Algoritmul Euclidian pentru a calcula cel mai mare divizor comun. Algoritm euclida. Algoritmul Evkalid "cu scăderea"

Algoritmul Euclida. - Acesta este algoritmul pentru găsirea celui mai mare perechi de întregi de separare generală (nod).

Cel mai mare divizor comun (nod) - Acesta este un număr care împarte fără un reziduu două numere și împărtășește-o fără un echilibru asupra oricărui alt divizor de două numere. Pur și simplu puneți, acesta este cel mai mare număr pentru care este posibilă separarea a două numere fără un reziduu pentru care este căutat Nod.

Algoritmul Găsirea diviziei nodului

1. Mai multă divizie la mai mică.
2. Dacă este împărțită fără rămășiță, atunci mai puțin și există un nod (ar trebui să ieșiți din ciclu).
3. Dacă există un reziduu, atunci numărul mai mare este înlocuit de echilibrul diviziei.
4. Du-te la clauza 1.

Exemplu:
Găsiți un nod pentru 30 și 18 ani.
30/18 \u003d 1 (reziduul 12)
18/12 \u003d 1 (reziduul 6)
12/6 \u003d 2 (reziduu 0)
Sfârșitul: Nodul este divizor 6.
Nod (30, 18) \u003d 6

a \u003d 50 B \u003d 130 în timp ce a! \u003d 0 și b! \u003d 0: dacă a\u003e B: A \u003d A% B ELSE: B \u003d B% A Imprimare (A + B)

În ciclul în variabila A sau B, se înregistrează echilibrul divizării. Ciclul este finalizat când cel puțin una dintre variabile este zero. Aceasta înseamnă că celălalt conține un nod. Cu toate acestea, exact ce nu știm. Prin urmare, pentru nodurile găsim cantitatea acestor variabile. Deoarece într-una din variabilele zero, nu afectează rezultatul.

Algoritmul care găsește scăderea nodului

1. Din numărul mai mare, scădem mai mici.
2. Dacă se dovedește 0, înseamnă că numerele sunt egale unul cu celălalt și sunt noduri (ar trebui să ieșiți din ciclu).
3. Dacă rezultatul scăderii nu este egal cu 0, atunci un număr mai mare înlocuind rezultatul scăderii.
4. Du-te la clauza 1.

Exemplu:
Găsiți un nod pentru 30 și 18 ani.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Sfârșitul: nodul este diminuat sau scăzut.
Nod (30, 18) \u003d 6

a \u003d 50 B \u003d 130 în timp ce a! \u003d B: Dacă a\u003e B: A \u003d A - B ELSE: B \u003d B - A Imprimare (A)

Acest articol pro găsirea celui mai mare separator comun (nod) două și mai multe numere. În primul rând, luați în considerare algoritmul Euclidea, vă permite să găsiți un nod de două numere. După aceasta, ne vom opri pe metoda care vă permite să calculați nodurile numerelor ca produs al multiplicatorii simpli obișnuiți. Ne vom da seama cu găsirea celui mai mare divizor total de trei și mai multe numere, precum și noi oferim exemple de calcul al nodului numerelor negative.

Navigarea paginii.

Algoritmul Euclida pentru găsirea de nod

Rețineți că, dacă la început am apelat la tabelul de numere prime, veți afla că numerele 661 și 113 sunt simple, de unde ar fi posibil să se spună că cel mai mare divizor comun este 1.

Răspuns:

Nod (661, 113) \u003d 1.

Găsirea unui nod utilizând descompunerea numerelor la multiplicatorii obișnuiți

Luați în considerare un alt mod de a găsi noduri. Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pe expansiunea numerelor pe factori simpli. Formulăm regula: Nodul a două numere întregi de numere pozitive A și B este egal cu produsul tuturor factorilor simpli obișnuiți în expansiunea numerelor A și B la multiplicatori simpli.

Să dăm un exemplu pentru a explica regulile pentru găsirea unui nod. Anunțați-ne descompunerea numerelor 220 și 600 la factori simpli, au o formă 220 \u003d 2 · 2,5 · 11 și 600 \u003d 2,2 · 2,3 · 5 · 5. Defecțiunile comune implicate în descompunerea numerelor 220 și 600 sunt 2, 2 și 5. În consecință, nodul (220, 600) \u003d 2 · 2 · 5 \u003d 20.

Astfel, dacă descompune numerele A și B la multiplicatori simpli și găsiți un produs al tuturor multiplicatorilor lor obișnuiți, atunci acest lucru va fi găsit cel mai mare divizor comun al numerelor A și B.

Luați în considerare un exemplu de găsire a unui nod pe regula exprimată.

Exemplu.

Găsiți cel mai mare divizor comun de numere 72 și 96.

Decizie.

Răspândiți pe un număr simplu de numere 72 și 96:

Adică 72 \u003d 2 · 2,2 · 3 · 3 și 96 \u003d 2,2 · 2 · 2 · 2 · 3. Defecțiunile comune sunt 2, 2, 2 și 3. Astfel, nodul (72, 96) \u003d 2 · 2 · 2 · 3 \u003d 24

Răspuns:

Nod (72, 96) \u003d 24.

În concluzia acestui articol, observăm că justiția regulilor datei LDD rezultă din proprietatea celui mai mare divizor comun, care susține că Nod (M · A 1, M · B 1 \u003d M · Nod (A 1, B 1)unde M este un număr întreg pozitiv.

Găsirea unui nod de trei și mai multe numere

Găsirea celui mai mare divizor general de trei și mai multe numere poate fi redus la găsirea secvențială a nodului a două numere. Am menționat acest lucru, când studiem proprietățile nodului. Am formulat și am dovedit a fi teorema: cel mai mare divizor comun de mai multe numere A 1, A 2, ..., AK este egal cu numărul DK, care este într-o calculare secvențială a nodului (1, A 2) \u003d D 2, NOD (D 2, A 3) \u003d D3, nod (D3, A 4) \u003d D 4, ..., nod (D K-1, AK) \u003d DK.

