Notele mele de călătorie adepte. Examinarea completă a funcției și reprezentarea graficului Găsirea domeniului definiției

Dacă în sarcină este necesar să se efectueze un studiu complet al funcției f (x) = x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să se utilizeze proprietățile și graficele principalelor funcții elementare. Algoritmul de cercetare include pași:

Găsirea scopului

Deoarece cercetarea se desfășoară pe domeniul definiției funcției, este necesar să se înceapă de la acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat presupune găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Ca urmare, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Apoi, ODV poate fi căutat pentru o rădăcină cu un grad egal de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0, pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x)> 0.

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale pe limitele funcției atunci când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, luați în considerare punctele de margine egale cu x = ± 1 2.

Apoi, este necesar să efectuați un studiu al funcției pentru a găsi limita unilaterală. Apoi obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0) 2 = + ∞

Prin urmare, se poate vedea că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile drepte x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea unei funcții și pentru paritate pară sau impară

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată pare. Acest lucru sugerează că graficul este situat simetric față de O y. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impar. Aceasta înseamnă că simetria este relativă la origine. Dacă cel puțin o inegalitate nu este satisfăcută, obținem o funcție generală.

Egalitatea y (- x) = y (x) înseamnă că funcția este pară. La construcție, este necesar să se ia în considerare faptul că va exista simetrie despre O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, intervalele de creștere și descreștere sunt utilizate cu condițiile f "(x) ≥ 0 și, respectiv, f" (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare- acestea sunt punctele care transformă derivata la zero.

Puncte critice sunt puncte interioare din domeniu, unde derivata funcției este zero sau nu există.

Atunci când decideți, este necesar să luați în considerare următoarele note:

• cu intervalele disponibile de creștere și scădere a inegalităților de forma f "(x)> 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și descreștere (de exemplu, y = x 3, unde punctul x = 0 face funcția definită, derivata are valoarea infinitului la acest punct, y "= 1 3 x 2 3, y" (0) = 1 0 = ∞, x = 0 este inclus în intervalul crescător);
• pentru a evita controversele, se recomandă utilizarea literaturii matematice, recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și descreștere în cazul în care acestea satisfac domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru pentru determinarea intervalelor de creștere și scădere a funcției, este necesar să se găsească:

• derivat;
• puncte critice;
• împărțiți zona de definiție folosind puncte critice în intervale;
• determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Găsiți derivata pe domeniul f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

Soluţie

Pentru a rezolva aveți nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2.

Expunem puncte pe axa numerică pentru a determina derivata la fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să efectuați calculul. Dacă rezultatul este pozitiv, trasăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9> 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare linia numerică.

Răspuns:

• funcția crește pe interval - ∞; - 1 2 și (- 1 2; 0];
• există o scădere a intervalului [0; 1 2) și 1 2; + ∞.

Pe diagramă, folosind + și - descrie pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile - descrescătoare și crescătoare.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care se schimbă semnul derivatului.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x = 0, atunci valoarea funcției din ea este egală cu f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x = 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul se schimbă de la - la +, obținem un punct minim.

Convexitatea și concavitatea sunt determinate prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0. Mai puțin frecvent, numele este folosit convexitate în jos în loc de concavitate și convexitate în sus în loc de convexitate.

Definiție 3

Pentru determinarea intervalelor de concavitate și convexitate necesar:

• găsiți a doua derivată;
• găsiți zerourile celei de-a doua funcții derivate;
• împarte aria de definiție cu punctele apărute în intervale;
• determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți a doua derivată din domeniu.

Soluţie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde în exemplul nostru avem că zero ale numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să trasați puncte pe axa numerică și să determinați semnul celei de-a doua derivate din fiecare interval. Obținem asta

Răspuns:

• funcția este convexă din intervalul - 1 2; 12;
• funcția este concavă din intervalele - ∞; - 1 2 și 1 2; + ∞.

Definiția 4

Punct de inflexiune Este un punct de forma x 0; f (x 0). Când are o tangentă la graficul unei funcții, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul în opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un punct prin care a doua derivată trece și schimbă semnul, iar în punctele în sine este egal cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece a doua derivată schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2. La rândul lor, acestea nu sunt incluse în sfera definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice sunt descrise prin liniile definite prin ecuația y = k x + b, unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Pentru k = 0 și b care nu sunt egale cu infinitul, constatăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile către care se apropie graficul funcției la infinit. Acest lucru ajută la trasarea rapidă a funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinități, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

De exemplu, ia în considerare asta

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este asimptota orizontală. După examinarea funcției, puteți începe să o construiți.

