Probabilitatea unui eveniment. Determinarea probabilității unui eveniment. Evenimente aleatorii și clasificarea lor Conceptele de bază ale teoriei probabilității clasice

Curs 1.

Introducere

PARTEA 1

Scopul prelegerii: determină subiectul cursului; Introduceți conceptele de experiență, fenomen aleatoriu, eveniment aleatoriu, precum și probabilitatea și frecvența evenimentului; Dați definiția de probabilitate clasică și clasificați schemele de selecție cu numărare de probabilitate directă.

Teoria probabilității - Știința matematică care studiază modelele în fenomene aleatorii.

Sub experienţă Un anumit set reproductibil de afecțiuni în care se observă unul sau un alt fenomen. Experiența poate fi reprezentată ca un test și o serie de teste.

Fenomenul aleator - Acesta este un fenomen care, cu reproducerea repetată a aceluiași experiment, procedează de fiecare dată când este oarecum diferit.

Exemple de fenomene aleatorii: cântărind corpul pe cântare analitice, aruncând o monedă sau un cub de joc.

În aceste exemple, condițiile de experiență sunt neschimbate, dar rezultatele experienței variază. Aceste variații sunt asociate cu impactul factorilor secundari care afectează rezultatul experienței, dar care nu sunt specificate între principalele condiții. În practică, există o mare clasă de sarcini în care exodul de experiență depinde de un număr atât de mare de factori că este imposibil să se țină cont de ele în întregime.

Când observați totalitatea fenomenelor omogene aleatorii, regularitatea este adesea detectată. rezistența la frecvență (Eliminarea monedei cu repetarea repetată oferă numărul de emisii ale Coalului, egal cu 1/2, aruncarea unui cub de joc dă numărul de secțiuni ale unei fețe cu un număr 6, egal cu 1/6; procentul căsătoriei în Procesul tehnologic al orașului). Manifestarea acestui tip de tipare cu reproducerea în masă a experienței ne permite să concluzionăm că individualitatea individuală a fenomenelor aleatorii se îneacă în rezultatul total al experimentelor.

Astfel, baza de utilizare a metodelor probabilistice (statistice) este proprietatea stabilității frecvenței în fenomenele aleatorii în masă. Metodele de teorie a probabilităților nu permit să prezică rezultatul unei experiențe separate, dar face posibilă prezicerea rezultatului total (în medie) a unui număr mare de experimente. De exemplu, mișcarea moleculelor de gaz din vas este aleatorie și este posibilă prezicerea traiectoriei mișcării și vitezei unei molecule separate, dar presiunea gazului de pe peretele vasului (cu un număr mare de molecule) nu este -Aleatoriu.

Originea teoriei probabilității este asociată cu studiile din Pascal (1623-1662), a fermei (1601-1665), ghigende (1629-1695) în domeniul teoriei jocurilor de noroc, când a fost formulat conceptul de probabilitate, așteptările matematice. Definiția clasică a probabilității unui eveniment a fost introdusă de Jacob Bernoulli (1654-1705), au descris, de asemenea, legea numărului mare. În viitor, bazele teoriei probabilității au fost așezate de lucrările unor astfel de matematicieni ca MOAVR (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840). O mare contribuție la dezvoltarea teoriei de probabilitate a matematicii în fața lui P. L. Chebyshev (1821-1894), A. A. Markova (1856-1922), A. M. Lyapunov (1857-1918), A. N. Kolmogorov (1903-1987).

Eveniment aleatoriu

Eveniment aleatoriu - orice fapt că, ca urmare a experienței cu un rezultat aleator, poate să apară sau să nu se întâmple.

Exemple: DAR - apariția stema atunci când ia o monedă; LA - apariția unei figuri uniforme atunci când aruncați un cub de joc; CU - lovind ținta când este împușcat.

Vizavi de eveniment DAR numit un eveniment constând în mod implicit DAR.

Fiecare dintre evenimente este o oportunitate diferită pentru apariția sa. Ca măsură numerică a gradului de eveniment obiectiv, este folosit conceptul eveniment de probabilitate. Conceptul de probabilitate al unui eveniment este asociat cu conceptul de frecvență de eveniment.

