Cum se notează numerele cu pi pe cercul numeric? Cum să vă amintiți punctele din cercul unității Marcați punctele din cercul unității care corespund numărului

Când studiază trigonometria la școală, fiecare elev se confruntă cu conceptul foarte interesant de „cerc numeric”. Din pricepere profesor de școală Explicarea ce este și de ce este nevoie depinde de cât de bine va face studentul trigonometria mai târziu. Din păcate, nu orice profesor poate explica clar acest material. În consecință, mulți studenți sunt confuzi chiar și în ceea ce privește cum să noteze puncte de pe cercul numeric. Dacă citiți acest articol până la sfârșit, veți învăța cum să faceți acest lucru fără probleme.

Asadar, haideti sa începem. Să desenăm un cerc a cărui rază este 1. Să notăm punctul „cel mai din dreapta” al acestui cerc cu litera O:

Felicitări, tocmai ai desenat un cerc unitar. Deoarece raza acestui cerc este 1, lungimea lui este .

Fiecare număr real poate fi asociat cu lungimea traiectoriei de-a lungul cercului numeric din punct O. Direcția de mișcare în sens invers acelor de ceasornic este luată ca o direcție pozitivă. Pentru negativ – în sensul acelor de ceasornic:

Locația punctelor pe cercul numeric

După cum am observat deja, lungimea cercului numeric (cercul unitar) este egală cu . Atunci unde va fi situat numărul pe acest cerc? Evident, din punct de vedere Oîn sens invers acelor de ceasornic trebuie să mergem pe jumătate din lungimea cercului și ne vom găsi în punctul dorit. Să o notăm prin literă B:

Rețineți că același punct poate fi atins mergând un semicerc în direcția negativă. Apoi am trasa numărul pe cercul unității. Adică numerele corespund aceluiași punct.

Mai mult, același punct corespunde și numerelor , , , și, în general, unui set infinit de numere care pot fi scrise sub forma , unde , adică aparține mulțimii numerelor întregi. Toate acestea pentru că din punct de vedere B puteți face o călătorie „în jurul lumii” în orice direcție (adăugați sau scădeți circumferința) și ajungeți în același punct. Obținem o concluzie importantă care trebuie înțeleasă și reținută.

Fiecare număr corespunde unui singur punct din cercul numeric. Dar fiecărui punct din cercul numeric îi corespunde un număr infinit de numere.

Să împărțim acum semicercul superior al cercului numeric în arce de lungime egală cu un punct C. Este ușor de observat că lungimea arcului O.C. egal cu . Să amânăm acum de la punct C un arc de aceeași lungime în sens invers acelor de ceasornic. Ca urmare, vom ajunge la subiect B. Rezultatul este destul de așteptat, deoarece . Să punem acest arc din nou în aceeași direcție, dar acum din punct B. Ca urmare, vom ajunge la subiect D, care va corespunde deja numărului:

Rețineți din nou că acest punct corespunde nu numai numărului, ci și, de exemplu, numărului, deoarece acest punct poate fi atins prin îndepărtarea de punct. O sfert de cerc în sensul acelor de ceasornic (direcție negativă).

Și, în general, observăm din nou că acest punct corespunde la infinit de numere care pot fi scrise sub formă . Dar ele pot fi scrise și sub forma . Sau, dacă preferați, sub formă de . Toate aceste înregistrări sunt absolut echivalente și pot fi obținute una de la alta.

Să împărțim acum arcul în O.C. jumătate de punct M. Acum află care este lungimea arcului OM? Așa este, jumătate de arc O.C.. Acesta este . Cu ce ​​numere corespunde punctul? M pe cercul numeric? Sunt sigur că acum vă veți da seama că aceste numere pot fi scrise ca .

Dar se poate face altfel. Hai sa luam . Atunci obținem asta . Adică, aceste numere pot fi scrise sub formă . Același rezultat poate fi obținut folosind cercul numeric. După cum am spus deja, ambele înregistrări sunt echivalente și pot fi obținute una de la alta.

Acum puteți da cu ușurință un exemplu de numere cărora le corespund punctele N, PȘi K pe cercul numeric. De exemplu, numerele și:

Adesea, numerele pozitive minime sunt luate pentru a desemna punctele corespunzătoare din cercul numeric. Deși acest lucru nu este deloc necesar, punct N, după cum știți deja, corespunde unui număr infinit de alte numere. Inclusiv, de exemplu, numărul.

Dacă rupeți arcul O.C.în trei arce egale cu puncte SȘi L, deci asta e ideea S se va afla între puncte OȘi L, apoi lungimea arcului OS va fi egal cu , iar lungimea arcului OL va fi egal cu . Folosind cunoștințele pe care le-ați dobândit în partea anterioară a lecției, vă puteți da seama cu ușurință cum au rezultat punctele rămase din cercul numeric:

Numerele nu multiplii lui π pe cercul numeric

Să ne punem acum întrebarea: unde pe linia numerică ar trebui să marchem punctul corespunzător numărului 1? Pentru a face acest lucru, trebuie să începeți din punctul cel mai „dreapt” al cercului unității O trasează un arc a cărui lungime ar fi egală cu 1. Putem indica doar aproximativ locația punctului dorit. Să procedăm după cum urmează.

