Ce este egalitatea? Primul semn și principii ale egalității. Proprietăți ale egalităților pe care se bazează soluția ecuațiilor Proprietăți de bază ale identităților

Două expresii matematice numerice legate prin semnul „=” se numesc egalitate.

De exemplu: 3 + 7 = 10 - egalitate.

Egalitatea poate fi adevărată sau falsă.

Scopul rezolvării oricărui exemplu este de a găsi o valoare a expresiei care să o transforme într-o adevărată egalitate.

Pentru a forma idei despre egalitățile adevărate și false, în manualul de clasa a I-a se folosesc exemple cu fereastră.

De exemplu:

Folosind metoda de selecție, copilul găsește numere potrivite și verifică exactitatea egalității prin calcul.

Procesul de comparare a numerelor și de indicare a relațiilor dintre ele folosind semne de comparație duce la inegalități.

De exemplu: 5< 7; б >4 - inegalități numerice

Inegalitățile pot fi, de asemenea, adevărate sau false.

De exemplu:

Folosind metoda de selecție, copilul găsește numere potrivite și verifică acuratețea inegalității.

Inegalitățile numerice se obțin prin compararea expresiilor numerice și a numerelor.

De exemplu:

Atunci când alege un semn de comparație, copilul calculează valoarea expresiei și o compară cu un număr dat, care se reflectă în alegerea semnului corespunzător:

10-2>7 5+K7 7 + 3>9 6-3 = 3

O altă modalitate de a selecta un semn de comparație este posibilă - fără referire la calcularea valorii expresiei.

Nappimep:

Suma numerelor 7 și 2 va fi evident mai mare decât numărul 7, ceea ce înseamnă 7 + 2 > 7.

Diferența dintre numerele 10 și 3 va fi evident mai mică decât numărul 10, ceea ce înseamnă 10 - 3< 10.

Inegalitățile numerice se obțin prin compararea a două expresii numerice.

A compara două expresii înseamnă a le compara semnificațiile. De exemplu:

Atunci când alege un semn de comparație, copilul calculează semnificațiile expresiilor și le compară, ceea ce se reflectă în alegerea semnului corespunzător:

O altă modalitate de a selecta un semn de comparație este posibilă - fără referire la calcularea valorii expresiei. De exemplu:

Pentru a seta semne de comparație, puteți efectua următorul raționament:

Suma numerelor 6 și 4 este mai mare decât suma numerelor 6 și 3, deoarece 4 > 3, ceea ce înseamnă 6 + 4 > 6 + 3.

Diferența dintre numerele 7 și 5 este mai mică decât diferența dintre numerele 7 și 3, deoarece 5 > 3, ceea ce înseamnă 7 - 5< 7 - 3.

Coeficientul dintre 90 și 5 este mai mare decât câtul dintre 90 și 10, deoarece la împărțirea aceluiași număr la un număr mai mare, raportul este mai mic, ceea ce înseamnă 90: 5 > 90:10.

Pentru a forma idei despre egalitățile și inegalitățile adevărate și false, noua ediție a manualului (2001) folosește sarcini de forma:

Pentru verificare, se folosește metoda de calcul a semnificației expresiilor și de comparare a numerelor rezultate.

Inegalitățile cu o variabilă practic nu sunt utilizate în ultimele ediții ale manualului de matematică stabilă, deși au fost prezente în edițiile anterioare. Inegalitățile cu variabile sunt utilizate în mod activ în manualele alternative de matematică. Acestea sunt inegalități de formă:

 + 7 < 10; 5 -  >2;  > 0;  > O

După introducerea unei litere pentru a desemna un număr necunoscut, astfel de inegalități iau forma familiară a inegalităților cu o variabilă:

a + 7>10; 12-d<7.

Valorile numerelor necunoscute din astfel de inegalități sunt găsite prin selecție, iar apoi fiecare număr selectat este verificat prin înlocuire. Particularitatea acestor inegalități este că pot fi selectate mai multe numere care se potrivesc acestora (dând inegalitatea corectă).

De exemplu: a + 7 > 10; a = 4, a = 5, a = 6 etc. - numărul de valori pentru litera a este infinit, orice număr a > 3 este potrivit pentru această inegalitate; 12 - d< 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

În cazul unui număr infinit de soluții sau al unui număr mare de soluții la o inegalitate, copilul se limitează la selectarea mai multor valori ale variabilei pentru care inegalitatea este adevărată.

