Cea mai mică valoare a funcției f x. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment. O condiție suficientă pentru un extremum al unei funcții a unei variabile

Conceptul celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții.

Conceptul celor mai mari și mai mici valori este strâns legat de conceptul de punct critic al unei funcții.

Definiția 1

$x_0$ se numește punct critic al funcției $f(x)$ dacă:

1) $x_0$ - punct intern al domeniului de definire;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ sau nu există.

Să introducem acum definițiile celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții.

Definiția 2

O functie $y=f(x)$ definita pe intervalul $X$ isi atinge valoarea maxima daca exista un punct $x_0\in X$ astfel incat pentru toti $x\in X$ inegalitatea

Definiția 3

O functie $y=f(x)$ definita pe intervalul $X$ isi atinge valoarea minima daca exista un punct $x_0\in X$ astfel incat pentru toti $x\in X$ inegalitatea

Teorema lui Weierstrass asupra unei funcții continue pe un interval

Să introducem mai întâi conceptul de funcție continuă pe un interval:

Definiția 4

O funcție $f\left(x\right)$ se numește continuă pe un segment $$ dacă este continuă în fiecare punct al intervalului $(a,b)$ și, de asemenea, continuă în dreapta în punctul $x= a$ iar în stânga în punctul $x =b$.

Să formulăm o teoremă pe o funcție continuă pe un interval.

Teorema 1

Teorema Weierstrass

Funcția $f\left(x\right)$, care este continuă pe intervalul $$, își atinge valorile maxime și minime pe acest interval, adică există puncte $\alpha ,\beta \în $ astfel că pentru toată inegalitatea $x\in $ $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Interpretarea geometrică a teoremei este prezentată în figura 1.

Aici funcția $f(x)$ își atinge valoarea minimă în punctul $x=\alpha $ atinge valoarea maximă în punctul $x=\beta $.

Schema pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale funcției $f(x)$ pe segmentul $$

1) Aflați derivata $f"(x)$;

2) Găsiți punctele în care derivata $f"\left(x\right)=0$;

3) Găsiți puncte în care derivata $f"(x)$ nu există;

4) Alegeţi dintre punctele obţinute la paragrafele 2 şi 3 pe cele care aparţin segmentului $$;

5) Calculati valoarea functiei la punctele obtinute la pasul 4, precum si la capetele segmentului $$;

6) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare și cea mai mică valoare.

Probleme pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Exemplul 1

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții de pe segment: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Soluţie.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \left,\ 3\in $;

5) Valori:

\ \ \ \

6) Cea mai mare dintre valorile găsite este $33$, cea mai mică dintre valorile găsite este $1$. Astfel, obținem:

Răspuns:$max=33,\ min=1$.

Exemplul 2

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții de pe segment : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Soluţie.

Soluția va fi realizată conform schemei de mai sus.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ există în toate punctele domeniului de definiție;

4) $-3\notin\left,\5\in $;

5) Valori:

\ \ \

6) Cea mai mare dintre valorile găsite este $225$, cea mai mică dintre valorile găsite este $50$. Astfel, obținem:

Răspuns:$max=225,\ min=50$.

Exemplul 3

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții în intervalul [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Soluţie.

Soluția va fi realizată conform schemei de mai sus.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ nu există în punctul $x=1$

4) $3\not\left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, totuși 1 nu aparține domeniului de aplicare;

5) Valori:

\ \ \

6) Cea mai mare dintre valorile găsite este $1$, cea mai mică dintre valorile găsite este $-8\frac(1)(3)$. Astfel, obținem: \end(enumerate)

Răspuns:$max=1,\ min==-8\frac(1)(3)$.

Cu acest serviciu, puteți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu designul soluției în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile . De asemenea, puteți găsi intervalele de creștere și scădere ale funcției.

Reguli de introducere a funcției:

O condiție necesară pentru un extremum al unei funcții a unei variabile

O condiție suficientă pentru un extremum al unei funcții a unei variabile

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minimului local (global) al funcției.

Dacă în punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Acel punct x * este un maxim local (global).

Exemplul #1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment .
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f'(x)=0). Acest punct aparține segmentului . (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 pentru x=2; f max =9 la x=1

Exemplul #2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y''=2sin(x), calculăm , deci x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , deci x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul #3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți, derivata își schimbă semnul. În aceste puncte, trebuie să aplicați alte metode pentru a studia funcțiile până la extrem.