Sper că ați citit deja despre cercul numeric și știți de ce se numește cerc numeric, unde se află originea coordonatelor și care latură este direcția pozitivă. Dacă nu, atunci fugi! Dacă, desigur, nu veți găsi puncte pe cercul numeric.

Notăm numerele \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)

După cum știți din articolul anterior, raza cercului numeric este \(1\). Aceasta înseamnă că circumferința este egală cu \(2π\) (calculată folosind formula \(l=2πR\)). Ținând cont de acest lucru, notăm \(2π\) pe cercul numeric. Pentru a marca acest număr, trebuie să mergem de la \(0\) de-a lungul cercului numeric, distanța este egală cu \(2π\) în direcția pozitivă și, deoarece lungimea cercului este \(2π\), aceasta se dovedește că vom face o revoluție completă. Adică, numărul \(2π\) și \(0\) corespund aceluiași punct. Nu vă faceți griji, mai multe valori pentru un punct sunt normale pentru un cerc numeric.

Acum să notăm numărul \(π\) pe cercul numeric. \(π\) este jumătate din \(2π\). Astfel, pentru a marca acest număr și punctul corespunzător, trebuie să mergeți cu o jumătate de cerc de la \(0\) în direcția pozitivă.

Să marchem punctul \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) este jumătate din \(π\), prin urmare, pentru a marca acest număr, trebuie să mergeți de la \(0\) în direcția pozitivă o distanță egală cu jumătate din \( π\), adică un sfert de cerc.

Să notăm punctele de pe cerc \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Ne deplasăm la aceeași distanță ca data trecută, dar într-o direcție negativă.

Să punem \(-π\). Pentru a face acest lucru, să mergem pe o distanță egală cu o jumătate de cerc în direcția negativă.

Acum să ne uităm la un exemplu mai complicat. Să marchem numărul \(\frac(3π)(2)\) pe cerc. Pentru a face acest lucru, traducem fracția \(\frac(3)(2)\) în \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), adică de ex. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Aceasta înseamnă că trebuie să mergeți de la \(0\) în direcția pozitivă o distanță de jumătate de cerc și încă un sfert.

Exercitiul 1. Marcați punctele \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) pe cercul numeric.

Notăm numerele \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\)

Mai sus am găsit valorile în punctele de intersecție ale cercului numeric cu axele \(x\) și \(y\). Acum să determinăm poziția punctelor intermediare. Mai întâi, să trasăm punctele \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) și \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) este jumătate din \(\frac(π)(2)\) (adică \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\), deci distanța \(\frac(π)(4)\) este un sfert de cerc.

\(\frac(π)(4)\) este o treime din \(π\) (cu alte cuvinte,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), deci distanța \ (\frac(π)(3)\) este o treime din semicerc.

\(\frac(π)(6)\) este jumătate din \(\frac(π)(3)\) (la urma urmei, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) deci distanța \(\frac(π)(6)\) este jumătate din distanța \(\frac(π)(3)\) .

Iată cum sunt amplasate unul față de celălalt:

Cometariu: Localizarea punctelor cu valoarea \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) este mai bine să vă amintiți. Fără ele, cercul numeric, ca un computer fără monitor, pare a fi un lucru util, dar este extrem de incomod de utilizat.

Diferite distanțe de pe cerc sunt afișate clar:

Notăm numerele \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Să notăm punctul de pe cerc \(\frac(7π)(6)\) , pentru a face acest lucru realizăm următoarele transformări: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Din aceasta putem vedea că de la zero în direcția pozitivă trebuie să parcurgem o distanță \(π\), apoi încă o \(\frac(π)(6)\) .

Marcați punctul \(-\)\(\frac(4π)(3)\) pe cerc. Transformă: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Aceasta înseamnă că trebuie să trecem de la \(0\) la latura negativă distanța \(π\) și, de asemenea, \(\frac(π)(3)\) .

Să trasăm punctul \(\frac(7π)(4)\), pentru a face acest lucru transformăm \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Aceasta înseamnă că pentru a plasa un punct cu valoarea \(\frac(7π)(4)\), trebuie să mergeți de la punctul cu valoarea \(2π\) la partea negativă la o distanță \(\ frac(π)(4)\) .

Sarcina 2. Marcați punctele \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) pe cercul numeric (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Notăm numerele \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Să scriem \(10π\) sub forma \(5 \cdot 2π\). Ne amintim că \(2π\) este o distanță egală cu lungimea unui cerc, așa că pentru a marca punctul \(10π\), trebuie să mergeți de la zero la o distanță egală cu \(5\) cercuri. Nu este greu de ghicit că ne vom regăsi din nou în punctul \(0\), doar facem cinci revoluții.