Acest articol reunește informații care modelează ideea de egalitate în contextul matematicii. Aici vom afla ce este egalitatea din punct de vedere matematic și care sunt acestea. Să vorbim și despre scrierea egalităților și a semnului egal. În cele din urmă, enumerăm principalele proprietăți ale egalităților și dăm exemple pentru claritate.

Navigare în pagină.

Ce este egalitatea?

Conceptul de egalitate este indisolubil legat de comparație - compararea proprietăților și caracteristicilor pentru a identifica caracteristici similare. Iar comparația, la rândul ei, presupune prezența a două obiecte sau obiecte, dintre care unul este comparat cu celălalt. Cu excepția cazului în care, desigur, compari un obiect cu el însuși, iar atunci acesta poate fi considerat ca un caz special de comparare a două obiecte: obiectul însuși și „copia exactă” a acestuia.

Din raționamentul de mai sus este clar că egalitatea nu poate exista fără prezența a cel puțin două obiecte, altfel pur și simplu nu vom avea nimic de comparat. Este clar că puteți lua trei, patru sau mai multe obiecte pentru comparație. Dar, în mod natural, se rezumă la compararea tuturor perechilor posibile formate din aceste obiecte. Cu alte cuvinte, se rezumă la compararea a două obiecte. Deci egalitatea necesită două obiecte.

Esența conceptului de egalitate în sensul cel mai general este cel mai clar exprimată de cuvântul „identic”. Dacă luăm două obiecte identice, atunci putem spune despre ele că ele egal. Ca exemplu, dăm două pătrate egale și . Diferitele obiecte, la rândul lor, sunt numite inegal.

Conceptul de egalitate se poate aplica atât obiectelor în ansamblu, cât și proprietăților și caracteristicilor lor individuale. Obiectele sunt egale în general atunci când sunt egale în toate privințele inerente lor. În exemplul anterior, am vorbit despre egalitatea obiectelor în general - ambele obiecte sunt pătrate, au aceeași dimensiune, aceeași culoare și, în general, sunt complet aceleași. Pe de altă parte, obiectele pot fi inegale în general, dar pot avea unele caracteristici egale. Ca exemplu, luați în considerare astfel de obiecte și . Evident, au formă egală - ambele sunt cercuri. Și ca culoare și mărime sunt inegale, unul dintre ele este albastru și celălalt este roșu, unul mic și celălalt mare.

Din exemplul anterior, remarcăm pentru noi înșine că trebuie să știm dinainte despre ce vorbim exact despre egalitate.

Toate argumentele de mai sus se aplică egalităților din matematică, doar aici egalitatea se referă la obiecte matematice. Adică, atunci când studiem matematica, vom vorbi despre egalitatea numerelor, egalitatea valorilor de expresie, egalitatea oricăror cantități, de exemplu, lungimi, suprafețe, temperaturi, productivitatea muncii etc.

Scrierea egalităților, =

Este timpul să ne uităm la regulile de scriere a egalităților. În acest scop este folosit =(se mai numește și semnul egal), care are forma =, adică reprezintă două linii identice situate orizontal una deasupra celeilalte. Semnul egal = este considerat general acceptat.

Când scrieți egalități, scrieți obiecte egale și puneți un semn egal între ele. De exemplu, scrierea numerelor egale 4 și 4 ar arăta ca 4=4 și ar putea fi citită ca „patru egal cu patru”. Un alt exemplu: egalitatea ariei S ABC a triunghiului ABC cu șapte metri pătrați se va scrie ca S ABC = 7 m 2. Prin analogie, putem da alte exemple de scriere a egalităților.

Este de remarcat faptul că în matematică, notațiile considerate ale egalităților sunt adesea folosite ca definiție a egalității.

Definiție.

Înregistrările care folosesc semnul egal pentru a separa două obiecte matematice (două numere, expresii etc.) sunt numite egalităților.

Dacă trebuie să indicați în scris inegalitatea a două obiecte, atunci utilizați semn nu este egal≠. Vedem că reprezintă un semn egal tăiat. Ca exemplu, să luăm intrarea 1+2≠7. Se poate citi astfel: „Suma unu și doi nu este egală cu șapte”. Un alt exemplu este |AB|≠5 cm – lungimea segmentului AB nu este egală cu cinci centimetri.

Egalități adevărate și false

Egalitățile scrise pot corespunde sensului conceptului de egalitate sau îl pot contrazice. În funcție de aceasta, egalitățile sunt împărțite în adevărate egalităţiȘi false egalități. Să înțelegem asta cu exemple.

