу Д. Гильберт и П. Бернайс:

“Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться” .

Принципиальная незавершаемость данной последовательности заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем указать и следующий за ним. Интересное замечание, также указывающее на парадоксальность ситуации, встречаем у Г. Вейля:

“Представим себе вычислительную машину, которая выполняла бы первую операцию за ½ минуты, вторую – за ¼ минуты, третью – за ⅛ минуты и т. д. Такая машина могла бы к концу первой минуты “пересчитать” весь натуральный ряд (написать, например, счетное число единиц). Ясно, что работа над конструкцией такой машины обречена на неудачу. Так почему же тело, вышедшее из точки А, достигает конца отрезка В, “отсчитав” счетное множество точек А1, А2,…, Аn,…?”

Древние греки тем более не могли себе представить завершенную бесконечную совокупность. Поэтому вывод Зенона о том, что движение из-за необходимости “пересчитать” бесконечное число точек не может закончиться, еще тогда произвел большое впечатление. На схожих аргументах основывается апория о невозможности начать движение.

Дихотомия

Рассуждения очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь, движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть эту половину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности. Иными словами, при тех же условиях, что и в предыдущем случае, мы будем иметь дело с перевернутым рядом точек: (½)n,…, (½)3, (½)2, (½)1. Если в случае апории Ахилл и черепаха соответствующий ряд не имел последней точки, то в Дихотомии этот ряд не имеет первой точки. Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А поскольку движение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет. Существует легенда, о которой вспоминает А. С. Пушкин в стихотворении «Движение»:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

Действительно, согласно легенде, один из философов так и “возразил” Зенону. Зенон велел бить его палками: ведь он не собирался отрицать чувственное восприятие движения. Он говорил о его немыслимости, о том, что строгое размышление о движении приводит к неразрешимым противоречиям. Поэтому, если мы хотим избавиться от апорий в надежде, что это вообще возможно (а Зенон как раз считал, что невозможно), то мы должны прибегать к теоретическим аргументам, а не ссылаться на чувственную очевидность. Рассмотрим одно любопытное теоретическое возражение, которое было выдвинуто против апории Ахилл и черепаха.

“Представим себе, что по дороге в одном направлении движутся быстроногий Ахилл и две черепахи, из которых Черепаха-1 несколько ближе к Ахиллу, чем Черепаха-2. Чтобы показать, что Ахилл не сможет перегнать Черепаху-1, рассуждаем следующим образом. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, Черепаха-1 успеет уползти несколько вперед, пока Ахилл будет пробегать этот новый отрезок, она опять-таки продвинется дальше, и такое положение будет бесконечно повторяться. Ахилл будет все ближе и ближе приближаться к Черепахе-1, но никогда не сможет ее перегнать. Такой вывод, конечно же, противоречит нашему опыту, но логического противоречия у нас пока нет.

Пусть, однако, Ахилл примется догонять более дальнюю Черепаху-2, не обращая никакого внимания на ближнюю. Тот же способ рассуждения позволяет утверждать, что Ахилл сумеет вплотную приблизиться к Черепахе-2, но это означает, что он перегонит Черепаху-1. Теперь мы приходим уже к логическому противоречию” .

Здесь трудно что-либо возразить, если оставаться в плену образных представлений. Необходимо выявить формальную суть дела, что позволит перевести дискуссию в русло строгих рассуждений. Как нам кажется, первая апория сводится к следующим трем утверждениям:

(1) Любой отрезок можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков … .

(2) Поскольку бесконечная последовательность аi (1 ≤ i ‹ ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение побывав в каждой из точке этой последовательности.

Проиллюстрировать полученный вывод можно по-разному. Наиболее известная иллюстрация – “самое быстрое никогда не сможет догнать самое медленное” – была рассмотрена выше. Но можно предложить более радикальную картину, в которой обливающийся потом Ахилл (вышедший из пункта А) безуспешно пытается настичь черепаху, преспокойно греющуюся на Солнце (в пункте В) и даже не думающую убегать. Суть апории от этого не меняется. Иллюстрацией тогда станет куда более острое высказывание – “самое быстрое никогда не сможет догнать неподвижное”. Если первая иллюстрация парадоксальна, то вторая – тем паче.

При этом нигде не утверждается, что убывающие последовательности отрезков ai для и ai" для должны быть одинаковы. Напротив, если отрезки и неравны по длине между собой, их разбиения на бесконечные последовательности убывающих отрезков окажутся различными. В приведенном рассуждении Ахилла отделяет от черепах 1 и 2 разные расстояния. Поэтому мы имеем два различных отрезка и с общей начальной точкой А. Неравные отрезки и порождают различные бесконечные последовательности точек, и недопустимо использовать одну из них вместо другой. Между тем именно эта незаконная операция применяется в аргументах о двух черепахам.

Если не смешивать иллюстрации и существо апории, то можно утверждать, на наш взгляд, что апории Ахилл и Дихотомия симметричны по отношению к друг другу. В самом деле, Дихотомия также водится к следующим трем утверждениям:

(0) Каков бы ни был отрезок , движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка .

(1) Любой отрезок можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков … … .

(2) Поскольку бесконечная последовательность bi не имеет первой точки, невозможно побывать в каждой из точек этой последовательности.

Таким образом, апория Ахилл основывается на тезисе о невозможности завершить движение из-за необходимости посетить последовательно каждую из точек бесконечного ряда, упорядоченного по типу ω (т. е. по типу порядка на натуральных числах), который не имеет последнего элемента. В свою очередь Дихотомия утверждает невозможность начала движения из-за наличия бесконечного ряда точек, упорядоченных по типу ω* (так упорядочены целые отрицательные числа), который не имеет первого элемента.

