Ceea ce se numește primitiv. Trei reguli de constatare primitive. Rezolvarea sarcinilor cu funcții de putere

Funcția pred-ca f (x) La intervalul (a; b) Această caracteristică este numită F (x)Această egalitate este efectuată pentru orice h. Din decalajul specificat.

Dacă ia în considerare faptul că derivatul constant DIN egală cu zero, atunci egalitatea are dreptate. Astfel, funcția f (x) Are multe primitive F (x) + cPentru o constantă arbitrară DINÎn plus, aceste primitive diferă unul de celălalt într-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unui integral nedefinit.

Toate caracteristicile primitive f (x) numit integrat incert al acestei funcții și este indicat .

Expresia este chemată o expresie concretă, dar f (x) – funcție integrată. Integranda este funcția diferențială f (x).

Acțiunea de a găsi o funcție necunoscută în funcție de diferențialul său definit se numește incert Integrare deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F (x), și numeroasele sale primitive F (x) + c.

Sensul geometric al unui integral nedefinit. Graficul primar D (X) se numește o curbă integrală. În sistemul de coordonate X0U, grafica întregului primitiv din această funcție reprezintă familia curbelor, în funcție de valoarea constantă C și de unul dintre celelalte prin deplasare paralelă de-a lungul axei 0U. De exemplu, discutate mai sus, avem:

J 2 x ^ x \u003d x2 + C.

Familia primitivă (X + C) este interpretată geometric printr-o combinație de parabola.

Dacă una dintre familie este mai întâi de găsit una, atunci sunt stabilite condiții suplimentare pentru a determina permanența C. De obicei, în acest scop, sunt specificate condițiile inițiale: cu valoarea argumentului x \u003d x0, funcția are o valoare de d (x0) \u003d y0.

Exemplu. Este necesar să se găsească una dintre funcțiile primitive y \u003d 2 x, care ia valoarea de 3 la x0 \u003d 1.

Primitivul dorit: D (x) \u003d x2 + 2.

Decizie. ^ 2x ^ x \u003d x2 + c; 12 + C \u003d 3; C \u003d 2.

2. Proprietățile de bază ale unui integrat incert

1. Un derivat al unui integral nedefinit este egal cu funcția de orientare:

2. Diferența unui integral nedefinit este egal cu expresia animată:

3. Un integral nedefinit al diferențialului unei anumite funcții este egal cu suma acestei funcții în sine și cu o constantă arbitrară:

4. Se poate face un multiplicator permanent pentru un semn integrat:

5. Integralul sumei (diferența) este egal cu suma (diferența) a integralurilor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

7. Proprietatea invarianței unui integral indefinit:

În cazul în care un T.

8. Proprietate:

În cazul în care un T.

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare utilizând o metodă de înlocuire variabilă, care este descrisă mai detaliat în secțiunea următoare.

Luați în considerare un exemplu:

3. Metoda de integrare În care acest integral este transformările integrate ale funcției integrate (sau a expresiilor) și utilizarea proprietăților unui integral nedefinit este administrată la unul sau mai multe integrele tabulare, numite integrare imediată. Când se utilizează adesea acest integral, sunt adesea folosite următoarele transformări diferențiale (funcționare " salvarea unui semn diferențial»):

Deloc, f '(u) du \u003d d (f (u)). Aceasta (formula este foarte des utilizată la calcularea integrală.

Găsiți integral

Decizie. Folosim proprietățile integrale pentru a oferi acest lucru integrat mai multor tabele.

4. Integrarea prin înlocuire.

Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimă o funcție sursă prin această variabilă, ca rezultat ajungem la tabelul (sau mai simplu) tip integrat.

Foarte des, metoda de substituție ajută la integrarea funcțiilor trigonometrice și a funcțiilor cu radicali.

Exemplu.

Găsiți un integral nedefinit .

Decizie.

Introducem o nouă variabilă. Expres h. prin z.:

Realizăm substituirea expresiilor primite în integralul original:

Din tabelul primitiv pe care îl avem .

Rămâne să reveni la variabila sursă h.:

Răspuns:

Imprimare

Definiția unei funcții primitive

• Funcţie y \u003d f (x)numit primitiv pentru funcția y \u003d f (x) La un anumit interval X,dacă pentru totdeauna h. ∈ H. Egalitatea se efectuează: F '(x) \u003d f (x)

Puteți citi în două moduri:

1. f. Funcția derivată F.
2. F. Perfect pentru funcția f.

Proprietate primitivă

• În cazul în care un F (x)- Perfect pentru funcția f (x) La un decalaj dat, funcția f (x) are infinit de multe primitive, iar toate aceste primitive pot fi scrise ca F (x) + cuunde c este o constantă arbitrară.

Interpretarea geometrică

• Grafice de toate cele primitive această caracteristică. f (x) obținut din graficul oricărui transfer paralel primitiv de-a lungul axei despre w..

Regulile de calcul al primarului

1. Prima sumă este egală cu suma primordială. În cazul în care un F (x) - Pred-ca pentru f (x), și g (x) este primitiv pentru g (x)T. F (x) + g (x) - Pred-ca pentru f (x) + g (x).
2. Se poate face multiplicator permanent pentru o marcă derivată. În cazul în care un F (x) - Pred-ca pentru f (x), I. k. - Constant, atunci k · f (x) - Pred-ca pentru k · f (x).
3. În cazul în care un F (x) - Pred-ca pentru f (x), I. k, B. - Constant și k ≠ 0.T. 1 / k · F (KX + B) - Pred-ca pentru f (kx + b).

