Calculați aria unui paralelipiped online. Cum se calculează aria unui paralelipiped. Ce tipuri de paralelipipede există?

Unul dintre cele mai simple poate fi numit paralelipiped. Are forma unei prisme, la baza căreia se află un paralelogram. Nu este dificil să calculezi aria unui paralelipiped, deoarece formula este foarte simplă.

O prismă este formată din fețe, vârfuri și muchii. Distribuția acestor elemente constitutive se face în cantitatea minimă necesară formării acestei forme geometrice. Paralepipedul conține 6 fețe, care sunt conectate prin 8 vârfuri și 12 muchii. În plus, părțile opuse ale paralelipipedului vor fi întotdeauna egale între ele. Prin urmare, pentru a afla aria unui paralelipiped, este suficient să determinați dimensiunile celor trei fețe ale sale.

Un paralelipiped (tradus din greacă, termenul înseamnă „fețe paralele”) are unele proprietăți care merită menționate. În primul rând, simetria figurii este confirmată numai în mijlocul fiecărei diagonale. În al doilea rând, desenând o diagonală între oricare dintre vârfurile opuse, puteți descoperi că toate vârfurile au un singur punct de intersecție. De asemenea, merită remarcată proprietatea că fețele opuse sunt întotdeauna egale și vor fi în mod necesar paralele între ele.

În natură, se disting următoarele tipuri de paralelipipede:

dreptunghiular - este format din fețe dreptunghiulare;

drept - are doar fețe laterale dreptunghiulare;

un paralelipiped înclinat are fețele laterale care nu sunt perpendiculare pe baze;

cub - este format din fețe de formă pătrată.

Să încercăm să găsim aria unui paralelipiped folosind tipul dreptunghiular al acestei figuri ca exemplu. După cum știm deja, toate fețele sale sunt dreptunghiulare. Și deoarece numărul acestor elemente este redus la șase, atunci, după ce ați aflat zona fiecărei fețe, trebuie să rezumați rezultatele rezultate într-un singur număr. Și găsirea zonei fiecăruia dintre ele nu este dificilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți cele două laturi ale dreptunghiului.

O formulă matematică este utilizată pentru a determina aria unui cuboid. Este format din simboluri iconice care indică marginile, zona și arată astfel: S=2(ab+bc+ac), unde S este aria figurii, a, b sunt laturile bazei, c este marginea laterală.

Să dăm un calcul aproximativ. Să presupunem a = 20 cm, b = 16 cm, c = 10 cm. Acum trebuie să înmulțiți numerele în conformitate cu cerințele formulei: 20*16+16*10+20*10 și obținem numărul 680 cm2. Dar aceasta va fi doar jumătate din cifră, deoarece am învățat și am rezumat zonele celor trei fețe. Deoarece fiecare față are propriul „dublu”, trebuie să dublați valoarea rezultată și obținem aria paralelipipedului, egală cu 1360 cm2.

Pentru a calcula suprafața laterală, utilizați formula S=2c(a+b). Aria bazei unui paralelipiped poate fi găsită prin înmulțirea lungimii laturilor bazei între ele.

În viața de zi cu zi, se pot găsi adesea paralelipipede. Forma unei cărămizi, o cutie de lemn a unei cutii de chibrituri obișnuite, ne amintește de existența lor. Toată lumea poate găsi exemple din abundență în jurul nostru. În programele școlare de geometrie, mai multe lecții sunt dedicate studiului unui paralelipiped. Primul dintre ele demonstrează modele de paralelipiped dreptunghiular. Apoi, elevilor li se arată cum să înscrie o minge sau o piramidă, alte figuri în ea, să găsească aria paralelipipedului. Într-un cuvânt, aceasta este cea mai simplă figură tridimensională.

Un paralelipiped este un poliedru, care este un tip special de prismă hexagonală dreptunghiulară. La baza paralelipipedului se află un dreptunghi sau un patrulater echivalent, iar paralelogramele acționează ca suprafețe laterale. Ca orice figură prismatică, paralelipipedul este utilizat pe scară largă în viața reală, dar în cele mai multe cazuri un poliedru real ia forma unui paralelipiped dreptunghiular.

Geometria paralelipipedului

Un paralelipiped dreptunghiular este format din două dreptunghiuri identice situate în planuri paralele și patru dreptunghiuri care le unesc, care formează suprafața laterală a figurii. În general, un paralelipiped este un caz special al unei prisme dreptunghiulare. Paralepipedul este cea mai comună figură din viața reală. Este forma acestui poliedru pe care o au obiecte precum case, camere, cărămizi, cutii de carton, blocuri de calculatoare, cutii de lapte, cutii de chibrituri și multe altele.