Să scriem egalitatea 5=5. Numerele 5 și 5 sunt fără îndoială egale, deci 5=5 este o egalitate adevărată. Dar egalitatea 5=2 este incorectă, deoarece numerele 5 și 2 nu sunt egale.

Proprietățile egalităților

Din modul în care este introdus conceptul de egalitate, rezultă în mod firesc rezultatele sale caracteristice — proprietățile egalităților. Sunt trei principale proprietățile egalităților:

• Proprietatea reflexivității, care afirmă că un obiect este egal cu el însuși.
• Proprietatea simetriei, care afirmă că dacă primul obiect este egal cu al doilea, atunci al doilea este egal cu primul.
• Și în sfârșit, proprietatea tranzitivității, care afirmă că dacă primul obiect este egal cu al doilea, iar al doilea este egal cu al treilea, atunci primul este egal cu al treilea.

Să notăm proprietățile vocale în limbajul matematicii folosind litere:

• a=a;
• dacă a=b atunci b=a ;
• dacă a=b și b=c atunci a=c .

Separat, merită remarcat meritul celei de-a doua și a treia proprietăți ale egalităților - proprietățile simetriei și tranzitivității - prin faptul că ne permit să vorbim despre egalitatea a trei sau mai multe obiecte prin egalitatea lor pe perechi.

Egalități duble, triple etc.

Alături de notațiile obișnuite pentru egalități, exemple din care am dat în paragrafele precedente, așa-numitele egalități duble, egalități tripleși așa mai departe, reprezentând, parcă, lanțuri de egalități. De exemplu, notația 1+1+1=2+1=3 este o egalitate dublă, iar |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - un exemplu de egalitate cvadrupla.

Folosind duble, triple etc. Pentru egalități, este convenabil să scrieți egalitatea a trei, patru etc. obiecte în consecință. Aceste înregistrări denotă în mod inerent egalitatea oricăror două obiecte care alcătuiesc lanțul original de egalități. De exemplu, egalitatea dublă de mai sus 1+1+1=2+1=3 înseamnă în esență egalitatea 1+1+1=2+1 și 2+1=3 și 1+1+1=3 și în datorită proprietății de simetrie a egalităților și 2+1=1+1+1, și 3=2+1, și 3=1+1+1.

Sub forma unor astfel de lanțuri de egalități, este convenabil să se formuleze o soluție pas cu pas la exemple și probleme, în timp ce soluția pare scurtă și etapele intermediare de transformare a expresiei originale sunt vizibile.

Bibliografie.

• Moro M.I.. Matematică. Manual pentru 1 clasa. început şcoală În 2 ore.Partea 1. (Prima jumătate a anului) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova.- ed. a VI-a. - M.: Învăţământ, 2006. - 112 p.: ill.+Add. (2 separate l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematică: manual pentru clasa a 5-a. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Clasă: 3

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tip de lecție: descoperirea de noi cunoștințe.

Tehnologie: tehnologie pentru dezvoltarea gândirii critice prin citire și scriere, tehnologie pentru jocuri.

Obiective: Să extindă cunoștințele elevilor despre egalități și inegalități, să introducă conceptul de egalități și inegalități adevărate și false.

Sarcina didactică: Organizați activități comune și independente ale studenților pentru a studia materiale noi.

Obiectivele lecției:

1. Subiect:
   • introduceți semnele egalității și inegalității; extinde înțelegerea de către elevi a egalităților și inegalităților;
   • introducerea conceptului de egalitate și inegalitate adevărată și falsă;
   • dezvoltarea abilităților în găsirea valorii unei expresii care conține o variabilă;
   • formarea deprinderilor de calcul.
2. Metasubiect:
   1. Cognitiv:
      • promovează dezvoltarea atenției, memoriei, gândirii;
      • dezvoltarea capacității de a extrage informații, de a naviga prin sistemul de cunoștințe și de a recunoaște nevoia de noi cunoștințe;
      • stăpânirea tehnicilor de selectare și sistematizare a materialului, capacitatea de a aduna și compara și de a converti informații (într-o diagramă, tabel).
   2. de reglementare:
      • dezvoltarea percepției vizuale;
      • continua munca la formarea autocontrolului si a stimei de sine in randul elevilor;
   3. Comunicativ:
      • observați interacțiunea copiilor în perechi și faceți ajustările necesare;
      • promovează asistența reciprocă.
3. Personal:
   • creșterea motivației de învățare a elevilor prin utilizarea consiliului școlar interactiv Star Board în sala de clasă;
   • îmbunătățirea abilităților în lucrul cu Star Board.

