Definiţia linear space. Exemple de spații liniare. Spații liniare: definiție și exemple Operații spațiale liniare

Linear (vector) Un spațiu este o mulțime V de elemente arbitrare numite vectori, în care sunt definite operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, i.e. oricăror doi vectori \mathbf(u) și (\mathbf(v)) li se atribuie un vector \mathbf(u)+\mathbf(v), numită suma vectorilor \mathbf(u) și (\mathbf(v)), orice vector (\mathbf(v)) și orice număr \lambda din câmpul numerelor reale \mathbb(R) este asociat cu un vector \lambda\mathbf(v), numit produsul vectorului \mathbf(v) cu numărul \lambda ; deci sunt indeplinite urmatoarele conditii:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\în V(comutativitatea adunării);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\în V(asociativitatea adunării);
3. există un element \mathbf(o)\în V , numit vector zero, astfel încât \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\în V;
4. pentru fiecare vector (\mathbf(v)) există un vector numit opus vectorului \mathbf(v) astfel încât \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\în V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\în V,~\forall \lambda,\mu\ în\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\în V.

Sunt numite condițiile 1-8 axiome ale spațiului liniar. Semnul egal plasat între vectori înseamnă că laturile stângă și dreaptă ale egalității reprezintă același element al mulțimii V; astfel de vectori se numesc egali.

În definiția spațiului liniar, operația de înmulțire a unui vector cu un număr este introdusă pentru numerele reale. Un astfel de spațiu se numește spațiu liniar peste câmpul numerelor reale sau, pe scurt, spațiu liniar real. Dacă în definiție, în loc de câmpul \mathbb(R) al numerelor reale, luăm câmpul numerelor complexe \mathbb(C) , atunci obținem spațiu liniar peste câmpul numerelor complexe sau, pe scurt, spațiu liniar complex. Ca câmp numeric, putem alege și câmpul \mathbb(Q) al numerelor raționale, iar în acest caz obținem un spațiu liniar peste câmpul numerelor raționale. În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, se vor lua în considerare spațiile liniare reale. În unele cazuri, pentru concizie, vom vorbi despre spațiu, omițând cuvântul liniar, întrucât toate spațiile discutate mai jos sunt liniare.

Note 8.1

1. Axiomele 1-4 arată că un spațiu liniar este un grup comutativ în raport cu operația de adunare.

2. Axiomele 5 și 6 determină distributivitatea operației de înmulțire a unui vector cu un număr în raport cu operația de adunare a vectorilor (axioma 5) sau cu operația de adunare a numerelor (axioma 6). Axioma 7, numită uneori legea asociativității înmulțirii cu un număr, exprimă legătura dintre două operații diferite: înmulțirea unui vector cu un număr și înmulțirea numerelor. Proprietatea definită de Axioma 8 se numește unitaritatea operației de înmulțire a unui vector cu un număr.

3. Spațiul liniar este o mulțime nevidă, deoarece conține în mod necesar un vector zero.

4. Operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr se numesc operații liniare pe vectori.

5. Diferența dintre vectorii \mathbf(u) și \mathbf(v) este suma vectorului \mathbf(u) cu vectorul opus (-\mathbf(v)) și se notează: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Doi vectori nenuli \mathbf(u) și \mathbf(v) se numesc coliniari (proporționali) dacă există un număr \lambda astfel încât \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Conceptul de coliniaritate se extinde la orice număr finit de vectori. Vectorul zero \mathbf(o) este considerat coliniar cu orice vector.

Corolare ale axiomelor spațiului liniar

1. Există un singur vector zero în spațiul liniar.

2. În spațiul liniar, pentru orice vector \mathbf(v)\în V există un vector opus unic (-\mathbf(v))\în V.

3. Produsul unui vector spațial arbitrar și numărul zero este egal cu vectorul zero, adică. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\în V.

4. Produsul unui vector zero cu orice număr este egal cu un vector zero, adică pentru orice număr \lambda.

5. Vectorul opus unui vector dat este egal cu produsul acestui vector cu numărul (-1), adică. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\în V.

6. În expresiile formei \mathbf(a+b+\ldots+z)(suma unui număr finit de vectori) sau \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(produsul unui vector și un număr finit de factori) puteți plasa parantezele în orice ordine sau nu le specificați deloc.