De încredere numit un eveniment că trebuie să apară, ca rezultat al experienței, imposibil Se numește un eveniment care nu se poate întâmpla ca urmare a experienței. Pentru un eveniment fiabil, este necesar ca probabilitatea de 1, pentru evenimentul imposibil - 0. Pe baza acestui fapt, intervalul de schimbare a probabilității va fi 0 - 1.

Aproape imposibil Evenimentul este numit, probabilitatea că nu este exact 0, dar este foarte aproape de 0. De exemplu: de la un alfabet divizat compus din 32 de litere, îndepărtat cu întoarcerea a 15 litere. Care este probabilitatea ca secvența acestor scrisori să fie fraza "cât de tânăr am fost"? Această probabilitate va fi (1/32) 15. Evenimentul este aproape imposibil.

Practic credibil Evenimentul este numit, probabilitatea căreia nu este exact 1, dar este foarte aproape de 1. Un astfel de eveniment este opusul aproape imposibil. Principiul încrederii practice este asociat cu aceste concepte, care este formulat după cum urmează: dacă probabilitatea unui anumit eveniment DAR În această experiență, este foarte mic, atunci puteți fi aproape încrezător că, cu o experiență unică DAR nu se va intampla. Alegerea probabilității care a fost considerată suficientă pentru a determina posibilitatea unei predicții, de fiecare dată de considerente practice, ținând cont de costul pierderilor cauzate de o prognoză eronată.

Experiență cu un număr finit de rezultate.

Definiția de probabilitate clasică

Într-o serie de experimente, cum ar fi aruncarea de monede, aruncarea unui cub de joc, jocuri de cărți, o ruletă, extragerea unui anumit număr de bile din URN, rezultatele posibile au o anumită simetrie în condițiile de experiență și sunt la fel de posibili (experimente cu experimente un număr finit de rezultate în mod echbilis). În special, atunci când se iau un cub "drept", niciuna dintre rezultatele elementare (apariția oricărei cifre: 1,2,3,4,5,6) nu poate fi considerată mai preferabilă decât cealaltă.

Pentru astfel de experimente, este posibilă calcularea directă a probabilității unui eveniment. Atunci când analizăm astfel de experimente și a fost formulată în secolul al XVII-lea. definiția de probabilitate clasică.

Înainte de a formula definiția de probabilitate clasică, introducem un număr de definiții.

Mai multe evenimente din această formă de experiență grupul complet de evenimenteDacă, ca urmare a experienței, trebuie să apară cel puțin unul dintre ele, de exemplu, stema, o figură (graba) atunci când aruncați monede; Hit, Las pentru fotografiere; Apariția de 1,2,3,4,5,6 atunci când aruncă un os de joc.

Mai multe evenimente sunt numite non-paturi În această experiență, dacă aspectul lor comun este exclus (stema și graba atunci când aruncați o monedă).

Evaluări egale Evenimente de apel, dacă, în condițiile de simetrie a experienței, putem presupune că niciunul dintre aceste evenimente nu este mai mult posibil decât celălalt (stema sau graba atunci când aruncați o monedă).

Dacă un grup de evenimente posedă toate cele trei proprietăți: completitudinea, oportunitatea egală și incompletența, atunci se numesc astfel de evenimente cazuri. Cazul numit favorabil Un eveniment DARDacă apariția acestui caz implică apariția acestui eveniment. De exemplu, atunci când aruncați un zar de joc, există trei cazuri favorabile evenimente DARcare constă în apariția unui număr egal de puncte, și anume apariția de 2, 4 sau 6.

În consecință, experiența în care are loc simetria egală și excluză a rezultatelor reciproce, a fost numită scheme de caz (sau scheme de urnă). Numărarea cu probabilitate directă în sistemul de cazuri se bazează pe evaluarea ponderii cazurilor favorabile în numărul total al acestora:

unde - numărul de evenimente favorabile DAR, n. - Numărul total de cazuri.

Deoarece numărul de cazuri favorabile poate varia de la 0 la n., probabilitatea unui eveniment va fi schimbată în 0 - 1. Formula (1.1) se numește formula clasicăEste folosit pentru a număra în mod direct probabilitatea atunci când experiența este redusă la schema de cazuri.

Numărătoare de probabilitate directă.

Schema de selecție cu randament

și fără elemente de întoarcere

La determinarea probabilității unui eveniment conform formulei clasice (1.1) pentru a determina numărul total de cazuri și numărul de cazuri favorabile, elementele combinatorice sunt adesea atrase. În același timp, în fiecare experiență, este important să alegeți elemente.