Calculul valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, este recomandat să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am considerat, este necesar să găsim valorile funcției la punctele x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Deoarece funcția este egală, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Să notăm și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0.27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0,45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele unei funcții, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru desemnarea convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare figura de mai jos.

Este necesar să trasați liniile grafice prin punctele marcate, care vă vor permite să vă apropiați de asimptote, urmând săgețile.

Aceasta încheie explorarea completă a funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se aplică transformări geometrice.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

De ceva timp, baza de date încorporată de certificate pentru SSL încetează să mai funcționeze corect în TheBat (nu este clar din ce motiv).

Când verificați postările, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Vă rog
contactați administratorul serverului.

Și există o gamă de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când vă ridicați poșta.

Soluţie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S / MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în TheBat!

De vreme ce trebuia să combin toate fișierele într-unul singur, am convertit mai întâi toate fișierele doc într-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat) și apoi, printr-un convertor online, le-am convertit în fb2. De asemenea, puteți converti fișiere separat. Formatele pot fi absolut orice (sursă) și doc, și jpg, și chiar o arhivă zip!

Numele site-ului corespunde esenței :) Photoshop online.

Actualizare mai 2015

Am găsit un alt site grozav! Este și mai convenabil și funcțional pentru crearea unui colaj complet arbitrar! Acest site este http://www.fotor.com/en/collage/. Folosește-l pentru sănătatea ta. Și o voi folosi eu însumi.

Confruntat în viața mea cu reparația unui aragaz electric. Am făcut deja multe lucruri, am învățat multe, dar cumva am avut puțin de-a face cu dale. A fost necesar să înlocuiți contactele de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum să se determine diametrul arzătorului pe aragazul electric?

Răspunsul a fost simplu. Nu trebuie să măsurați nimic, puteți stabili cu calm de dimensiunea de care aveți nevoie.

Cel mai mic arzător este de 145 milimetri (14,5 centimetri)

Plita medie este de 180 de milimetri (18 centimetri).

Și în cele din urmă, cel mai mult arzător mare este de 225 milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea cu ochiul și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de un arzător. Când nu știam asta, mă avântam cu aceste dimensiuni, nu știam cum să măsoară, ce margine să navighez etc. Acum sunt înțelept :) Sper că și eu v-am ajutat!

În viața mea m-am confruntat cu o astfel de sarcină. Cred că nu sunt singurul.

Rehebnik Kuznetsov.
III Diagrame

Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți-i graficul.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Înainte de a începe să descărcați opțiunile, încercați să rezolvați problema conform exemplului dat mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați graficul acesteia

Soluţie.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Domeniu: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp sau & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, adică & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Astfel: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Nu există intersecții cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp nu are soluții.
Nu există intersecții cu axa Oy din moment ce & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funcția nu este nici pară, nici impar. Nu există simetrie în legătură cu ordonata. Nici despre origine nu există simetrie. La fel de
.
Vedem că & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp și & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funcția este continuă în domeniu
.

; .

; .
Prin urmare, punctul & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp este un punct de întrerupere de al doilea fel (pauză infinită).

5) Asimptote verticale:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Găsiți asimptota oblică & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Aici

;
.
Prin urmare, avem o asimptotă orizontală: y = 0... Nu există asimptote oblice.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Găsiți prima derivată. Primul derivat:
.
Si de aceea
.
Găsiți puncte staționare în care derivata este zero, adică
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Găsiți a doua derivată. A doua derivată:
.
Și acest lucru este ușor de convins, de vreme ce

Cum să examinați o funcție și să o complotați?

Se pare că încep să înțeleg fața sufletească și sufletească a liderului proletariatului mondial, autorul lucrărilor colectate în 55 de volume ... Calea lentă a început cu informații elementare despre funcții și grafice, iar acum lucrul la un subiect laborios se încheie cu un rezultat natural - articolul despre un studiu complet al funcției... Sarcina mult așteptată este formulată după cum urmează:

Investigați funcția folosind metodele de calcul diferențial și, pe baza rezultatelor studiului, construiți-i graficul

Sau, pe scurt: examinați funcția și trasați graficul.