Să demonstrăm, de exemplu, primele două proprietăți. Unicitatea vectorului zero. Dacă \mathbf(o) și \mathbf(o)" sunt doi vectori zero, atunci prin Axioma 3 obținem două egalități: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" sau \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), ale căror laturi stângi sunt egale conform Axiomei 1. În consecință, și laturile drepte sunt egale, adică. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Unicitatea vectorului opus. Dacă vectorul \mathbf(v)\în V are doi vectori opuși (-\mathbf(v)) și (-\mathbf(v))”, atunci prin axiomele 2, 3,4 obținem egalitatea lor:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Proprietățile rămase sunt dovedite într-un mod similar.

Exemple de spații liniare

1. Să notăm \(\mathbf(o)\) - o mulțime care conține un vector zero, cu operațiile \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)Și \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Pentru operațiile indicate, axiomele 1-8 sunt îndeplinite. În consecință, mulțimea \(\mathbf(o)\) este un spațiu liniar peste orice câmp numeric. Acest spațiu liniar se numește nul.

2. Să notăm V_1,\,V_2,\,V_3 - mulţimi de vectori (segmente direcţionate) pe linie dreaptă, pe un plan, respectiv în spaţiu, cu operaţiile uzuale de adunare a vectorilor şi de înmulţire a vectorilor cu un număr. Îndeplinirea axiomelor 1-8 ale spațiului liniar urmează din cursul geometriei elementare. În consecință, mulțimile V_1,\,V_2,\,V_3 sunt spații liniare reale. În loc de vectori liberi, putem lua în considerare seturile corespunzătoare de vectori cu rază. De exemplu, un set de vectori pe un plan care au o origine comună, de ex. trasat dintr-un punct fix al planului este un spațiu liniar real. Mulțimea vectorilor cu rază de unitate de lungime nu formează un spațiu liniar, deoarece pentru oricare dintre acești vectori suma \mathbf(v)+\mathbf(v) nu aparține ansamblului luat în considerare.

3. Să notăm \mathbb(R)^n - un set de coloane-matrice de dimensiuni n\times1 cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor cu un număr. Axiomele 1-8 ale spațiului liniar sunt îndeplinite pentru această mulțime. Vectorul zero din acest set este coloana zero o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. În consecință, mulțimea \mathbb(R)^n este un spațiu liniar real. În mod similar, un set de coloane \mathbb(C)^n de dimensiunea n\x1 cu elemente complexe este un spațiu liniar complex. Mulțimea matricelor coloane cu elemente reale nenegative, dimpotrivă, nu este un spațiu liniar, deoarece nu conține vectori opuși.

4. Să notăm \(Ax=o\) - mulţimea soluţiilor unui sistem omogen Ax=o de ecuaţii algebrice liniare cu şi necunoscute (unde A este matricea reală a sistemului), considerată ca o mulţime de coloane de mărimile n\x1 cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a matricelor cu un număr . Rețineți că aceste operații sunt într-adevăr definite pe mulțimea \(Ax=o\) . Din proprietatea 1 a soluțiilor la un sistem omogen (vezi Secțiunea 5.5) rezultă că suma a două soluții ale unui sistem omogen și produsul soluției acestuia cu un număr sunt, de asemenea, soluții ale unui sistem omogen, adică. aparțin mulțimii \(Ax=o\) . Axiomele spațiului liniar pentru coloane sunt îndeplinite (vezi punctul 3 din exemplele de spații liniare). Prin urmare, mulțimea soluțiilor unui sistem omogen este un spațiu liniar real.

Mulțimea \(Ax=b\) soluțiilor sistemului neomogen Ax=b,~b\ne o , dimpotrivă, nu este un spațiu liniar, fie și numai pentru că nu conține un element zero (x=o este nu o soluţie la sistemul neomogen).

5. Să notăm M_(m\times n) - o mulțime de matrici de dimensiunea m\times n cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor cu un număr. Axiomele 1-8 ale spațiului liniar sunt îndeplinite pentru această mulțime. Vectorul zero este o matrice zero O de dimensiuni adecvate. Prin urmare, mulțimea M_(m\times n) este un spațiu liniar.