Să ne dăm seama cum arată procesul de găsire a unui nod de mai multe numere, având în vedere soluția de exemplu.

Exemplu.

Găsiți cel mai mare divizor comun de patru numere 78, 294, 570 și 36.

Decizie.

În acest exemplu A 1 \u003d 78, A2 \u003d 294, A3 \u003d 570, A 4 \u003d 36.

În primul rând, de către algoritmul Euclid, definim cel mai mare divizor comun D 2 din primele două numere 78 și 294. La împărțirea, obținem egalitatea 294 \u003d 78 · 3 + 60; 78 \u003d 60 · 1 + 18; 60 \u003d 18 · 3 + 6 și 18 \u003d 6 · 3. Astfel, d 2 \u003d nodul (78, 294) \u003d 6.

Acum computere d 3 \u003d nod (D 2, A3) \u003d nod (6, 570). Din nou, aplicăm algoritmul Euclid: 570 \u003d 6,95, prin urmare, d 3 \u003d nod (6, 570) \u003d 6.

Rămâne de calculat d 4 \u003d nod (D3, A 4) \u003d nod (6, 36). Deoarece 36 este împărțită la 6, apoi D 4 \u003d nod (6, 36) \u003d 6.

Astfel, cel mai mare divizor comun de patru numere de date este D 4 \u003d 6, adică nodul (78, 294, 570, 36) \u003d 6.

Răspuns:

Nod (78, 294, 570, 36) \u003d 6.

Descompunerea numerelor la factori simpli vă permite, de asemenea, să calculați nodul celor trei și mai multe numere. În acest caz, cel mai mare divizor comun este ca un produs al tuturor multiplicatorilor obișnuiți de date simple.

Exemplu.

Calculați nodurile numerelor din exemplul anterior, utilizând descompunerea lor în factori simpli.

Decizie.

Noi descompun numerele 78, 294, 570 și 36 de multiplicatori simpli, obținem 78 \u003d 2 · 3,13, 294 \u003d 2 · 3,7 · 7,570 \u003d 2,3 · 5,19, 36 \u003d 2,2 · 3 · 3. Multiplicatorii obișnuiți ai tuturor datelor de patru numere sunt numerele 2 și 3. Prin urmare, Nod (78, 294, 570, 36) \u003d 2 · 3 \u003d 6.

Dimensiune: Px.

Începeți să arătați din pagină:

Transcriere.

1 CONCURSUL 2 Calculul celui mai mare algoritm de distructor general al Euclidea atunci când lucrează cu componente mari, descompunerea lor de multiplicatori simpli este de obicei necunoscută. Dar pentru multe sarcini aplicate ale teoriei numerelor, căutarea expansiunii numărului de multiplicatori este o sarcină practică importantă, adesea care apare. În teoria numerelor există o metodă relativ rapidă pentru calcularea nodului de două numere, numită algoritmul Euclidea. Algoritmul 1. Algoritmul Euclidian. Intrare. Numere întregi A, B; 0.< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b > 0 Algoritmul Euclidian se oprește și numărul D emis de acestea este cel mai mare divizor comun al numerelor A și B. Dovada. De teorema diviziei cu reziduul pentru orice i 1 am r I 1 \u003d q i r i + r I + 1, unde 0 R I + 1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 > R 2\u003e R 3\u003e ... 0, limitat la partea de jos. O astfel de secvență nu poate fi infinită, prin urmare, algoritmul euclidian se oprește. Algoritmul binar al algoritmului binar Euclidian Euclid Nodul de calcul se dovedește a fi mai rapid atunci când implementează acest lucru

2 algoritm pe computer, deoarece utilizează o reprezentare binară a numerelor A și B. Algoritmul binar Euclidea se bazează pe următoarele proprietăți ale celui mai mare divizor comun (credem că 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а > b, apoi nod (A, B) \u003d nod (A B, B); 4) Dacă A \u003d B, atunci nodul (A, B) \u003d A. Algoritmul 2. Algoritmul binar Euclidea. Intrare. Numere întregi A, B; 0.< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a > b. Apoi există astfel de întregi x și y care d \u003d ax + de. Cu alte cuvinte, nodul a două numere poate fi reprezentat în

3 Formați o combinație liniară a acestor numere cu coeficienți întregi. Algoritmul 3. Schema unui algoritm EUCLIDE extins. 1. Determinați \u003d 1, \u003d 0, \u003d 0, \u003d 1, α \u003d a, β \u003d b. 2. Lăsați numărul Q să fie privat din diviziunea numărului A de numărul B și numărul r al reziduului de la împărțirea acestor numere (adică A \u003d QB + R). a \u003d b; B \u003d r; T \u003d; // t \u003d x i-1; \u003d T q; // \u003d x i pentru partea dreapta \u003d x I + 1 pentru dreapta; // t \u003d y i-1; \u003d T q; 5. Ne întoarcem la pasul Definiți x \u003d x 0, y \u003d y 0, d \u003d αx + βy. Opțiunea de intrare a algoritmului euclid extins. Numere întregi A, B; 0.< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 Calculat de algoritmul arată următoarea teoremă. Teorema 4. La fiecare iterație a algoritmului 3, axul egalității I + prin I \u003d R i se efectuează, la I 0. Dovada. Folosim metoda de inducție matematică. Pentru i \u003d 0 și i \u003d 1, egalitatea necesară are loc din cauza pasului 1 al algoritmului 3. Să presupunem că este valabil pentru i 1 și pentru i. Apoi, în Pasul 3 obținem x I + 1 \u003d x I 1 x I și Y I + 1 \u003d Y I I I I. Prin urmare, axul I + 1 + prin I + 1 \u003d A (Xi 1 xi) + B (Yi 1 Yi,) \u003d AX I 1 + de I 1 (ax I + de I) \u003d ri 1 Ri \u003d R I + 1. Exemplu. Se administrează A \u003d 1769, B \u003d 551. Folosind un algoritm extins EKLID, găsiți numere întregi x și y astfel încât D \u003d Ax + de, unde d Noduri A și B. I Stagerea secvenței de calcul. 1. determină \u003d 1, \u003d 0, \u003d 0, \u003d 1, α \u003d 1769, β \u003d special din diviziunea Q \u003d A / B \u003d 1769/551 \u003d 3 și reziduul din diviziunea R \u003d 116. A \u003d 551; b \u003d 116; t \u003d 0: \u003d t q \u003d 1 0 \u003d 1 \u003d 0; \u003d T Q \u003d 3; Următoarele valori intermediare