Lumea reală constă din diverse forme geometrice, așa că este posibil să aveți nevoie de un calculator care va calcula instantaneu aria suprafeței unui obiect în formă de paralelipiped dreptunghiular, fie că este vorba de mobilier de dulap, o cameră de depozitare sau o unitate de computer desktop.

Suprafața unui paralelipiped

Suprafața totală a unei astfel de prisme este determinată ca suma suprafețelor tuturor fețelor. Un paralelipiped este un hexagon, fiecare pereche de fețe fiind egală între ele. Aceasta înseamnă că fiecare față a paralelipipedului are propria sa pereche congruentă. Astfel, aria suprafeței unei figuri prismatice date este exprimată ca de două ori suma suprafețelor fiecărei fețe.

S = 2 (Sa + Sb + Sc)

Deoarece fiecare față a unui paralelipiped este un dreptunghi obișnuit, aria unei fețe este determinată ca produsul laturilor poligonului. Dacă o figură prismatică are laturile a, b și c, atunci aria sa totală a suprafeței va fi egală cu:

S = 2 (ab + bc + ac)

Pentru o înțelegere mai simplă, putem prezenta formula în ceea ce privește lungimea, lățimea și înălțimea paralelipipedului. În acest caz, va exista doar o ușoară modificare a formulei:

S = 2 (ab + bh + ah)

Astfel, pentru a determina suprafața totală a unei figuri prismatice, va trebui să cunoașteți cei trei parametri ai acesteia. Introduceți aceste date în formularul de calculator online și veți obține rezultate instantanee. În plus, calculatorul va calcula imediat lungimea diagonalei poliedrului. Poate fi necesar să calculați aria suprafeței unei figuri prismatice în multe situații.

Exemple din viață

Pictura pereților

Să presupunem că doriți să vopsiți pereții, podeaua și tavanul bucătăriei dvs. cu vopsea albă. Trebuie să cumpărați suficientă vopsea pentru a trata camera selectată. Știind că consumul de vopsea în ulei pe 1 metru pătrat de suprafață este de aproximativ 200 de grame, puteți determina cât material aveți nevoie pentru a lucra. Lăsați spațiul din bucătărie să aibă 3 m înălțime, 2 m lățime și 5 m lungime. Introduceți aceste date în calculatorul online și veți obține rezultatul sub forma:

Astfel, va trebui să vopsiți 62 de metri pătrați de suprafață. Pentru a face acest lucru, va trebui să cumpărați 12,4 kg de vopsea de ulei sau 5 cutii de vopsea de 2,8 kg.

Productie

Să presupunem că lucrați într-un mediu de producție și acoperiți un profil de oțel pătrat cu un strat protector prin scufundarea pieselor într-o baie de mortar. Pentru a calcula corect parametrii de vopsire, trebuie să cunoașteți suprafața unui profil de oțel, care are forma unui paralelipiped. Profilul patrat standard are dimensiuni: lungime 6 m, latura a = 80 mm, latura b = 80 mm. Pentru un calcul corect, trebuie să înlocuiți toate dimensiunile în aceleași unități de măsură, de exemplu, în centimetri. În acest caz, introduceți în calculatorul online trei laturi ale casetei, care sunt egale cu 600, 8 și 8. Veți obține rezultatul sub forma:

Astfel, suprafața totală a profilului de oțel este de 19.328 de centimetri pătrați sau 1,9828 de metri pătrați. Cunoscând suprafața unui profil, puteți determina cu ușurință parametrii pentru vopsirea pieselor cu un strat protector.

Concluzie

Un număr mare de obiecte reale au forma unui paralelipiped: acestea sunt cărămizi, camere, clădiri, piese de mașini și multe altele. Calcularea ariei unui poliedru dat poate fi necesară în cele mai neașteptate situații, cum ar fi probleme de zi cu zi sau calcule profesionale. Calculatorul nostru online vă va ajuta să determinați rapid volumele și suprafețele oricăror forme geometrice obișnuite.

Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară cu un paralelogram la bază. Există formule gata făcute pentru calcularea suprafeței laterale și totale a figurii, pentru care sunt necesare doar lungimile a trei dimensiuni ale paralelipipedului.

Cum să găsiți suprafața laterală a unui paralelipiped dreptunghiular

Este necesar să se facă distincția între un paralelipiped dreptunghiular și unul drept. Baza unei figuri drepte poate fi orice paralelogram. Aria unei astfel de cifre trebuie calculată folosind alte formule.