Проанализировав более тщательно две приведенные апории, мы обнаружим, что обе они опираются на допущение о непрерывности пространства и времени в смысле их бесконечной делимости. Такое допущение непрерывности отличается от современного, но имело место в древности. Без допущения тезиса о том, что любой пространственный или временной интервал можно разделить на меньшие по длине интервалы, обе апории рушатся. Зенон прекрасно это понимал. Поэтому он приводит аргумент, исходящий из принятия допущения о дискретности пространства и времени, т. е. допущения о существовании элементарных, далее неделимых, длин и времен.

Итак, допустим существование неделимых отрезков пространства и интервалов времени. Рассмотрим следующую схему, на которой каждая клетка таблицы представляет неделимый блок пространства. Имеется три ряда объектов А, В и С, занимающих по три блока пространства, причем первый ряд остается неподвижным, а ряды В и С начинают одновременное движение в направлении, указанном стрелками:

Ряд С, утверждает Зенон, за неделимым момент времени прошел одно неделимое место неподвижного ряда А (место А1). Однако за то же самое время ряд С прошел два места ряда В (блоки В2 и В3). Согласно Зенону, это противоречиво, т. к. должен был встретиться момент прохождения блока В2, изображенный на следующей схеме:

Но где в это промежуточное положение находился ряд А? Для него просто не остается соответствующего места. Остается либо признать, что движения нет, либо согласиться с тем, что ряд А делим не на три, а на большее количество мест. Но в последнем случае мы вновь возвращаемся к допущению о бесконечной делимости пространства и времени, снова попадая в тупик апорий Дихотомия и Ахилл. При любом исходе движение оказывается невозможным. Известный английский физик-космолог и философ Дж. Уитроу следующим образом прокомментировал сложившуюся ситуацию:

Апория Стадий, “несмотря на все ее остроумие, решается довольно просто, т. к., если пространство и время состоят из дискретных единиц, в этом случае относительные движения должны быть таковы, что переходы типа 0 → 1 – АА могут случаться в последующие моменты. Отрицание Зеноном этой возможности основывается не на логическом законе, а просто на ошибочной апелляции к “здравому смыслу”, т. к. в действительности он молчаливо предполагает постулат непрерывности, который несовместим с гипотезой, принятой в начале рассуждения. Как это ни странно, но если мы примем такие гипотезы, то движение будет представлять собой прерывную последовательность различных конфигураций, как в кинофильме, и ни в какой момент времени не будут существовать промежуточные конфигурации. Переход электрона с одной орбиты на другую рассматривается в элементарной теории атома Бора именно как переход такого типа” .

Мы считаем, что сказанное Уитроу верно. Промежуточное положение (0/1) с логической точки зрения вовсе не обязано наличествовать в какой-то момент времени, поскольку предположение о его отсутствии непротиворечиво. Другой вопрос, что наши привычные представления о движении, опирающиеся интуицию непрерывности, оказываются неадекватными в дискретном случае. В этом отличие дискретной ситуации от ситуации с бесконечной делимостью пространственных и временных интервалов. Утверждение, что ряд ½1, ½2, ½3,…, ½n завершится, логически противоречиво, если n не ограничено. Аналогичным образом, необычная вычислительная машина Германа Вейля никогда не сможет завершить вычисления в какой-то момент времени из-за неограниченного числа шагов процесса пересчета множества натуральных чисел. Можно, используя понятие предела, просуммировать упомянутый ряд и получить единицу, или, вводя трансфинитные числа, допустить выполнение в ходе вычислений количества шагов, равного первому бесконечному числу ω. Такие построения уже будут непротиворечивыми. Но они обладают существенным, на наш взгляд, изъяном.

Осмысливая принципы, лежащие в основе теории множеств (которая может, как известно, рассматриваться в качестве фундамента современной математики), Дж. Р. Шенфилд указывает на “следующий фундаментальный вопрос: если дана совокупность S шагов, то существует ли шаг, следующий за каждым шагом из S?” Рассматривая случаи, когда S состоит из единственного шага или из бесконечной последовательности шагов Sn, Si,…, он отвечает на поставленный вопрос утвердительно: “В первых двух случаях мы отчетливо можем представить себе ситуацию, когда все шаги из S уже осуществлены” . Применим эти рассуждения к апории Ахилл. Ряд ½1, ½2, ½3,…, ½n,… не может быть завершен, т. к. у него отсутствует последний элемент. Но представим себе, что Ахилл уже побывал в каждой из точек, которая следует за всеми точками бесконечного ряда и является концом пути. Движение, таким образом, завершено. Проблема, однако, в том и заключается, каким образом получилось так, что Ахилл побывал во всех точках не имеющего конца ряда ½1, ½2, ½3,…, ½n,…? Если уже “дано”, то и говорить не о чем – апория разрешается, фактически, путем постулирования наличия решения.

Логически все это непротиворечиво (вопреки мнению самого Зенона). Но здесь процесс движения, содержащий, по условию задачи, бесконечное число шагов, сводится, по сути, к трем шагам: на шаге 1 вводится ряд точек ½1, ½2, ½3,…, ½n,…, на шаге 2 постулируется, что Ахилл побывал в каждой из этих точек, а на шаге 3 делается вывод о завершении движения в конечной точке, не принадлежащей рассматриваемому ряду. В результате как бы “пересчитан” ряд, упорядоченный по типу ω+1. По видимости речь идет о бесконечном по числу шагов процессе, тогда как на деле процесс при таком подходе завершается за три шага. Сказанное приобретает бóльшую наглядность, если обратиться к симметричной ситуации с апорией Дихотомия. Здесь вначале движущееся тело поместим в точке старта. Затем добавим к имеющейся точке старта совокупность точек, упорядоченный по типу ω*, получив тем самым линейный порядок типа 1+ω*, и, на последнем шаге, постулируем, что тело побывало в каждой из точек ряда ω*. Значит, движение успешно началось, хотя между точкой старта и любой из последующих точек лежит бесконечное множество промежуточных точек. Снова перед нами процесс из трех шагов, и снова вопрос о принципиальной возможности пересчета бесконечного порядкового типа 1+ω* обходится путем постулирования преодоления бесконечности за один шаг.