Există două scheme de selecție: o schemă de selecție fără elemente de returnare și o schemă de selecție cu returnarea elementelor. În primul caz extras m. Elementele (fără diferență, una sau împreună) nu sunt returnate la setul original. În cel de-al doilea caz, la fiecare etapă, elementele sunt recuperate unul câte unul, elementul selectat este înregistrat, apoi este returnat, iar tot setul inițial este amestecat bine. Astfel, în al doilea caz, același element poate fi eliminat în mod repetat.

După selectarea selecției, elementele pot fi comandate sau nu. Deci, în schema clasică există patru tipuri de experimente. Luați în considerare modul în care se calculează numărul total de cazuri și numărul de cazuri favorabile din fiecare schemă.

Ÿ Schema de selecție fără a se întoarce și fără a comanda ordinea elementelor (Schema de selecție care duce la combinații). Experiența constă în alegerea din setul inițial de volum n. Elemente m. elemente fără a se întoarce și fără a ordona ordinea elementelor. În această experiență, diverse rezultate vor fi agregate m. Elemente care diferă una de cealaltă cu compoziția elementelor. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experienței) este determinat de numărul de combinații de la p. Elemente in m.:

Proprietățile numărului de combinații:

2) (proprietate de simetrie);

3) (raportul recurent);

4) (Consecința formulei binomiale a lui Newton).

Ÿ Schema de selecție fără întoarcere, dar cu ordinea ordinului elementelor (Schema de selecție, care duce la cazare). Experiența constă în alegerea din setul inițial de volum n. Elemente t. Elemente fără întoarcere, dar cu ordinea ordinului elementelor. În această experiență, diverse rezultate vor fi agregate t. elemente care diferă unul de celălalt ca compoziția elementelor și ordinea urmelor lor. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experienței) este determinat de numărul de cazare din p. Elemente in t.:

Când este plasat, este rearanjat de la p. Elemente:

Ÿ Circuitul de selecție cu randament și fără a comanda ordinea elementelor (Schema de selecție care duce la combinații cu rază scurtă de acțiune). Experiența constă în alegerea din setul inițial de volum p. Elemente t. Elementele cu întoarcerea și fără a comanda ordinea elementelor. În această experiență, diverse rezultate vor fi agregate t. Elemente care diferă una de cealaltă cu compoziția elementelor. În acest caz, seturile individuale pot conține elemente repetate. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experienței) este determinat de numărul de combinații cu repetiții de la p. Elemente in t.:

Ÿ Diagrama de alegere cu o întoarcere și în comanda ordinului elementelor (Schema de selecție care duce la repetiții). Experiența constă în alegerea din setul inițial de volum p. Elemente t. Elemente cu întoarcere și cu ordinul ordinii elementelor. În această experiență, diverse rezultate vor fi agregate t. elemente care diferă una de alta ca compoziția elementelor și ordinea elementelor. În acest caz, seturile individuale pot conține elemente repetate. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experienței) este determinat de numărul de destinații de plasare cu repetiții de la p. Elemente in t.:

Frecvența sau probabilitatea statistică a unui eveniment

Dacă experiența nu reduce schema de cazuri (de exemplu, osul de joc este asimetric, iar pierderea unei anumite fețe nu va fi 1/6), apoi conceptul de frecvență evenimentului și relația dintre probabilitate și frecvență este folosit pentru a determina probabilitatea evenimentului.

Frecvența evenimentului DAR În experiență, constând dintr-o serie de teste, se numește atitudinea numărului de teste în care a apărut un eveniment DARLa numărul total de teste.

Frecvența evenimentului este denumită uneori o probabilitate statistică, spre deosebire de "matematică" definită anterior. Frecvența evenimentului este calculată prin următoarea formulă:

unde - numărul de apariții de evenimente DAR În experiență, N. - Numărul total de teste.

Cu un număr mic de teste, frecvența evenimentului este în mare parte aleatorie și poate varia de la o serie de încercări la alta. De exemplu, ia în considerare experiența care este că moneda se grăbește de 10 ori. Eveniment vă interesează DAR - Aspectul stema. Repetarea experienței de mai multe ori, putem stabili frecvența stema: 0,2; 0,4; 0,6; 0.8. Dar, cu o creștere a numărului de teste, frecvența evenimentului își pierde natura aleatorie, abordând o anumită valoare constantă medie. În cazul unei monede simetrice, frecvența va fi aproape de 1/2.