Suma S a fețelor laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular se calculează folosind formula simplă P*h, unde P este perimetrul și h este înălțimea. Figura arată că laturile opuse ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale, iar înălțimea h coincide cu lungimea marginilor perpendiculare pe bază.

Suprafața unui cuboid

Suprafața totală a figurii este formată din lateral și suprafața a 2 baze. Cum să găsiți aria unui paralelipiped dreptunghiular:

Unde a, b și c sunt dimensiunile corpului geometric.
Formulele descrise sunt ușor de înțeles și utile în rezolvarea multor probleme de geometrie. Un exemplu de sarcină tipică este prezentat în imaginea următoare.

Când se rezolvă probleme de acest fel, trebuie amintit că baza unei prisme patrulatere este aleasă în mod arbitrar. Dacă luăm ca bază fața cu dimensiunile x și 3, atunci valorile lui Sside vor fi diferite, iar Stotal va rămâne 94 cm2.

Suprafața unui cub

Un cub este un paralelipiped dreptunghiular în care toate cele 3 dimensiuni sunt egale. În acest sens, formulele pentru suprafața totală și laterală a unui cub diferă de cele standard.

Perimetrul cubului este 4a, prin urmare, Sside = 4*a*a = 4*a2. Aceste expresii nu sunt necesare pentru memorare, dar accelerează semnificativ rezolvarea sarcinilor.

Exemplu de rezolvare a problemei

Formulele date pot fi folosite la căutarea diagonalelor unui paralelipiped.

Pentru a găsi B1D, este suficient să aplicați teorema lui Pitagora: suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

Paralepipedul este cea mai comună figură care înconjoară oamenii. Majoritatea camerelor sunt exact așa. Este deosebit de important să cunoașteți zona paralelipipedului, cel puțin fețele sale laterale, în timpul reparațiilor. La urma urmei, trebuie să știți exact cât material să cumpărați.

Ceea ce este el?

Aceasta este o prismă cu o bază patruunghiulară. Prin urmare, are patru fețe laterale, care sunt paralelograme. Adică un astfel de corp are doar 6 fețe.

Pentru a determina un paralelipiped în spațiu, se determină aria și volumul acestuia. Primul poate fi fie separat pentru fiecare față, fie pentru întreaga suprafață. În plus, se distinge și zona numai a fețelor laterale.

Ce tipuri de paralelipipede există?

Înclinat. Una în care marginile laterale formează cu baza un unghi diferit de 90 de grade. Patraunghiurile sale superioare și inferioare nu se află unul față de celălalt, ci sunt deplasate.

Drept. Un paralelipiped, ale cărui fețe laterale sunt dreptunghiuri, iar la bază există o figură cu unghiuri arbitrare.

Dreptunghiular. Un caz special de tipul anterior: la baza lui se află un dreptunghi.

cub Un tip special de paralelipiped drept în care toate fețele sunt reprezentate prin pătrate.

Câteva caracteristici matematice ale unui paralelipiped

Poate exista o situație în care acestea vor fi utile în găsirea zonei unui paralelipiped.

• Fețele care se află unul față de celălalt nu sunt doar paralele, ci și egale.
• Diagonalele unui paralelipiped sunt împărțite în părți egale prin punctul de intersecție.
• Un caz mai general, dacă un segment leagă două puncte de pe suprafața unui corp și trece prin punctul de intersecție al diagonalelor, atunci este divizat în două de acest punct.
• Pentru un paralelipiped dreptunghiular este valabilă egalitatea în care într-o parte se află pătratul diagonalei, iar în cealaltă este suma pătratelor înălțimii, lățimii și lungimii sale.

Aria unui paralelipiped drept

Dacă notăm înălțimea corpului ca „n”, iar perimetrul bazei ca litera P os, atunci întreaga suprafață laterală poate fi calculată folosind formula:

Latura S = P os * n

Folosind această formulă și determinând aria bazei, puteți calcula suprafața totală:

S = S latura + 2 * S ax

În ultima intrare, S os., adică aria bazei paralelipipedului, poate fi calculată folosind formula pentru un paralelogram. Cu alte cuvinte, veți avea nevoie de o expresie în care să înmulțiți latura și înălțimea căzută de ea.

Aria unui paralelipiped dreptunghiular

Denumirea standard pentru lungimea, lățimea și înălțimea unui astfel de corp este literele „a”, „b” și, respectiv, „c”. Suprafața laterală va fi exprimată prin formula:

Latura S = 2 * c * (a + b)

Pentru a calcula aria totală a unui paralelipiped dreptunghiular, veți avea nevoie de următoarea expresie:

S = 2 * (av + soare + ac)

Dacă se dovedește a fi necesar să aflați aria bazei sale, atunci este suficient să vă amintiți că acesta este un dreptunghi, ceea ce înseamnă că este suficient să înmulțiți „a” și „b”.