Echipament:

• Manual „Matematică” clasa a III-a, partea a 2-a (L.G. Peterson);
• individual fișă de îndrumare ;
• carduri pentru lucrul în perechi;
• prezentare pentru lecția afișată pe panoul Star Board;
• computer, proiector, Star Board.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Și așa, prieteni, atenție.
La urma urmei, a sunat soneria
Așezați-vă confortabil
Să începem lecția în curând!

II. Numărarea verbală.

– Astăzi vom merge cu tine în vizită. După ce ai ascultat poezia, vei putea numi gazda. (Citirea unei poezii a unui student)

Timp de secole, matematica a fost acoperită de glorie,
Lumina tuturor luminilor pământești.
Regina ei maiestuoasă
Nu e de mirare că Gauss l-a botezat.
Lăudăm mintea umană,
Lucrările mâinilor sale magice,
Speranța acestui secol,
Regina tuturor științelor pământești.

- Și așa, Matematica ne așteaptă. Există multe principate în regatul ei, dar astăzi vom vizita unul dintre ele (diapozitivul 4)

– Veți afla numele principatului prin rezolvarea exemplelor și aranjarea răspunsurilor în ordine crescătoare. ( Afirmație)

- Să ne amintim ce este o afirmație? ( Afirmație)

– Care ar putea fi afirmația? (Adevărat sau fals)

– Astăzi vom lucra cu enunțuri matematice. Ce înseamnă acest lucru? (expresie, egalități, inegalități, ecuații)

III. Etapa 1. PROVOCARE. Pregătirea pentru a învăța lucruri noi.

(diapozitivul 5 vezi nota)

– Prințesa Saying vă oferă primul test.

- Sunt cărți în fața ta. Găsește un card suplimentar și arată-l (a + 6 – 45 * 2).

- De ce este de prisos? (Expresie)

– Este expresia o afirmație completă? (Nu, nu este, pentru că nu a fost adus la concluzia sa logică)

– Ce sunt egalitatea și inegalitatea? Pot fi numite enunțuri?

– Numiți egalitățile corecte.

– Care este alt nume pentru adevăratele egalități? ( Adevărat)

– Dar necredincioșii? (fals)

– Despre ce ecuații nu se poate spune că sunt adevărate? ( cu variabila)

– Matematica ne învață constant să dovedim adevărul sau falsitatea afirmațiilor noastre.

IV. Comunicați scopul lecției.

– Și astăzi trebuie să învățăm ce sunt egalitatea și inegalitatea și să învățăm să le determinăm adevărul și falsitatea.

- Iată declarații în fața ta. Citiți-le cu atenție. Dacă crezi că este corect, atunci pune „+” în prima coloană; dacă nu, pune „–”.

Verificare colectivă cu justificarea presupunerii dvs.

V. Etapa 2. REFLEXIA. Învățând lucruri noi.

– Cum putem verifica dacă presupunerile noastre sunt corecte?

(manual p. 74.)

– Ce este egalitatea?

– Ce este inegalitatea?

– Am îndeplinit sarcina prințesei Saying și, drept recompensă, ne invită într-o vacanță.

VI. Minut de educație fizică.

VII. Etapa 3. REFLEXIA-REFLEXIA

1. p. 75,5 (afișat) (diapozitivul 8)

– Citiți sarcina, ce trebuie făcut?

– Câte egalități ați subliniat? Sa verificam.

– Câte inegalități?

– Ce te-a ajutat să îndeplinești sarcina? (semnele „=”, „>”, „<»)

– De ce au existat intrări nesubliniate? (expresii)

2. Jocul „Tăcere” (diapozitivul 9)

(Elevii notează egalitățile pe benzi înguste și le arată profesorului, apoi se verifică singuri).

Scrieți afirmația ca egalitate:

• 5 este mai mult de 3 cu 2 (5 – 3 = 2)
• 12 este de 6 ori mai mare decât 2 (12: 2 = 6)
• x este mai mic decât y cu 3 (y – x = 3)

3. Rezolvarea ecuațiilor (diapozitivul 10)

— Ce este în fața noastră? (ecuații, egalități)

– Putem spune dacă sunt adevărate sau false? (nu, există o variabilă)

– Cum să aflăm la ce valoare a unei variabile sunt adevărate egalitățile? (decide)

• 1 coloană – 1 coloană
• Coloana 2 – Coloana 2
• 3 coloane – 3 coloane

Schimbați caietele și verificați munca prietenului dvs. Acorda-i o nota.