Tine minte!

Orice caracteristică F (x) \u003d x 2 + unde C este o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o funcție primitivă pentru funcții f (x) \u003d 2x.

• De exemplu:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, pentru că F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, pentru că F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Conexiunea dintre graficele funcției și primar:

1. Dacă graficul este funcția f (x)\u003e 0 F (x) Crește la acest interval.
2. Dacă graficul este funcția f (x)<0 pe interval, atunci programul este primitiv F (x) scade la acest interval.
3. În cazul în care un f (x) \u003d 0Apoi graficul primitiv F (x) În acest moment se schimbă o creștere a creșterii (sau invers).

Pentru a desemna, se folosește semnul unui integral nedefinit, adică integral fără a specifica limitele de integrare.

Intecer integrat

Definiție:

• Un integrat incert din funcția f (x) este expresia F (X) + C, adică combinația tuturor funcțiilor primare ale F (X). Denotă un integral nedefinit după cum urmează: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

• f (x)- consultați funcția integrat;
• f (x) dx- se numesc o expresie concluzie;
• x. - variabila de integrare a apelurilor;
• F (x) - una dintre funcțiile primitive F (x);
• DIN - Constanță arbitrară.

Proprietățile unui integral nedefinit

1. Derivatorul unui integral nedefinit este egal cu funcția Integrand: (\\ int f (x) dx) \\ Prime \u003d F (x).
2. Un multiplicator permanent al expresiei integrate poate fi făcut pentru un semn integrat: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. Integralul din cantitatea (diferența) de funcții este egal cu suma (diferența) a integralurilor din aceste funcții: \\ INT (F (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
4. În cazul în care un k, B.- Constant și K ≠ 0, atunci \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

Tabelul integrelor primare și incerte

Formula Newton Labitsa.

Lasa f (x) Această caracteristică, F. Primitivul ei arbitrar.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

unde F (x) - Pred-ca pentru f (x)

Adică funcția integrată f (x) Intervalul este egal cu diferența dintre atracțiile la puncte b. și a..

Piața trapezului curbiliniar

Curvilinear trapez numită o figură limitată de un program ne-negativ și continuu pe un segment al funcției f., Axa de ox și dreaptă x \u003d A. și x \u003d B..

Zona trapezului curbilinar se găsește conform formulei Newton Labitsa:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Perfect. Frumos cuvânt.) Pentru a începe un mic rus. Acest cuvânt este pronunțat în acest fel și nu "Pred-cum ar fi" cum poate părea. Pred-cum este conceptul de bază al tuturor calculului integral. Orice integral - nedefinit, definit (cu ei vă veți cunoaște deja în acest semestru), precum și dublu, triplu, curbilinar, superficial (și aceștia sunt principalii eroi ai celui de-al doilea curs) - sunt construite pe acest concept cheie. Are un sens complet de a stăpâni. Merge.)

Înainte de a vă familiariza cu conceptul de primitiv, să ne amintim cel mai obișnuit derivat. Fără aprofundarea într-o teorie plictisitoare a limitelor, creșteri de argument și alte lucruri, putem spune că derivatul este găsit (sau diferenţiere) Este doar o operație matematică funcţie. Si asta e. Orice funcție este luată (hai să spunem f (x) \u003d x 2) I. conform unei anumite reguliconvertit prin transformarea în optiune noua. Și acesta este cel mai mult optiune noua și numită derivat.

În cazul nostru, înainte de diferențierea a avut loc o funcție f (x) \u003d x 2, și după diferențiere a devenit deja o altă funcție f '(x) \u003d 2x.

Derivat - Pentru că noua noastră caracteristică f '(x) \u003d 2x a avut loc de la funcția f (x) \u003d x 2. Ca urmare a operațiunii de diferențiere. Și cu el, și nu de la o altă funcție ( x 3., de exemplu).

Aproximativ vorbind, f (x) \u003d x 2 - Este mama și f '(x) \u003d 2x - Fiica ei iubită.) Este de înțeles. Dați-i drumul.

Matematica - oamenii sunt neliniștiți. Pentru fiecare acțiune, ei încearcă să găsească opoziție. :) Adăugați - există o scădere. Există multiplicare - există o diviziune. Stabilirea - extragerea rădăcinii. Sinus - Arksinus. În mod similar, există diferenţiere- Deci, există și ... integrare.)

Și acum vom pune o sarcină atât de interesantă. Avem, să spunem, o funcție atât de simplă f (x) \u003d 1. Și trebuie să răspundem la o astfel de întrebare:

Derivate ce funcție ne dă o funcțief.(x.) = 1?

Cu alte cuvinte, văzând fiica, cu ajutorul analizei ADN, calculați, cine este MILF ei. :) Deci, de la ce sursă Funcții (hai să-l numim f (x)) a avut loc derivat Funcție f (x) \u003d 1? Sau, în formă matematică, pentru ce Funcțiile F (x) Egalitatea se efectuează:

F '(x) \u003d f (x) \u003d 1?

Un exemplu este elementar. Am încercat.) Pur și simplu selectăm funcția f (x), astfel încât egalitatea să funcționeze. :) Ei bine, cum, a luat-o? Da, desigur! F (x) \u003d x. Pentru că:

F '(x) \u003d x' \u003d 1 \u003d f (x).