6. Să notăm P(\mathbb(C)) - mulțimea de polinoame ale unei variabile cu coeficienți complexi. Operațiile de adunare a mai multor termeni și de înmulțire a unui polinom cu un număr considerat ca polinom de gradul zero sunt definite și satisfac axiomele 1-8 (în special, un vector zero este un polinom care este identic egal cu zero). Prin urmare, mulțimea P(\mathbb(C)) este un spațiu liniar peste câmpul numerelor complexe. Mulțimea P(\mathbb(R)) de polinoame cu coeficienți reali este, de asemenea, un spațiu liniar (dar, desigur, peste câmpul numerelor reale). Mulțimea P_n(\mathbb(R)) de polinoame de gradul cel mult n cu coeficienți reali este de asemenea un spațiu liniar real. Rețineți că operația de adunare a multor termeni este definită pe această mulțime, deoarece gradul sumei polinoamelor nu depășește gradele termenilor.

Mulțimea polinoamelor de gradul n nu este un spațiu liniar, deoarece suma acestor polinoame se poate dovedi a fi un polinom de grad inferior care nu aparține mulțimii luate în considerare. Mulțimea tuturor polinoamelor de grad nu mai mare de n cu coeficienți pozitivi nu este, de asemenea, un spațiu liniar, deoarece înmulțirea unui astfel de polinom cu un număr negativ va avea ca rezultat un polinom care nu aparține acestei mulțimi.

7. Să notăm C(\mathbb(R)) - mulțimea de funcții reale definite și continue pe \mathbb(R) . Suma (f+g) funcțiilor f,g și produsul \lambda f al funcției f și numărul real \lambda sunt definite de egalitățile:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) pentru toate x\in \mathbb(R)

Aceste operații sunt într-adevăr definite pe C(\mathbb(R)) deoarece suma funcțiilor continue și produsul unei funcții continue și un număr sunt funcții continue, i.e. elemente ale lui C(\mathbb(R)) . Să verificăm îndeplinirea axiomelor spațiului liniar. Deoarece adunarea numerelor reale este comutativă, rezultă că egalitatea f(x)+g(x)=g(x)+f(x) pentru orice x\in \mathbb(R) . Prin urmare f+g=g+f, i.e. axioma 1 este satisfăcută. Axioma 2 rezultă în mod similar din asociativitatea adunării. Vectorul zero este funcția o(x), identic egală cu zero, care, desigur, este continuă. Pentru orice funcție f este valabilă egalitatea f(x)+o(x)=f(x), adică. Este adevărată axioma 3. Vectorul opus pentru vectorul f va fi funcția (-f)(x)=-f(x) . Atunci f+(-f)=o (axioma 4 este adevărată). Axiomele 5, 6 rezultă din distributivitatea operațiilor de adunare și înmulțire a numerelor reale, iar axioma 7 - din asociativitatea înmulțirii numerelor. Ultima axiomă este satisfăcută, deoarece înmulțirea cu unu nu modifică funcția: 1\cdot f(x)=f(x) pentru orice x\in \mathbb(R), adică. 1\cdot f=f . Astfel, mulțimea considerată C(\mathbb(R)) cu operațiile introduse este un spațiu liniar real. În mod similar, este dovedit că C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- mulţimi de funcţii care au derivate continue ale primei, secunde etc. ordinele, respectiv, sunt și spații liniare.

Să notăm mulțimea de binoame trigonometrice (adesea \omega\ne0 ) cu coeficienți reali, i.e. multe funcții ale formei f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Unde a\în \mathbb(R),~b\în \mathbb(R). Suma unor astfel de binoame și produsul unui binom cu un număr real sunt binoame trigonometrice. Axiomele spațiului liniar pentru mulțimea luată în considerare sunt satisfăcute (deoarece T_(\omega)(\mathbb(R))\subset C(\mathbb(R))). Prin urmare, mulți T_(\omega)(\mathbb(R)) cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire cu un număr pentru funcții, este un spațiu liniar real. Elementul zero este binomul o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, identic egal cu zero.

Setul de funcții reale definite și monotone pe \mathbb(R) nu este un spațiu liniar, deoarece diferența dintre două funcții monotone se poate dovedi a fi o funcție nemonotonă.