VIII. Rezumatul lecției.

– Cu ce ​​concepte am lucrat astăzi?

– Ce fel de egalitate poate exista? (fals sau adevarat)

– Crezi că doar la lecțiile de matematică trebuie să fim capabili să distingem afirmațiile false de cele adevărate? (O persoană întâlnește o mulțime de informații diferite în viața sa și trebuie să fie capabil să separe adevăratul de fals).

IX. Evaluarea muncii elevilor și atribuirea notelor.

– Pentru ce ne poate mulțumi Queen Mathematics?

Notă. Dacă profesorul folosește tabla stea, acest diapozitiv este înlocuit cu cărți scrise pe tablă. La verificare, elevii lucrează la tablă.

În această lecție, tu și broasca vă veți familiariza cu conceptele matematice: „egalitate” și „inegalitate”, precum și cu semnele de comparație. Cu exemple distractive și interesante, învață să compari grupuri de forme folosind împerechere și compară numere folosind linia numerică.

Subiect:Introducere în concepte de bază în matematică

Lecția: Egalitatea și inegalitatea

În această lecție vom introduce concepte matematice: "egalitate"Și "inegalitate".

Incearca sa raspunzi la intrebare:

Sunt căzi lângă perete,

Fiecare conține exact o broască.

Dacă ar fi cinci căzi,

Câte broaște ar fi în ele? (Fig. 1)

Orez. 1

Poezia spune că erau 5 căzi, fiecare cuvă conținea 1 broască, nimeni nu a rămas fără o pereche, ceea ce înseamnă că numărul de broaște este egal cu numărul de căzi.

Să notăm căzile cu litera K și broaștele cu litera L.

Să scriem egalitatea: K = L. (Fig. 2)

Orez. 2

Comparați numărul a două grupuri de figuri. Sunt multe figuri, sunt de diferite marimi, dispuse fara ordine. (Fig. 3)

Orez. 3

Să facem perechi din aceste figuri. Să conectăm fiecare pătrat la un triunghi. (Fig. 4)

Orez. 4

Două pătrate au rămas fără o pereche. Aceasta înseamnă că numărul de pătrate nu este egal cu numărul de triunghiuri. Să notăm pătratele cu litera K și triunghiurile cu litera T.

Să scriem inegalitatea: K ≠ T. (Fig. 5)

Orez. 5

Concluzie: Puteți compara numărul de elemente din două grupuri făcând perechi. Dacă toate elementele au suficiente perechi, atunci numerele corespunzătoare egal, in acest caz il punem intre cifre sau litere =. Această intrare este numită egalitate. (Fig. 6)

Orez. 6

Dacă nu sunt suficiente perechi, adică mai sunt elemente suplimentare, atunci aceste numere nu este egal. Plasați între cifre sau litere semn inegal. Această intrare este numită inegalitate.(Fig. 7)

Orez. 7

Elementele rămase fără pereche arată care dintre cele două numere este mai mare și cu cât. (Fig. 8)

Orez. 8

Metoda de comparare a grupurilor de figuri folosind asociere nu este întotdeauna convenabilă și necesită mult timp. Puteți compara numere folosind fascicul de numere. (Fig. 9)

Orez. 9

Comparați aceste numere folosind o linie numerică și puneți un semn de comparație.

Trebuie să comparăm numerele 2 și 5. Să ne uităm la raza numerelor. Numărul 2 este mai aproape de 0 decât numărul 5 sau se spune că numărul 2 de pe linia numerică este mai la stânga decât numărul 5. Aceasta înseamnă că 2 nu este egal cu 5. Aceasta este o inegalitate.

Semnul „≠” (nu este egal) fixează doar inegalitatea numerelor, dar nu indică care dintre ele este mai mare și care este mai mică.

Dintre cele două numere de pe linia numerică, cel mai mic este situat în stânga, iar cel mai mare este situat în dreapta. (Fig. 10)

Orez. 10

Această inegalitate poate fi scrisă diferit folosind semn mai putin"< » sau mai mare decât semnul „>” :

Pe linia numerică, numărul 7 este mai la dreapta decât numărul 4, prin urmare:

7 ≠ 4 și 7 > 4

Numerele 9 și 9 sunt egale, așa că punem semnul =, aceasta este o egalitate:

Comparați numărul de puncte și numărul și puneți semnul corespunzător. (Fig. 11)

Orez. unsprezece

În prima imagine trebuie să punem semnul = sau ≠.

Comparați două puncte și numărul 2, puneți un semn = între ele. Aceasta este egalitatea.