După cum sa menționat mai sus, teoria probabilităților explorează fenomenele caracterizate prin rezistență la frecvență. În acest caz, există o legătură organică între frecvența evenimentului și probabilitatea. În special, pentru circuitul de cazuri, frecvența evenimentului cu o creștere a numărului de teste se apropie întotdeauna de probabilitatea acesteia. Și în cazul general, declarația este corectă că, în seria teste, frecvența evenimentului se apropie de probabilitatea unui eveniment cu cea mai mare probabilitate, cu atât mai multe teste produse. Pentru o aproximare probabilistă a unor cantități, se utilizează un termen special - "convergența probabilității". Având în vedere acest termen peste declarația de mai sus va fi înregistrată

Această afirmație este esența Teoremei Y. Bernoulli și este o consecință a unui model mai general, și anume legea numărului mare.

Teoria probabilității - Aceasta este o secțiune a matematicii, care studiază tiparele fenomenelor aleatorii omogene în masă.

Principalele concepte inițiale din teoria probabilităților sunt concepte teste (experiență) și evenimente . Orice acțiune, rezultatul căruia este fixat, numit test (experiență), Și rezultatul testului sau a testelor este numit eveniment. Vom spune că ca urmare a testelor sau testelor, apare un eveniment (apare).

Exemplul 1.. Arunca peste masa de monede. În acest caz, sunt posibile două rezultate: moneda cade pe masă și "moneda" va fi "moneda" pe fața superioară a monedei de pe fața superioară. În acest caz, vom spune: "stema" a căzut sau "cifra" a căzut. În acest exemplu, aruncarea monedei este un test, iar pierderea "stratului" sau pierderea "cifrelor" sunt evenimente, adică Ca urmare a aruncării unei monede, se poate produce unul dintre cele două evenimente considerate.

Exemplul 2.. Aruncăm o monedă de două ori la rând. În același timp, sunt posibile următoarele evenimente: (ambele ori au scăzut "stema"), (ambele ori a scăzut "Figura"), ("emblema" a căzut pentru prima dată, și a doua oară - "Figura "), (pentru prima dată" Figura "și a doua oară -" stema ").

Toate evenimentele luate în considerare pot fi împărțite în fiabile, imposibile și aleatorie .

Evenimentul este numit de încredere Dacă cu acest test se va întâmpla cu siguranță. Evenimentul este numit imposibil Dacă cu acest test nu se poate întâmpla. Aleatoriu Se numește un eveniment care, cu acest test, poate să apară sau să nu se întâmple.

Exemplul 3.. În urnă există doar bile roșii. Efectuați testul - o minge este scoasă din urnă. Evenimentul (mingea roșie extras) este fiabil deoarece în urnă numai bile roșii. Evenimentul (mingea albă extras) este imposibil, deoarece nu există bile albe în urnă.

Exemplul 4.. Shooterul a produs o lovitură țintă. În același timp, poate apărea unul dintre cele două evenimente: (există țintă țintă) sau (nu există nici o lovitură în țintă). Ambele evenimente sunt aleatoare.

Evenimentele aleatoare sunt obișnuite pentru a denota cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C, ...; Evenimente fiabile - scrisoare U. și imposibilă - scrisoare V..

Evenimentele aleatoare sunt împărțite în comună, incompletă și unică posibilă .

Evenimentele sunt numite comun Dacă, cu același test, ofensiva uneia dintre ele nu exclude debutul celorlalți, adică Se pot întâmpla împreună.

Evenimentele sunt numite non-paturi Dacă la același test al debutului unuia dintre ele elimină debutul celorlalți, adică. Nu se pot întâmpla împreună.

Exemplul 5.. Pentru ținte trageți două săgeții. Denotă evenimentele:

DAR \u003d (primele săgeți au atins ținta);

LA \u003d (A doua săgeți au lovit ținta).

Evenimente DAR și LA Acestea vor fi comune, deoarece lovirea unuia dintre shooters în scop nu exclude lovitura altui.

Exemplul 6.. Moneda este aruncată. Ca rezultat, pot apărea evenimente:

DAR \u003d (a căzut "stema");

LA \u003d (a scăzut "cifra").