Легко представить себе совокупности, упорядоченные по типам ω+1 и 1+ω*, в качестве данностей. Но вообразить процесс пошагового получения этих совокупностей элемент за элементом, в соответствии с порядком на них, логически невозможно. Неизбежно на каком-то шаге либо а) будет нарушен порядок прохождения элементов (наряду с движениями от предыдущих точек к последующим придется вводить скачки от последующих точек к предыдущим), либо б) потребуется постулировать переход не от элемента к элементу, а от совокупности элементов к элементу или наоборот. Первая альтернатива ускользнула от внимания исследователей и потому требует особого разбора, который будет проведен в дальнейшем.

Что касается второй альтернативы, то именно она реализуется в рассмотренных псевдорешениях парадоксов движения. Между тем, в апориях Зенона движение понимается как переход от точки к точке, но ни в коем случае не как переход от совокупности точек к точке или обратно. Проблема в том, можно ли, двигаясь от одной точки пути к другой, завершить движение, и в том, можно ли, попав в какую-то точку, найти другую точку, куда нужно попасть на следующем шаге, что необходимо для начала процесса движения. Если же вместо переходов от точки к точке в процессе движения нам рекомендуют переходить от множества точек к отдельным точкам или от отдельных точек к множествам точек, то поставленная проблема подменяется другими. Кроме того, если в процессе движения мы должны посетить бесконечное количество точек, то и сам этот процесс неизбежно оказывается содержащим бесконечное число шагов. Как было показано, переходы от совокупностей точек к точкам и обратно могут совершаться за конечную последовательность шагов. Просто на одном из этих шагов обязательно будет использована бесконечная совокупность точек, введенная как актуальная данность, но не полученная в процессе поэтапного конструирования структура. В этом и заключается изъян предлагаемого разрешения апорий.

Летящая стрела

Получается в итоге, что трудности, связанные с апориями Ахилл и Дихотомия, остались не преодоленными. Другое дело апория Стадий, которая оставляет надежду на положительное разрешение проблемы движения в дискретном случае. Однако у Зенона есть апория против движения, которая вообще не связана ни с трудностями оперирования с бесконечностью, ни с вопросом о непрерывности или дискретности пространства и времени. Это апория Летящая стрела. Формулируется она очень просто. В каждый момент полета стрела занимает определенное место и покоится в нем. В противном случае придется допустить, что за мгновение стрела способна изменить свое местоположение, что нелепо. Следовательно, движение стрелы есть сумма состояний покоя, т. е. стрела не движется.

Суть затруднения в том, что, согласно Зенону, движение тела означает изменение его местоположения. За мгновение времени никаких изменений в местоположении тел произойти не может. Но поскольку время слагается из мгновений, в каждой из которых все тела покоятся, движения нет. Отметим, что это рассуждение нельзя опровергнуть ссылкой на то, что движущееся тело обладает отличной от нуля мгновенной скоростью, как это иногда думают. Действительно, рассмотрим следующий рисунок. Видно, что более высокая скорость бега Ахилла по сравнению с черепахой отражена меньшим углом наклона графика его бега к оси S. Угол наклона графика связан, как известно, с мгновенной скоростью, значение которой определяется тангенсом угла касательной к графику функции. Однако все это не отменяет того факта, что в любой момент времени t Ахилл и черепаха находятся в строго определенных точках пути. В этих точках они вполне неподвижны. Вся картина их взаимного расположения во времени и пространстве дана сразу, целиком. И ничто в этой картине не движется, вся она складывается из состояний покоя в каждой точке графиков.

Рассмотренное представление движения имеет статический характер. Оно полностью подобно изображению движения при помощи кинематографии. Как известно, изображение движения на киноленте складывается из отдельных кадров, на которых все неподвижно. Но если прокрутить эту ленту со скоростью 24 кадра в секунду, возникает иллюзия движения. Теперь представим себе, что количество кадров ленты несчетно, и что все они упорядочены так же, как и действительные числа, в результате чего каждому моменту времени соответствует один кадр. В итоге мы получим как раз ту картину движения, которая сводит его к сумме состояний покоя (отдельных кадров), расположенных непрерывным образом (в отличие от реальных кинолент). Но именно так и описывается движение в современной физике. Выдающиеся ученые чувствовали это. Например, такой тонкий аналитик, как Б. Рассел, фактически прямо признал то, что Зенон отрицал в качестве парадокса: “… мы живем в неизменном мире и… стрела в каждый момент своего полета фактически покоится” , однако, согласно Расселу, данное обстоятельство не мешает признавать наличие движений и изменений в том смысле, что в разные моменты времени мир находится в разных состояниях.

А. Грюнбаум в ответ на это возразил, что кадры киноленты существуют одновременно, и потому те, кто обвиняет современную физику в уподоблении мира киноленте, приписывают ей абсурдное положение о том, что все события одновременны. Хотя некоторые авторы давали повод для таких упреков, в целом выставленное возражение ошибочно. Мы имеем дело с тропом, который можно назвать кинематографической метафорой, так что о буквальном отождествлении мира и реальных кинолент речь, конечно, не идет. В рамках кинематографической метафоры отдельный кадр соответствует состоянию мира в определенный момент времени, так что разные кадры представляют разные мгновения времени, в полном согласии с физикой. И когда оппоненты А. Грюнбаума говорят о сосуществовании последовательных моментов времени в статической картине мира, то термин “сосуществовать” можно использовать в безвременнóм смысле. Рассмотрим словосочетания “совокупность событий 1997 года” и “совокупность событий 9997 года”. С точки зрения статики обе упомянутые совокупности не меняются. Они существуют в неизменном виде независимо от всяких ссылок на момент “теперь” или “сейчас” или на какие-либо другие временные интервалы, что и позволяет говорить о них как сосуществующих в безвременном смысле, подобном тому, в каком мы говорим о совокупностях предметов, изображенных на кадрах с номерами 1997 и 9997. Только в отличие от реальных кинолент, нельзя утверждать, что “кадры” “совокупность событий 1997 года” и “совокупность событий 9997 года” существуют одновременно. Однако это не означает, что фраза “Существуют события 1997 года и существуют события 9997 года” лишилась смысла. Напротив, в статической концепции времени она вполне осмыслена. Но это все, что требуется для утверждения совместного сосуществования разновременных совокупностей событий.