Zona cubului

Suprafața sa laterală este formată din patru pătrate. Aceasta înseamnă că pentru a-l găsi, va trebui să utilizați formula cunoscută pentru un pătrat și să o înmulțiți cu patru.

Latura S = 4 * a 2

Și datorită faptului că bazele sale sunt aceleași pătrate, aria totală este determinată de formula:

S = 6 * a 2

Aria unui paralelipiped înclinat

Deoarece fețele sale sunt paralelograme, trebuie să aflați aria fiecăruia dintre ele și apoi să le adăugați. Din fericire, contrariile sunt egale. Prin urmare, trebuie doar să calculați suprafețele de trei ori și apoi să le înmulțiți cu două. Dacă scrieți asta ca formulă, obțineți următoarele:

Latura S = (S 1 + S 2) * 2,

S = (S 1 + S 2 + S 3) * 2

Aici S 1 și S 2 sunt zonele celor două fețe laterale, iar S 3 este baza.

Sarcini pe subiect

Sarcina unu. Condiție. Este necesar să aflați lungimea diagonalei unui cub dacă întreaga suprafață a acestuia este de 200 mm 2.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a obține o expresie pentru cantitatea dorită. Pătratul său este egal cu trei pătrate ale laturii cubului. Aceasta înseamnă că diagonala este egală cu „a” ori rădăcina lui 3.

Dar partea cubului este necunoscută. Aici va trebui să profitați de faptul că aria întregii suprafețe este cunoscută. Din formulă reiese că „a” este egal cu rădăcina pătrată a coeficientului dintre S și 6.

Răspuns. Diagonala cubului este de 10 mm.

Sarcina a doua. Condiție. Este necesar să se calculeze aria suprafeței unui cub dacă se știe că volumul său este de 343 cm2.

Soluţie. Va trebui să utilizați aceeași formulă pentru zona cubului. Coasta corpului este din nou necunoscută în ea. Dar volumul este dat. Din formula pentru un cub este foarte ușor să aflați „a”. Acesta va fi egal cu rădăcina cubă a lui 343. Un calcul simplu dă următoarea valoare pentru muchie: a = 7 cm.

Răspuns. S = 294 cm2.

Sarcina trei. Condiție. Având în vedere o prismă patruunghiulară regulată cu o latură de bază de 20 dm. Trebuie să-i găsiți marginea laterală. Se știe că aria paralelipipedului este de 1760 dm 2.

Soluţie. Trebuie să vă începeți raționamentul cu formula pentru zona întregii suprafețe a corpului. Numai în ea trebuie să țineți cont de faptul că marginile „a” și „b” sunt egale. Aceasta rezultă din afirmația că prisma este regulată. Aceasta înseamnă că la baza sa se află un patrulater cu laturile egale. Prin urmare a = b = 20 dm.

Ținând cont de acest lucru, formula zonei va fi simplificată astfel:

S = 2 * (a 2 + 2ac).

Totul din el este cunoscut, cu excepția valorii dorite „c”, care este tocmai marginea laterală a paralelipipedului. Pentru a-l găsi, trebuie să efectuați transformări:

• împărțiți toată inegalitatea la 2;
• apoi mutați termenii astfel încât în ​​stânga să fie termenul 2ac, iar în dreapta să fie aria împărțită la 2 și pătratul „a”, iar acesta din urmă să aibă semnul „-”;
• apoi împărțiți ecuația la 2a.

Expresia rezultată va fi:

c = (S/2 - a 2) / (2a)

După înlocuirea tuturor cantităților cunoscute și efectuarea acțiunilor, se dovedește că marginea laterală este de 12 dm.

Răspuns. Muchia laterală „c” este de 12 dm.

Sarcina patru. Condiție. Dat un paralelipiped dreptunghiular. Una dintre fețele sale are o suprafață egală cu 12 cm 2. Este necesar să se calculeze lungimea muchiei care este perpendiculară pe această față. Condiție suplimentară: volumul corpului este de 60 cm 3 .

Soluţie. Să fie cunoscută zona feței care este în fața observatorului. Dacă luăm ca desemnare literele standard pentru măsurarea unui paralelipiped, atunci la baza marginii vor fi „a” și „b”, iar cea verticală va fi „c”. Pe baza acestui fapt, aria feței cunoscute este determinată ca produs al lui „a” și „c”.