Evenimente DAR și LA inconsistente, deoarece ofensiva unuia dintre ele elimină debutul celuilalt.

Evenimentele sunt numite singurul posibil Dacă la un anumit test, cel puțin unul dintre ele va apărea. Două evenimente numai posibile și incomplete sunt numite opus . În cazul în care o DAR - Un eveniment, apoi este notat opusul. Combinația dintre cele mai bune forme posibile și inconspicuoase grupul complet de evenimente .

Exemplul 7.. În urnă există bile albe, negru și roșu. O minge este extrasă din urnă. Denotă evenimentele:

DAR \u003d (mingea albă extrasă);

LA \u003d (balonul negru este extras);

CU \u003d (Mingea roșie extrasă).

Evenimente A, B, cu sunt singurele posibile.

Exemplul 8.. Săgețile au împușcat un gol. Denotă evenimentele:

DAR \u003d (mănâncă în țintă);

\u003d (Fără lovit în țintă).

Aceste evenimente sunt opuse.

Exemplul 9.. Un cub de joc se repetă, pe marginile din care numerele 1, 2, 3, 4, 5 și 6 sunt scrise. Aceste cifre indică numărul de puncte. Când aruncați un cub pe fața superioară, unul dintre aceste numere va cădea. Denotă evenimente.

Evenimente aleatorii și ale lorclasificare

Definiția de probabilitate clasică

Calculul direct al probabilităților

§ 1. Evenimente aleatorii și clasificarea acestora

1. Probabilitățile probabilităților sunt numite un eveniment aleatoriu că, dacă există unele complexe de condiții pot apărea sau nu se întâmplă. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, o emblemă sau o grămadă poate cădea, astfel încât evenimentele "Când aruncați o monedă, stratul de arme au căzut" și "Când aruncați o monedă, un râu a căzut" - evenimente aleatorii.

Când aruncați o monedă și zborul pe cel din urmă - mulți factori aleatorii (forța cu care este aruncată moneda, forma monedei etc.). Prin urmare, cu fiecare aruncare separată a monedei, apariția stema sau a graba este imposibilă, totuși, în teoria probabilităților unei astfel de sarcini și nu a fost pusă. Cu toate acestea, dacă aruncați o monedă un număr mare de ori, de exemplu 10.000 de ori sau mai mult, cu același complex de condiții S., acesta este raportul dintre număr t.aparițiile stema la numărul total p,experimentele executate cu o monedă vor fi aproape de.

Dăm un alt exemplu: în conformitate cu datele statistice privind fiecare 1000 de nou-născuți reprezintă 515, adică 51,5%, băieți și 485, adică 48,5%, fete cu o deviație minoră într-o direcție sau alta dintre numerele menționate. Acest model are loc pentru toate popoarele indiferent de condițiile economice, geografice și alte condiții, dar se observă numai atunci când evenimentele (fertilitatea) sunt masive.

Teoria probabilității Există o secțiune de matematică, care studiază modelele evenimentelor aleatorii omogene de masă.

Statistici matematice Există, de asemenea, o secțiune de matematică dedicată metodelor matematice de sistematizare, prelucrare și utilizare a datelor statistice pentru concluziile științifice și practice.

Statisticile matematice utilizează metodele diferitelor regiuni ale matematicii și, în primul rând, teoria probabilității.

Originea și dezvoltarea teoriei de probabilitate și a statisticilor matematice, precum și orice altă știință, este strâns legată de nevoia vitală a oamenilor, cu dezvoltarea forțelor productive ale societății. De exemplu, organizarea companiilor de asigurări, recensământul populației, soluția sarcinilor care rezultă în jocurile de noroc, metodele de prelucrare a diferitelor rezultate de observare, în special evaluarea erorilor aleatorii și a numeroaselor întrebări, a căror soluție a contribuit la apariție și dezvoltarea acestor două ramuri de matematică.

Teoria probabilității datorită lucrărilor lui Guygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), P. Farm (1601-1665) și în special Ya. Bernoulli (1654-1705) devine știință deja în secolul al XVII-lea.

Cei mai mari reprezentanți ai acestei științe din XVIII și în prima jumătate a secolului al XIX-lea au fost matematica P. Laplace (1749-1827), K. Gauss (1777-1855) și S. Poisson (1781-1840). Lucrările acestor oameni de știință au oferit posibilitatea de a aplica metode pe bază științifice în teoria probabilităților.