Din acest exemplu putem concluziona:

Numerele cu o diferență de \(2πn\), unde \(n∈Z\) (adică \(n\) este orice număr întreg) corespund aceluiași punct.

Adică, pentru a pune un număr cu o valoare mai mare decât \(2π\) (sau mai mică decât \(-2π\)), trebuie să extrageți din el un număr par \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) și aruncați. Astfel, vom elimina „revoluțiile goale” din numerele care nu afectează poziția punctului.

O alta concluzie:

Punctul căruia îi corespunde \(0\) corespunde, de asemenea, tuturor mărimilor pare \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Acum să aplicăm \(-3π\) cercului. \(-3π=-π-2π\), ceea ce înseamnă că \(-3π\) și \(–π\) sunt în același loc pe cerc (deoarece diferă printr-o „întorsătură goală” în \(-2π) \)).

Apropo, toate \(π\) impare vor fi și ele acolo.

Punctul căruia îi corespunde \(π\) corespunde, de asemenea, tuturor mărimilor impare \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Acum să notăm numărul \(\frac(7π)(2)\) . Ca de obicei, transformăm: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Aruncăm doi pi și se dovedește că pentru a desemna numărul \(\frac(7π)(2)\) trebuie să mergeți de la zero în direcția pozitivă la o distanță egală cu \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (adică jumătate de cerc și încă un sfert).

Dacă plasați cercul cu numărul unității plan de coordonate, apoi pot fi găsite coordonatele pentru punctele sale. Cercul numeric este poziționat astfel încât centrul său să coincidă cu originea planului, adică punctul O (0; 0).

De obicei pe cercul cu numărul unității sunt marcate punctele corespunzătoare originii cercului

• sferturi - 0 sau 2π, π/2, π, (2π)/3,
• sferturi din mijloc - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• treimi de sferturi - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Pe planul de coordonate, cu locația de mai sus a cercului unitar pe el, puteți găsi coordonatele corespunzătoare acestor puncte ale cercului.

Coordonatele capetelor sferturilor sunt foarte ușor de găsit. În punctul 0 al cercului, coordonata x este 1, iar coordonata y este 0. O putem nota ca A (0) = A (1; 0).

Sfârșitul primului trimestru va fi situat pe axa y pozitivă. Prin urmare, B (π/2) = B (0; 1).

Sfârșitul celui de-al doilea trimestru este pe semiaxa negativă: C (π) = C (-1; 0).

Sfârșitul trimestrului al treilea: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Dar cum să găsești coordonatele punctelor mijlocii ale sferturilor? Pentru asta ei construiesc triunghi dreptunghic. Ipotenuza sa este un segment de la centrul cercului (sau originea) până la mijlocul sfertului de cerc. Aceasta este raza cercului. Deoarece cercul este unitate, ipotenuza este egală cu 1. Apoi, trageți o perpendiculară dintr-un punct de pe cerc pe orice axă. Să fie spre axa x. Rezultatul este un triunghi dreptunghic, ale cărui lungimi ale catetelor sunt coordonatele x și y ale punctului de pe cerc.

Un sfert de cerc are 90º. Și jumătate de sfert este 45º. Deoarece ipotenuza este trasă la mijlocul cadranului, unghiul dintre ipotenuză și catetul care se extinde de la origine este de 45º. Dar suma unghiurilor oricărui triunghi este 180º. În consecință, unghiul dintre ipotenuză și celălalt catete rămâne și el de 45º. Rezultă un triunghi dreptunghic isoscel.

Din teorema lui Pitagora obținem ecuația x 2 + y 2 = 1 2. Deoarece x = y și 1 2 = 1, ecuația se simplifică la x 2 + x 2 = 1. Rezolvând-o, obținem x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Astfel, coordonatele punctului M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

În coordonatele punctelor punctelor mijlocii ale celorlalte sferturi, doar semnele se vor schimba, iar modulele valorilor vor rămâne aceleași, deoarece triunghiul dreptunghic va fi doar răsturnat. Primim:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Când se determină coordonatele celor trei părți ale sferturilor de cerc, se construiește și un triunghi dreptunghic. Dacă luăm punctul π/6 și desenăm o perpendiculară pe axa x, atunci unghiul dintre ipotenuză și cateta situată pe axa x va fi de 30º. Se știe că un picior situat opus unui unghi de 30º este egal cu jumătate din ipotenuză. Aceasta înseamnă că am găsit coordonata y, este egală cu ½.

