Definiție integrală nedefinită și cele mai simple proprietăți. Integrale pentru manechini: cum se rezolvă, reguli de calcul, explicație. Invarianța formei de integrare

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a unei integrale pe care o cunoști este să croșetezi ceva util din locuri greu accesibile cu un croșetat în formă de icoană integrală, atunci ești binevenit! Învață cum să rezolvi integrale elementare și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Explorarea conceptului « integrală »

Integrarea este cunoscută încă din Egiptul antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, mai aveți nevoie de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre, necesare înțelegerii integralelor, în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să presupunem că avem un fel de funcție f (x) .

Integrală nedefinită a unei funcții f (x) se numeste o astfel de functie F (x) a cărui derivată este egală cu funcția f (x) .

Cu alte cuvinte, integrala este derivata inversă sau antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivatul există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, semnul unei constante este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neomogen, a traseului parcurs cu o mișcare neuniformă și multe altele. Trebuie amintit că integrala este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.

Ca exemplu, să ne imaginăm un grafic al unei funcții.

Cum să găsiți aria unei forme delimitate de graficul unei funcții? Folosind integrala! Împărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinit de mici. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri, acum există o reducere de 10% la

Reguli de calcul integrale pentru manechin

Proprietăți integrale nedefinite

Cum se rezolvă integrala nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Este valabil si pentru diferenta:

Proprietățile integralei definite

• Linearitate:

• Semnul integral se schimbă dacă limitele de integrare sunt inversate:

• La orice puncte A, bși cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum obții o anumită valoare atunci când rezolvi un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de soluții integrale

Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemplele cu o soluție. Vă oferim să descoperiți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți videoclipul despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu vă descurajați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați serviciul pentru studenți profesioniști și puteți manipula orice integrală triplă sau curbilinie pe o suprafață închisă.

Sarcina principală a calculului diferențial este găsirea derivatei f '(X) sau diferential df =f '(X)dx funcții f (X).În calculul integral se rezolvă problema inversă. Prin o funcție dată f (X) este necesar să se găsească o astfel de funcție F (X), ce F '(x) =f (X) sau dF (x) =F '(X)dx =f (X)dx.

Prin urmare, sarcina principală a calculului integral este restabilirea funcției F (X)în raport cu derivata (diferenţialul) cunoscută a acestei funcţii. Calculul integral are numeroase aplicații în geometrie, mecanică, fizică și inginerie. Oferă o metodă generală de găsire a zonelor, volumelor, centrelor de greutate etc.

Definiție. FuncţieF (x), se numește antiderivată pentru funcțief (x) pe multimea X daca este diferentiabila pentru oricare siF '(x) =f (x) saudF (x) =f (X)dx.

Teorema. Orice continuu pe segmentul [A;b] funcţiaf (x) are antiderivata pe acest segmentF (x).

Teorema. DacăF 1 (x) șiF 2 (x) - două antiderivate diferite cu aceeași funcțief (x) pe mulțimea x, atunci ele diferă între ele printr-un termen constant, adică.F 2 (x) =F 1x) +C, unde C este o constantă.

Integrală nedefinită, proprietățile sale.

Definiție. AgregatulF (x) +C din toate antiderivatele funcțieif (x) pe mulțimea X se numește integrală nedefinită și se notează cu:

În formula (1) f (X)dx numit integrand,f (x) este integrandul, x este variabila de integrare, A С - constantă de integrare.

Se consideră proprietățile integralei nedefinite care rezultă din definiția ei.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, diferentiala integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

3. Factorul constant a (a ≠ 0) poate fi luat în afara semnului integral nedefinit:

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

5. DacăF (x) este antiderivată a funcțieif (x), atunci:

6 (invarianța formulelor de integrare). Orice formulă de integrare își păstrează forma dacă variabila de integrare este înlocuită cu orice funcție diferențiabilă a acestei variabile:

Undeu este o funcție diferențiabilă.

Tabelul cu integrale nedefinite.

Să dăm reguli de bază pentru integrarea funcţiilor.

Să dăm tabelul integralelor nedefinite de bază.(Rețineți că aici, ca și în calculul diferențial, litera u poate desemna ca o variabilă independentă (u =X)și o funcție a variabilei independente (u =tu (X)).)

Se numesc integralele 1 - 17 tabular.

Unele dintre formulele de mai sus ale tabelului de integrale care nu au analog în tabelul de derivate sunt verificate prin diferențierea părților din dreapta.

Modificarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită.

Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să fie necesar să se calculeze integrala

Teorema. Lasă funcțiax = φ (t) este definită și diferențiabilă pe o mulțime T și fie X mulțimea de valori a acestei funcție, pe care funcțiaf (X). Atunci dacă pe setul X funcțiaf (

Acest articol detaliază proprietățile de bază ale unei integrale definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul integralei definite are loc datorită a 5 proprietăți. Restul sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale unei integrale definite, este necesar să vă asigurați că a nu depășește b.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Funcția y = f (x), definită la x = a, este similară cu egalitatea valabilă ∫ a a f (x) d x = 0.

Dovada 1

Prin urmare, vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare integrală sumă σ pentru orice partiție de pe intervalul [a; a] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, ceea ce înseamnă că limita funcțiilor integrale este zero.

Definiția 2

Pentru o funcție care este integrabilă pe segmentul [a; b], condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.

Dovada 2

Cu alte cuvinte, dacă limitele superioare și inferioare de integrare sunt modificate pe alocuri, atunci valoarea integralei își va schimba valoarea la opus. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea diviziunii segmentului provine din punctul x = b.

Definiția 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x este utilizat pentru funcții integrabile de tipul y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [a; b].

Dovada 3

Notați suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu alegerea dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.

Definiția 4

Efectuarea unui factor constant dincolo de semnul unei integrale definite. O funcție integrabilă din intervalul [a; b] cu o valoare arbitrară a lui k are o inegalitate valabilă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Dovada 4

Dovada proprietății integralei definite este similară cu cea anterioară:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Definiția 5

Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x, b ∈ x, obținem că ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d X.

Dovada 5

Proprietatea este considerată adevărată pentru c ∈ a; b, pentru c ≤ a și c ≥ b. Dovada este similară cu proprietățile anterioare.

Definiția 6

Când funcția are capacitatea de a fi integrabilă din segmentul [a; b], atunci este realizabil pentru orice segment interior c; d ∈ a; b.

Dovada 6

Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă adăugăm puncte la partiția existentă a unui segment, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Definiția 7

Când funcția este integrabilă pe [a; b] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a; b, atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere a punctelor de partiție ale segmentului și punctelor ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, obținem non- negativ.

Dovada 7

Dacă funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile pe intervalul [a; b], atunci următoarele inegalități sunt considerate adevărate:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, dacă și f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, dacă și f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Datorită declarației, știm că integrarea este admisibilă. Acest corolar va fi folosit pentru a demonstra alte proprietăți.

Definiția 8

Pentru o funcție integrabilă y = f (x) din segmentul [a; b] avem o inegalitate valabilă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Dovada 8

Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Din proprietatea anterioară, am obținut că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și corespunde unei inegalități de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Definiția 9

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din segmentul [a; b] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a; b, obținem o inegalitate de forma m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, unde m = m i n x ∈ a; b f (x) și M = m a x x ∈ a; b f (x).

Dovada 9

Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y = f (x) determinată din segmentul [a; b], atunci m ≤ f (x) ≤ M. Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x), care dă valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Este necesar să-l integrăm pe segmentul [a; b], atunci obținem afirmația de demonstrat.

Corolar: Pentru g (x) = 1, inegalitatea ia forma m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

Prima formulă a valorii medii

Pentru y = f (x), integrabil pe segmentul [a; b] cu m = m i n x ∈ a; b f (x) și M = m a x x ∈ a; b f (x) există un număr μ ∈ m; M, care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ b - a.

Corolar: Când funcția y = f (x) este continuă din segmentul [a; b], atunci există un astfel de număr c ∈ a; b, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Prima formulă a valorii medii în formă generalizată

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din segmentul [a; b] cu m = m i n x ∈ a; b f (x) și M = m a x x ∈ a; b f (x) și g (x)> 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a; b. Avem deci că există un număr μ ∈ m; M, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x.

A doua formulă a valorii medii

Când funcția y = f (x) este integrabilă din segmentul [a; b], iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a; b, unde obținem o egalitate validă de forma ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

În calculul diferenţial se rezolvă următoarea problemă: sub funcția dată ƒ (x) găsiți derivata acesteia(sau diferential). Calculul integral rezolvă problema inversă: găsiți funcția F (x), cunoscând derivata ei F "(x) = ƒ (x) (sau diferențială). Funcția necesară F (x) se numește antiderivată a funcției ƒ (x). ).

Se numește funcția F (x). antiderivat funcția ƒ (x) pe intervalul (a; b) dacă pentru orice х є (a; b) egalitatea

F „(x) = ƒ (x) (sau dF (x) = ƒ (x) dx).

De exemplu, antiderivată a funcției y = x 2, x є R, este funcția, deoarece

Evident, orice funcții

unde C este o constantă, deoarece

Teorema 29. 1. Dacă funcția F (x) este antiderivată a funcției ƒ (x) pe (a; b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru ƒ (x) este dată de formula F (x) + С, unde С este un număr constant.