Mai ales că teoria probabilității dezvoltată în a doua jumătate a XIX și în secolul al XX-lea în legătură cu aplicarea metodelor de cercetare statistică de diverse aspecte și a devenit o bază teoretică a statisticilor matematice. Această perioadă a fost marcată de descoperirile fundamentale în domeniul teoriei probabilității de către matematicienii ruși ai Școlii Matematice Sankt Petersburg PL Chebyshev (1821-1894) (Creatorul acestei școli) și celebrele sale studenți am Lyapunov (1857-1918) și AA Markov (1856-1922).

O școală matematică modernă ocupă un loc de frunte în multe ramuri ale matematicii moderne, în special în domeniul teoriei probabilității și al statisticilor matematice.

Strângerea logică a teoriei de probabilitate a avut loc în secolul al XX-lea și este asociată cu numele matematicienilor sovietici, în primul rând cu numele lui A. N. Kolmogorov. Cei mai mari reprezentanți ai acestui domeniu de știință sunt matematicienii S. N. Bernstein, B. V. Godenko, V. I. Romanovsky, E. E. Slutsky, N. V. Smirnov, A. Ya. Hinchin, B. S. YASTREMSKY și alții.

2. În mod similar, în geometrie, primele concepte sunt punctul și direct, în teoria probabilităților, primele concepte sunt evenimentul și probabilitatea.

Evenimentse numește un fenomen care are sens să spunem că sa întâmplat sau nu sa întâmplat (apare sau nu se întâmplă, va avea loc sau nu se va întâmpla).

Evenimentele pot fi împărțite în trei tipuri: de încredereimposibilăaleatoriu.

Evenimentul este numit de încrederem, dacă se efectuează în implementarea acestui complex, trebuie să apară condițiile S. De exemplu, dacă numai bilele albe sunt în urnă, atunci extracția urului alb-ului este un eveniment fiabil. Dăm un alt exemplu. În următoarea ediție a unui eveniment de împrumut de stat de 3%, că unele obligațiuni ale acestui împrumut beneficiază, în mod fiabil. În viitor, în loc să vorbească "în implementarea acestui complex de condiții S", vom spune mai scurte: "Când testați" sau "În experiență"

În primul exemplu, cele de mai sus, extracția mingelor mingea este un test și apariția unei bile albe - un eveniment.

În al doilea exemplu, următoarea circulație a unui împrumut de stat de 3% este un test (experiență), un câștig de legătură de acest împrumut este un eveniment.

Evenimentul este numit imposibilDacă nu se poate întâmpla când este testat. De exemplu, numai bilele albe sunt conținute în urnă. Extragerea de la Blow Ball născut - Evenimentul este imposibil.

Evenimentul este numit aleatoriuDacă poate apărea sau nu apare la testarea. De exemplu, precipitarea în Minsk pe 1 mai 1980, un eveniment aleatoriu.

Evenimentele aleatoare sunt obișnuite pentru a denota cu majuscule ale alfabetului latin: DAR,LA,C, ..., scrisoare de încredere U. Și scrisoarea imposibilă V.. Să dăm mai multe definiții.

Evenimente
numit. comun (Compatibil în cazul în care apariția uneia dintre ele nu exclude posibilitatea apariției altora. De exemplu, să fie efectuată ținta fiecărui pistol, numărul căruia este trei. Este clar că nu exclude posibilitatea Introducerea țintei de la toate cele trei arme. În consecință, aceste trei evenimente sunt comune.

Evenimente
numit. nES.overnfă (incompatibilă) Dacă ofensiva una dintre ele elimină posibilitatea apariției oricărui altul. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, depunerea stemului elimină posibilitatea apariției râului.

Evenimente
numit. singurul posibil Și dacă cel puțin unul dintre ele este sigur când este testat.

Exemplul 1.Lăsați-o în urnă să conțină bile albe, negre și roșii. Scoateți mingea din urnă, poate fi alb (eveniment DAR),negru (eveniment LA)sau roșu (eveniment cu). Prin definiție, aceste trei evenimente DAR,LA,CU- Singura posibilă.

Evenimente
singura posibilă și inconsecvențele sunt numite un sistem complet de evenimente.