Разумеется, раздавались голоса против такого статического подхода к описанию времени и движения в современной науке. Одним из критиков был философ-интуитивист А. Бергсон. Он настаивал на том, что необходимо различать описание результатов движения и описание движения как особого процесса или акта. По мнению Бергсона, наука в принципе не способна постичь движение как процесс или акт:

“… Если во времени механика постигает лишь одновременность, то в движении – только неподвижность.

Можно было бы предвидеть этот результат, если вспомнить, что механика по необходимости оперирует с уравнениями, а алгебраическое уравнение всегда выражает совершившийся факт. Между тем сама суть длительности и движения, какими они предстают нашему сознанию, заключается в процессе непрерывного становления; алгебра же может выражать в своих формулах результаты, полученные в определенный момент длительности, и положение, занимаемое в пространстве движущимся телом, но она не в состоянии выразить саму длительность и само движение” .

В случае движения мы “имеем дело не с вещью, но с процессом”, поэтому “в движении следует различать два элемента: пройденное пространство и действие, посредством которого тело проходит его”. Обращаться с этими элементами нужно по-разному. Например, “делить можно вещь, но не акт” . Зенон же, по мнению Бергсона, смешивает процесс движения, каждый акт которого неделим, с бесконечно делимым пространством.

“Почему Ахилл обгоняет черепаху? Потому, что каждый шаг Ахилла и каждый шаг черепахи в качестве движений неделимы, а в качестве пространства – суть различные величины, а значит, пространство, пройденное Ахиллом, будет больше, чем сумма расстояний, пройденного черепахой, и того, на которое она вначале его опередила. Зенон совершенно не принимает в расчет, что только пространство можно разлагать и вновь составлять, поэтому он, воссоздавая движение Ахилла по тому же закону, что и движения черепахи, смешивает пространство с движением” .

Здесь А. Бергсон не прав. Похоже, для Зенона было несомненным, что движение есть именно процесс. Ведь он говорит не о трудностях введения завершенных в своей данности отрезков пространства, а о немыслимости процесса их прохождения. Либо движение будет описано как процесс, как ряд последовательных операций или действий по осуществлению движения, либо придется признать, что любая попытка такого описания неминуемо ведет к противоречиям, что будет означать логическую невозможность движения. Согласно Пармениду и Зенону, неизбежна вторая альтернатива. Движения как процесса нет и быть не может. Со своей стороны, объявляя апории против движения софизмами, Бергсон не в состоянии предложить приемлемого их решения. Нельзя же считать таким решением наивную апелляцию к интуиции. Вместе с тем, в рассуждениях французского философа о коренном отличии статического представления о движении от процессуального заключено рациональное зерно.

Современная наука, особенно математика и физика, блестяще подтвердила философию элеатов, приняв статические представления о движении. Та картина движения, которую она дает, надо полагать, вполне бы удовлетворила как Парменида, так и Зенона с точки зрения отсутствия в ней процесса движения. Обгоняя черепаху, Ахилл не движется в том смысле, что не переходит из одного места в другое. Просто в один момент времени он находится в одном месте, в другой – в другом, подобно тому, как мчащийся по шоссе автомобиль на киноленте просто размещается в разных кадрах этой ленты. Произошла всего лишь смена терминологии при неизменном подходе, выдвинутом еще элеатами. Они вряд ли согласились бы считать уравнения и графики функций, показывающие, где находится движущееся тело в каждый момент времени, описанием движения. Такого рода аппарат способен зафиксировать наличный результат движения, но не объяснить, как тело переходит от одного места к другому. А раз нет актов перехода, нет и движения. Но можно отмахнуться от проблемы процессуальности движения, подменив ее статическим геометрическим представлением: вместо актов перехода взять графики соответствующих функций и назвать их описаниями движения тел.

Можно вообразить, что если бы элеатам предъявили современный взгляд на движение, сводящийся к тому, что в одни моменты времени тела находятся тут, а в другие там, то они вряд ли стали бы спорить с такой позицией. В сущности, именно это и утверждает Зенон в апории Летящая стрела. Стрела в разные мгновения полета находится в разных местах. Данное положение он и не думает оспаривать. Только если современная наука ставит здесь точку, считая, что тем самым философские проблемы описания движения исчерпаны и осталось лишь преодолеть технические трудности, элеаты идут дальше, требуя, если угодно, предъявления своего рода алгоритмов движения, а не геометрических функций или уравнений. Их вывод о невозможности движения основывается исключительно на неудачах попыток построения таких алгоритмов. Осталось вернуться к статической картине мира, в которой в разные моменты времени тела могут находиться в разных местах, но покоятся в каждом из них. Словно бы вняв призыву элеатов, современная наука послушно следует в русле заданной ими парадигмы. Единственное отличие состоит в том, что наука не согласилась считать движение чем-то бóльшим, чем нахождением в разные моменты времени в разных местах. Но поистине это бунт на коленях. Фактически, современная наука приняла выводы элеатов, забыв о том, откуда и как они были получены, изменив при этом терминологию и назвав движением то, что элеаты не могли позволить считать таковым.