Comparăm un punct și numărul 3, pe linia numerică numărul 1 este la stânga decât numărul 3, pune semnul ≠.

Comparăm patru puncte și 4. Punem un semn = între ele. Aceasta este egalitatea.

Comparăm trei puncte și numărul 4. Trei puncte sunt numărul 3. Pe linia numerică care este în stânga, punem semnul ≠. Aceasta este inegalitate. (Fig. 12)

Orez. 12

În a doua figură, trebuie să puneți semne = între puncte și numere,<, >.

Să comparăm cinci puncte și numărul 5. Punem un semn = între ele. Aceasta este egalitatea.

Să comparăm trei puncte și numărul 3. Aici poți pune și semnul =.

Să comparăm cinci puncte și numărul 6. Pe linia numerică, numărul 5 este la stânga decât numărul 6. Punem un semn<. Это неравенство.

Să comparăm două puncte și unul, numărul 2 este mai în dreapta pe linia numerică decât numărul 1. Punem semnul >. Aceasta este inegalitate. (Fig. 13)

Orez. 13

Introduceți un număr în casetă pentru a face adevărate egalitatea și inegalitatea rezultate.

Aceasta este inegalitate. Să ne uităm la linia numerică. Deoarece căutăm un număr mai mic decât numărul 7, atunci trebuie să fie în stânga numărului 7 pe linia numerică. (Fig. 14)

Orez. 14

Puteți introduce mai multe numere în fereastră. Aici sunt potrivite numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Oricare dintre ele poate fi înlocuit în fereastră și veți obține mai multe inegalități adevărate. De exemplu, 5< 7 или 2 < 7

Pe linia numerică vom găsi numere care vor fi mai mici de 5. (Fig. 15)

Orez. 15

Aceste numere sunt 4, 3, 2, 1, 0. Prin urmare, oricare dintre aceste numere poate fi înlocuit în fereastră, vom obține mai multe inegalități adevărate. De exemplu, 5 >4, 5 >3

Numai un număr 8 poate fi înlocuit.

În această lecție, ne-am familiarizat cu conceptele matematice: „egalitate” și „inegalitate”, am învățat cum să plasăm corect semnele de comparație, am exersat compararea grupurilor de figuri folosind perechi și compararea numerelor folosind o linie numerică, ceea ce va ajuta în continuarea studiului. a matematicii.

Bibliografie

1. Alexandrova L.A., Mordkovich A.G. Matematica clasa I. - M: Mnemosyne, 2012.
2. Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Matematică. 1 clasa. - M: Astrel, 2012.
3. Bedenko M.V. Matematică. 1 clasa. - M7: Cuvânt rusesc, 2012.

1. Game.pro().
2. Slideshare.net().
3. Iqsha.ru ().

Teme pentru acasă

1. Ce semne de comparație cunoașteți, în ce cazuri sunt folosite? Notați semnele de comparație pentru numere.

2. Comparați numărul de obiecte din imagine și puneți un semn „<», «>" sau "=".

3. Comparați numerele punând semnul „<», «>" sau "=".

„Egalitatea” este o temă pe care elevii sunt predați încă din școala primară. De asemenea, merge mână în mână cu „Inegalitățile”. Aceste două concepte sunt strâns legate între ele. În plus, ele sunt asociate cu termeni precum ecuații și identități. Deci, ce este egalitatea?

Conceptul de egalitate

Acest termen se referă la afirmațiile care conțin semnul „=”. Egalitățile sunt împărțite în adevărate și false. Dacă în intrare în loc de = există<, >, atunci vorbim de inegalități. Apropo, primul semn de egalitate indică faptul că ambele părți ale expresiei sunt identice în rezultatul sau înregistrarea lor.

Pe lângă conceptul de egalitate, școala studiază și tema „Egalitatea numerică”. Această afirmație se referă la două expresii numerice care stau de fiecare parte a semnului =. De exemplu, 2*5+7=17. Ambele părți ale înregistrării sunt egale între ele.

Expresiile numerice de acest tip pot folosi paranteze care afectează ordinea operațiilor. Deci, există 4 reguli care ar trebui luate în considerare la calcularea rezultatelor expresiilor numerice.