5 Parametri: a \u003d 551, b \u003d 116, \u003d 0, \u003d 1, \u003d 1, \u003d ca reziduul care se împarte R0, apoi reveniți la etapa 2. II Stadiul secvenței de calcul. 1. Valoarea parametrului: a \u003d 551, b \u003d 116, \u003d 0, \u003d 1, \u003d 1, \u003d specială din diviziunea Q \u003d A / B \u003d 551/116 \u003d 4 și reziduul din diviziunea R \u003d 87. A \u003d 116 ; B \u003d 87; t \u003d 0; \u003d 1: \u003d t q \u003d \u003d 4 \u003d 3; \u003d T Q \u003d 1 (3) 4 \u003d 13; Următoarele valori intermediare ale parametrilor: a \u003d 116, b \u003d 87, \u003d 1, \u003d 4, \u003d 3, \u003d ca reziduul de la divizarea R0, apoi reveniți la pasul 2. Etapa III a secvenței de calcul. 1. Valoarea parametrului: a \u003d 116, b \u003d 87, \u003d 1, \u003d 4, \u003d 3, \u003d specială din diviziunea Q \u003d A / B \u003d 116/87 \u003d 1 și reziduul din diviziunea R \u003d 29.

6 A \u003d 87; b \u003d 29; t \u003d 4: \u003d t Q \u003d 1 (4) 1 \u003d 5; \u003d 3; \u003d 13; \u003d T Q \u003d 3 (13) 1 \u003d 16; Următoarele valori intermediare ale parametrilor: a \u003d 87, b \u003d 29, \u003d 4, \u003d 5, \u003d 13, \u003d ca reziduul de a împărți R0, apoi reveni la pasul 2. Pasul IV al secvenței de calcul. 1. Valoarea parametrului: a \u003d 87, b \u003d 29, \u003d 4, \u003d 5, \u003d 13, \u003d special din diviziunea Q \u003d A / B \u003d 87/29 \u003d 3 și reziduul din diviziunea R \u003d 0. A \u003d 87 ; b \u003d 29; t \u003d 4; \u003d 5; \u003d 19; \u003d 13; \u003d 16; \u003d T Q \u003d 13 (16) 3 \u003d 61; Următoarele valori intermediare ale parametrilor: a \u003d 87, b \u003d 29, \u003d 5, \u003d 19, \u003d 16, \u003d ca reziduul de la împărțirea r \u003d 0, apoi efectuați pasul 6.

7 6. Calculați nodul conform formulei D \u003d αx + βy, unde x \u003d x 0 \u003d 5, y \u003d y 0 \u003d 16, α \u003d 1769, p \u003d 551. Înlocuirea valorii parametrilor, obținem d \u003d αx + βy \u003d \u003d 29. Un algoritm de euclid extins poate fi, de asemenea, implementat în formă binară. Algoritmul 4. Algoritm binar avansat Euclidea. Intrare. Numere întregi A, B; 0.< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Rezolvarea ecuațiilor în ecuațiile liniare întregi. Exemplu de metodă de generare directă. Iepurii și fazanii stau în cușcă. În total, au 8 picioare. Aflați cât de mulți în cușca celor și alții. Specificați toate soluțiile. Decizie.

Lecția 7 Numărul d este numit cel mai mare divizor comun (nod) al numerelor A și B, dacă (1) D A și D B și (2) pentru toate X de la X A și X B ar trebui să fie x d. În acest caz, scriem d \u003d (a, b). Lemma 1. Pentru orice numere

Subiect. Elementele de bază ale teoriei elementare a numărului și a materialului teoretic anexat. Multe deduceri modulo, proprietăți ale comparațiilor. Lăsați un număr natural, mai mare. Prin Z, indicăm multe din toate clasele.

Yugorsky fizic și matematică Liceul VP Dude Teoria numerelor Prelegeri abstracte (0) (mod) (0) (mod) Numere naturale N, - multe numere naturale utilizate pentru cont sau listare

Capitolul 2 Numerele întregi, raționale și reale 2 .. numere întregi, 2, 3, ... sunt numite naturale. Setul de toate numerele naturale este notat de N, adică. N \u003d (, 2.3, ...). Numere ..., 3, 2,0,2,3, ...

Fracțiunile de lanț Fracțiunile din lanț finit Definirea expresiei formei A 0 + A + A + A M N / () Se numește o fracțiune de lanț de m - lungimea fracției de lanț A 0 A M va fi numită coeficienți de lanțuri

Curs 1 Unele elemente ale teoriei numerelor din manual nu fac obiectul teoriei numerelor A dată setul de instrumente minim din această teorie care va fi obligat să studieze sistemele criptografice utilizate

Gorbaciov nu sunt polinomi dintr-o soluție variabilă a ecuațiilor privind gradul de polinom al operațiunilor aritmetice asupra polinomilor polinomiali OPR (polinomial)-a grad relativ la variabila

Divizibilitatea numarului numar a numarului A este împărțită în numărul B (sau B, împărți A) dacă există un număr C, că A \u003d BC, cu acest număr C este numit privat din diviziunea A pe notația B: A - și este împărțită în diviziunea B sau BA B

Curs 12 din gradul al doilea într-un mod simplu și deducerile patratice, tipul general de comparație a gradului al doilea de-a lungul modulului simplu P are forma (1) cu 0 x 2 + C 1 x + C2 0 mod P. Caută compararea soluției (1)