Desigur, mamma a găsit F (x) \u003d x Trebuie să sunăm cumva, da.) Întâlnește!

Perfect pentru funcțiaf.(x.) Această caracteristică este numităF.(x.), derivatul este egalf.(x.), adică pentru care egalitatea are dreptateF.’(x.) = f.(x.).

Asta e tot. Mai multe trucuri științifice. În definiție strictă, se adaugă o frază suplimentară "La interval". Dar până acum nu vom scăpa în aceste subtilități, deoarece sarcina noastră principală este de a învăța cum să le găsim foarte primitiv.

În cazul nostru, se pare că funcția F (x) \u003d x este an În formă de predo Pentru funcția. f (x) \u003d 1.

De ce? pentru că F '(x) \u003d f (x) \u003d 1. Derivatorul ICA este o unitate. Fara obiectii.)

Termenul "primitiv" de-a lungul filisteniei înseamnă "rhodonahable", "părinte", "strămoș". Imediat amintiți-vă originalul și iubitul.) Și căutarea în sine este un primitiv - aceasta este restaurarea funcției originale În conformitate cu derivatul său cunoscut. Cu alte cuvinte, aceasta este o acțiune, diferențierea inversă. Și asta e tot! Acest proces fascinant în sine se numește, de asemenea, destul de științific integrare. Dar prin integrals. - mai tarziu. Răbdare, prieteni!)

Tine minte:

Integrarea este o funcționare matematică a unei funcții (precum și diferențierea).

Integrare - funcționare, diferențiere inversă.

Pred-ca - rezultatul integrării.

Și acum complicați sarcina. Vom găsi acum un primitiv pentru funcții f (x) \u003d x. Adică vom găsi o astfel de caracteristică F (x) la derivatul său Aș fi egal cu ICSU:

F '(x) \u003d x

Cine este prieten cu derivați, poate ceva de genul:

(x 2) '\u003d 2x.

Ei bine, respectul și respectul față de cei care își amintesc de masa derivaților!) Adevărat. Dar există o problemă. Funcția noastră inițială f (x) \u003d x, dar (x 2) '\u003d 2 x.. Două X. Și avem după diferențiere ar trebui să se dovedească doar x.. Nu bine. Dar…

Suntem un om de știință cu dvs. Certificatele primite.) Și știm din școală că ambele părți ale oricărei egalități pot fi multiplicate și împărțite în același număr (cu excepția zero, desigur)! Deci asta amenajat. Deci, realizăm această ocazie pentru tine însuți.)

La urma urmei, vrem să rămânem curat X, nu? Iar Deuce interferează ... aici și iati raportul pentru derivatul (x 2) '\u003d 2x și împărțiți ambele părți În acest caz:

Deci, deja curățând ceva. Dați-i drumul. Știm că orice poate constantă scoateți un semn derivat.Ca aceasta:

Toate formulele din matematică lucrează atât de la stânga la dreapta, cât și dimpotrivă - dreptul la stânga. Aceasta înseamnă că, cu același succes, orice cană constantă și Face sub semnul derivatului:

În cazul nostru, ascunzând doi în numitor (sau că același, coeficientul 1/2) sub semnul derivatului:

Si acum cu grija Ne uităm la înregistrarea noastră. Ce vedem? Vedem egalitatea care spune că derivat ceva (aceasta este ceva - în paranteze) este egală cu ICSU.

Egalitatea rezultată înseamnă că primitivul dorit pentru funcția f (x) \u003d x Servește funcția F (x) \u003d x 2/2 . Care se află în paranteze sub Touche. Direct în sensul primitiv.) Verificați rezultatul. Găsiți un derivat:

Excelent! Funcția inițială a fost obținută f (x) \u003d x. Din ceea ce a fost dansat, la asta și sa întors. Aceasta înseamnă că primitivul nostru găsit corect.)

Ce-ar fi dacă f (x) \u003d x 2? Care este primitivul său? Nici o problemă! Știm cu dvs. (din nou, din regulile de diferențiere) că:

3x 2 \u003d (x 3) '

ȘI, acesta este,

Prins? Acum, noi, imperceptibil pentru ei înșiși, am învățat să iau în considerare mai întâi orice funcția de alimentare f (x) \u003d x n. În minte.) Luați sursa n., măriți-o pe unitate, iar în calitatea despăgubirii, împărțim întregul design n + 1.:

Formula rezultată, apropo, este valabilă nu numai pentru o figură naturală Gradul n.Dar pentru oricare altul - negativ, fracționat. Acest lucru facilitează găsirea primitivă de la simplu frains. și rădăcini.

De exemplu:

Natural, n ≠ -1. În caz contrar, în numitorul formulei, se dovedește zero, iar formula își pierde semnificația.) Despre acest caz special n \u003d -1. un pic mai tarziu.)

Ce este un integrat incert? Integrale integrale.

Să spunem ce este egal cu funcția F (x) \u003d x? Ei bine, unitatea, una - am auzit răspunsuri nemulțumite ... totul este adevărat. Unitate. Dar ... pentru funcția G (x) \u003d x + 1 derivat va fi egală cu una:

De asemenea, derivatul va fi egal cu unul și la funcție x + 1234. , și pentru funcție x-10. și pentru orice alt tip de tip x + C. Unde DIN - Orice constantă. Pentru derivatul oricărei constanți este zero și de la adăugarea / scăderea zero, nimeni nu este rece sau fierbinte.)

Se oprește ambiguitatea. Se pare că pentru funcția f (x) \u003d 1 Pred-ca servi nu numai o funcție F (x) \u003d x , dar și o funcție F 1 (x) \u003d x + 1234 și funcția. F 2 (x) \u003d x-10 ETC!

Da. Acesta este calea.) U oricine ( continuu pe interval) Funcții nu există nimeni foarte primitiv, dar infinit foarte mult. - Întreaga familie! Nu o mamă sau tată, ci o pedigree întregi, da.)

Dar! Toate rudele noastre combină o proprietate importantă. Că sunt rude.) Proprietatea este atât de importantă încât, în procesul de analiză a tehnicilor de integrare, am amintit în mod repetat. Și ne vom aminti de mult timp.)

Aici este, această proprietate:

Orice două primitive F. 1 (x.) I.F. 2 (x.) Din aceeași funcțief.(x.) diferă în constantă:

F. 1 (x.) - F. 2 (x.) \u003d S.

Cine este interesat de dovada - statează literatura sau prelegerile abstracte.) Bine, așa că voi fi, voi dovedi. Beneficiul probei aici este elementar, într-o singură acțiune. Ia egalitate

F. 1 (x.) - F. 2 (x.) \u003d S.

și diferențiați ambele părți ale acesteia. Adică, pur și simplu puneți loviturile:

Asta e tot. După cum se spune, CHETD. :)

Ce spune această proprietate? Și două primar diferite din aceeași funcție f (x) nu pot fi diferite o anumită expresie cu x . Numai strict la constantă! Cu alte cuvinte, dacă avem un fel de program unul dintre primordiale (Lăsați-l să fie f (x)), apoi grafică toti ceilalti Primitivul nostru sunt construite prin transferul paralel al graficului F (x) de-a lungul axei jocului.

Să vedem cum arată un exemplu f (x) \u003d x. Toate primar, după cum știm deja, au o viziune generală. F (x) \u003d x 2/2 + c . În imaginea arată ca infinit multe parabolobținută din parabola principală "Y \u003d x 2/2 de-a lungul axei Oy în sus sau în jos, în funcție de valoarea constantă DIN.

Amintiți-vă funcția de construcție a școlii y \u003d f (x) + a Shift grafica y \u003d f (x) Pe unitățile "A" de-a lungul axei jocului?) Așa este același lucru.)

Și să acorde atenție: parabolele noastre nicăieri nu se intersectează!Este natural. La urma urmei, două funcții diferite y 1 (x) și y 2 (x) vor corespunde în mod inevitabil două valori diferite ale constantei – Cu 1. și Cu 2..

Prin urmare, ecuația y 1 (x) \u003d y 2 (x) nu are niciodată soluții:

C 1 \u003d C 2

x ε ∅. , la fel de C 1 ≠ C2

Și acum abordăm cu ușurință cel de-al doilea concept de piatră de temelie a calculului integral. Așa cum am instalat, în orice funcție f (x) există un set infinit de primitiv F (x) + C, diferit unul de celălalt la constantă. Acesta este cel mai infinit set are și propriul nume special.) Ei bine, vă rog să vă iubiți și să vă plângeți!

Ce este un integrat incert?

Multe dintre toate cele primitive pentru funcții f.(x.) Numit intecer integratde la funcțiaf.(x.).

Asta e tot definiția.)

"Incert" - deoarece setul de toate primitive pentru aceeași funcție infinit.. Prea multe opțiuni diferite.)

"Integral" - Cu o decodare detaliată a acestui cuvânt brutal, ne vom familiariza în următoarea secțiune mare dedicată integrate definite. Între timp, în formă grosieră, vom lua în considerare ceva prin integrare general, singur, întreg. Și integrarea - o asociere, generalizareÎn acest caz, trecerea de la privat (derivat) la general (primitiv). Ceva de genul.

Denumeaza un integral indefinit ca acesta:

Citiți același mod ca și scris: integral EF de la x de x. Sau integral din EF de la X de X.Ei bine, ați înțeles.)

Acum ne vom ocupa de notație.

∫ - icon integral. Punctul este același cu codul de bare pentru derivatul.)

d. - pictogramadiferenţial. Fara frica! De ce este necesar acolo - chiar jos.

f (x) - integrand. (prin "s").

f (x) dx - expresie inhibitoare. Sau, aproximativ vorbind, "umplerea" integrală.

În funcție de semnificația unui integral nedefinit,

Aici F (x) - Samia imprimare Pentru funcția. f (x)că suntem într-un fel s-au găsit.Cât de bine găsite - nu esență. De exemplu, am găsit asta F (x) \u003d x 2/2 pentru f (x) \u003d x.

"De la" - constantă arbitrară. Sau, mai științific, integral Constanța. Sau constanță de integrare. Toate una.)

Și acum să ne întoarcem la primele noastre exemple pe căutarea unui primitiv. În ceea ce privește un integral nedefinit, acum puteți scrie cu îndrăzneală:

Ce este o constantă integrală și de ce este necesar?

Întrebarea este foarte interesantă. Și foarte (foarte!) Important. Constanta integrală din întregul set infinit de primitive evidențiază linia, care trece printr-un punct specificat.