8. Să notăm \mathbb(R)^X - mulțimea de funcții reale definite pe mulțimea X cu operațiile:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Este un spațiu liniar real (dovada este aceeași ca în exemplul anterior). În acest caz, mulțimea X poate fi aleasă în mod arbitrar. În special, dacă X=\(1,2,\ldots,n\), atunci f(X) este un set ordonat de numere f_1,f_2,\ldots,f_n, Unde f_i=f(i),~i=1,\ldots,n O astfel de mulțime poate fi considerată o coloană-matrice de dimensiuni n\time1 , i.e. o multime de \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) coincide cu mulțimea \mathbb(R)^n (vezi punctul 3 pentru exemple de spații liniare). Dacă X=\mathbb(N) (amintim că \mathbb(N) este mulțimea numerelor naturale), atunci obținem un spațiu liniar \mathbb(R)^(\mathbb(N))- multe secvențe de numere \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). În special, mulțimea de secvențe de numere convergente formează, de asemenea, un spațiu liniar, deoarece suma a două secvențe convergente converge, iar când toți termenii unei secvențe convergente sunt înmulțiți cu un număr, obținem o secvență convergentă. În schimb, mulțimea de secvențe divergente nu este un spațiu liniar, deoarece, de exemplu, suma secvențelor divergente poate avea o limită.

9. Să notăm \mathbb(R)^(+) - mulțimea numerelor reale pozitive în care suma a\oplus b și produsul \lambda\ast a (notațiile din acest exemplu diferă de cele obișnuite) sunt definite de egalități: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), cu alte cuvinte, suma elementelor este înțeleasă ca un produs al numerelor, iar înmulțirea unui element cu un număr este înțeleasă ca ridicare la o putere. Ambele operații sunt într-adevăr definite pe mulțimea \mathbb(R)^(+) deoarece produsul numerelor pozitive este un număr pozitiv și orice putere reală a unui număr pozitiv este un număr pozitiv. Să verificăm validitatea axiomelor. Egalități

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

arătați că axiomele 1 și 2 sunt îndeplinite. Vectorul zero al acestei mulțimi este unul, deoarece a\oplus1=a\cdot1=a, adică o=1. Vectorul opus pentru a este vectorul \frac(1)(a) , care este definit deoarece a\ne o . Într-adevăr, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Să verificăm îndeplinirea axiomelor 5, 6,7,8:

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(gathered)

10. Fie V un spațiu liniar real. Să considerăm mulțimea de funcții scalare liniare definite pe V, i.e. funcții f\colon V\la \mathbb(R), luând valori reale și îndeplinind condițiile:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(aditivitate);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(omogenitate).

Operațiile liniare asupra funcțiilor liniare sunt specificate în același mod ca în paragraful 8 al exemplelor de spații liniare. Suma f+g și produsul \lambda\cdot f sunt definite de egalitățile:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ în V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Îndeplinirea axiomelor spațiului liniar este confirmată în același mod ca în paragraful 8. Prin urmare, mulțimea funcțiilor liniare definite pe spațiul liniar V este un spațiu liniar. Acest spațiu se numește conjugat cu spațiul V și este notat cu V^(\ast) . Elementele sale se numesc covectori.

De exemplu, setul de forme liniare a n variabile, considerat ca setul de funcții scalare ale argumentului vectorial, este spațiul liniar conjugat la spațiul \mathbb(R)^n.

Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. În acest articol, prima definiție va fi luată ca punct de plecare.

N (\displaystyle n) spatiul euclidian -dimensional este de obicei notat E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); notația este adesea folosită și atunci când din context reiese clar că spațiul este prevăzut cu o structură naturală euclidiană.

Definiție formală

Pentru a defini spațiul euclidian, cel mai simplu mod este să luăm ca concept principal produsul scalar. Un spațiu vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ale cărui perechi de vectori este specificată o funcție cu valoare reală. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) având următoarele trei proprietăți:

Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) format din toate seturile posibile de numere reale (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) produs scalar în care este determinat de formula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Lungimi și unghiuri

Produsul scalar definit pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectorului u (\displaystyle u) definit ca (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) si este desemnat | u | . (\displaystyle |u|.) Definitivitatea pozitivă a produsului scalar garantează că lungimea vectorului diferit de zero este nenulă, iar din biliniaritate rezultă că | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.

Unghiul dintre vectori u (\displaystyle u)Și v (\displaystyle v) determinat de formula φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\dreapta).) Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian) această definiție a unghiului coincide cu cea obișnuită. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori al căror unghi este egal cu π 2. (\displaystyle (\frac (\pi)(2)).)