▲ Funcția F (x) + C este antiderivată a lui ƒ (x).

Într-adevăr, (F (x) + C) "= F" (x) = ƒ (x).

Fie Ф (x) altul, diferit de F (x), antiderivată a funcției (x), adică Φ "(x) = ƒ (x). Atunci pentru orice x є (a; b) avem

Aceasta înseamnă (vezi Corolarul 25.1) că

unde C este un număr constant. Prin urmare, Ф (х) = F (x) + С. ▼

Se numește mulțimea tuturor funcțiilor prima inversă F (x) + C pentru ƒ (x). integrala nedefinită a funcției ƒ (x)și se notează prin simbolul ƒ (x) dx.

Astfel, prin definiție

∫ ƒ (x) dx = F (x) + C.

Aici se numește ƒ (x). funcția integrand, ƒ (x) dx - integrand, NS - variabila de integrare, ∫ -semnul integral nedefinit.

Operația de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acestei funcții.

O integrală nedefinită geometric este o familie de curbe „paralele” y = F (x) + C (fiecare valoare numerică a lui C corespunde unei anumite curbe de familie) (vezi Fig. 166). Graficul fiecărei antiderivate (curbe) se numește curba integrala.

Există o integrală nedefinită pentru fiecare funcție?

Există o teoremă care afirmă că „fiecare funcție continuă pe (a; b) are o antiderivată pe acest interval” și, în consecință, o integrală nedefinită.

Să notăm o serie de proprietăți ale integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:

d (∫ ƒ (x) dx) = ƒ (x) dх, (∫ ƒ (x) dx) "= ƒ (x).

Într-adevăr, d (∫ ƒ (x) dx) = d (F (x) + C) = dF (x) + d (C) = F "(x) dx = ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "= (F (x) + C)" = F "(x) +0 = ƒ (x).

Datorită acestei proprietăți, corectitudinea integrării este verificată prin diferențiere. De exemplu, egalitatea

∫ (3x 2 + 4) dx = x h + 4x + C

adevărat, deoarece (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 + 4.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

∫dF (x) = F (x) + C.

Într-adevăr,

3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

α ≠ 0 este o constantă.

Într-adevăr,

(puneți C 1 / a = C.)

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralelor sumelor funcțiilor:

Fie F „(x) = ƒ (x) și G” (x) = g (x). Atunci

unde C1 ± C2 = C.

5. (Invarianța formulei de integrare).

Dacă , unde u = φ (х) este o funcție arbitrară cu derivată continuă.

▲ Fie x o variabilă independentă, ƒ (x) o funcție continuă și F (x) prima imagine. Atunci

Punem acum u = φ (x), unde φ (x) este o funcție continuu derivabilă. Se consideră o funcție complexă F (u) = F (φ (x)). Deoarece forma primei diferenţiale a funcţiei este invariantă (vezi p. 160), avem

De aici ▼

Astfel, formula pentru integrala nedefinită rămâne valabilă indiferent dacă variabila de integrare este variabila independentă sau orice funcție a acesteia cu derivată continuă.

Deci, din formula prin înlocuirea x cu u (u = φ (x)), se obține

În special,

Exemplul 29.1. Găsiți integrala

unde C = C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Exemplul 29.2. Găsiți soluția integrală:

• 29.3. Tabel Integral Nedefinit de bază

Profitând de faptul că integrarea este acțiunea inversă a diferențierii, se poate obține un tabel de integrale de bază inversând formulele corespunzătoare ale calculului diferențial (tabelul diferențialelor) și folosind proprietățile integralei nedefinite.

De exemplu, deoarece

d (sin u) = cos u. du,

Derivarea unui număr de formule din tabel va fi dată în considerarea principalelor metode de integrare.

Integralele din tabelul de mai jos se numesc tabulare. Ar trebui să le cunoști pe de rost. În calculul integral, nu există simple și reguli universale găsirea de antiderivate ale funcțiilor elementare, ca în calculul diferențial. Metodele pentru găsirea primitivei (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la specificarea tehnicilor care aduc o integrală dată (căută) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelare și să le puteți recunoaște.

Rețineți că în tabelul integralelor de bază variabila de integrare și poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a unei variabile independente (în conformitate cu proprietatea de invarianță a formulei de integrare).

Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.

Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1 / u este definită și continuă pentru toate valorile și altele decât zero.

Dacă u> 0, atunci ln | u | = lnu, atunci De aceea

Daca tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMijloace

Deci Formula 2 este corectă. În mod similar, să verificăm Formula 15:

Tabel integral de bază

Prieteni! Vă invităm să discutați. Daca ai parerea ta, scrie-ne in comentarii.