Instrucțiuni, soluții, ecuații răspunsuri în numere întregi. Ecuație cu o soluție necunoscută. Înlocuiți ecuația. Obținem egalitatea (4a B 4) (A B 8) 0. Egalitatea A B 0, unde a și integral, executat,

Polinomii algebraici. 1 Polinoame algebrice N față de câmp Determinarea 1. 1 de către un polinom al gradului N, N N (0), din variabila Z deasupra câmpului numeric K este expresia formei: fz \u003d a n z n

Prelegeri de deducere patratic și lector rău: Nud Gold înregistrate: E Zamarayeva? Septembrie 00 CUPRINS DEDUCȚII QUADUTIC ȘI REFERINȚĂ Proprietăți simboluri legendra legendre simbol quadratic Drept

Gou școală-internat "" Intellextal "și C C L E D O V A B O K A S I R A T A P O M T E M A T A T A T A TO T T E M A T A TO T T E M A T T A TO A TO T T E M A T I T T I T T I T T A T A T A T A T A T A TE A TELE TEMENE:" Cu privire la numerele naturale de reprezentabilitate sub forma unei combinații liniare cu coeficienți întregi "

Analiza matematică Secțiunea: Subiectul integrat incert: Integrarea fracțiilor raționale Lector PAKHOMOVA de ex. 0. 5. Integrarea definiției fracțiilor raționale. Se numește fracțiune rațională

4 Teoria numerelor 4 numerele 7 Definiție Let, B Z apoi împarte B Dacă există un număr întreg astfel încât b (denotat de b) 73 teorema (diviziune cu reziduul) dacă, B Z și B, atunci există astfel de întregi întregi

Analiza matematică Secțiunea: Subiect integrat incert: Integrarea fracțiilor raționale Lector Rozhkov S.V. 0. 5. Integrarea definiției fracțiilor raționale. Se numește fracțiune rațională

009-00 UCH. an. 6, 9 cl. Matematică. Elemente ale teoriei numerelor. 4. Calcularea celui mai mare divizor general și cel mai mic reținut general de reținere a denumirilor din paragraf. Pentru un număr natural n înregistrarea n

Algebra aplicată. Partea I: Câmpurile finite (câmpurile Galois). I 1/67 Partea I Finite Fields (câmpurile Galois). Am aplicat algebra. Partea I: Câmpurile finite (câmpurile Galois). I 2/67 Domenii de deducere pentru un modul simplu

5 Soluția de ecuații în numere întregi în rezolvarea și a unor astfel de ecuații simple, ca ecuație liniară cu unul necunoscut, are propriile caracteristici, dacă coeficienții ecuației sunt numere întregi și sunt necesare

Lucrări de laborator 8 Calcularea celui mai mare divizor comun pentru două numere utilizând algoritmul Euclid Scopul lucrării care utilizează algoritmul Euclid pentru a crea un program care pentru numere A și B determină cea mai mare

Secțiunea 1. Fundamentele matematice ale criptografiei 1 Determinarea câmpului cu un câmp finit GF Q (sau câmp Galois) se referă la setul final arbitrar de elemente cu operațiunile specificate între ele, multiplicarea

Xix interregional elevii olimpiad în matematică și sarcini de criptografie pentru soluția de grad de clasa a XI-a 1, observăm că dacă n \u003d pq, unde p și q sunt numere simple, atunci numărul de numere naturale mai mici

Polinoamele și rădăcinile acestora din 2018. Gushchina Elena Nikolaevna Definiție: Un polinom al gradului NN N este numit orice expresie a formei: P & Z \u003d A & Z & + A & +, Z & +, + A, Z + A., unde A &, A & +, A, A. R, A &

Curs 4. Standard AES. Algoritmul Rijndael. Standardul AES este un nou standard de criptare standard cu o singură cheie, care a înlocuit standardul DES. Algoritmul Rjndel (Rin Dal)

Polinoamele și rădăcinile lor Definiție: Un polinom al gradului N (Nn) se numește orice expresie a formei: PN (Z) \u003d ANZN + A 1 Zn 1 + + A 1 Z + A 0, unde un, un 1, a 1, a 0 R, un coeficient superior, a

1 algoritmul euclid și definiția complexității acesteia 1. Distribuitorul comun al numerelor A și B se numește un astfel de număr C că C A și C B. Definiție 2. Cel mai mare divizor comun de numere A și B este numit un astfel de divizor comun,

CURCUREA 14 Calcularea rădăcinilor pătrate în funcție de modulul compozit din teoria de mai sus urmează că dacă \u003d, unde și numerele simple, grupul Z este izomorfă la spațiul Z Z. Din moment ce izomorfismul salvează proprietățile

CONCURSUL 3 Calculul rădăcinilor pătrate de către modulul Cazul unui modul simplu Luați în considerare o comparație x A MOD P, () în cazul în care numărul P este un simplu și întreg și nu este împărțit în P Calculul soluției X a acestei ecuații

Programul de colocviu pentru matematica discretă (flux principal) La începutul colocviului, veți primi un bilet în care vor exista trei întrebări: o întrebare pentru cunoașterea definițiilor, sarcinii, o întrebare pentru cunoașterea probelor.