1. Dacă nu există paranteze în intrare, atunci acțiunile sunt efectuate de la cel mai înalt nivel: III→II→I. Dacă există mai multe acțiuni din aceeași categorie, atunci acestea sunt efectuate de la stânga la dreapta.
2. Dacă există paranteze în intrare, atunci acțiunea se realizează între paranteze și apoi în pași. Pot exista mai multe acțiuni între paranteze.
3. Dacă expresia este prezentată ca o fracție, atunci trebuie să calculați mai întâi numărătorul, apoi numitorul, apoi împărțiți numărătorul la numitor.
4. Dacă o înregistrare are paranteze imbricate, atunci expresia din parantezele interioare este evaluată mai întâi.

Deci, acum este clar ce este egalitatea. În viitor, vor fi luate în considerare conceptele de ecuații, identități și metode de calculare a acestora.

Proprietățile egalităților numerice

Ce este egalitatea? Studierea acestui concept necesită cunoașterea proprietăților identităților numerice. Formulele text de mai jos vă permit să studiați mai bine acest subiect. Desigur, aceste proprietăți sunt mai potrivite pentru studiul matematicii în liceu.

1. Egalitatea numerică nu va fi încălcată dacă același număr este adăugat la ambele părți ale expresiei existente.

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Ecuația nu va fi încălcată dacă ambele părți ale sale sunt înmulțite sau împărțite cu același număr sau expresie diferită de zero.

P = O↔ P ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ P: 5 = O: 5

3. Adăugând la ambele părți ale identității aceeași funcție, care are sens pentru orice valori admisibile ale variabilei, obținem o nouă egalitate care este echivalentă cu cea inițială.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Orice termen sau expresie poate fi mutat pe cealaltă parte a semnului egal, dar semnele trebuie inversate.

X + 5 = Y - 20 ↔ X = Y - 20 - 5 ↔ X = Y - 25

5. Înmulțind sau împărțind ambele părți ale ecuației cu aceeași funcție, care este diferită de zero și are sens pentru fiecare valoare a lui X din ODZ, obținem o nouă ecuație care este echivalentă cu cea inițială.

F(X) = Ψ(X)↔ F(X)∙R(X) = Ψ(X)∙R(X)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X): G(X)

Regulile de mai sus indică clar principiul egalității, care există în anumite condiții.

Conceptul de proporție

În matematică există așa ceva ca egalitatea relațiilor. În acest caz, definiția proporției este implicită. Dacă împărțiți A la B, rezultatul va fi raportul dintre numărul A și numărul B. O proporție este egalitatea a două rapoarte:

Uneori proporția este scrisă după cum urmează: A:B=C:D. Aceasta implică principala proprietate a proporției: A*D=D*C, unde A și D sunt termenii extremi ai proporției, iar B și C sunt media.

Identități

O identitate este o egalitate care va fi adevărată pentru toate valorile permise ale variabilelor incluse în sarcină. Identitățile pot fi reprezentate ca egalități literale sau numerice.

Expresiile care conțin o variabilă necunoscută de ambele părți ale egalității care pot echivala două părți ale unui întreg sunt numite identic egale.

Dacă înlocuiți o expresie cu alta, care va fi egală cu ea, atunci vorbim despre o transformare identică. În acest caz, puteți folosi formule de înmulțire abreviate, legile aritmeticii și alte identități.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să efectuați transformări identice. De exemplu, dată fiind o fracție. Pentru a obține rezultatul, ar trebui să utilizați formule de înmulțire abreviate, factorizare, simplificare a expresiilor și reducere a fracțiilor.

Merită să luați în considerare faptul că această expresie va fi identică atunci când numitorul nu este egal cu 3.

5 moduri de a dovedi identitatea

Pentru a demonstra egalitatea identității, trebuie să transformați expresiile.

Metoda I

Este necesar să se efectueze transformări echivalente pe partea stângă. Rezultatul este partea dreaptă și putem spune că identitatea este dovedită.

Metoda II

Toate acțiunile de transformare a expresiei au loc pe partea dreaptă. Rezultatul manipulărilor efectuate este partea stângă. Dacă ambele părți sunt identice, atunci identitatea este dovedită.

metoda III

„Transformările” apar în ambele părți ale expresiei. Dacă rezultatul este două părți identice, identitatea este dovedită.

Metoda IV

Partea dreaptă este scăzută din partea stângă. Ca rezultat al transformărilor echivalente, rezultatul ar trebui să fie zero. Apoi putem vorbi despre identitatea expresiei.

metoda V

Partea stângă este scăzută din partea dreaptă. Toate transformările echivalente sunt reduse la a se asigura că răspunsul conține zero. Numai în acest caz putem vorbi despre identitatea egalității.