Cunoscând lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete, folosind teorema lui Pitagora găsim celălalt catete:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Astfel T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pentru punctul din a doua treime a primului sfert (π/3), este mai bine să desenați o perpendiculară pe axa pe axa y. Apoi unghiul de la origine va fi, de asemenea, de 30º. Aici coordonata x va fi egală cu ½, respectiv y, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Pentru alte puncte din al treilea trimestru, semnele și ordinea valorilor coordonatelor se vor schimba. Toate punctele care sunt mai aproape de axa x vor avea o valoare a coordonatei modulului x egală cu √3/2. Acele puncte care sunt mai aproape de axa y vor avea o valoare a modulului y egală cu √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T4 ((5π)/6) = T4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)

Lecția video „Definiția sinusului și cosinusului pe cercul unității” oferă material vizual pentru o lecție pe tema relevantă. În timpul lecției, sunt discutate conceptele de sinus și cosinus pentru numerele corespunzătoare punctelor din cercul unității și sunt descrise multe exemple care dezvoltă capacitatea de a rezolva probleme în care se folosește această interpretare a conceptelor. Ilustrații convenabile și ușor de înțeles ale soluțiilor, un curs detaliat de raționament ajută la atingerea rapidă a obiectivelor de învățare și la creșterea eficienței lecției.

Lecția video începe prin introducerea subiectului. La începutul demonstrației, este dată definiția sinusului și cosinusului unui număr. Pe ecran este demonstrat un cerc unitar cu un centru la originea coordonatelor, sunt marcate punctele de intersecție ale cercului unitar cu axele de coordonate A, B, C, D. În cadru este evidențiată o definiție care precizează că dacă unui punct M aparținând cercului unitar îi corespunde un anumit număr t, atunci abscisa acestui punct este cosinusul numărului t și se notează cos t, ordonata punctului este sinus și se notează sin t. Exprimarea definiției este însoțită de o imagine a punctului M pe cercul unitar, indicând abscisa și ordonata acestuia. O notație scurtă este prezentată folosind notația că pentru M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t. Sunt indicate restricțiile impuse valorii cosinusului și sinusului unui număr. Conform datelor analizate, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

De asemenea, este ușor de observat din figură cum se schimbă semnul funcției în funcție de sfertul în care se află punctul. Pe ecran este alcatuit un tabel in care pentru fiecare functie este indicat semnul acesteia in functie de trimestru. Semnul cos t este plus în primul și al patrulea trimestru și minus în al doilea și al treilea trimestru. Semnul sin t este plus în primul și al doilea trimestru, minus în al treilea și al patrulea trimestru.

Elevilor li se amintește de ecuația cercului unitar x 2 + y 2 = 1. Se observă că după înlocuirea în loc de coordonatele funcțiilor corespunzătoare, obținem cos 2 t+ sin 2 t=1 - identitatea trigonometrică principală. Folosind metoda de a găsi sin t și cos t folosind cercul unitar, completați un tabel cu valorile de bază ale sinusului și cosinusului pentru numerele de la 0 la 2π în trepte de π/4 și pentru numerele de la π/6 la 11π /6 în trepte de π/6. Aceste tabele sunt afișate pe ecran. Folosind ele și desenul, profesorul poate verifica cât de bine a fost însușit materialul și cât de bine înțeleg elevii originea valorilor sin t și cost t.

Se consideră un exemplu în care sin t și cos t sunt calculate pentru t=41π/4. Soluția este ilustrată printr-o figură care arată un cerc unitar cu centrul său la origine. Punctul 41π/4 este marcat pe el. Se observă că acest punct coincide cu poziția punctului π/4. Acest lucru este demonstrat prin reprezentarea acestei fracții ca o fracție mixtă 41π/4=π/4+2π·5. Folosind tabelul de valori cosinus, obținem valorile cos π/4=√2/2 și sinπ/4=√2/2. Din informațiile obținute rezultă că cos 41π/4=√2/2 și sin 41π/4=√2/2.

În al doilea exemplu, este necesar să se calculeze sin t și cos t pentru t=-25π/3. Ecranul afișează un cerc unitar cu punctul t=-25π/3 marcat pe el. În primul rând, pentru a rezolva problema, numărul -25π/3 este reprezentat ca o fracție mixtă pentru a descoperi cărei valori de tabel îi vor corespunde sin t și cos t. După transformare obținem -25π/3=-π/3+2π·(-4). Evident, t=-25π/3 va coincide pe cerc cu punctul -π/3 sau 5π/3. Din tabel selectăm valorile corespunzătoare ale sinusului și cosinusului cos 5π/3=1/2 și sin 5π/3=-√3/2. Aceste valori vor fi corecte pentru numărul în cauză cos (-25π/3)=1/2 și sin (-25π/3)=-√3/2. Problema este rezolvată.