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz și inegalitatea triunghiulară

Există un gol rămas în definiția unghiului dată mai sus: pentru a arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) a fost definit, este necesar ca inegalitatea | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Această inegalitate se menține într-un spațiu euclidian arbitrar și se numește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz. Din această inegalitate, la rândul său, rezultă inegalitatea triunghiulară: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile de lungime enumerate mai sus, înseamnă că lungimea unui vector este o normă a spațiului vectorial euclidian, iar funcția d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definește structura unui spațiu metric pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană). În special, distanța dintre elemente (puncte) x (\displaystyle x)Și y (\displaystyle y) spațiu de coordonare R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) este dat de formula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

Conjugați spații și operatori

Orice vector x (\displaystyle x) Spațiul euclidian definește o funcțională liniară x ∗ (\displaystyle x^(*)) pe acest spatiu, definit ca x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Această comparație este un izomorfism între spațiul euclidian și spațiul său dual și le permite să fie identificate fără a compromite calculele. În special, operatorii conjugați pot fi considerați ca acționând asupra spațiului inițial, și nu asupra acestuia dual, iar operatorii autoadjuncți pot fi definiți ca operatori care coincid cu conjugații lor. Pe o bază ortonormală, matricea operatorului adjunct este transpusă în matricea operatorului original, iar matricea operatorului autoadjunct este simetrică.

Mișcări ale spațiului euclidian

Mișcările spațiului euclidian sunt transformări care păstrează metrica (numite și izometrii). Exemplu de mișcare - translație paralelă la vector v (\displaystyle v), care traduce punctul p (\displaystyle p) exact p + v (\displaystyle p+v). Este ușor de observat că orice mișcare este o compoziție de translație și transformare paralelă care menține fix un punct. Alegând un punct fix ca origine a coordonatelor, orice astfel de mișcare poate fi considerată ca

Cursul 6. Spațiul vectorial.

Întrebări principale.

1. Spațiu liniar vectorial.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

3. Orientare în spațiu.

4. Descompunerea unui vector pe bază.

5. Coordonatele vectoriale.

1. Spațiu liniar vectorial.

O mulțime formată din elemente de orice natură în care sunt definite operații liniare: se numesc adunarea a două elemente și înmulțirea unui element cu un număr. spatii, iar elementele lor sunt vectori acest spatiu si se noteaza la fel ca marimile vectoriale in geometrie: . Vectori Astfel de spații abstracte, de regulă, nu au nimic în comun cu vectorii geometrici obișnuiți. Elementele spațiilor abstracte pot fi funcții, un sistem de numere, matrici etc. și, într-un caz particular, vectori obișnuiți. Prin urmare, astfel de spații sunt de obicei numite spații vectoriale .

Spațiile vectoriale sunt, De exemplu, un set de vectori coliniari, notat V1 , set de vectori coplanari V2 , set de vectori ai spațiului obișnuit (real) V3 .

Pentru acest caz particular, putem da următoarea definiție a unui spațiu vectorial.

Definiția 1. Mulțimea vectorilor se numește spațiu vectorial, dacă o combinație liniară a oricăror vectori ai unei mulțimi este, de asemenea, un vector al acestei mulțimi. Vectorii înșiși sunt numiți elemente spațiu vectorial.

Mai important, atât teoretic cât și aplicativ, este conceptul general (abstract) de spațiu vectorial.

Definiția 2. O multime de R elemente, în care suma este determinată pentru oricare două elemente și pentru orice element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> numit vector(sau liniar) spaţiu, iar elementele sale sunt vectori, dacă operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr îndeplinesc următoarele condiții ( axiome) :

1) adăugarea este comutativă, adică gif" width="184" height="25">;

3) există un astfel de element (vector zero) încât pentru orice https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" înălțime="27">;

5) pentru orice vector și și orice număr λ egalitatea este valabilă;

6) pentru orice vector și orice numere λ Și µ egalitatea este adevărată: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> și orice numere λ Și µ corect ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Urmează cele mai simple axiome care definesc un spațiu vectorial: consecințe :

1. Într-un spațiu vectorial există un singur zero - elementul - vectorul zero.

2. În spațiul vectorial, fiecare vector are un singur vector opus.

3. Pentru fiecare element egalitatea este satisfăcută.

4. Pentru orice număr real λ și zero vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> este un vector care satisface egalitatea https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Deci, într-adevăr, mulțimea tuturor vectorilor geometrici este un spațiu liniar (vector), întrucât pentru elementele acestei mulțimi sunt definite acțiunile de adunare și înmulțire cu un număr care satisfac axiomele formulate.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

Conceptele esențiale ale unui spațiu vectorial sunt conceptele de bază și dimensiune.