Exemplul #4. Împărțiți numărul 49 în doi termeni, al căror produs va fi cel mai mare.
Soluţie. Fie x primul termen. Atunci (49-x) este al doilea termen.
Produsul va fi maxim: x (49-x) → max

Cifrele de mai jos arată unde funcția poate atinge cea mai mică și cea mai mare valoare. În figura din stânga, cele mai mici și cele mai mari valori sunt fixate în punctele minimului și maximului local al funcției. În figura din dreapta - la capetele segmentului.

Dacă funcţia y = f(X) continuu pe intervalul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin și cele mai mari valori . Acest lucru, după cum am menționat deja, se poate întâmpla fie în puncte extremum sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

Să fie, de exemplu, este necesar să se determine valoarea maximă a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ A, b] .

punct critic se numeste punctul in care functie definita, si ea derivat fie este zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) și f(b) ). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției pe interval [A, b] .

Problema găsirii cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții. Echivalează derivata cu zero () și obține două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul , deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2] . Aceste valori ale funcției sunt următoarele: , , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(marcat cu roșu în graficul de mai jos), egal cu -7, este atins la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic .

Dacă funcția este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (ci este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), este valabilă următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține intervalului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple mai complicate decât cele luate în considerare, adică acelea în care funcția este un polinom sau o fracție, numărătorul. iar numitorul cărora sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, din moment ce printre profesori sunt profesori cărora le place să-i facă pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi logaritmul și funcția trigonometrică.

Exemplul 8. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, într-un punct și într-un punct și cea mai mare valoare egal cu e² , la punctul .

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 9. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții:

Echivalează derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal cu , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (mai mari) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci valorile argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - compilarea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 10 Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului pentru a-l acoperi cu cea mai mică cantitate de material?

Soluţie. Lăsa X- partea de bază h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula , adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție pentru un extremum. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, - singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . Pentru că asta minim - singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie egală cu 2 m și înălțimea acestuia.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza

În practică, este destul de comun să se folosească derivata pentru a calcula cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în acele cazuri când este necesar să se determine valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care este valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții.

De obicei definim aceste valori în cadrul unui interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi fie un segment [ a ; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

În acest articol, vom descrie modul în care se calculează cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții date explicit cu o variabilă y=f(x) y = f (x).

Definiții de bază

Începem, ca întotdeauna, cu formularea principalelor definiții.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X , care, pentru orice valoare x x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f (x) ) ≤ f (x 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0) , care, pentru orice valoare x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f(X f (x) ≥ f(x0) .

Aceste definiții sunt destul de evidente. Poate fi și mai simplu să spunem acest lucru: cea mai mare valoare a unei funcții este valoarea sa cea mai mare într-un interval cunoscut la abscisa x 0, iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată în același interval la x 0.

Definiția 3

Punctele staționare sunt astfel de valori ale argumentului funcției la care derivata sa devine 0.

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Rezultă din aceasta că un punct staționar este un punct în care se află extremul unei funcții diferențiabile (adică minimul sau maximul ei local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O altă funcție poate lua cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită, iar derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect este: în toate cazurile, putem determina valoarea maximă sau minimă a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face asta atunci când limitele intervalului dat vor coincide cu limitele domeniului de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție într-un interval dat sau la infinit să ia valori infinit de mici sau infinit de mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste momente vor deveni mai de înțeles după imaginea din grafice:

Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe intervalul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6] și obținem că cea mai mare valoare a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa în limita dreaptă a intervalului, iar cea mai mică - în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a funcției date.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6 ; 6) .

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6) , atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Nu vom ști valoarea maximă. Funcția ar putea lua cea mai mare valoare la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acest caz este prezentat în Figura 5.

Pe graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare în marginea dreaptă a intervalului (- 3 ; 2 ] , și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7, vedem că funcția va avea m a x y în punctul staționar, având o abscisă egală cu 1 . Funcția atinge valoarea minimă la limita intervalului din partea dreaptă. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3 .

Dacă luăm un interval x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua asupra ei nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este cazul prezentat în figura 8.

În acest paragraf, vom oferi o secvență de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit interval.