Algoritmul Shira Y. Lifeshitz. 1 decembrie 005 Planul de curs 1. Pregătirea (a) descompunerea numerelor pentru factori (b) calcule cuantice (c) emularea calculelor clasice. Simon algoritm (a) paralelism cuantic

Din istoria matematicii, prima carte suficientă în vrac, în care aritmetica a fost descrisă independent de geometrie, a fost introducerea lui Nikomakh la aritmetică (ok NE) în istoria aritmetică, rolul său este comparabil cu rolul

Scurtă introducere la începutul teoriei elementare a numărului Denis Kiriyenko a Școlii de Computer Denis, 1 ianuarie 2009 Divizia inteligentă Lăsați două numere întregi A și B, B. Integer privat din diviziune

Tema 1-9: Polinoame. Construirea unui inel de polinoame. Teoria divizibilității. Derivat A. Ya. Ovsyannikov Ural University University Institutul de Matematică și Informatică Departamentul de Algebră și Discret

Ecuații algebrice în cazul în care definiția. Algebrici se numește ecuația formularului 0, P () 0, unele numere valide. 0 0 În acest caz, variabila este numită un necunoscut și numere 0, coeficienți

Curs 6 elemente ale teoriei numerelor 1 sarcină. Continuați serii numerice 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11, 11, 101, 1001, 1011, 2, 101, 1001, 1011, 2 aritmetice utilizează numere întregi: Z \u003d (, -2, - 1, 0,

Polinomii polinomi dintr-o variabilă x grad N numită expresia formei, unde - orice numere numite coeficienți polinomi și numit coeficientul mai vechi al polinomului dacă în loc de o variabilă

1 2 conținut. 1. Introducere. 4-6 1.1. Adnotare ... 4 1.2. Problema 4 1.3. Scopul muncii 5 1.4. Ipoteza..5 1.5. Subiectul cercetării ... 5 1.6. Obiect de studiu. 5 1.7. Noutate ... 5-6 1.8. Metode de cercetare ... 6

8.3, 8.4.2 Clasa, Matematica (manualul Makarychev) 2018-2019 UCH. Tema modulului "Numere întregi. Distribuirea numerelor. Gradul cu întregul "Partea teoretică și practică este verificată în încercare. Subiect de a ști

Lectură care integrează fracțiunile raționale Fracțiunile raționale care integrează cele mai simple fracțiuni raționale descompunerea fracțiunii raționale pe cea mai simplă fracțiune de integrare a fracțiilor raționale raționale

Www.cryptoLymp.ru XIX Școlile interregionale Olimpiad în matematică și criptografie (gradul 11) Soluția de problemă 1 În primul rând, observăm că dacă n pq, unde p și q sunt numere simple, atunci numărul de numere naturale,

Potrivit capitolului Teoria divizibilității se numește numere, -3, - -, 0, 3, acele numere naturale, 3, 4, precum și numerele zero și negative -, - -3, -4, setul de toate numere întregi este indicat de

Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă Universitatea Economică de Stat din Yu. B. Melnikov este o secțiune de polinomie a unui manual electronic pentru prelegerea însoțitoare Ed. A 4-a copie. si adauga. E-mail: [E-mail protejat],

(Exemple de sistem trigonometrice trigonometrice - descompunere pe intervalul [-L; L] pentru funcțiile unei perioade arbitrare - descompunere a rândurilor incomplete în sine și coslinees, chiar și continuări)

Teoretice Informatică II Curs 5. Algoritmi inteligenți: un algoritm extins euclid, un element invers în modul, construirea modulului. Deschideți criptografia cheie, protocolul RSA. Probabilist.

5. Codurile Bowza-Choothuri-Hokwingham Proprietățile corective ale codurilor ciclice pot fi determinate pe baza a două teoreme. Teorema 1. Pentru orice m și t, există un cod ciclic cu o lungime n \u003d 2 m 1, cu multiplicitate

Aritmetica modulară în unele aplicații este convenabilă pentru a efectua operații aritmetice asupra numitelor întregi specificate în așa-numita viziune modulară. Această prezentare presupune că un număr întreg

Matematica EGE 00 Koryanov a.g. Sarcini de la Bryansk Comentariile și dorințele de a trimite la adresa: [E-mail protejat] Ecuații și inegalități în numere întregi (de la sarcini educaționale la sarcini olimpiad) liniar

2.22. Schimbați factorul general (N număr natural): 1) x N + 3 + x N; 3) z 3n - z n; 2) y n + 2 - y n - 2, n\u003e 2; 4) 5 N + 4 + 2 5 N + 2-3 5 N + 1. 2.23. Fiecare număr a fost pus în linie cu

Curs 15 Numere simple Numărul natural P, mai multe se numește simplu, dacă este împărțită singură numai pentru 1 și pe sine. Teorema (Euclide). Multe numere prime sunt infinite. Denotă de π (x)

Subiect 3. Elemente ale teoriei algebrice și analitice a numărului de materiale teoretice 1. Fracțiuni de lanț. Fracțiunea finală a lanțului se numește expresia A +, (1) unde A este un număr întreg, A, I\u003e 0, numere naturale,

Http://vk.ucoz.et/ Operații pe polinomii k A K de un grad de polinom (polinomial) K este funcția formei A, în cazul în care variabila, a - coeficienții numerici (\u003d, k) și. Orice număr nonzero poate fi luat în considerare

Universitatea Pedagogică de Stat Penza numită după V. G. Belinsky M. V. Glebova V. F. Timerbulatova Cursuri practice pe algebra de polinomi Manualul educațional și metodologic Penza este tipărită de către

Soliditatea numerelor cu reziduul Let M este un număr întreg și N Natural Dacă m\u003e n și m nu este împărțit în n scopul, atunci este posibil să se împartă m la n cu definiția reziduului 3 pentru orice număr întreg M și orice

Avdoszyn s.m., Savelyeva A.a. Algoritmul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în inele de deducere a dezvoltat un algoritm eficient pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în ratele de deduceri echivalente cu complexitatea

Algebră aplicată. Partea I: Câmpuri finite (câmpuri Galois) I 1/88 Partea I Finită Câmpuri (câmpurile Galo'a) Am aplicat algebra. Partea I: Câmpuri finite (câmpuri Galois) I 2/88 Domenii de deducere pentru un mod simplu de număr

5 structuri algebrice 6 Definiție Operațiunea binară pe setarea S Există o cartografiere a lui care este, este o regulă că fiecare pereche ordonată de elemente din S pune în linie cu unii

/ E Eh teoria teoriei numerelor și. Rochev 28 August 2018 Cuprins Cuprins I 1 Întreguri 1 1.1 Sarcini introductive ................................. . ..... 1 1.2 Cel mai mare divizor comun ..............................