De ce să cercetăm?În cazuri simple, nu ne va fi dificil să ne ocupăm de funcțiile elementare, să trasăm un grafic obținut folosind transformări geometrice elementare etc. Cu toate acestea, proprietățile și reprezentările grafice ale funcțiilor mai complexe sunt departe de a fi evidente, motiv pentru care este necesar un studiu întreg.

Pașii principali ai soluției sunt rezumați în materialul de referință Diagrama de studiu a funcțiilor, acesta este ghidul dvs. pentru secțiune. Manechinii au nevoie de o explicație pas cu pas a subiectului, unii cititori nu știu de unde să înceapă și cum să organizeze studiul, iar studenții avansați pot fi interesați doar de câteva puncte. Dar oricine sunteți, dragă vizitatoră, sinopsisul propus cu indicatori pentru diferite lecții în cel mai scurt timp posibil vă va orienta și vă va direcționa în direcția interesului. Roboții vărsă lacrimi =) Manualul este prezentat sub forma unui fișier pdf și și-a luat locul binemeritat pe pagină Formule și tabele matematice.

Obișnuiam să împart studiul unei funcții în 5-6 puncte:

6) Puncte suplimentare și un grafic bazat pe rezultatele cercetării.

În detrimentul acțiunii finale, cred că toată lumea înțelege totul - va fi foarte jignitor dacă în câteva secunde este tăiată și sarcina este returnată pentru revizuire. DESENUL CORECT ȘI ACURAT este principalul rezultat al deciziei! Cel mai probabil va „acoperi” neglijările analitice, în timp ce un program incorect și / sau neglijent va cauza probleme chiar și cu o cercetare perfectă.

Trebuie remarcat faptul că în alte surse, numărul de puncte de cercetare, ordinea implementării lor și stilul de proiectare pot diferi semnificativ de schema pe care am propus-o, dar în majoritatea cazurilor este suficientă. Cea mai simplă versiune a problemei constă doar din 2-3 etape și este formulată cam așa: „investigați funcția folosind derivata și construiți un grafic” sau „examinați funcția folosind derivatele 1 și 2, construiți un grafic”.

Bineînțeles, dacă un alt algoritm este analizat în detaliu în manualul dvs. sau dacă profesorul dvs. vă cere strict să respectați prelegerile sale, atunci va trebui să faceți câteva ajustări la soluție. La fel de ușor ca înlocuirea furcii cu o lingură de ferăstrău cu lanț.

Să verificăm funcția pentru paritate par / impar:

Urmează un șablon de dezabonare:
, deci această funcție nu este pară sau ciudată.

Deoarece funcția este continuă activată, nu există asimptote verticale.

Nici asimptotele oblice nu sunt.

Notă : amintește că cu cât este mai mare ordinea de creștere decât, prin urmare, limita finală este exact „ un plus infinitul ".

Să aflăm cum se comportă funcția la infinit:

Cu alte cuvinte, dacă mergem la dreapta, atunci graficul merge infinit mult în sus, dacă la stânga - infinit mult în jos. Da, există și două limite sub o singură intrare. Dacă aveți dificultăți în descifrarea semnelor, vă rugăm să vizitați lecția despre funcții infinitesimale.

Deci funcția nelimitat de susși nelimitat de jos... Având în vedere că nu avem puncte de rupere, devine clar și gama de funcții: - și orice număr real.

AJUTOR TEHNIC UTIL

Fiecare etapă a sarcinii aduce informații noi despre graficul funcției, prin urmare, este convenabil să utilizați un fel de DISPOZIȚIE pe parcursul soluției. Să desenăm un sistem de coordonate carteziene pe o schiță. Ce se știe deja cu siguranță? În primul rând, graficul nu are asimptote, prin urmare, nu este nevoie să trasați linii drepte. În al doilea rând, știm cum se comportă funcția la infinit. Conform analizei, vom desena prima aproximare:

Rețineți că datorită continuitate funcții și faptul că graficul trebuie să traverseze axa cel puțin o dată. Sau poate există mai multe puncte de intersecție?