Definiție. Un set de vectori liniar independenți, luați într-o anumită ordine, prin care orice vector de spațiu poate fi exprimat liniar, se numește bază acest spatiu. Vectori. Componentele bazei spațiului sunt numite de bază .

Baza unui set de vectori localizați pe o linie arbitrară poate fi considerată un vector coliniar la această linie.

Bazat pe avion să numim doi vectori necoliniari pe acest plan, luați într-o anumită ordine https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Dacă vectorii de bază sunt perpendiculari perechi (ortogonali), atunci baza se numește ortogonală, iar dacă acești vectori au lungimea egală cu unu, atunci se numește baza ortonormal .

Se numește cel mai mare număr de vectori liniar independenți din spațiu dimensiune a acestui spațiu, adică dimensiunea spațiului coincide cu numărul de vectori de bază ai acestui spațiu.

Deci, conform acestor definiții:

1. Spațiu unidimensional V1 este o linie dreaptă, iar baza constă din unul coliniar vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Spațiul obișnuit este spațiu tridimensional V3 , a cărui bază constă în trei necoplanare vectori

De aici vedem că numărul de vectori de bază pe o dreaptă, pe un plan, în spațiul real coincide cu ceea ce în geometrie se numește de obicei numărul de dimensiuni (dimensiune) unei linii, plan, spațiu. Prin urmare, este firesc să se introducă o definiție mai generală.

Definiție. Spațiu vectorial R numit n– dimensional dacă nu există mai mult de n vectori liniar independenți și se notează R n. Număr n numit dimensiune spaţiu.

În conformitate cu dimensiunea spațiului sunt împărțite în finite-dimensionaleȘi infinit-dimensională. Dimensiunea spațiului nul este considerată egală cu zero prin definiție.

Nota 1.În fiecare spațiu puteți specifica câte baze doriți, dar toate bazele unui spațiu dat constau din același număr de vectori.

Nota 2.ÎN n– într-un spațiu vectorial dimensional, o bază este orice colecție ordonată n vectori liniar independenți.

3. Orientare în spațiu.

Pentru asta pentru a orienta spațiul, este necesar să se stabilească o bază și să îl declare pozitiv .

Se poate arăta că mulțimea tuturor bazelor spațiului se încadrează în două clase, adică în două submulțimi disjunse.

a) toate bazele aparținând unei submulțimi (clase) au aceeași orientare (baze cu același nume);

b) oricare două baze aparținând variat submulţimi (clase), au opusul orientare, ( nume diferite baze).

Dacă una dintre cele două clase de baze ale unui spațiu este declarată pozitivă și cealaltă negativă, atunci se spune că acest spațiu orientat .

Adesea, la orientarea spațiului, se numesc niște baze dreapta, si altii - stânga .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> sunt numite dreapta, dacă, la observarea de la sfârșitul celui de-al treilea vector, cea mai scurtă rotație a primului vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > se realizează în sens invers acelor de ceasornic(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Orez. 1.8. Baza dreapta (a) și baza stângă (b)

De obicei, baza corectă a spațiului este declarată a fi o bază pozitivă

Baza spațiului din dreapta (stânga) poate fi determinată, de asemenea, folosind regula unui șurub „dreapta” („stânga”) sau a unui braț.

Prin analogie cu aceasta, este introdus conceptul de dreapta și stânga trei vectori necoplanari care trebuie ordonati (Fig. 1.8).

Astfel, în cazul general, două triplete ordonate de vectori necoplanari au aceeași orientare (același nume) în spațiu V3 dacă ambele sunt la dreapta sau ambele la stânga, și - orientarea opusă (opusă) dacă una dintre ele este dreapta și cealaltă este stânga.

La fel se procedează și în cazul spațiului V2 (avion).

4. Descompunerea unui vector pe bază.

Pentru simplitatea raționamentului, să luăm în considerare această întrebare folosind exemplul unui spațiu vectorial tridimensional R3 .

Fie https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> să fie un vector arbitrar al acestui spațiu.

Capitolul 3. Spații vectoriale liniare

Tema 8. Spații vectoriale liniare

Definiţia linear space. Exemple de spații liniare

În §2.1 operația de adăugare a vectorilor liberi din R 3 și operația de înmulțire a vectorilor cu numere reale și, de asemenea, enumeră proprietățile acestor operații. Extinderea acestor operații și proprietățile lor la un set de obiecte (elemente) de natură arbitrară duce la o generalizare a conceptului de spațiu liniar al vectorilor geometrici din R 3 definit la §2.1. Să formulăm definiția unui spațiu vectorial liniar.