În mod similar se rezolvă exemplul 3, în care este necesar să se calculeze sin t și cos t pentru t=37π. Pentru a rezolva exemplul, numărul 37π este extins, izolând π și 2π. În această reprezentare rezultă 37π=π+2π·18. Pe cercul unitar, care este afișat lângă soluție, acest punct este marcat la intersecția părții negative a axei ordonatelor și a cercului unitar - punctul π. Evident, valorile sinusului și cosinusului numărului vor coincide cu valorile tabelului lui π. Din tabel găsim valorile sin π=-1 și cos π=0. În consecință, aceleași valori sunt cele dorite, adică sin 37π=-1 și cos 37π=0.

În exemplul 4 este necesar să se calculeze sin t și cos t la t=-12π. Reprezentăm numărul ca -12π=0+2π·(-6). În consecință, punctul -12π coincide cu punctul 0. Valorile cosinus și sinus ale acestui punct sunt sin 0=1 și cos 0=0. Aceste valori sunt cele cerute sin (-12π)=1 și cos (-12π)=0.

În cel de-al cincilea exemplu, trebuie să rezolvați ecuația sin t=√3/2. În rezolvarea ecuației se folosește conceptul de sinus al unui număr. Deoarece reprezintă ordonata punctului M(t), este necesar să găsim punctul cu ordonata √3/2. Figura care însoțește soluția arată că ordonata √3/2 corespunde la două puncte - primul π/3 și al doilea 2π/3. Având în vedere periodicitatea funcției, observăm că t=π/3+2πk și t= 2π/3+2πk pentru întregul k.

În exemplul 6, se rezolvă ecuația cu cosinus - cos t=-1/2. În căutarea soluțiilor ecuației, găsim puncte pe cercul unitar cu abscisa 2π/3. Ecranul afișează o cifră în care este marcată abscisa -1/2. Corespunde la două puncte de pe cerc - 2π/3 și -2π/3. Ținând cont de periodicitatea funcțiilor, soluția găsită se scrie sub forma t=2π/3+2πk și t=-2π/3+2πk, unde k este un număr întreg.

În exemplul 7 se rezolvă ecuația sin t-1=0. Pentru a găsi o soluție, ecuația este transformată în sin t=1. Sinusul 1 corespunde numărului π/2. Ținând cont de periodicitatea funcției, soluția găsită se scrie sub forma t=π/2+2πk, unde k este un număr întreg. În mod similar, în exemplul 8 se rezolvă ecuația cos t+1=0. Să transformăm ecuația în forma cos t=-1. Punctul a cărui abscisă este -1 corespunde numărului π. Acest punct este marcat pe cercul unității afișat lângă soluția textului. În consecință, soluția acestei ecuații este numărul t=π+2πk, unde k este un număr întreg. Nu este mai greu de rezolvat ecuația cos t+1=1 din exemplul 9. Transformând ecuația, obținem cos t=0. Pe cercul unitar prezentat în dreptul soluției, marchem punctele -π/2 și -3π/2, la care cosinusul ia valoarea 0. Evident, soluția acestei ecuații va fi o serie de valori t= π/2+πk, unde k este un număr întreg.

În exemplul 10 se compară valorile sin 2 și cos 3. Pentru a clarifica soluția, se arată o figură unde sunt marcate punctele 2 și 3. Știind că π/2≈1.57, estimăm distanța punctelor din ea. Figura notează că punctul 2 este la 0,43 distanță de π/2, în timp ce 3 este la 1,43 distanță, deci punctul 2 are o abscisă mai mare decât punctul 3. Aceasta înseamnă sin 2>cos 3.

Exemplul 11 ​​descrie calculul expresiei sin 5π/4. Deoarece 5π/4 este π/4+π, folosind formule de reducere, expresia poate fi transformată în - sin π/4. Din tabel îi selectăm valoarea - sin π/4=-√2/2. În mod similar, în exemplul 12 se găsește valoarea expresiei cos7π/6. Transformând-o în forma cos(π/6+π), obținem expresia - cos π/6. Valoarea tabelului este cos π/6=-√3/2. Această valoare va fi soluția.

În continuare, se sugerează să ne amintim egalități importante care ajută la rezolvarea problemelor - acestea sunt sin(-t)= -sin t și cos (-t)=cos t. De fapt, această expresie reflectă uniformitatea cosinusului și ciudățenia sinusului. În imaginea cercului unității de lângă egalități puteți vedea cum funcționează aceste egalități pe planul de coordonate. Sunt prezentate și două egalități care reflectă periodicitatea funcțiilor, care sunt importante pentru rezolvarea problemelor sin(t+2πk)= sin t și cos (t+2πk)=cos t. Sunt demonstrate egalități care reflectă aranjarea simetrică a punctelor de pe cercul unitar sin(t+π)= -sin t și cos (t+π)=-cos t. Alături de egalități, se construiește o imagine care afișează locația acestor puncte pe cercul unitar. Și ultimele egalități prezentate sin(t+π/2)= cos t și cos (t+π/2)=- sin t.