Capitolul întreg, rațional și valabil. Decizie cu reziduul. Fiecare dintre numere ± 23, ± 4 este împărțită de la reziduu la fiecare dintre numere ± 5. 2. Găsiți toți divizorii pozitivi ai numărului 42. 3. Acum 3 ore.

Ecuații diferențiale prelege 4 ecuații în diferențele complete. Integrarea lectorului multiplicator SHERSTNEV Anna Igorevna 9. Ecuații în diferențele complete Ecuația D + D \u003d 14 se numește ecuația

Subiect. Bazele teoriei elementare a numerelor și a aplicațiilor. Pred-ca rădăcini, indici. Materialul teoretic lăsați un numere naturale reciproc simple și m, apoi, potrivit teoremei lui Euler, M)

Departamentul de Matematică și Informatică Elemente de Matematică superioară Complex educațional și metodic pentru studenții CPO, studenți care utilizează tehnologii de la distanță Teoria limitelor Compilator: profesor asociat

Secțiunea 2. Metode teoretice în sarcina de criptografie pentru lucrări independente. Examinați algoritmi utilizați pe scară largă în criptografie. Elementele teoriei numerelor: un algoritm extins Euclidea;

Planul tematic a fost pregătit pe baza unui material software 206-207. Deoarece manualul "Algebra 8" ed. A.G. Mordkovici, luând în considerare minimul obligatoriu recomandat al conținutului temă de educație

Curs 2. Proprietățile coeficienților binomi. Numărarea sumelor și metoda de producere a funcțiilor (caz final). Coeficienți polinomi. Estimări ale coeficienților binomiali și polinomi. Estimări ale sumelor

Pe cerc a arătat cum pot fi îndepărtate rădăcinile pătrate în coloană. Este posibilă calcularea rădăcinii cu precizie arbitrară, găsiți un număr de numere în recordul zecimal, chiar dacă se obține irațional. Algoritmul și-a amintit și întrebările au rămas. Nu a fost clar unde a venit metoda și de ce dă rezultatul corect. În cărțile nu era, sau poate doar nu în acele cărți pe care le căutam. Ca urmare, la fel de mult din faptul că astăzi știu și pot, am adus-o singură. Îmi împărtășesc cunoștințele aici. Apropo, încă nu știu unde este dat rațiunea pentru algoritm)))

Deci, în primul rând, pe exemplul pe care îl spun: "Cum funcționează sistemul", și apoi explic de ce funcționează de fapt.

Luați numărul (numărul "de la tavan", tocmai a venit în minte).

1. Împărțim numerele lui la pereche: aceia care stau în partea stângă a punctului zecimal, am grupă două pe partea dreaptă și cei care au dreptul - doi de la stânga la dreapta. Primim.

2. Îndepărtați rădăcina pătrată de la primul grup de numere din stânga - în cazul nostru (este clar că exact că rădăcina nu poate fi eliminată, luăm un număr, piața cărora este cât mai aproape de numărul nostru format de numărul nostru Primul grup de numere, dar nu o depășește). În cazul nostru, acesta va fi numărul. Noi scriem ca răspuns - aceasta este cea mai mare cifră a rădăcinii.

3. Ridicim numărul care este deja în răspunsul este - în piață și scăzând numerele din primul stânga - de la. În cazul nostru, rămâne.

4. Atribuționăm dreptul la următorul grup de două cifre :. Numărul care este deja ca răspuns, ne multiplicăm, obținem.

5. Acum urmăriți cu atenție. Trebuie să vă atribuim o singură cifră în dreapta și numărul de multiplicare, adică același număr atribuit. Rezultatul ar trebui să fie cât mai aproape posibil, dar nu mai mult decât acest număr. În cazul nostru, va fi o cifră, este scrisă ca răspuns lângă, în dreapta. Aceasta este următoarea cifră într-o înregistrare zecimală a rădăcinii noastre pătrate.

6. De la scăderea muncii, ajungem.

7. Apoi, repetăm \u200b\u200boperațiuni familiare: ne atribuim în partea dreaptă a unui grup de numere, multiplicați, la numărul rezultat\u003e atribuim la o singură cifră, astfel încât atunci când vă înmulțiți este un număr, mai mic, dar Cel mai apropiat de acesta este figura - următoarea cifră în înregistrarea rădăcină zecimală.

Calculele vor fi scrise după cum urmează:

Și acum explicația promisă. Algoritmul se bazează pe formula

Comentarii: 51.

1. 2 Anton:

   Foarte murdar și confuz. Răspândiți totul pe puncte și amorți-le. Plus: Explicați de unde în fiecare acțiune înlocuim valorile necesare. Niciodată nu a calculat anterior rădăcina în coloană - mi-am dat seama cu dificultate.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Julia, 23 este înregistrată în prezent în dreapta, acestea sunt primul (stânga) cifrele rădăcinii, care sunt responsabile. Înmulțim 2 în funcție de algoritm. Repetăm \u200b\u200bacțiunile descrise la alineatul (4).

4. 7 ZZZ:

   eroare în "6. Din 167, scădem produsul 43 * 3 \u003d 123 (129 Nada), obținem 38. "
   Nu este clar cum după virgulă sa dovedit 08 ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Și chiar și în epoca corespondenței, am fost învățați la școală nu numai pătrat, ci și o rădăcină cubică în coloană pentru a extrage, dar este o muncă mai obositoare și mai dureroasă. A fost mai ușor să folosiți mesele de marcă sau conducătorul logaritmic, pe care l-am studiat deja în licee.

6. 10 :

   Alexandru, aveți dreptate, puteți extrage în coloana și rădăcinile de grade mari. Voi scrie doar cum să găsesc o rădăcină cubică.

7. 12 Sergey Valentinovici:

   Dragă Elizabeth Aleksandrovna! La sfârșitul anilor '70, este dezvoltată o schemă de automată (adică nu se selectează). Rădăcină pe Aritichmeterul Felix. Dacă sunteți interesat, pot trimite o descriere.