3) Zero ale funcției și intervalele de constanță.

În primul rând, să găsim punctul de intersecție al graficului cu axa ordonatelor. E simplu. Este necesar să se calculeze valoarea funcției atunci când:

La un și jumătate deasupra nivelului mării.

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa (zerouri ale funcției), trebuie să rezolvați ecuația și aici ne așteaptă o surpriză neplăcută:

La sfârșit, un membru liber pândește, ceea ce complică semnificativ sarcina.

O astfel de ecuație are cel puțin o rădăcină reală și cel mai adesea această rădăcină este irațională. În cel mai rău basm, trei porci mici ne așteaptă. Ecuația este rezolvabilă folosind așa-numitul Formule Cardano dar risipa de hârtie este comparabilă cu aproape întregul studiu. În această privință, este mai înțelept pe cale orală sau pe o schiță să încerci să găsești cel puțin unul întreg rădăcină. Să verificăm dacă numerele nu sunt:
- nu se potriveste;
- există!

Noroc aici. În caz de eșec, puteți testa și dacă aceste numere nu se potrivesc, atunci șansele unei soluții profitabile la ecuație, îmi este teamă, sunt foarte mici. Atunci este mai bine să omiteți complet punctul de cercetare - poate că ceva va deveni mai clar la pasul final, când vor trece puncte suplimentare. Și dacă rădăcina (rădăcinile) este în mod clar „proastă”, atunci este mai bine să păstrați liniștea cu privire la intervalele de constanță a semnelor și să faceți desenul mai atent.

Cu toate acestea, avem o rădăcină frumoasă, deci împărțim polinomul fără rest:

Algoritmul pentru împărțirea unui polinom la un polinom este detaliat în primul exemplu al lecției Limite provocatoare.

Ca rezultat, partea stângă a ecuației inițiale se descompune într-o lucrare:

Și acum puțin despre un stil de viață sănătos. Cu siguranță înțeleg asta ecuații pătratice trebuie rezolvată în fiecare zi, dar astăzi vom face o excepție: ecuația are două rădăcini valabile.

Puneți deoparte valorile găsite pe linia numerică și metoda intervalului definiți semnele funcției:


og Astfel, la intervale graficul este situat
sub axa absciselor și la intervale - deasupra acestei axe.

Descoperirile ne permit să ne detaliem aspectul, iar a doua aproximare a graficului arată astfel:

Rețineți că o funcție trebuie să aibă cel puțin un maxim pe un interval și cel puțin un minim pe un interval. Dar de câte ori, unde și când programul se va „răsuci”, nu știm încă. Apropo, o funcție poate avea infinit multe extrema.

4) Creșterea, scăderea și extrema funcției.

Să găsim punctele critice:

Această ecuație are două rădăcini reale. Le punem deoparte pe linia numerică și determinăm semnele derivatei:


Prin urmare, funcția crește cu și scade cu.
La un moment dat, funcția atinge maximul: .
La un moment dat, funcția atinge un minim: .

Faptele stabilite împing șablonul nostru într-un cadru destul de rigid:

Inutil să spun că calculul diferențial este un lucru puternic. Să înțelegem în cele din urmă forma graficului:

5) Convexitate, concavitate și puncte de inflexiune.

Să găsim punctele critice ale celei de-a doua derivate:

Să definim semnele:


Graficul funcțional este convex și concav. Să calculăm ordonata punctului de flexiune:.

Aproape totul s-a lămurit.

6) Rămâne să găsiți puncte suplimentare care vă vor ajuta să construiți mai precis un grafic și să efectuați un autotest. În acest caz, sunt puține, dar nu vom neglija:

Să executăm desenul:

Punctul de inflexiune este marcat cu verde, punctele suplimentare sunt marcate cu cruci. Graficul funcției cubice este simetric față de punctul său de inflexiune, care este întotdeauna exact la mijloc între maxim și minim.

În timpul sarcinii, am dat trei desene ipotetice intermediare. În practică, este suficient să desenați un sistem de coordonate, să marcați punctele găsite și, după fiecare punct al studiului, aflați cum ar putea arăta graficul funcțional. Nu va fi dificil pentru studenții cu un nivel bun de pregătire să efectueze o astfel de analiză doar în cap, fără a implica o schiță.

Pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Explorează funcția și trasează graficul.

Totul este mai rapid și mai distractiv aici, un exemplu dur de terminare la sfârșitul lecției.

O mulțime de secrete sunt dezvăluite de studiul funcțiilor fracțional-raționale:

Exemplul 3

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și, pe baza rezultatelor studiului, construiți-i graficul.

Soluţie: prima etapă a studiului nu se distinge prin nimic remarcabil, cu excepția unei găuri din domeniul definiției:

1) Funcția este definită și continuă pe linia numerelor întregi, cu excepția punctului, domeniu: .

, deci această funcție nu este pară sau ciudată.

Este evident că funcția este non-periodică.

Graficul funcției reprezintă două ramuri continue situate în semiplanele stânga și dreapta - aceasta este probabil cea mai importantă concluzie a primului punct.

2) Asimptotele, comportamentul unei funcții la infinit.

a) Folosind limite unilaterale, investigăm comportamentul funcției în apropierea unui punct suspect, unde asimptota verticală ar trebui să fie în mod clar:

Într-adevăr, funcțiile rezistă pauză nesfârșită la punct
iar linia dreaptă (axa) este asimptotă verticală Arte grafice .

b) Verificați dacă există asimptote oblice:

Da, drept este asimptotă oblică grafică dacă.

Nu are sens să analizăm limitele, deoarece este deja clar că funcția se află într-o îmbrățișare cu asimptota sa oblică nelimitat de susși nelimitat de jos.

Al doilea punct al studiului a adus o mulțime de informații importante despre funcție. Să facem o schiță brută:

Concluzia nr. 1 se referă la intervalele de constanță. Pe „minus infinit”, graficul funcției este situat în mod unic sub axa absciselor, iar pe „plus infinit” - deasupra acestei axe. În plus, limitele unilaterale ne-au spus că funcția la stânga și la dreapta punctului este, de asemenea, mai mare decât zero. Rețineți că în semiplanul stâng, graficul trebuie să traverseze abscisa cel puțin o dată. Este posibil să nu existe zerouri ale funcției în jumătatea dreaptă a planului.

Concluzia # 2 este că funcția crește cu și spre stânga punctului (mergând „de jos în sus”). În dreapta acestui punct, funcția scade (merge „de sus în jos”). Ramura dreaptă a graficului trebuie să aibă cel puțin un minim. În stânga, extremele nu sunt garantate.

Concluzia 3 oferă informații fiabile despre concavitatea graficului în vecinătatea punctului. Până în prezent, nu putem spune nimic despre convexitate / concavitate la infinit, deoarece linia poate fi apăsată pe asimptota sa atât deasupra cât și dedesubt. În general vorbind, există o modalitate analitică de a afla chiar acum, dar forma graficului va „fi gratuită” va deveni mai clară într-o etapă ulterioară.

De ce atâtea cuvinte? Pentru a controla punctele de cercetare ulterioare și a evita greșelile! Alte calcule nu ar trebui să contrazică concluziile făcute.

3) Punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervalele de semn constant ale funcției.

Graficul funcțional nu traversează axa.

Folosind metoda intervalelor, definim semnele:

, dacă ;
, dacă .

Rezultatele paragrafului sunt pe deplin conforme cu Concluzia nr. 1. După fiecare pas, priviți schița, consultați mental cercetarea și terminați desenarea graficului funcțional.

În exemplul luat în considerare, numeratorul este împărțit în termeni la numitor, ceea ce este foarte benefic pentru diferențiere:

De fapt, acest lucru s-a făcut deja la găsirea asimptotelor.

- punct critic.

Să definim semnele:

crește cu și scade cu

La un moment dat, funcția atinge un minim: .

Nici cu Concluzia nr. 2 nu au existat discrepanțe și cel mai probabil suntem pe drumul cel bun.

Aceasta înseamnă că graficul funcției este concav pe întregul domeniu al definiției.

Excelent - și nu trebuie să desenați nimic.

Nu există puncte de inflexiune.

Concavitatea este în concordanță cu Concluzia nr. 3, în plus, indică faptul că la infinit (atât acolo cât și acolo) se află graficul funcției superior asimptota sa oblică.

6) Fixați conștient sarcina cu puncte suplimentare. Aici trebuie să lucrați din greu, deoarece știm doar două puncte din studiu.