Care-i rostul. Din setul inițial infinit de primitiv (adică integral nedeterminat) Este necesar să se evidențieze curba care va trece prin punctul specificat. Cu cumva coordonate specifice.O astfel de sarcină este întotdeauna și de pretutindeni care apare la o cunoaștere inițială cu integrale. Atât la școală, cât și la universitate.

Problemă tipică:

Printre seturile de toate funcțiile primitive f \u003d x, selectați cea care trece prin punctul (2; 2).

Începem să vă gândim capul ... multe dintre toate cele de primă mână - înseamnă, trebuie mai întâi integrați funcția noastră originală.Care este, x (x). Cu aceasta am fost angajat puțin mai mare și am primit un astfel de răspuns:

Și acum înțelegem ce avem. Nu avem o singură funcție, dar Întreaga familie de funcții. Care? Vedere y \u003d x 2/2 + c . Realizarea valorii constantei C. și acesta este semnificația constantă pentru noi și acum trebuie să "captură".) Ei bine, ce captură?)

Tija noastră de pescuit - familie de curbe (parabola) y \u003d x 2/2 + c.

Constantele - acestea sunt pescuitul. Multe multe. Dar fiecare există un cârlig și momeală.)

Și care este momeala? Dreapta! Punctul nostru (-2; 2).

Deci, înlocuim coordonatele punctului nostru în viziunea generală a primordialului! Primim:

y (2) \u003d 2

De aici este ușor de căutat C \u003d 0..

Ce inseamna asta? Aceasta înseamnă că de la întregul tip de parabola Infinitey \u003d x 2/2 + cnumai parabola cu constantă c \u003d 0 Este potrivit pentru noi! Și anume:y \u003d x 2/2. Și numai ea. Numai această parabolă va trece prin punctul de care aveți nevoie (-2; 2). A B.ses alte parabole din familia noastră trec prin acest punct nu mai este.Prin alte puncte ale avionului - da, dar prin punctul (2; 2) - nu mai este. Prins?

Pentru claritate aici sunt două imagini - toată familia parabola (adică un integral nedeterminat) și un fel parabola de beton.corespunzător valoarea specifică a constantei și trecând prin punctul specific:

Vedeți cât de important este să luați în considerare constatatea DIN Când se integrează! Deci, nu neglijăm acest cioc "C" și nu uitați să atribuiți răspunsul final.

Și acum ne vom da seama, de ce în interiorul integrelor peste tot, simbolul se află dX. . Elevii uită de el adesea ... și asta este, apropo, de asemenea, o greșeală! Și mai degrabă nepoliticos. Lucrul este că integrarea este o operațiune, o diferențiere inversă. Și exact ce este rezultatele diferențierii? Derivat? Adevărat, dar nu destul. Diferenţial!

În cazul nostru, pentru funcția f (x) Diferențiat primar F (x), va fi:

Cui acest lanț este incomprehensibil - repetați urgent definiția și semnificația diferenței și modul în care este dezvăluit! În caz contrar, în integrale veți încetini nemilos ....

Permiteți-mi să vă reamintesc în forma brută a filisteniei că diferența de orice funcție f (x) este doar o lucrare f '(x) dx. Și asta e tot! Luați un derivat și înmulțiți-l pe argumentul diferențial (adică dx). Adică orice diferenție, de fapt, se reduce la calculul obișnuit derivat.

Prin urmare, strict vorbind, integralul "ia" funcții f (x)așa cum este considerat și de la diferenţial f (x) dx! Dar, în versiunea simplificată, este obișnuită să spunem asta "Integralul este luat din funcția". Sau: "Funcția F integrează(x)". Asta e lafel. Și vom vorbi în același mod. Dar despre pictograma dX. În același timp, nu veți uita! :)

Și acum vă voi spune cum să nu uitați atunci când înregistrați. Imaginați-vă mai întâi că calculați derivatul obișnuit al variabilei ICS. Cum o scrieți de obicei?

Deci: f '(x), y' (x), y 'x. Sau mai solid, prin raportul dintre diferențiale: DY / DX. Toate aceste înregistrări ne arată că derivatul este luat pe ICSU. Și nu de "igrek", "te" sau altă variabilă acolo.)

De asemenea, în integrale. Record ∫ F (x) dx noi de asemenea de parca Indică faptul că integrarea se efectuează cu precizie prin variabilă ix.. Desigur, este foarte simplist și nepoliticos, dar este clar, sper. Și șanse a uita atribut omniprezent dX. declin brusc.)

Deci, același lucru incert - tratat. Perfect.) Acum ar fi frumos să învățați aceste integrale cele mai indefinite calculati. Sau pur și simplu vorbind, "ia". :) Și aici studenții așteaptă două știri - bune și nu foarte. Până acum, începem cu bine.)

Vestea este bună. Pentru integral, precum și pentru derivate, există propria placă. Și toate integriile pe care le vom întâlni pe drum, chiar și cele mai teribile și mai de încredere, noi conform unei anumite reguli Vom reduce cumva cele mai tababulare.)

Deci, aici este masă integrală!

Aici este un semn atât de frumos de integrale din cele mai populare funcții. Vă recomandăm să plătiți o atenție separată grupului de formule 1-2 (funcție constantă și putere). Acestea sunt cele mai frecvente formule din integrale!

Cel de-al treilea grup de formule (trigonometrie), după cum se poate ghicit, se obține prin simpla atrăgătoare formulele corespunzătoare pentru derivați.

De exemplu:

Cu al patrulea grup de formule (funcție indicativă) - totul este similar.

Dar cele patru grupuri de patru formule (5-8) pentru noi nou. Cum au venit ei și pentru că astfel de merite sunt tocmai aceste funcții exotice, brusc au intrat în tabelul principalului integral? Ce aceste grupuri de funcții sunt alocate pe fundalul altor funcții?

Astfel încât sa dezvoltat istoric în procesul de dezvoltare metode de integrare . Când ne pregătim să luăm cele mai multe și mai diverse integrale, veți înțelege că integralele din funcțiile enumerate în tabel sunt foarte și foarte des. Este adesea atât de des că matematica le-a atribuit tabelarului.) Prin ele sunt foarte multe alte integrele, din structuri mai complexe.

Din motive de interes, puteți lua unele dintre aceste formule teribile și diferențiați. :) De exemplu, cea mai brutală formula a 7-a.

Totul e bine. Nu a înșelat matematica. :)

Tabel de integrare, precum și un tabel de derivați, este de dorit să știți de inimă. În orice caz, primele patru grupe de formule. Nu este la fel de greu cum pare la prima vedere. Înțelegeți prin inimă ultimele patru grupuri (cu fracțiuni și rădăcini) pana cand Nu face. Oricum, la început, veți fi confuzi în cazul în care logaritmul este de a scrie, în cazul în care Artangenes, unde Arksinus, unde 1 / a, unde 1 / 2a ... ieșirea aici este una - pentru a rezolva mai multe exemple. Apoi, tabelul în sine se va aminti, iar îndoielile nibble se vor opri.)

O fețe deosebit de curiune, privindu-se la masă, pot întreba: și unde în mesele integrale din alte funcții elementare "școală" - tangentă, logaritm, "arcade"? Să spunem de ce masa are un integral din sinus, dar nu există, să spunem, integralul de la tangent tg X.? Sau nu există integrat de la logaritm lN X.? De la Arksinus. arcsin X.? Ce sunt mai rău? Dar este plin de funcții "stânga" - cu rădăcini, fracțiuni, pătrate ...

Răspuns. Nu mai rău.) Doar integralele menționate mai sus (de la tangente, logaritm, arxinus etc.) nu sunt tabele . Și sunt în practică mult mai puțin frecvent decât cele prezentate în tabel. Prin urmare, știți pe de rostCeea ce sunt egali, nu neapărat. Știi destul ca și ei calculati.)

Ce, cineva încă insuportabil? Deci, fi, mai ales pentru tine!

Cum vei memora? :) Nu vrei? Și nu.) Dar nu vă faceți griji, vom găsi cu siguranță toate astfel de integrale. În lecțiile corespunzătoare. :)

Ei bine, acum mergeți la proprietățile unui integral nedefinit. Da, da, nimic de făcut! Este introdus un nou concept - imediat și unele dintre proprietățile sale sunt luate în considerare.

Proprietățile unui integral nedefinit.

Acum nu foarte bine veste.

În contrast cu diferențierea, reguli generale de integrare standardFair. pentru toate ocaziile, în matematică nu există. Este fantastic!

De exemplu, știi totul perfect (sper!) oricine compoziţie orice Două funcții F (x) · g (x) sunt diferențiate după cum urmează:

(F (x) · g (x)) '\u003d f' (x) · g (x) + f (x) · g '(x).

Oricine Private diferențiate astfel:

Și orice funcție complexă, indiferent de aceasta, este diferențiată după cum urmează:

Și indiferent de funcțiile sunt ascunse sub literele F și G, regulile generale vor mai funcționa și vor fi găsite derivatul, un fel sau altul, vor fi găsite.

Dar cu integrale, un astfel de număr nu va mai transmite: pentru munca privată (fracție), precum și funcția complexă a formulelor de integrare generală nu exista! Nu există reguli standard! Mai degrabă, sunt. Este în matematică zadarnică ofensată.) Dar, în primul rând, ele sunt mult mai mici decât regulile generale de diferențiere. În al doilea rând, cele mai multe metode de integrare pe care le vom vorbi în următoarele lecții, foarte, foarte specifice. Și sunt valabile doar pentru o anumită clasă de funcții foarte limitate. Să spunem doar funcțiile raționale fracționate. Sau mai mult.

Și unele integrale, deși există în natură, dar deloc nu sunt exprimate în nici un fel prin funcțiile elementare "școală"! Da, și astfel de integrele sunt pline! :)

De aceea, integrarea este o lecție mult mai consumatoare de timp și dureroasă decât diferențierea. Dar există și proprietatea proprie. Ocupația este creativă și foarte interesantă.) Și dacă sunteți bine digerați pe masa integrală și stăpâniți cel puțin două recepții de bază, despre care vom vorbi (și), atunci vă va plăcea integrarea. :)

Acum, să ne familiarizăm, de fapt cu proprietățile unui integral nedefinit. Ei nu sunt nimic. Aici sunt ei.

Primele două proprietăți sunt complet similare cu aceleași proprietăți pentru derivate și sunt numite. proprietățile liniarității unui integral nedefinit . Totul este simplu și logic aici: Integralul din cantitatea / diferența este egal cu cantitatea / diferența integrelor, iar multiplicatorul constant poate fi scos din semnul integrat.

Și aici sunt următoarele trei proprietăți pentru noi fundamental noi. Vom analiza în detaliu. Ei sună în limba rusă după cum urmează.

A treia proprietate

Derivatul integral este egal cu funcția Integrand

Totul este simplu, ca într-un basm. Dacă integrați funcția și apoi înapoi pentru a găsi un derivat al rezultatului, atunci ... Se oprește funcția Integrand Initial. :) Această proprietate poate fi întotdeauna (și necesară) pentru a verifica rezultatul final de integrare. Calculat integral - diferențiați răspunsul! A primit o funcție detaliată - aprox. Ei nu au primit - înseamnă undeva ei s-au acumulat. Căutați o eroare.)

Bineînțeles, în răspunsul poate fi obținut astfel de funcții brutale și voluminoase, care se întoarce pentru a le diferenția reticența, da. Dar mai bine, dacă este posibil, încercați să ne verificați. Cel puțin în exemplele în care este ușor.)

A patra proprietate

Diferențial de integral este egal cu imaginea .

Nimic special aici. Esența este aceeași, numai DX apare la sfârșit. Conform proprietății anterioare și a regulilor de divulgare a diferențialului.

Cea de-a cincea proprietate

Integralitatea diferențialului unei anumite funcții este egală cu suma acestei funcții și constantă arbitrară .

De asemenea, o proprietate foarte simplă. De asemenea, vom folosi în mod regulat soluția integrală în procesul de rezolvare a integrelor. In mod deosebit - in si.

Acestea sunt proprietățile utile. Nu voi încuraja cu dovezile lor stricte. Dorind să-i ofere singură. Direct peste sensul derivatului și diferențialului. Voi dovedi doar ultima, a cincea proprietate, pentru că este mai puțin evidentă.

Deci, avem o declarație:

Am scos "umplerea" integrală și dezvăluie, în funcție de definiția diferențialului:

Doar în cazul, îți amintesc că, în conformitate cu denivatul nostru de desemnare și primitiv, F.’(x.) = f.(x.) .

Introduceți acum rezultatul nostru înapoi în interiorul integral:

A primit exact definiția unui integral nedefinit (Lasă-mă să mă iert rusă)! :)

Asta e tot.)

Bine. Aceasta este cunoștința noastră inițială cu lumea misterioasă a integrelor, consider că este. Astăzi, propun să rotunj. Suntem deja înarmați suficient pentru a merge în inteligență. Dacă nu este o pistol mașină, atunci cel puțin o proprietate de bază Pistol de apă și masă. :) În următoarea lecție, așteptăm deja cele mai simple exemple inofensive de integrare pe aplicația directă a tabelului și a proprietăților scrise.

Te văd!

Intecer integrat

Principala sarcină a calculului diferențial a fost de a calcula derivatul sau diferențialul funcției specificate. Calculul integrat, la studiul căruia ne mișcăm, rezolvăm problema opusă, și anume, găsind funcția în conformitate cu derivatul sau diferențialul său. Adică, având df (x) \u003d f (x) d (7.1) sau F '(x) \u003d f (x),

unde f (x) - o funcție bine-cunoscută, trebuie să găsiți o caracteristică F (x).

Definiție:Funcția f (x) este numită În formă de predo Funcțiile F (x) pe segment, dacă egalitatea se efectuează în toate punctele din acest segment: F '(x) \u003d f (x) sau df (x) \u003d f (x) d.

de exempluuna dintre primele caracteristici ale funcției f (x) \u003d 3x 2 va fi F (x) \u003d x 3deoarece ( x 3) '\u003d 3x 2. Dar prima manuală pentru funcția f (x) \u003d 3x 2 Vor fi, de asemenea, funcții și, pentru că .

Deci, această caracteristică f (x) \u003d 3x 2 Are un set nesfârșit de primă mână, fiecare dintre care diferă numai pe termenul permanent. Arătăm că acest rezultat are loc în cazul general.

Teorema Două una primară și aceeași funcție definită într-un anumit interval diferă unul de celălalt la acest spațiu la componenta constantă.

Dovezi

Lăsați funcția f (x) Definit la interval (A¸b) și F 1 (x) și F 2 (x) - Pervious, adică F 1 '(x) \u003d f (x) și f 2' (x) \u003d f (x).

Atunci F 1 '(x) \u003d f 2' (x) þ f 1 '(x) - f 2' (x) \u003d (F 1 '(x) - F 2 (x)) \u003d 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) \u003d c

Prin urmare F 2 (x) \u003d F 1 (x) + cu

unde DIN - Constant (aici a folosit o consecință a teoremei Lagrange).

Teorema este astfel dovedită.

Ilustrație geometrică. În cazul în care un w. = F 1 (x) și w. = F 2 (x) - cea primară și aceeași funcție f (x), apoi tangenta grafica lor la puncte cu un abscis comun h. Paralel între ei (fig.7.1).

În acest caz, distanța dintre aceste curbe de-a lungul axei Ou. Rămâne constant F 2 (x) - F 1 (x) \u003d c , adică aceste curbe în o înțelegere"Paralel" unul pe altul.

Corolar .

Deci, expresie F (x) + cu unde, și F (x) - o anumită funcție primitivă f (x) Include toate primitive posibile pentru f (x).

Exemplul 1. Verificați dacă funcțiile sunt valabil pentru funcția

Decizie:

Răspuns: Perfect pentru functionare vor fi funcții și

Definiție: Dacă funcția F (x) este un primitiv pentru funcția F (x), apoi se numește setul al întregului F (X) + C primitiv intecer Integral OT.f (x) și denotă:

∫F (x) dx.