Acum trebuie să utilizați volumul cunoscut. Formula sa pentru un paralelipiped dreptunghiular dă produsul tuturor celor trei mărimi: „a”, „b” și „c”. Adică, aria cunoscută înmulțită cu „v” dă volumul. Se pare că marginea dorită poate fi calculată din ecuația:

Un calcul simplu dă rezultatul 5.

Răspuns. Marginea necesară este de 5 cm.

Sarcina cinci. Condiție. Dat un paralelipiped drept. La baza lui se află un paralelogram cu laturile de 6 și 8 cm, unghiul ascuțit între care este de 30º. Marginea laterală are o lungime de 5 cm. Este necesar să se calculeze aria totală a paralelipipedului.

Soluţie. Acesta este cazul când trebuie să aflați separat zonele tuturor fețelor. Sau, mai exact, trei perechi: o bază și două laterale.

Deoarece există un paralelogram la bază, aria lui este calculată ca produsul dintre latură și înălțimea acestuia. Latura este cunoscută, dar înălțimea nu. Trebuie numărat. Acest lucru va necesita o valoare a unghiului ascuțit. Altitudinea formează un triunghi dreptunghic într-un paralelogram. În el, catetul este egal cu produsul dintre sinusul unghiului ascuțit care este opus acestuia și ipotenuza.

Fie partea cunoscută a paralelogramului „a”. Apoi înălțimea va fi scrisă ca * sin 30º. Astfel, aria bazei este egală cu a * b * sin 30º.

Cu marginile laterale totul este mai simplu. Sunt dreptunghiuri. Prin urmare, zonele lor sunt produsul unei părți și celeilalte. Primul este a * s, al doilea este b * s.

Tot ce rămâne este să combinați totul într-o singură formulă și să calculați:

S = 2 * (a * b * sin 30º + a * c + b * c)

După înlocuirea tuturor valorilor, se dovedește că aria necesară este de 188 cm 2.

Răspuns. S = 188 cm2.

La cursul de matematică clasa a V-a se studiază tema unui paralelipiped dreptunghiular. Astăzi vom vorbi despre formule pentru găsirea ariei unei suprafețe laterale paralelipipede dreptunghiulare și a suprafeței totale a acestei figuri, care provoacă cel mai adesea dificultăți studenților atunci când studiază acest subiect.

Definiții

Un paralelipiped este o figură care constă din șase patrulatere. Dacă la baza acestei figuri există un dreptunghi, atunci poliedrul se numește cuboid.

Un paralelipiped dreptunghiular are patru fețe laterale. Două dintre ele se numesc baza poliedrului. Litere mari latine sunt folosite pentru a indica vârfurile figurii.

Dacă două fețe nu au o muchie comună, atunci ele se numesc opuse. Deoarece fiecare față este un dreptunghi, unde laturile opuse sunt egale, atunci laturile opuse ale unui cuboid sunt egale.

Laturile fețelor sunt margini, figura are 12 margini. Lungimea marginilor determină principalele caracteristici ale unui paralelipiped dreptunghiular: suprafață, perimetru, volum.

Orez. 1. Paralepiped dreptunghiular

În viața noastră întâlnim adesea exemple de astfel de figuri: o cărămidă, o cutie, o unitate de sistem informatică.

Figura matematică - un paralelipiped dreptunghiular - este folosită activ în artă, arhitectură și alte domenii.

Există mai multe tipuri de paralelipipede, cu o bază sub formă de pătrat, paralelogram sau dreptunghi.

Formula pentru găsirea zonei

Pentru a găsi aria suprafeței laterale a unui paralelipiped dreptunghiular, este necesar să se calculeze separat aria fiecărei fețe laterale și apoi să se însumeze valorile rezultate.

$S = ac, a, b, c$ – laturile figurii.

Orez. 2. Paralepiped dreptunghiular

Și deoarece fețele opuse sunt egale, adică $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, suma lor va fi aria suprafeței laterale a poligonului.

În consecință, pentru a calcula suprafața totală a unui paralelipiped dreptunghiular, este necesar să adăugați aria suprafeței laterale și două zone ale bazei. Rezultatul este o formulă pentru aria unui paralelipiped dreptunghiular.

$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$

Uneori, pentru clarificare, lângă semnul zonei este scrisă o scurtă denumire, de exemplu, S p.p - suprafața totală sau S b.p - suprafața laterală. Acest lucru ajută la evitarea confuziei datelor necesare la finalizarea unei sarcini.

Exemplu de atribuire

Aflați suprafața totală a unui paralelipiped dreptunghiular dacă lungimea și lățimea bazei sunt de 4 cm, respectiv 3 cm, iar înălțimea este de 2 cm.