Definiție 8.1. O multime de V elemente X , la , z ,... sunat spațiu vectorial liniar, Dacă:

există o regulă că fiecare două elemente X Și la din V se potrivește cu al treilea element din V, numit Cantitate X Și la si desemnat X + la ;

există o regulă că fiecare element X și potrivește orice număr real cu un element din V, numit produsul elementului X pe număr si desemnat X .

În plus, suma oricăror două elemente X + la si munca X orice element pentru orice număr trebuie să îndeplinească următoarele cerințe - axiome ale spațiului liniar:

1°. X + la = la + X (comutativitatea adunării).

2°. ( X + la ) + z = X + (la + z ) (asociativitatea adunării).

3°. Există un element 0 , numit zero, astfel încât

X + 0 = X , X .

4°. Pentru oricine X există un element (– X ), numit opus pentru X , astfel încât

X + (– X ) = 0 .

5°. ( X ) = ()X , X , , R.

6°. X = X , X .

7°. () X = X + X , X , , R.

8°. ( X + la ) = X + y , X , y , R.

Vom numi elementele spațiului liniar vectori indiferent de natura lor.

Din axiomele 1°–8° rezultă că în orice spațiu liniar V sunt valabile următoarele proprietăți:

1) există un singur vector zero;

2) pentru fiecare vector X există un singur vector opus (– X ) , și (- X ) = (– l) X ;

3) pentru orice vector X egalitatea 0× este adevărată X = 0 .

Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Să presupunem că în spațiu V sunt doua zerouri: 0 1 și 0 2. Punând 3° în axiomă X = 0 1 , 0 = 0 2, primim 0 1 + 0 2 = 0 1 . La fel, dacă X = 0 2 , 0 = 0 1, atunci 0 2 + 0 1 = 0 2. Ținând cont de axioma 1°, obținem 0 1 = 0 2 .

Să dăm exemple de spații liniare.

1. Mulțimea numerelor reale formează un spațiu liniar R. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în el.

2. Mulțimea vectorilor liberi din spațiul tridimensional, așa cum se arată în §2.1, formează de asemenea un spațiu liniar, notat R 3. Zerul acestui spațiu este vectorul zero.

Mulțimea vectorilor de pe plan și de pe linie sunt, de asemenea, spații liniare. Le vom desemna R 1 și R 2 respectiv.

3. Generalizarea spatiilor R 1 , R 2 și R 3 servește spațiu Rn, n N, numit spatiu aritmetic n-dimensional, ale căror elemente (vectori) sunt colecții ordonate n numere reale arbitrare ( X 1 ,…, x n), adică

Rn = {(X 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Este convenabil să folosiți notația X = (X 1 ,…, x n), în care x i numit coordonata i-a(componentă)vector X .

Pentru X , la RnȘi R Definim adunarea și înmulțirea cu un număr folosind următoarele formule:

X + la = (X 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

X = (X 1 ,…, x n).

Elementul zero al spațiului Rn este un vector 0 = (0,…, 0). Egalitatea a doi vectori X = (X 1 ,…, x n) Și la = (y 1 ,…, y n) din Rn, prin definiție, înseamnă egalitatea coordonatelor corespunzătoare, adică. X = la Û X 1 = y 1 &… & x n = y n.

Îndeplinirea axiomelor 1°–8° este evidentă aici.

4. Lasă C [ A ; b] – set de reali continue pe intervalul [ A; b] funcții f: [A; b] R.

Suma funcțiilor fȘi g din C [ A ; b] se numește funcție h = f + g, definit prin egalitate

h = f + g Û h(X) = (f + g)(X) = f(X) + g(X), " X Î [ A; b].

Produsul unei funcții f Î C [ A ; b] la numere A Î R este determinat de egalitate

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(X), " X Î [ A; b].

Astfel, operațiile introduse de adunare a două funcții și de înmulțire a unei funcții cu un număr transformă mulțimea C [ A ; b] într-un spațiu liniar ai cărui vectori sunt funcții. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în acest spațiu. Vectorul zero al acestui spațiu este funcția identică zero și egalitatea a două funcții fȘi gînseamnă, prin definiție, următoarele:

f = g f(X) = g(X), " X Î [ A; b].