Сходство прослеживается вплоть до забавных мелочей. Спросите современного космолога, как выглядит Вселенная с точки зрения внешнего наблюдателя? Распространенный ответ – Вселенная с точки зрения является четырехмерной гиперсферой конечных размеров. Подобно тому, как существо, двигающееся по сфере в одном направлении, возвращается в ту же точку, путешественник по нашей Вселенной, если он никуда не сворачивал, вернется снова на Землю, хотя все время удалялся от нее. Правда, промежуток времени будет очень большой. Так что не только центральный тезис элеатов об отсутствии движения находит поддержку в современном естествознании, но даже такая малозначительная деталь философии Парменида, как конечность и сферичность бытия, тоже встречает в современной космологии благожелательный прием.

Другое дело, что принятие основных выводов философии элеатов (терминологические расхождения не в счет) происходит в науке неосознанно. Далеко не все физики и математики даже слышали о Пармениде, хотя, быть может, имя Зенона им более известно. Современная наука взяла на вооружение главный тезис элеатов, состоящий в противопоставлении чувственного знания и знания умопостигательного. Желая описать при помощи математики какое-либо явление природы, ученые меньше всего склонны при этом обращать внимание на соответствие принятых теоретических допущений данным восприятия и даже эксперимента. Например, допущение в современной математике и физике бесконечных структур, весьма проблематичных с точки зрения эмпирического оправдания, приобрело поистине повальный характер. Так, время сплошь и рядом отождествляют с множеством действительных чисел, количество которых не только бесконечно, но и несчетно. Явно дискретная структура нашего опыта никак не сказывается на масштабах применения в физике непрерывных образований (вроде только что упоминавшейся действительной прямой) и т. д. – количество примеров легко умножить…

Цит. по Анисов А. М. Апории Зенона и проблема движения // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН / РАН. Ин-т философии, Обществ. ин-т логики, когнитологии и развития личности. – М., 2000. – Вып. 14 / Редкол.: А. С. Карпенко (отв. ред.) и др. – Стр. 139-153.

Ссылки

См., напр., Войшвилло Е. К. Еще раз о парадоксе движения о диалектических и формально-логических противоречиях // «Философские науки», 1964, № 4.

Вряд ли в данном случае стоит разделять оптимизм А. М. Анисова, поскольку о пространстве и времени, а следовательно, и о движении мы знаем отнюдь не больше, чем древние греки. Научные теории, которые, как правило, дают нам новые знания, давным-давно отошли от проблемы движения и со времен Галилея движением называют “продвинутость”. Сама же проблема движения осталась за рамками науки. (Руслан Хазарзар.)

Действительно, апория Ахилл и черепаха известна нам прежде всего в формулировке Аристотеля (Физика, 29 А 26 DK): “Самый быстрый бегун никогда не догонит самого медленного, т. к. догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный всегда будет чуть впереди”. На это оппоненты Зенона, как правило, возражают: “Почему это “всегда будет чуть впереди”? Пусть скорость первого – 10 м/с, второго – 5 м/с, начальная дистанция между ними – 5 м. Тогда через 2 секунды более быстрый бегун будет на 5 м впереди, следовательно, слово “всегда” неверно”.

Поистине удивительно, как разум может запутывать себя в догматическом нежелании признать свою слабость: “всегда (черепаха впереди)”, “никогда (Ахилл не догонит)” – не значит бесконечное течение времени. Согласно апориям, и время не превысит своего предела. А парадокс не опровергается его констатацией. Констатацией он как раз утверждается. К сожалению, многих настолько приучили опровергать путем приведения к противоречию, что они и сами противоречия (парадоксы) готовы “опровергать” подобным же образом. Ведь можно переформулировать апорию следующим образом: “Никогда не пройдет одна секунда, ибо когда пройдет полсекунды, останется полсекунды, когда пройдет половина полсекунды (¼), останется ¼ секунды…” и т. д. Как же действительно опровергается парадокс? Он опровергается демонстрацией того, за счет чего он существует. Т. е. необходимо указать принципиально неверное утверждение в рассуждениях Зенона, а не демонстрировать путем других рассуждений или эмпирики, что Зенон пришел к противоречию – Зенон об этом и сам прекрасно знал и сам же об этом говорил. Наконец, формулировку апории можно изменить, не меняя ее сути: “Самый быстрый бегун не сможет догнать самого медленного (хотя при этом он не будет прекращать движения), ибо догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный будет впереди”. (Руслан Хазарзар.)

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979. С. 40.

Цит. по Даан-Дальмедико А., Пенффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986. С. 237.

Сидоренко Е. А. Логические выводы доказательства и теория дедукции // Логика научного познания. М., 1987. С. 92. Недавно автор вновь подтвердил свою позицию. См.: Сидоренко Е. А. О парадоксах и о том, как Ахиллу догнать черепаху // «Философские исследования», № 3. М., 1999.

Как остроумно заметила по этому поводу Л. Н. Евтушенко, пусть каждый гонится за своей черепахой. Ведь если можно вводить Черепаху-1 и Черепаху-2, то почему нельзя ввести Ахилла-1 и Ахилла-2?

Уитроу Дж. Естественная философия времени. М., 1964. С. 177.

Увы, Анисов напрасно соглашается с Уитроу. Поставленный Зеноном вопрос абсолютно правомерен с логической точки зрения: если возможно продвижение одного тела относительно другого (в данном случае объекта В относительно объекта С) на одну “дискрету” пространства, то, следовательно, проходит некоторый интервал времени, а значит, совершенно правомерен вопрос, как изменилось и изменилось ли вообще положение объекта А относительно объектов В и С за этот промежуток времени? Если положение объекта А изменилось, то мы приходим к отмеченному Зеноном противоречию. Если же не изменилось, то движущее тело некоторый конкретный промежуток времени просто покоилось в одной точке, что само по себе противоречиво (см. апорию Летящая стрела). В квантовой механике этот вопрос решается путем постулирования максимально возможной скорости – скорости света с. Согласно этому постулированию, движущиеся друг навстречу другу со скорость с объекты приближаются друг к другу все с той же скоростью с, а не 2 с, ибо никакие объекты не могут приближаться друг к другу (или удаляться друг от друга) со скоростью, большей скорости света. Но, во-первых, такое постулирование, насколько мне известно, оспаривается современными физиками, а во-вторых, оно не только не разрешает проблем движения, но и ставит новые. (Руслан Хазарзар.)