Lecția video „Definiția sinusului și cosinusului pe cercul unității” este recomandată pentru utilizare într-o lecție de matematică școlară tradițională pentru a crește eficacitatea și a asigura claritatea explicației profesorului. În același scop, materialul poate fi folosit și în timpul învățământului la distanță. Manualul poate fi util și pentru dezvoltarea abilităților adecvate de rezolvare a problemelor la elevi atunci când stăpânesc materialul în mod independent.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

„Definiția sinusului și cosinusului pe cercul unitar.”

Să definim sinusul și cosinusul unui număr

DEFINIȚIE: dacă un punct M al unui cerc unitar numeric corespunde numărului t(te), atunci abscisa punctului M se numește cosinus al numărului t(te) și este desemnată cost, iar ordonata punctului M se numește sinusul numărului t(te) și se numește sint(fig).

Aceasta înseamnă că dacă M(t) = M (x,y)(em din te este egal cu em cu coordonatele x și y), atunci x = cost, y= sint (x este egal cu cosinusul lui te, y este egal cu sinusul lui te). În consecință, - 1≤ cost ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (cosinusul te este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic sau egal cu unu; sine te este mai mare sau egal la minus unu, dar mai mic sau egal cu unu). Știind că fiecare punct al cercului numeric are sistemul xOy are propriile coordonate, puteți face un tabel cu valorile sinusului și cosinusului pe sferturi de cerc, unde valoarea cosinusului este pozitivă în primul și al patrulea trimestru și, în consecință, negativă în al doilea și al treilea trimestru.

Valoarea sinusului este pozitivă în primul și al doilea trimestru și, în consecință, negativă în trimestrul al treilea și al patrulea. (arata pe desen)

Deoarece ecuația cercului numeric are forma x 2 + y 2 = 1 (x pătrat plus y pătrat este egal cu unu), atunci obținem egalitatea:

(cosinus pătrat te plus sinus pătrat te este egal cu unu).

Pe baza tabelelor pe care le-am compilat atunci când determinăm coordonatele punctelor de pe cercul numeric, vom compila tabele pentru coordonatele punctelor de pe cercul numeric pentru valorile costului și sint.

Să ne uităm la exemple.

EXEMPLU 1. Calculați cos t și sin t dacă t = (te este egal cu patruzeci și unu pi peste patru).

Soluţie. Numărul t = corespunde aceluiași punct al cercului numeric ca și numărul, deoarece = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (patruzeci și unu pi ori patru este egal cu suma lui pi cu patru și produsul a doi pi cu cinci). Iar pentru punctul t = conform tabelului valoarea cosinusului 1 avem cos = și sin =. Prin urmare,

EXEMPLU 2. Calculați cos t si păcat t, dacă t = (te este egal cu minus douăzeci și cinci pi peste trei).

SOLUȚIE: Numărul t = corespunde aceluiași punct al cercului numeric cu numărul, deoarece = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (minus douăzeci și cinci pi peste trei este egal cu suma minus pi peste trei și produsul a doi pi ori minus patru). Și numărul corespunde aceluiași punct de pe cercul numeric ca și numărul. Iar pentru punctul t = conform tabelului 2 avem cos = și sin =. Prin urmare, cos () = și sin () =.

EXEMPLU 3. Calculați cos t și sin t dacă t = 37π; (te este egal cu treizeci și șapte de pi).

SOLUȚIE: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. Aceasta înseamnă că numărul 37π corespunde aceluiași punct de pe cercul numeric ca și numărul π. Și pentru punctul t = π, conform tabelului 1, avem cos π = -1, sin π = 0. Aceasta înseamnă cos37π = -1, sin37π = 0.

EXEMPLU 4. Calculați cos t și sin t dacă t = -12π (egal cu minus doisprezece pi).

SOLUȚIE: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), adică numărul - 12π corespunde aceluiași punct din cercul numeric ca și numărul zero. Iar pentru punctul t = 0, conform tabelului 1, avem cos 0 = 1, sin 0 = 0. Aceasta înseamnă cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.

EXEMPLU 5. Rezolvați ecuația sin t = .

Soluţie. Avand in vedere ca sin t este ordonata punctului M(t) (em din te) a cercului numeric, vom gasi puncte cu ordonata pe cercul numeric si vom nota caror numere t le corespund. Un punct corespunde unui număr și, prin urmare, oricărui număr de forma + 2πk. Al doilea punct corespunde unui număr și, prin urmare, oricărui număr de forma + 2πk. Răspuns: t = + 2πk, unde kϵZ (ka aparține zet), t= + 2πk, unde kϵZ (ka aparține zet).

EXEMPLU 6. Rezolvați ecuația cos t = .

Soluţie. Având în vedere că cos t este abscisa punctului M(t) (em din te) al cercului numeric, vom găsi punctele cu abscisa de pe cercul numeric și vom nota căror numere t corespund. Un punct corespunde unui număr și, prin urmare, oricărui număr de forma + 2πk. Iar al doilea punct corespunde numărului sau și, prin urmare, oricărui număr de forma + 2πk sau + 2πk.