8. 14 Vlad Aus Engelsstadt:

   ((((Extragerea rădăcinii pătrate în coloană))
   Algoritmul este simplificat dacă se utilizează un sistem numeric necesar, care este studiat în informatică, dar util în matematică. UN. Kolmogorov în prelegeri populare pentru elevii au condus acest algoritm. Articolul său poate fi găsit în "Chebyshevsky Collection" (Jurnal matematic, căutați un link pe acesta pe Internet)
   La acest caz spun:
   Rubnitele în timp util a fost repetat cu o idee despre trecerea de la un sistem de 10 numere la binare datorită simplității și accesibilității pentru începători (studenți mai tineri). Dar a stabilit tradiții pentru ao sparge tot ceea ce fruntea rupe poarta cetății: este posibil, dar este inutil. Așa că se dovedește ca un filosofo barbă în cele mai citate în zilele vechi: tradițiile tuturor generațiilor moarte sunt suprimate de conștiința celor vii.

   Până la următoarele întâlniri.

9. 15 Vlad Aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovici, da, mă întreb ... ((

   Pun pariu că este o variație a "Felix" a metodei babiloniene de extragere a pătratului calului prin metoda aproximărilor consecutive. Acest algoritm a fost blocat de Newton (metoda tangentă)

   Mă întreb dacă nu am făcut o greșeală în prognoza?

10. 18 :

    2Vlad Aus Engelsstadt.

    Da, algoritmul din sistemul binar ar trebui să fie mai ușor, este destul de evident.

    Despre metoda lui Newton. Poate că este așa, dar încă interesant

11. 20 Cyril:

    Mulțumesc foarte mult. Și nu există algoritm, nu se știe de unde a venit, dar rezultatul este corect. MULȚUMESC FOARTE MULT! A căutat de mult)

12. 21 Alexander:

    Și cum va extrage rădăcina dintre dreapta, unde a doua stânga este grupul foarte mic? De exemplu, un număr preferat 4 398 046 511 104. După prima scădere, este imposibil să continuați totul în funcție de algoritm. Explica te rog.

13. 22 Alexey:

    Da, știu această metodă. Îmi amintesc că am citit-o în cartea "Algebra" a unei ediții vechi. Apoi, după analogie, el sa adus, pe măsură ce rădăcina cubică a fost îndepărtată și în coloană. Dar este deja mai dificilă: fiecare cifră nu mai este determinată într-una (ca și pătrată), ci în două scăderi și chiar acolo de fiecare dată când trebuie să multiplicați numerele lungi.

14. 23 Artem:

    În exemplul de extracție a rădăcinii pătrate într-o coloană de 56789,321, există greșeli. Grupul de numere 32 este atribuit de două ori la numerele 145 și 243, printre cele 2388025 secunde 8 trebuie înlocuite cu 3. Apoi ultima scădere trebuie să fie scrisă după cum urmează: 2431000 - 2383025 \u003d 47975.
    În plus, atunci când se împarte reziduul la valoarea crescută de două ori (cu excepția unei virgule), obținem un număr suplimentar de cifre semnificative (47975 / (2 * 238305) \u003d 0,100658819 ...), care trebuie adresate răspunsului ( √56789,321 \u003d 238,305 ... \u003d 238.305100659).

15. 24 Sergey:

    Aparent, algoritmul a venit din cartea lui Isaac Newton "Aritmetică universală sau o carte despre sinteza și analiza aritmetică". Iată un extras din acesta:

    Privind extragerea rădăcinilor

    Pentru a elimina o rădăcină pătrată dintre numărul, în primul rând, ar trebui să puneți numerele sale printr-una, începând cu unități, puncte. Apoi a urmat în privat sau în rădăcină pentru a scrie o cifră, pătratul care este egal cu cea mai apropiată vanitate cu numerele sau numărul care precede primul punct. După scăderea acestui pătrat, numerele rădăcinilor rămase vor fi găsite în mod constant prin împărțirea reziduului pe de două ori amploarea părții deja extrase a rădăcinii și scade de fiecare dată când restul pătratului ultimei figurații și munca sa determinată pe nume divizor.

16. 25 Sergey:

    Corectați numele cărții "Aritmetică universală sau carte despre sinteza și analiza aritmetică"

17. 26 Alexander:

    Vă mulțumim pentru materialul interesant. Dar această metodă mi se pare mai complicată decât, de exemplu, un școală. Folosesc o metodă simplă bazată pe descompunerea unei funcții patrate folosind primele două derivate. Formula este astfel:
    SQRT (X) \u003d A1 + A2-A3, unde
    A1 este un număr întreg al cărui pătrat este cel mai apropiat de X;
    A2 - Fracție, într-o numărătoare x-A1, într-un numitor 2 * A1.
    Pentru majoritatea numerelor întâlnite în anul școlar, acest lucru este suficient pentru a obține rezultatul cu o precizie de sute.
    Dacă aveți nevoie de un rezultat mai precis, luăm
    A3 - Fracție, într-un numitor A2 într-un pătrat, într-un denominator 2 * A1 + 1.
    Desigur, pentru utilizare aveți nevoie de un tabel de pătrate întregi, dar aceasta nu este o problemă la școală. Amintiți-vă că această formulă este destul de simplă.
    Cu toate acestea, confundă faptul că A3 am avut un mod experimentat ca urmare a experimentelor cu o foaie de calcul și nu înțeleg pe deplin de ce acest membru are o astfel de specie. Poate spune-mi?

18. 27 Alexander:

    Da, am luat în considerare și aceste considerații, dar diavolul se află în detalii. Tu scrii:
    "Deoarece A2 și B sunt deja destul de mici". Întrebarea este exact cât de puțin.
    Această formulă funcționează bine în numerele celei de-a doua zece și mult mai rău (nu la sute, numai la zecimi) în numerele primelor zece. De ce se întâmplă acest lucru, este deja dificil de înțeles fără a atrage derivați.

19. 28 Alexander:

    Voi clarifica ceea ce văd avantajul formulei propus de mine. Nu necesită o divizare complet naturală a numerelor pe o pereche de numere, care, după cum arată experiența, se face adesea cu erori. Semnificația sa este evidentă, dar pentru o persoană care este familiarizată cu analiza, trivială. Funcționează bine în numere între 100 și 1000 cele mai frecvente la școală.

20. 29 Alexander:

    Apropo, am suflat puțin și am găsit o expresie precisă pentru A3 în formula mea:
    A3 \u003d A22 / 2 (A1 + A2)

21. 30 Vasil Stryzhak:

    În zilele noastre, utilizarea omniprezentă a echipamentului de calcul, întrebarea de extragere a unui cal pătrat din punct de vedere practic nu merită. Dar pentru iubitorii de matematică, nu există nici o îndoială că diferite opțiuni de rezolvare a acestei sarcini sunt de interes. În programul școlar, metoda acestui calcul fără a atrage fonduri suplimentare ar trebui să aibă loc la un par cu multiplicare și diviziune într-o coloană. Algoritmul de calcul nu ar trebui să fie nu numai memorabil, ci și de înțeles. Metoda clasică furnizată în acest material pentru discuții cu divulgarea entității respectă pe deplin criteriile de mai sus.
    Dezavantajul esențial al metodei propuse de Alexander este de a folosi tabelul pătratelor întregi. Ce majoritatea numerelor din anul școlar este limitată de autor este tăcută. În ceea ce privește formula, în general, mă impresionează în minte acuratețea relativ ridicată a calculului.

22. 31 Alexander:

    pentru 30 Vasil Stryzhak
    Nu am tăcut nimic. Masa pătrată este asumată la 1000. În timpul meu, la școală, a fost pur și simplu memorat și a fost în toate manualele matematicii. Am numit în mod explicit acest interval.
    În ceea ce privește tehnologia de calcul, nu se aplică, în principal în lecțiile matematice, dacă numai nu se desfășoară în mod specific la utilizarea calculatorului. Calculatoarele sunt acum încorporate în dispozitivele interzise pentru utilizare pe examen.

23. 32 Vasil Stryzhak:

    Alexandru, mulțumesc pentru clarificarea! Am crezut că pentru metoda propusă teoretic, este necesar să ne amintim sau să folosiți tabelul pătratelor tuturor numerelor de două cifre. Este posibil să se utilizeze recepția sau scăderea numărului de punct și virgulă la numărul necesar de semicoluri de la 100 la 10.000.

24. 33 Vasil Stryzhak:

25. 39 Alexander:

    Primul meu program în limba "YAMB" pe mașina sovietică "Spark 555" a fost scris pentru a extrage o rădăcină pătrată din rândul algoritmului de extragere din coloană! Și acum am uitat cum să extrag în Manual!

Algoritmul Euclida.

Cea mai mare divizel comună

Luați în considerare următoarea sarcină: este necesar să faceți un program pentru a determina cel mai mare divizor comun (nod) de două numere naturale.

Amintiți-vă de matematică. Cel mai mare divizor comun al două numere naturale este cel mai mare număr natural la care sunt împărțite. De exemplu, în numerele 12 și 18 sunt divizori obișnuiți: 2, 3, 6. Cel mai mare divizor comun este numărul 6. Acest lucru este scris după cum urmează:

Nod (12, 18) \u003d 6.

Introduceți datele inițiale ca M U N. Sarcina este descrisă după cum urmează:
Dat: M, N.
A găsi: Nod (m, n).

În acest caz, nu este necesară o formalizare matematică suplimentară. Formularea problemei este o formă matematică formală. Nu există o formulă pentru calcularea NOD (M, N) prin valori ale M și N. Dar a fost mult timp cu mult timp în urmă, cu mult înainte de apariția calculatorului, a fost cunoscută o modalitate algoritmică de a rezolva această problemă. Numit O. algoritmul Euclida. .

Ideea algoritmului Euclidea

Ideea acestui algoritm se bazează pe proprietatea că, dacă m\u003e n, atunci

Nod (m, n) \u003d nod (m - n, n).

Cu alte cuvinte, nodul a două numere naturale este egal cu nodul diferenței lor pozitive (modulul diferenței lor) și un număr mai mic.

Dovedește cu ușurință această proprietate. Fie K un divizor comun M U N (M\u003e N). Aceasta înseamnă că m \u003d mk, n \u003d nk, unde m, n este numere naturale și m\u003e n. Apoi m - n \u003d k (M - N), de unde rezultă că K este un divizor al numărului M - N. Prin urmare, toți divizorii obișnuiți ai numărului M și N sunt divizori ai diferenței lor M - N, inclusiv cel mai mare divizor comun.

A doua proprietate evidentă:

Nod (m, m) \u003d M.

Pentru contul "Manual", algoritmul Euclidian arată astfel:

1) Dacă numerele sunt egale, luați oricare dintre ele ca răspuns, continuați în alt mod executarea algoritmului;

2) înlocuiți un număr mai mare de diferențe mai mari și mai mici;

3) reveniți la execuția alineatului (1).

Luați în considerare acest algoritm pe exemplul M \u003d 32, n \u003d 24:

Structura algoritmului este ciclul - în timp ce cu ramura imbricată. Ciclul se repetă până când valorile M și N sunt egale între ele. În ramificarea a două valori este înlocuită de diferența lor.

Și acum, uitați-vă la tabelul de urmărire al algoritmului pentru valorile inițiale m \u003d 32, n \u003d 24.

Ca rezultat, sa dovedit rezultatul corect.

Program pe Aya și Pascal

Noi scriem algoritmul la Aya și programul de pe Pascal.

Întrebări și sarcini

1. Efectuați un program EVKLID pe computer. Testați-l pe valorile m \u003d 32, n \u003d 24; M \u003d 696, n \u003d 234.

2. Faceți un program de găsire a celui mai mare separator total de trei numere utilizând următoarea formulă:

NOD (A, B, C) \u003d NOD (NOD (A, B), C).

3. Faceți un program de găsire a celei mai mici numere multiple (NOC) utilizând formula:

A × B \u003d nod (A, B) × NOK (A, B).