Шенфилд Дж. Р. Аксиомы теории множеств // Справочная книга по математической логике. Теория множеств. М., 1982. С. 11.

Там же, с. 12.

Суть проблемы заключается в интеграции бесконечного количества частей, а наука – математический анализ, в частности – рассматривает только дифференциацию уже определенной, а значит, и актуализированной бесконечности: целое уже дано и остается только делить его на части; в то время как Зенон задается вопросом, а как это целое из таких частей составить (а уже потом пробовать его делить)? Получается, само решение возможно только при завершении процесса, т. е., по сути, возможно только при актуальной бесконечности. При потенциальной бесконечности, т. е. при условиях, заданных Зеноном, первые две апории (Ахилл и Дихотомия) неразрешимы. Но ведь условия, заданные Зеноном, безупречны с точки зрения логики. Посылка может быть либо ложной, либо универсальной. Ложность посылки никто не утверждает. Но если она универсальна, то вывод логически верен, ибо обратное утверждение противоречит универсальности посылки, что абсурдно. А потому утверждение, что ошибка Зенона якобы заключается в том, что предел бесконечной последовательности не является членом этой последовательности, есть не утверждение ошибки Зенона, но как раз его правоты: действительно, предела “догнал” в рассуждениях Зенона не получается. Логически все безупречно.

Впрочем, при рассмотрении проблем, связанных с апорией Ахилл и черепаха, мне однажды пришлось встретиться со следующим аргументом: “У нас в условии апории произведено деление на бесконечное число частей. Поэтому то, что мы не можем указать, на каком конечном этапе бегун догонит черепаху, не может служить основанием для утверждения о том, что он не догонит ее за бесконечное число этапов. Доказательство от противного здесь не применимо, мы не можем доказать, исходя из посылок, ни справедливость утверждения, ни справедливость отрицания. Кажущееся логичным рассуждение о том, что раз бегун не догоняет черепаху на конечном числе этапов (мы не можем указать конечный этап, на котором он ее догонит), то он не догонит ее и на бесконечном числе, является порочным кругом: доказывается ровно то утверждение, что кладется в основу”. Т. е. ставится под сомнение закон исключенного третьего, дающий основание доказательству от противного (что, кстати, само по себе уже ставит рассуждения Зенона в ряд парадоксов). Но ведь аналогичным путем в математике постулируются сходящиеся суммы: никто не может прямым путем доказать того, что они не превысят своего предела, это доказывается от противного. На каждом из этапов Ахилл не догоняет черепаху, причем число этих этапов потенциально бесконечно. А потому мы не только не можем указать конечный этап, на котором Ахилл догонит черепаху, мы знаем, что такой этап невозможен, ибо противоречит посылке. И здесь нет никакого порочного круга как логической ошибки, здесь именно “доказывается ровно то утверждение, что кладется в основу”. Circulus vitiosus как ошибка возможен при условном допущении посылки, а в апории посылка – бесспорна. При этом всякая логика тавтологична, если верна, и выводит ровно то, что в нее заложили. Т. е. мы снова возвращаемся к тому, с чего и начали: для опровержения апории необходимо опровергнуть посылку, а она-то как раз и неоспорима.

Другой небезынтересный аспект – тривиальность самой апории Ахилл и черепаха: мол, речь всегда идет о догоняющем Ахилле, а догоняющий (потенциальная бесконечность), разумеется, – и не догнал. Но, с другой стороны, если, как в математическом анализе, уже “дано” (актуальная бесконечность), то и говорить не о чем – апория разрешается, фактически, путем постулирования наличия решения. Но такое “решение” не менее тривиально рассуждений Зенона. Беда в том, что тривиальны оба варианта, и выходит, что в обоих случаях мы получаем ровно то, что постулируем. Но нетривиальность данной апории в том, что Зенон показывает невыводимость актуальной бесконечности из потенциальной. В то же самое время из опыта мы знаем, что догоняющий, если он быстрее, становится догнавшим и перегнавшим. И проблема описания движения в апории Ахилл и черепаха остается – во всяком случае, до тех пор, пока не будет постулирована дискретность пространства-времени. (Руслан Хазарзар.)

Даан-Дальмедико А., Пенффер Ж. Цит. соч. С. 238.

Цит по Уитроу Дж. Там же. С. 179.

Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969. С. 405.

Вот пример того, как неаккуратное использование слов способствует возникновению обоснованных подозрений в непонимании элементарных вещей. Утверждать, что “механика постигает лишь одновременность” – значит входить в вопиющее противоречие с действительным положением дел в этой науке. Еще раз повторим: критика статических, парменидовских, представлений о времени и движении современной науки не должна приписывать ей нелепое утверждение об одновременности разновременных событий.

Бергсон А. Опыт о непосредственных данных сознания // Бергсон А. Соч. Т. 1. М., 1992. С. 101.

Там же. С. 98.

Там же. С. 99.