Răspuns: t = + 2πk, t=+ 2πk (sau ± + 2πk (plus minus doi pi cu trei plus doi pi ka), unde kϵZ (ka aparține zet).

EXEMPLU 7. Rezolvați ecuația cos t = .

Soluţie. Similar cu exemplul anterior, trebuie să găsiți puncte cu o abscisă pe cercul numeric și să scrieți căror numere le corespund.

Figura arată că două puncte E și S au o abscisă, dar încă nu putem spune căror numere corespund. Vom reveni la această problemă mai târziu.

EXEMPLU 8. Rezolvați ecuația sin t = - 0,3.

Soluţie. Pe cercul numeric găsim puncte cu ordonată - 0,3 și notăm căror numere t corespund.

Ordonata - 0,3 are două puncte P și H, dar nu putem spune încă căror numere corespund. Vom reveni și la această problemă mai târziu.

EXEMPLU 9. Rezolvați ecuația sin t -1 =0

Soluţie. Să mutăm minus unu în partea dreaptă a ecuației, obținem sine te este egal cu unu (sin t = 1). Pe cercul numeric trebuie să găsim un punct a cărui ordonată este egală cu unu. Acest punct corespunde unui număr și, prin urmare, tuturor numerelor de forma + 2πk (pi ori două plus două vârfuri).

Răspuns: t = + 2πk, kϵZ(ka aparține lui zet).

EXEMPLU 10. Rezolvați ecuația cos t + 1 = 0.

Să mutăm unul în partea dreaptă a ecuației, obținem cosinusul te este egal cu minus unu (cos t = - 1). Abscisa minus unu are un punct pe cercul numeric, care corespunde numărului π și asta înseamnă toate numere de forma π+2πk. Răspuns: t = π+ 2πk, kϵZ.

EXEMPLU 11. Rezolvați ecuația cos t + 1 = 1.

Să mutăm unitatea în partea dreaptă a ecuației, obținem cosinusul te egal cu zero (cos t = 0). Abscisa zero are punctele B și D (Figura 1), care corespund numerelor etc. Aceste numere pot fi scrise ca + πk. Răspuns: t = + πk, kϵZ.

EXEMPLU 12. Care dintre cele două numere este mai mare, cos 2 sau cos 3? (cosinus din doi sau cosinus din trei)

Soluţie. Să reformulăm altfel întrebarea: pe cercul numeric sunt marcate punctele 2 și 3. Care dintre ele are o abscisă mai mare?

Pe cerc numeric, marcați punctele 2 și 3. Amintiți-vă că. Aceasta înseamnă că punctul 2 este îndepărtat din cerc cu aproximativ 0,43 (zero virgulă patruzeci și trei sutimi) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43), iar punctul 3 cu 1,43 (un virgulă patruzeci și trei sutimi). Prin urmare, punctul 2 este mai aproape de punctul decât punctul 3, deci are o abscisă mai mare (am luat în calcul că ambele abscise sunt negative).

Răspuns: cos 2 > cos 3.

EXEMPLU 13. Calculați păcatul (sinus cinci pi ori patru)

Soluţie. sin(+ π) = - sin = (sinus cinci pi peste patru este egal cu suma lui pi peste patru și pi este egal cu minus sinus pi peste patru este egal cu minus rădăcina doi peste doi).

EXEMPLU 14. Calculați cos (cosinusul de șapte pi pe șase).

cos(+ π) = - cos =. (am reprezentat șapte pi peste șase ca sumă a lui pi peste șase și pi și am aplicat a treia egalitate).

Pentru sinus și cosinus obținem câteva formule importante.

1. Pentru orice valoare a lui t sunt adevărate următoarele egalități:

sin (-t) = -sin t

cos (-t) = cos t

Sinusul lui minus te este egal cu minus sinus al lui te

Cosinusul lui min te este egal cu cosinusul lui te.

Figura arată că punctele E și L, simetrice față de axa absciselor, au aceeași abscisă, aceasta înseamnă

cos(-t) = cost, dar ordonatele sunt egale ca mărime și opuse ca semn (aceasta înseamnă sin(- t) = - sint.

2. Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:

sin (t+2πk) = sin t

cos (t+2πk) = cos t

Sinusul lui te plus doi pi este egal cu sinusul lui te

Cosinusul lui te plus doi pi este egal cu cosinusul lui te

Acest lucru este adevărat, deoarece numerele t și t+2πk corespund aceluiași punct.

3. Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:

sin (t+π) = -sin t

cos (t+π) = -cos t

Sinusul lui te plus pi este egal cu minus sinusul lui te

cosinusul lui te plus pi este egal cu minus cosinusul lui te

Fie numărul t să corespundă punctului E al cercului numeric, apoi numărul t+π corespunde punctului L, care este simetric cu punctul E relativ la origine. Figura arată că în aceste puncte abscisa și ordonata sunt egale ca mărime și opuse ca semn. Acest lucru înseamnă,

cos(t +π)= - cost;

sin(t +π)= - sint.

4. Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:

sin(t+) = cos t

cos(t+) = -sin t

Sine te plus pi cu doi egal cosinus te

Cosinus te plus pi cu doi este egal cu minus sinus te.

5. FUNCȚII TRIGONOMETRICE ALE ORICE ARGUMENT

§ 20. CERCUL DE UNITATE

948. Care este relația dintre lungimea arcului unității de cerc și măsura sa în radiani?

949. Pe cercul unitar, construiți puncte corespunzătoare numerelor: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Ar putea să coincidă vreunul dintre aceste puncte? De ce?

950. Numerele sunt date prin formula α = 1 / 2 k, Unde k= 0; ±1; ±2; ....
Construiți puncte pe dreapta numerică și pe cercul unității care corespund acestor numere. Câte astfel de puncte vor fi pe linia numerică și câte pe cercul unității?

951. Marcați punctele pe cercul unității și pe axa numerelor care corespund numerelor:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Câte astfel de puncte sunt pe linia numerică și câte pe cercul unității?

952. Cum sunt punctele corespunzătoare numerelor situate pe axa numerelor și pe cercul unității:
1) AȘi - A; 2) AȘi A±π; 3) A+ π și A- π; 4) AȘi A+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Care este diferența fundamentală dintre reprezentarea numerelor prin puncte de pe axa numerelor și reprezentarea lor prin puncte de pe cercul unitar?

954. 1) Aflați cele mai mici numere nenegative corespunzătoare punctelor de intersecție ale cercului unitar: a) cu axele de coordonate; b) cu bisectoare ale unghiurilor coordonate.

2) În fiecare caz, scrieți o formulă generală pentru numerele corespunzătoare punctelor indicate ale cercului unitar.

955. Știind că A este unul dintre numerele corespunzătoare unui punct dat din cercul unității, găsiți:
1) toate numerele corespunzătoare unui punct dat;
2) toate numerele corespunzătoare unui punct de pe cercul unitar simetric celui dat:
a) raportat la axa x; b) raportat la axa ordonatelor; c) raportat la origine.
Rezolvați problema acceptând A = 0; π / 2; 1; 2; π / 6; - π / 4 .

956. Găsiți condiția pe care o îndeplinesc numerele A, corespunzător:
1) punctele primului sfert al cercului unitar;
2) punctele celui de-al 2-lea sfert al cercului unitar;
3) punctele celui de-al 3-lea sfert al cercului unitar;
4) punctele celui de-al 4-lea sfert al cercului unitar.

957. Vârful A al unui octogon regulat ABCDEFKL înscris într-un cerc unitar are coordonatele (1; 0) (Fig. 39).

1) Determinați coordonatele vârfurilor rămase ale octogonului.
2) Creați o formulă generală pentru arcele cercului unitar care se termină:
a) în punctele A, C, E și K; b) în punctele B, D, F și L; c) în punctele A, B, C, D, E, F, K și L.

958. 1) Construiți un punct pe cercul unitar a cărui ordonată este 0,5. Câte puncte din cercul unității au o ordonată dată? Cum sunt situate aceste puncte în raport cu axa ordonatelor?

2) Se măsoară cu un raportor (cu o precizie de 1°) cel mai mic arc în valoare absolută, al cărui capăt are o ordonată de 0,5 și se întocmește o formulă generală pentru arcele cercului unitar care se termină în puncte cu o ordonată de 0,5.

959. Rezolvați problema 958, luând ordonata la egal cu:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Construiți un punct pe cercul unitar a cărui abscisă este 0,5. Câte puncte din cercul unității au o abscisă dată? Cum sunt situate aceste puncte în raport cu axa x?

2) Se măsoară cu un raportor (cu o precizie de 1°) cel mai mic arc pozitiv, al cărui capăt are o abscisă egală cu 0,5 și se elaborează o formulă generală pentru arcele de cerc unitare care se termină în puncte cu o abscisă de 0,5.

961. Rezolvați problema 960, luând abscisa X egal cu:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Determinați coordonatele capetelor arcelor cercului unitar date prin formula ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Exprimați următoarea serie de unghiuri ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° k+ 120° și α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 și α 2 = π k - π / 3 ;

3) α 1 = 90° kși α2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π kși α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) a 1 = 120° k± 15° și α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 și α 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° k+ 140°; α2 = 180° k+ 80° și α 3 = 180° k+ 20°;

8) α 1 = 180° k + (-1)k 60° și α 2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Eliminați unghiurile duplicat în următoarele formule ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° kşi α2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 și α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π kși α 2 = 1 / 2 π k± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 și α 2 = 2 / 5 π k+ 1 / 30 π;

5) α 1 = 72° k+ 36° și α 2 = 120° k+ 60°.