Și imaginea, pe care, probabil, mulți au prezentat-o ​​cu mult timp în urmă:

Pe parcursul atribuirii, trebuie să monitorizați cu atenție, astfel încât să nu existe contradicții între etapele studiului, dar uneori situația este urgentă sau chiar disperată. Analistul „nu converge” - și atât. În acest caz, recomand o metodă de urgență: găsim cât mai multe puncte aparținând graficului (câtă răbdare este suficientă) și le marcăm pe planul de coordonate. În majoritatea cazurilor, o analiză grafică a valorilor găsite vă va spune unde este adevărul și unde este minciuna. În plus, un grafic poate fi pre-construit folosind un program, de exemplu, în același Excel (desigur, acest lucru necesită abilități).

Exemplul 4

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și construiți-o graficul.

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. În ea, autocontrolul este sporit de paritatea funcției - graficul este simetric față de axă și dacă în cercetarea dvs. ceva contrazice acest fapt, căutați o eroare.

O funcție pară sau impar poate fi investigată numai la și apoi se folosește simetria graficului. Această soluție este optimă, dar pare, în opinia mea, foarte neobișnuită. Personal, consider întreaga axă numerică, dar mai găsesc puncte suplimentare doar în dreapta:

Exemplul 5

Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

Soluţie: grăbit cu putere:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică :.

Aceasta înseamnă că această funcție este ciudată, graficul său este simetric față de origine.

Este evident că funcția este non-periodică.

2) Asimptotele, comportamentul unei funcții la infinit.

Deoarece funcția este continuă activată, nu există asimptote verticale

Pentru o funcție care conține un exponent, de obicei separa studiul „plus” și „minus infinit”, dar viața noastră este ușurată de simetria graficului - fie există o asimptotă în stânga și în dreapta, fie nu este. Prin urmare, ambele limite infinite pot fi formalizate sub o singură intrare. Pe parcursul soluției, folosim Regula L'Hôpital:

Linia dreaptă (axa) este asimptota orizontală a graficului la.

Observați cum am evitat inteligent algoritmul complet pentru a găsi asimptota oblică: limita este destul de legală și clarifică comportamentul funcției la infinit, iar asimptota orizontală a fost găsită „ca și în același timp”.

Din continuitatea și existența unei asimptote orizontale, rezultă că funcția mărginită de susși mărginită de jos.

3) Puncte de intersecție a graficului cu axele de coordonate, intervale de constanță.

Aici scurtăm și soluția:
Graficul trece prin origine.

Nu există alte puncte de intersecție cu axele de coordonate. Mai mult, intervalele de constanță ale semnului sunt evidente, iar axa poate fi omisă, ceea ce înseamnă că semnul funcției depinde doar de „x”:
, dacă ;
, dacă .

4) Creșterea, scăderea, extrema funcției.


- puncte critice.

Punctele sunt simetrice cu zero, așa cum ar trebui să fie.

Să definim semnele derivatei:


Funcția crește la intervale și scade la intervale

La un moment dat, funcția atinge maximul: .

În virtutea proprietății (funcție ciudată) minimul poate fi omis:

Deoarece funcția scade în interval, atunci, evident, la „minus infinit” se află graficul sub asimptota sa. Pe interval, funcția scade și ea, dar aici este adevărat opusul - după ce treceți prin punctul maxim, linia se apropie de axă deja de sus.

De asemenea, rezultă din cele de mai sus că graficul funcției este convex la „minus infinit” și concav la „plus infinit”.

După acest punct de cercetare, s-a tras și gama de valori a funcției:

Dacă aveți o neînțelegere a vreunui punct, vă îndemn din nou să desenați axele de coordonate într-un caiet și, cu un creion în mână, să reanalizați fiecare concluzie a sarcinii.

5) Convexitatea, concavitatea, graficul se îndoaie.

- puncte critice.

Simetria punctelor este păstrată și, cel mai probabil, nu ne înșelăm.

Să definim semnele:


Graficul funcțional este convex și concavă pe .

Bulge / concavitate la intervale extreme a fost confirmată.

În toate punctele critice, există inflexiuni în grafic. Găsiți ordonatele punctelor de inflexiune, reducând din nou numărul de calcule folosind ciudățenia funcției: