Proprietățile de bază ale logaritmilor. Tehnici și metode de comparare a logaritmilor Compararea logaritmilor cu diferite baze și exponenți

proprietăți principale.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

temeiuri identice

Log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ a logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x >

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este egal cu 2,7 și de două ori anul nașterii lui Leo Nikolaevici Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple de logaritmi

Expresii logaritmice

Exemplul 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Folosind proprietățile 3.5 calculăm

4. Unde .

Exemplul 2. Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul.

Formule logaritmice. Exemple de logaritmi soluții.

Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă setăm c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul lui b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o putere x () la care egalitatea este satisfăcută

Proprietățile de bază ale logaritmului

Este necesar să se cunoască proprietățile de mai sus, deoarece aproape toate problemele și exemplele legate de logaritmi sunt rezolvate pe baza lor. Restul proprietăților exotice pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Când calculați formula pentru suma și diferența de logaritmi (3.4) întâlniți destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul la baza zece este de obicei numit logaritm zecimal și este pur și simplu notat cu lg(x).

Din înregistrare reiese clar că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Un logaritm natural este un logaritm a cărui bază este un exponent (notat cu ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este egal cu 2,7 și de două ori anul nașterii lui Leo Nikolaevici Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important pentru baza doi este notat cu

Derivata logaritmului unei funcții este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de relație

Materialul dat este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a vă ajuta să înțelegeți materialul, voi da doar câteva exemple comune din programa școlară și universități.

Exemple de logaritmi

Expresii logaritmice

Exemplul 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Folosind proprietățile 3.5 calculăm

2.
Prin proprietatea diferenței logaritmilor avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

4. Unde .

O expresie aparent complexă este simplificată pentru a se forma folosind o serie de reguli

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2. Găsiți x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm la ultimul termen 5 și 13 proprietăți

O consemnăm și plângem

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Să luăm un logaritm al variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor săi

Acesta este doar începutul cunoașterii noastre cu logaritmii și proprietățile lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele acumulate pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele la un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Trecerea la o nouă fundație

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă setăm c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Compararea valorilor logaritmilor sau a valorii unui logaritm cu un anumit număr are loc în practica școlară de rezolvare a problemelor nu numai ca o sarcină independentă. Trebuie să comparați logaritmii, de exemplu, atunci când rezolvați ecuații și inegalități. Materialele articolului (problemele și soluțiile lor) sunt aranjate după principiul „de la simplu la complex” și pot fi folosite pentru a pregăti și desfășura o lecție (lecții) pe această temă, precum și în clasele opționale. Numărul de sarcini luate în considerare într-o lecție depinde de nivelul clasei și de domeniul ei de specialitate. În orele de matematică avansată, acest material poate fi folosit pentru o lecție de două ore.

1. (Oral.) Care dintre funcții sunt în creștere și care sunt în scădere:

Cometariu. Acest exercițiu este un exercițiu pregătitor.

2. (Oral.)Compara cu zero:

cometariu. Când rezolvați exercițiul nr. 2, puteți utiliza atât proprietățile funcției logaritmice folosind graficul funcției logaritmice, cât și următoarele proprietate utila:

dacă numerele pozitive a și b se află pe linia numerică la dreapta lui 1 sau la stânga lui 1 (adică a>1 și b>1 sau 0 0 ;
dacă numerele pozitive a și b se află pe linia numerică pe laturile opuse ale lui 1 (adică 0 .

Să arătăm utilizarea acestei proprietăți în decizia nr. 2(a).

Din moment ce funcţia y = log 7 t creste cu R+, 10 > 7, apoi log 7 10 > log 7 7, adică log 7 10 > 1. Astfel, numerele pozitive sin3 și log 7 10 se află pe laturile opuse ale lui 1. Prin urmare, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Oral.) Găsiți eroarea de raționament:

Funcţie y = lgt crește cu R + , atunci ,

Să împărțim ambele părți ale ultimei inegalități la . Obținem că 2 > 3.

Soluţie.

Numerele pozitive și 10 (baza logaritmului) se află pe laturile opuse ale lui 1. Aceasta înseamnă că< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Oral.) Comparați numerele:

Cometariu. La rezolvarea exercițiilor nr. 4(a–c), folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. Pentru soluția nr. 4(d), folosim proprietatea:

dacă c > a >1, atunci pentru b>1 inegalitatea log a b > log c b este adevărată.

Soluția 4(d).

De la 1< 5 < 7 и 13 >1, apoi log 5 13 > log 7 13.

5. Compara numerele log 2 6 și 2.

Soluţie.

Prima cale (folosind monotonitatea funcției logaritmice).

Funcţie y = log 2 t creste cu R+, 6 > 4. Deci, log 2 6 > log 2 4Și log 2 5 > 2.

A doua metodă (compunerea diferenței).

Să facem diferența.

6. Compara numerele Și -1.

Funcţie y = scade cu R+ , 3 < 5. Значит, >Și > -1 .

7. Compara numerele Și 3log 8 26 .

Funcţie y = log 2 t creste cu R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Prima cale.

Să înmulțim ambele părți ale inegalității cu 3:

Funcţie y = log 5 t creste cu R+ , 27 > 25. Deci,

A doua cale.

Să facem diferența
. De aici.

9. Comparați jurnalul de numere 4 26 Și log 6 17.

Să estimăm logaritmii, ținând cont de faptul că funcțiile y = log 4 t și y = log 6 t cresc cu R+:

Având în vedere că funcţiile scăzând cu R+, avem:

Mijloace,

cometariu. Metoda de comparare propusă este numită metoda „inserției”. sau metoda „separarii”.(am găsit numărul 4 care separă aceste două numere).

11. Comparați jurnalul de numere 2 3 Și log 3 5.

Rețineți că ambii logaritmi sunt mai mari decât 1, dar mai mici decât 2.

Prima cale. Să încercăm să folosim metoda „separarii”. Să comparăm logaritmii cu numărul.

A doua metoda ( înmulțirea cu un număr natural).

Nota 1. Esența metodă “înmulțirea cu un număr natural” este că căutăm un număr natural k, atunci când este înmulțit cu care numerele comparate AȘi b obține aceste numere kaȘi kb că există cel puțin un număr întreg între ele.

Nota 2. Implementarea metodei de mai sus poate fi foarte laborioasă dacă numerele comparate sunt foarte apropiate unele de altele.
În acest caz, puteți încerca o comparație metoda de „scădere a unuia”" Să demonstrăm acest lucru cu următorul exemplu.

12. Comparați jurnalul de numere 7 8 Și log 6 7.

Prima cale (scădeți unul).

Scădeți 1 din numerele comparate.

În prima inegalitate am folosit faptul că

dacă c > a > 1, atunci pentru b > 1 inegalitatea log a b > log c b este adevărată.

În a doua inegalitate – monotonitatea funcției y = log a x.

A doua cale (aplicarea inegalității lui Cauchy).

13. Comparați jurnalul de numere 24 72 Și log 12 18.

14. Comparați jurnalul de numere 20 80 Și log 80 640.

Fie log 2 5 = X. observa asta X > 0.

Primim inegalitate.

Să găsim multe soluții la inegalitate, satisfacerea conditiei x > 0.

Să construim ambele părți ale inegalității pătrat (la X> 0 ambele părți ale inegalității sunt pozitive). Avem 9x 2< 9x + 28.

Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități este intervalul.

Având în vedere că X> 0, obținem: .

Răspuns: Inegalitatea este adevărată.

Atelier de rezolvare a problemelor.

1. Comparați numerele:

2. Aranjați numerele în ordine crescătoare:

3. Rezolvați inegalitatea 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Este numărul √2 soluție la această inegalitate? (Răspuns:(–∞; log 2 3) ; număr √2 este o soluție la această inegalitate.)

Concluzie.

Există multe metode de comparare a logaritmilor. Scopul lecțiilor pe această temă este de a învăța să navigheze în varietatea metodelor, să aleagă și să aplice cea mai rațională metodă de soluție în fiecare situație specifică.

În orele cu studiu aprofundat al matematicii, materialul pe această temă poate fi prezentat sub forma unei prelegeri. Această formă de activitate educațională presupune ca materialul de curs să fie atent selectat, elaborat și aranjat într-o anumită secvență logică. Notele pe care profesorul le face pe tablă trebuie să fie atent și corecte din punct de vedere matematic.

Este recomandabil să consolidați materialul de curs și să exersați abilitățile de rezolvare a problemelor în lecțiile practice. Scopul atelierului nu este doar consolidarea și testarea cunoștințelor dobândite, ci și extinderea acestora. Prin urmare, sarcinile ar trebui să conțină sarcini de diferite niveluri, de la cele mai simple sarcini la sarcini de complexitate crescută. Profesorul de la astfel de ateliere acționează ca un consultant.

Literatură.

Galitsky M.L.şi altele.Studiu aprofundat al cursului de algebră şi analiză matematică: Metoda. recomandări și materiale didactice: Un manual pentru profesori. – M.: Educație, 1986.

Ziv B.G., Goldich V.A. Materiale didactice despre algebră și analiză de bază pentru clasa a 10-a. – Sankt Petersburg: „CheRo-on-Neva”, 2003.

Litvinenko V.N., Mordkovich A.G. Atelier de matematică elementară. Algebră. Trigonometrie: Publicație educațională. – M.: Educație, 1990.

Ryazanovsky A.R. Algebra și începuturile analizei: 500 de moduri și metode de rezolvare a problemelor de matematică pentru școlari și cei care intră în universități. – M.: Dropia, 2001.

Sadovnichy Yu.V. Matematică. Probleme de concurență în algebră cu soluții. Partea 4. Ecuații logaritmice, inegalități, sisteme. Manual.-ed. a III-a, ster.-M.: Departamentul de edituri al UNTsDO, 2003.

Sharygin I.F., Golubev V.I. Curs opțional de matematică: Rezolvarea problemelor: Proc. indemnizatie pentru clasa a XI-a. gimnaziu – M.: Prosveshchenie, 1991.

Sa incepem cu proprietățile logaritmului unu. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea nu este dificilă: întrucât a 0 = 1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1, atunci egalitatea log a 1=0 de demonstrat rezultă imediat din definiția logaritmului.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0, log1=0 și .

Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, acesta este, log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a, atunci prin definiția logaritmului log a a=1.

Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt egalitățile log 5 5=1, log 5.6 5.6 și lne=1.

De exemplu, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 și .

Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului unui produs. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y, atunci un log a x ·a log a y =x·y. Astfel, un log a x+log a y =x·y, din care, prin definirea unui logaritm, rezultă egalitatea care se dovedește.

Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului unui produs: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

Proprietatea logaritmului unui produs poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Această egalitate poate fi dovedită fără probleme.

De exemplu, logaritmul natural al produsului poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4, e și.

Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului unui coeficient corespunde unei formule de forma , unde a>0, a≠1, x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită la fel ca și formula pentru logaritmul unui produs: întrucât , apoi prin definiția unui logaritm.

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

Să trecem la proprietatea logaritmului puterii. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Să scriem această proprietate a logaritmului unei puteri ca formulă: log a b p =p·log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.

Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru pozitivul b. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p·log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p·log a b, din care, prin definiția unui logaritm, concluzionăm că log a b p =p·log a b.

Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b. Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p. Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de unde log a b p =p·log a |b| .

De exemplu, și ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii a n-a este egal cu produsul fracției 1/n cu logaritmul expresiei radicalului, adică , unde a>0, a≠1, n este un număr natural mai mare decât unu, b>0.

Dovada se bazează pe egalitatea (vezi), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului puterii: .

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

Acum să demonstrăm formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică drăguț . Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm validitatea egalității log c b=log a b·log c a. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b =log a b log c a. Aceasta dovedește egalitatea log c b=log a b·log c a, ceea ce înseamnă că a fost demonstrată și formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului.

Să arătăm câteva exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea unui logaritm dintr-un tabel de logaritmi. Formula de trecere la o nouă bază logaritmică permite, în unele cazuri, să se găsească valoarea unui logaritm dat atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

Un caz special al formulei de tranziție la o nouă bază logaritmică pentru c=b a formei este adesea folosit . Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, .

Formula este de asemenea folosită des , care este convenabil pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a confirma cuvintele noastre, vom arăta cum poate fi folosit pentru a calcula valoarea unui logaritm de forma . Avem . Pentru a demonstra formula este suficient să folosiți formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului a: .

Rămâne de demonstrat proprietățile comparației logaritmilor.

Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2, b 1 log a b 2 , iar pentru a>1 – inegalitatea log a b 1
În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Să ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică vom demonstra că dacă a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite după un principiu similar.

Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b≤log a 2 b . Pe baza proprietăților logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca Și respectiv, iar din ele rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, după proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie să fie valabile egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Așa că am ajuns la o contradicție cu condiția a 1
Bibliografie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.
Definiție în matematică
Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care trebuie ridicată baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.
Tipuri de logaritmi
Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri separate de expresii logaritmice:
Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
Decimală a, unde baza este 10.
Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile acestora și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.
Reguli și unele restricții
În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:
Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?
De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.
Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.
Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:
După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu nimic despre subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!
Ecuații și inegalități
Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.
Se dă următoarea expresie: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmic. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.
Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât intervalul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.
Teoreme de bază despre logaritmi
La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu; să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate mai detaliat.
Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.
Fie log a b = t, se dovedește a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;
dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.
Exemple de probleme și inegalități
Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece examenele de admitere la matematică, trebuie să știi cum să rezolvi corect astfel de sarcini.
Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.
Când rezolvăm ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.
Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.
Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții
Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.
Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să eliminați valorile exponentului din semnul logaritmului.

Teme de la examenul de stat unificat
Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.
Exemple și soluții la probleme sunt preluate din versiunile oficiale ale examenului de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.
Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca fiind pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.