Увы, и апелляция к интуиции совершенно не дает нам разрешения проблемы движения. Так, М. Мерло-Понти в своей работе «Пространство» пишет: “Пытаясь мыслить движение и разрабатывая его философию, мы незамедлительно попадаем под влияние критической установки, направленной на проверку истины. Мы спрашиваем себя, что же в действительности дано нам в движении; мы готовы отвергнуть явления, чтобы постичь истину движения, не осознавая, что именно эта установка редуцирует феномен и противостоит нашему желанию охватить его, поскольку она вводит вместе с понятием истины в себе такое предположение, которое способно скрыть от нас генезис движения. Предположим, что я бросаю камень. Он пролетает над садом. На мгновение он становится удаляющимся предметом, напоминающим метеор, а затем, когда падает на землю на некотором расстоянии, вновь становится камнем. Если я хочу “ясно” помыслить этот феномен, то его необходимо разложить на составные части. Я должен предположить, что сам камень реально в движении не изменяется. Поскольку камень, который я держал в своей руке и который обнаружил на земле в момент окончания его полета, – один и тот же, то, следовательно, он является тем же самым камнем, который передвигался в воздухе. Движение – это только атрибут движущегося тела и невидимо в самом камне. Оно может быть только изменением отношений между камнем и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько камень сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению. Если, с другой стороны, я предполагаю, что камень исчезает, достигая точки Р, а другой камень, тождественный первому, возникает из ничего в точке Р", находящейся на максимально близком расстоянии к первой точке, то, в этом случае, мы имеем не одно, а два различных движения. Следовательно, не существует движения, отличного от движущегося тела, которое бы переносило его от начальной точки к конечной, сохраняя свою непрерывность. Поскольку движение никоим образом не присуще движущемуся телу, а всецело заключается в его отношениях со своей окружающей средой, оно не может обойтись без внешнего указателя. Действительно, указатель является наилучшим способом наиболее явного приписывания движения “телу в движении”. Если различия между телом в движении и движением установлены, то не существует ни движения без движущегося тела, ни движения без объективного указателя, ни абсолютного движения. Тем не менее, эта идея фактически отрицает движение. Для того чтобы точно отличить движущееся тело от движения, необходимо, строго говоря, утверждать, что “движущееся тело” не движется. Как только мы привносим идею движущегося тела, которое остается в течение своего движения одним и тем же, аргументы Зенона вновь обнаруживают свою актуальность. В этом случае бесполезны возражения о том, что мы не должны рассматривать движение как последовательность дискретных позиций, соотносящихся с последовательностью дискретных моментов времени, и что пространство и время не состоят из совокупности дискретных элементов. Даже если мы рассматриваем два завершенных последовательных момента и две фиксированные примыкающие точки, то все равно между ними в каждом случае существует различие, несмотря на то, что оно меньше любого заранее заданного количества, а их дифференциация находится в начальной стадии. Идея движущегося тела, идентичного во всех фазах движения в качестве простого явления, исключает феномен “сдвига” и предполагает идею пространственной и временной позиций, которые всегда идентичны в себе, даже если они не являются таковыми для нас, и, следовательно, такое положение камня, которое всегда существует и никогда не изменяется. Даже если мы создадим математический способ, позволяющий зафиксировать неопределенную множественность позиций и моментов, то все равно невозможно понять сам акт перехода, имеющий место в одном и том же движущемся теле, который всегда осуществляется между двумя моментами и двумя позициями, независимо от того, в какой близости друг от друга мы их выбираем. Таким образом, пытаясь отчетливо мыслить движение, я не могу понять, как возможно его начало и то, как оно может быть дано мне как феномен”.

Кроме того, оппоненты Зенона говорят, что в апории Стрела заложена следующая ошибка: утверждается, что в каждый момент времени стрела покоится (скорость = 0), а в отдельной точке вообще ничего нельзя сказать о движении/скорости объекта. Однако речь в данной апории идет о дискретной, прерывной модели, в котором каждый промежуток – есть сумма неделимых точек, точек-“атомов”. И здесь нужно задать вопрос: тело, преодолевшее некий промежуток, побывало во всех точках-“атомах” этого промежутка? Надо полагать, что побывало (в противном случае, тело “размазано” по некоторому отрезку, т. е. аморфно). Оно могло двигаться в рамках каждой отдельной точки-“атома”? Нет. Ибо продвижение на пол-“атома” невозможно уже хотя бы потому, что у самого движущего тела нет такой части – пол-“атома”, – которая могла бы продвинуться. Так чтó делало тело, когда было в определенной точке, если не могло двигаться в ее рамках? Ничего, отвечают оппоненты Зенона, ибо чтó можно сделать за нулевой промежуток времени (мол, мы не можем даже утверждать, что тело покоилось в этой точке, т. к. в отдельной точке мы не можем отличить движение от неподвижности)? Но ведь промежуток не нулевой, а меньший “дискретного” параметра. Хотя, по сути, в этот “промежуток времени” (не нулевой, но меньший “дискретного” параметра) “застывает” и само время, т. е. в этот “промежуток” нет и самого времени. И мы можем продолжить утверждение диалектического материализма “Движение есть, и движенья нет” до “Время есть, и времени нет”.

Возникают и другие псевдовозражения. Например, некоторые утверждают, что летящая стpела в каждый момент вpемени отлична от покоящейся стpелы, ибо у них разные продольные размеры тел. Мол, размеры l всех тел, покоящихся в L , оказываются при измерении в L " сокращенными в #zz1.jpg раз в направлении v: #zz2.jpg .

Что на это можно возразить? Скептичный, как у элеатов, разум не yдовлетвоpится искyсственными фоpмyлами. Действительно, что означает в этой формуле v ? Пpи относительности движения можно сказать, что y стpелы v = 0 (стpела покоится), а y окpyжающей атмосфеpы – отличная от нyля. Т. е. получается, что продольный размер стpелы напpямyю и полностью зависит от того, какyю часть v мы положим стpеле, а какyю – окpyжающей сpеде. Говоря более точным языком, справедливость принципа относительности означает, что различие между состояниями покоя и равномерного прямолинейного движения не имеет физического содержания. Если физическая система В движется равномерно и прямолинейно (со скоростью v) относительно системы А, то с тем же правом можно считать, что А движется относительно В (со скоростью v).

Впрочем, даже не в этом дело. Следует просто задаться вопросом: стpела побывала во всех точках (“дискpетах”) пyти?… Что она там делала, пyсть даже с дpyгим продольным размером?… И т. д.

Апория Стрела показывает нам, что в дискретной модели мира объект даже не прыгает из точки в соседнюю точку, а исчезает из одной точки и появляется в другой (в противном случае мы приходим к непрерывности). По сути, это – два разных объекта, ибо между ними нет связи, непрерывности, идентичности, а это в корне противоречит интуитивному пониманию движения, ибо никто не называет движением исчезновение одного объекта в одном месте и появление другого объекта в другой точке. Движение мыслится и понимается нами как движение одного и того же тела, ибо движение – это атрибут движущегося тела и может быть только изменением отношений между телом и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько тело сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению. (Руслан Хазарзар.)

Третий крупный представитель элейской школы – Мелисс – считал бытие бесконечным.

Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце - первой половине V века до н. э. , родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев , элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

В двух апориях (Ахиллес и Дихотомия) предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы; Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, составленное из точек-моментов; в этом случае, как показал Зенон, возникают другие трудности . Отметим, что неправильно утверждать, будто Зенон считал движение несуществующим, потому что, согласно элейской философии, доказать несуществование чего бы то ни было невозможно: «несуществующее немыслимо и невыразимо» . Цель аргументации Зенона была более узкой: выявить противоречия в позиции оппонента.

Часто в число апорий движения включают «Стадион» (см. ниже), но по тематике этот парадокс скорее относятся к апориям бесконечности. Далее содержание апорий пересказывается с использованием современной терминологии.

Под влиянием возникших философских споров сформировались два взгляда на строение материи и пространства: первый утверждал их бесконечную делимость, а второй - существование неделимых частиц, «атомов ». Каждая из этих школ решала поставленные элеатами проблемы по-своему.

Ахиллес и черепаха

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Эпикур Самосский

Обсуждение в Новое время

и многие другие.

Современная трактовка

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Адекватность аналитической теории движения

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Даламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физика удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Другие апории Зенона

Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом: .

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории <Стрела>.

По другим интерпретациям, эта апория аналогична парадоксу Галилея : бесконечное множество может быть равномощно своей части.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча»: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

См. также

Примечания

, с. 90
, часть 14
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ
, с. 15-16
, с. 116-118
Ивин А. А. По законам логики . - М .: Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Большая советская энциклопедия // Апория .
, часть 16
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М .: Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия . - М .: Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0
, часть 15
, с. 50-52
, с. 18-20
, Яновская С. А.
, с. 21
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30
, с. 38
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35
, с. 35-41
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М .: Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition . The Review of Metaphysics (1996). Архивировано из первоисточника 28 августа 2011.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М ., 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд.. - М .: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6
, с. 93
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М .: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М .: Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul (1987). «Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument ». Philosophy of Science 54 : 295-302. Проверено 2010-02-27.
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп.. - М .: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М .: Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М .: Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 10 января 2011.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Архивировано
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 апреля 2010.
, с. 127
Zeno’s Paradoxes , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Зенон Элейский . - Энциклопедия Кругосвет. Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 декабря 2010.
Аристотель. Метафизика , книга I, глава IV.
Аристотель. Физика, IV, 1, 209а.
, с. 124-129
Ивин А. А. Логика. Учебное пособие, глава 7 .
, с. 122-124
, с. 27
, с. 89
ДВИЖЕНИЕ.
, с. 19
Кэрролл, Льюис. Двухчастная инвенция, или Что черепаха сказала Ахиллесу // Знание - сила . - 1991. - № 9. - С. 6-12.
Валери, Поль. Кладбище у моря.

Литература

Античные авторы

Античные философы о Зеноне . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 21 декабря 2010.
Аристотель. Физика . - В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Харьков: ЭКСМО, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6
Платон. Парменид . - В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах. - М .: Мысль, 1968-1972. - (Философское наследие).
Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики . - М .: Наука, 1989. - 576 с.

Книги современных авторов

Асмус В. Ф. История античной философии. - М .: Высшая школа, 1965. - С. 40-45.
Гайденко П. П. . - М .: Наука, 1980.
История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I. - С. 88-93.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов // Вестник ЛГУ . - Л. , 1988.
Кузнецов Б. Г. Эволюция картины мира. - 1-е изд. (2-е издание: УРСС, 2010). - М .: Издательство АН СССР, 1961. - 352 с. - (Из наследия мировой философской мысли: философия науки). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
Маковельский А. О. Досократики. В 3 томах . - Минск: Харвест, 1999. - 784 с. - (Классическая философская мысль). .
Смородинов Р. А. Философия последовательного сомнения. - Волгоград: Принт, 2006. - С. 41-68.
Grünbaum A. Modern science and Zeno"s Paradoxes. - Allen & Unwin, 1968. - 153 p. - ISBN 978-0045130047
Guénon R. Les Principes du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 и многочисленные переиздания. - «Принципы вычисления бесконечно малых»
Salmon W. C. (editor) Zeno’s paradoxes. - 2nd ed.. - Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 p. - ISBN 978-0872205604

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле // Журнал Министерства народного просвещения . - 1888. - № 4 отд. 5. - С. 203-239.
Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения // . - 1911. - № XXXIV (август) отд. 2. - С. 207-221.
Больцано Б. Парадоксы безконечнаго . - Одесса, 1911.
Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности // Журнал Министерства народного просвещения . - 1915, нов.сер.. - № LVI (апрель). - С. 289-328.
Дмитриев Г. Еще раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В.Фридмана // Под знаменем марксизма . - 1928. - № 4.
Богомолов С. А. Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор. - Л.-М., 1934.
Яновская С. А. Апории Зенона //