1. Mai întâi, să găsim domeniul funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
2. Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea, ele pot fi găsite în funcțiile al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcțiile de putere, al căror exponent este un număr fracțional rațional.
3. În continuare, aflăm care puncte staționare se încadrează într-un segment dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să alegeți rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează într-un anumit segment, atunci trecem la pasul următor.
4. Să determinăm ce valori va lua funcția în punctele staționare date (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b .
5. 5. Avem o serie de valori ale funcției, dintre care acum trebuie să alegem cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să o găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Condiție: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică pe segmentele [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - unu ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul acestei funcții. În acest caz, va fi mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui 0. Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Ambele segmente specificate în condiție se vor afla în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a unei fracții:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata funcției va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - unu ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta cu ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [ 1 ; patru ] .

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și la punctul dat, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am obţinut că cea mai mare valoare a funcţiei m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1 , iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2 .

Al doilea segment nu include niciun punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Prin urmare, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:

Înainte de a învăța această metodă, vă sfătuim să revizuiți cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, efectuăm următorii pași în secvență.

1. Mai întâi trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
2. Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. De obicei, ele apar în funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și în funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
3. Acum determinăm care puncte staționare se încadrează într-un interval dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și găsim rădăcini potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul specificat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.

• Dacă intervalul arată ca [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a ; b ] , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a ; b) , atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Dacă intervalul arată ca [ a ; + ∞) , atunci este necesar să se calculeze valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
• Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
• Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
• Dacă - ∞ ; + ∞ , atunci considerăm limitele la minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor obținute ale funcției și limitelor. Există multe opțiuni aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cea mai mică și mai mare valoare a funcției. Mai jos vom lua în considerare un exemplu tipic. Descrierile detaliate vă vor ajuta să înțelegeți ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.

Condiție: dată o funcție y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul funcției. Numitorul fracției este un trinom pătrat, care nu trebuie să meargă la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de aplicare al funcției, căruia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există pe întregul domeniu al definiției acesteia.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ] , precum și limita la minus infinit:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1 , atunci m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a funcției. Putem doar concluziona că există o limită sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

O caracteristică a celui de-al doilea interval este că nu are un singur punct staționar și nici o singură limită strictă. Prin urmare, nu putem calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. Prin definirea limitei la minus infinit și deoarece argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar intervalul de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a afla valoarea maximă a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1 . De asemenea, trebuie să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 în partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. știi, este prezența unei limite inferioare la -4.

Pentru intervalul (- 3 ; 2), să luăm rezultatele calculului anterior și să calculăm încă o dată cu ce este egală limita unilaterală atunci când tindem spre 2 din partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Prin urmare, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt mărginite de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am făcut în cele două calcule anterioare, putem afirma că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1 și este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞), funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce va fi valoarea funcției la x = 4 , aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt prezentate prin linii punctate.

Atât am vrut să vorbim despre găsirea celei mai mari și mai mici valori a unei funcții. Acele secvențe de acțiuni pe care le-am dat vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale funcția va scădea și pe care va crește, după care se pot trage concluzii suplimentare. Deci, puteți determina mai precis valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției și să justificați rezultatele.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lasă funcția y=f(X) continuu pe intervalul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție pe acest segment atinge valorile maxime și minime. Funcția poate lua aceste valori fie într-un punct interior al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică pt X=Ași x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

la punct X= 3 și la punct X= 0.

Investigarea unei funcții pentru convexitate și un punct de inflexiune.

Funcţie y = f (X) numit convexă intre (A, b) , dacă graficul său se află sub o tangentă desenată în orice punct al acestui interval și se numește convex în jos (concav) dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul de tranziție prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru studiul convexității și punctului de inflexiune:

1. Aflați punctele critice de al doilea fel, adică punctele în care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Pune punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, acesta își schimbă semnul și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Investigarea unei funcții în asimptote.

Definiție. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct al graficului la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiție. Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punctul de rupere.

Definiție. Drept y=A numit asimptotă orizontală graficul funcției y = f(x) la , dacă

Exemplu.

Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde

Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.

Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (y).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).

3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

1) D (y) =

X= 4 - punctul de rupere.

2) Când X = 0,

(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.

La y = 0,

3) y(‒ X)= funcţie generală (nici par, nici impar).

4) Investigam pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsi asimptote oblice unde

‒ecuația asimptotă oblică

5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel:

Din tabel se vede că punctul X= ‒2‒punct maxim, la punct X= 4‒ fără extremă, X= 10 – punct minim.

Înlocuiți valoarea (‒ 3) în ecuație:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Maximul acestei funcții este

(– 2; – 4) – extremul maxim.

Minimul acestei funcții este

(10; 20) este extrema minimă.

7) examinați convexitatea și punctul de inflexiune al graficului funcției