A-PRIOR:

f (x) - integrand,

f (x) DH - INTEGRAND

Din aceasta rezultă că un integral nedefinit este o funcție a unei forme comune, al cărui diferențial este să fie o expresie sursă și derivatul căruia de variabila h. Este egal cu funcția Integrand la toate punctele.

Din punct de vedere geometric Integralul nedefinit este o familie de curbe, fiecare dintre acestea fiind obținută prin schimbarea uneia dintre curbele paralele cu ea în sus sau în jos, adică de-a lungul axei Ou. (Fig. 7.2).

Se numește funcționarea calculării unui integrat incert dintr-o anumită funcție integrare această caracteristică.

Rețineți că, dacă un derivat al funcției elementare este întotdeauna o funcție elementară, atunci prima manieră din funcția elementară nu poate fi prezentată utilizând un număr finit de funcții elementare.

Ia în considerare acum proprietățile unui integrat incert.

Din definiția 2 implică:

1. Un derivat dintr-un integral nedefinit este egal cu funcția Integrand, adică dacă F '(x) \u003d f (x) T.

2. Diferențial de la un integral nedeterminat este egal cu expresia integrat.

. (7.4)

Din definiția diferențială și a proprietăților (7.3)

3. Un integral nedefinit din diferența unei anumite funcții este egal cu această funcție cu o precizie a unei componente constante, adică (7.5)

Dacă masa de rădăcină și / sau fracțiune sunt descrise cu un defect, descărcați scriptul pentru formulele de transformare sau tabelul sub forma unui model.

Cred că vizitatorul acestei pagini nu mai este atacat și, cel mai probabil, am încercat să învăț prin inimă tabelele derivatelor și funcțiile elementare de bază primare. În loc de un tabel primitiv, ați putea învăța cele mai simple integrale tabulare, care, de fapt, același lucru. În opinia mea, pentru a calcula integrale incerte, este mai eficient să se utilizeze tabelul combinat, în același timp îl va permite să vă amintiți mai repede.

Tabelul nu are o coloană pentru integrarea mesei din motive evidente: un integral nedefinit este un set de primitiv, diferit unul de celălalt pentru o valoare constantă. Această coloană ar fi diferită de cea precedentă numai prin adăugarea la un moment primar - constantă arbitrară "+ DIN"În același timp, funcția trebuie plasată sub semnul integralului. Toate acestea sunt nesemnificative pentru a memora formulele.

Stelele din unele celule ale mesei nu înseamnă că această funcție nu are un derivat sau primitiv. (Deși se întâmplă, dar nu cu funcțiile elementare de mai sus.) Aici, stelele înlocuiesc derivații și primitiv, care sunt exprimate prin compoziția funcțiilor și, prin urmare, nu sunt supuse memorizării. Dimpotrivă, la examen, vi se poate cere să le calculați folosind regulile de diferențiere sau metodele de integrare a funcțiilor. Exemple de calculare a unora dintre ele sunt prezentate sub masă. Restul sunt utilizate pentru exerciții

Dacă trebuie să imprimați tabelul pentru utilizare, este mai bine să îl descărcați în formatul modelului. Apoi o puteți plasa pe foaia A4 a modului dorit.

Un exemplu de calculare a derivatului lipsă în șirul 13.

a) în conformitate cu regula de diferențiere

b) Utilizarea proprietăților gradelor

După cum arată practica, majoritatea studenților preferă primul mod, dar este mai des confundată în calcul. Vă recomandăm să stăpâniți a doua abordare, dar derivatul este un subiect.

Un exemplu de calcul al primitivului lipsă în șirul 4.

La calcularea, integrarea directă, au fost utilizate proprietățile funcției de alimentare și formula pentru primitiv (linia 3 a tabelului).

Deci, una dintre rădăcinile pătrate în formă de primă formă este o funcție 2x.√x._ ____ 3 , Acesta poate fi plasat în tabel în loc de stelele din acest rând.

În general, toate cele cinci rânduri de top ale mesei aparțin funcțiilor de putere, astfel încât acestea să poată fi înlocuite cu o singură regulă:

Pentru diferențierea funcției de putere Indicatorul gradului este prezentat mai întâi de coeficientul înainte de aceasta, apoi scade cu unul;
- PLY. integrarea funcției de alimentare Indicatorul de amploare este mai întâi crescut cu unul, apoi demolat în denomoter.

Acesta din urmă este valabil pentru orice grade integrate, fracționare și negative, cu excepția n. \u003d -1, altfel, numitorul ar trebui să pună 0.

Un exemplu de calculare a primitivului lipsă în șirul 8.

De ce arccos. x. Există o coloană în formă de primă în formă?

Într-adevăr pentru că ArcSOS. x. Și -Acsin. x. Ele diferă numai numai pe constanță, se referă la același integrat incert și, prin urmare, ca un primar interschimbabil. Este logic să predați două formule atunci când este suficient să vă amintiți unul dacă înțelegeți semnificația a ceea ce se întâmplă.

Tine minte

arcsin. x. + ArcSOS. x. = π _ 2.,

Deoarece, în esență, acestea sunt două colțuri ascuțite ale aceluiași triunghi dreptunghiular.
Același lucru este valabil și pentru funcția ArcCTG. x..