Proprietățile de bază ale identităților

În matematică, proprietățile egalităților sunt adesea folosite pentru a accelera procesul de calcul. Datorită identităților algebrice de bază, procesul de calcul al unor expresii va dura câteva minute în loc de ore lungi.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X∙Y + X∙C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X∙C + X∙E + Y∙C + Y∙E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) = X + Y - C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, unde X ≠ 0

Formule de înmulțire prescurtate

La baza lor, formulele de multiplicare abreviate sunt egalități. Ele ajută la rezolvarea multor probleme de matematică datorită simplității și ușurinței lor de utilizare.

• (A + B) 2 = A 2 + 2∙A∙B + B 2 - pătratul sumei unei perechi de numere;

• (A - B) 2 = A 2 - 2∙A∙B + B 2 - diferența la pătrat a unei perechi de numere;

• (C + B) ∙ (C - B) = C 2 - B 2 - diferența de pătrate;

• (A + B) 3 = A 3 + 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 + B 3 - cubul sumei;

• (A - B) 3 = A 3 - 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 - B 3 - cubul diferenței;

• (P + B) ∙ (P 2 - P∙B + B 2) = P 3 + B 3 - suma cuburilor;

• (P - B) ∙ (P 2 + P∙B + B 2) = P 3 - B 3 - diferența de cuburi.

Formulele de înmulțire prescurtate sunt adesea folosite dacă este necesar să aduceți un polinom la forma sa obișnuită, simplificându-l în toate modurile posibile. Formulele prezentate sunt ușor de demonstrat: doar deschideți parantezele și adăugați termeni similari.

Ecuații

După ce ați studiat întrebarea ce este egalitatea, puteți trece la următorul punct: O ecuație este înțeleasă ca o egalitate în care sunt prezente cantități necunoscute. Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor valorilor unei variabile astfel încât ambele părți ale întregii expresii să fie egale. Există, de asemenea, sarcini în care găsirea de soluții la o ecuație este imposibilă. În acest caz, ei spun că nu există rădăcini.

De regulă, egalitățile cu necunoscute produc numere întregi ca soluții. Cu toate acestea, pot exista cazuri în care rădăcina este un vector, o funcție sau alte obiecte.

O ecuație este unul dintre cele mai importante concepte din matematică. Majoritatea problemelor științifice și practice nu permit măsurarea sau calcularea vreunei cantități. Prin urmare, este necesar să se creeze un raport care să satisfacă toate condițiile sarcinii. În procesul de compilare a unei astfel de relații, apare o ecuație sau un sistem de ecuații.

De obicei, rezolvarea unei egalități cu o necunoscută se rezumă la transformarea unei ecuații complexe și reducerea ei la forme simple. Trebuie reținut că transformările trebuie efectuate pe ambele părți, altfel rezultatul va fi incorect.

4 moduri de a rezolva o ecuație

Prin rezolvarea unei ecuații înțelegem înlocuirea unei egalități date cu alta, care este echivalentă cu prima. O astfel de substituție este cunoscută ca o transformare de identitate. Pentru a rezolva ecuația, trebuie să utilizați una dintre metode.

1. O expresie este înlocuită cu alta, care va fi neapărat identică cu prima. Exemplu: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Această expresie poate fi convertită în 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10.

2. Transferul termenilor de egalitate cu necunoscutul de la o parte la alta. În acest caz, este necesar să schimbați corect semnele. Cea mai mică greșeală va strica toată munca depusă. Să luăm ca exemplu „eșantionul” anterior.

9∙x 2 + 12∙x + 4 = 15∙x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Înmulțirea ambelor părți ale unei egalități cu un număr egal sau o expresie care nu este egală cu 0. Cu toate acestea, merită să ne amintim că, dacă noua ecuație nu este echivalentă cu egalitatea de dinaintea transformărilor, atunci numărul de rădăcini se poate schimba semnificativ.

4. Punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației. Această metodă este pur și simplu minunată, mai ales când există expresii iraționale în egalitate, adică expresia de sub ea. Există o nuanță aici: dacă ridicați ecuația la o putere uniformă, atunci pot apărea rădăcini străine care vor distorsiona esența sarcinii. Și dacă extrageți incorect rădăcina, atunci sensul întrebării din problemă va fi neclar. Exemplu: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 și 2) - 7∙х = 35 → ecuația se va rezolva corect.

Deci, în acest articol, sunt menționați termeni precum ecuații și identități. Toate provin din conceptul de „egalitate”. Datorită diferitelor tipuri de expresii echivalente, rezolvarea unor probleme este mult facilitată.