Exemplul 2.Un cub, pe marginea care a marcat numărul de puncte de la 1 la 6, se numește osul de joc. Se presupune că cubul este fabricat din material omogen.

Când aruncați un zaruri de joc, una, două, trei, patru, cinci sau șase puncte pot cădea. Denotă evenimentele menționate, respectiv,
. Aceste evenimente sunt singurele posibile și inconsecvențe, prin urmare, ele formează un sistem complet de evenimente.

Două evenimente numai posibile și incomplete sunt numite evenimente opuse.

În cazul în care o DAR -un eveniment, atunci evenimentul opus este indicat .

Exemplu3. Când aruncați o monedă, moneda poate cădea sau o grămadă. Aceste evenimente sunt opuse.

Evenimentele opuse vor fi: "Pass" și "nu trece" examenul, "câștiga" și "nu câștigă" pe biletul de loterie, "obține" și "nu" în țintă atunci când o lovitură de arme.

Dacă cu fiecare implementare a setului de condiții, în care apare evenimentul DAR,evenimentul se întâmplă LA,ei spun asta DARimplică LA,Și acest fapt este notat de un simbol. A. B. sau B.
DAR.

Dacă există un loc în același timp A. B. sau B.
DAR, apoi evenimente DARși LAnumit echivalent. În acest caz, ei scriu A \u003d c.

Astfel, evenimente echivalente DARși LAcu fiecare test, ambele apar, fie ambele nu apar.

Exemplul 4.Redarea osului a aruncat o singură dată. Lăsați șase puncte sălumească (eveniment DAR).Denotă de LAchiar și numărul prin CU- numărul de puncte împărțite la 3. Evident, A. B. A. CU .

Exemplu5. În urnă o minge albă și trei negru. Toate bilele sunt renumerotate. Lăsați mingea albă să aibă un număr 1. Când scoateți o minge de la vot de aspectul minge albă, denotăm scrisoarea DAR,Și evenimentul de apariție a unei bile 1 este indicat de scrisoare LA.Este evident că A. B. și LADAR, i.E. Evenimente A și B.echivalent și, prin urmare, puteți scrie A \u003d c.

Clasificarea evenimentelor pentru posibile, probabile și aleatorie. Conceptele unui eveniment elementar simplu și complex. Operațiuni privind evenimentele. Definirea clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu și a proprietăților sale. Elemente de combinatoare în teoria probabilității. Probabilitate geometrică. Asomii de teorie a probabilității.

Clasificarea evenimentelor

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilității este conceptul de eveniment. Sub eveniment Înțelegeți orice fapt care poate apărea ca rezultat al experienței sau testelor. Sub experienţă, sau testAceasta înseamnă punerea în aplicare a unui anumit set de condiții.

Exemple de evenimente:

- lovind ținta atunci când este împușcat de la pistol (experiență - lucrarea împușcării; eveniment - introducerea obiectivului);
- căderea a două straturi cu o aruncare de trei ori a monedei (experiență - aruncare de trei ori a monedei; un eveniment este căderea a două straturi);
- apariția erorii de măsurare la limitele specificate atunci când se măsoară intervalul la țintă (măsurarea la distanță, eroarea de măsurare a evenimentului).

Puteți cite nenumărate exemple similare. Evenimentele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin etc.

Distinge partajarea evenimentelor și non-stop. Evenimentele sunt numite comune, în cazul în care ofensiva una dintre ele nu exclude debutul celuilalt. În caz contrar, evenimentul este numit incomplet. De exemplu, două oase de joc sunt legate. Evenimentul este abandonul din trei puncte pe primul os de joc, evenimentul este căderea din trei puncte pe cel de-al doilea os. Și - evenimente comune. Lăsați magazinul să intre în magazin de pantofi de un stil și o dimensiune, ci de diferite culori. Eveniment - Frontiera luată cutia va fi cu un pantof negru, un eveniment - cutia va fi cu un pantof brun și - evenimente incomplete.

Evenimentul este numit de încredereDacă se va întâmpla cu siguranță în condițiile acestei experiențe.

Evenimentul este numit imposibil dacă nu se poate întâmpla în condițiile acestei experiențe. De exemplu, un eveniment, care constă în faptul că o parte standard va fi luată de la partidul pieselor standard, este fiabilă, iar nestandardul este imposibil.

Evenimentul este numit posibil, sau aleatoriuDacă, ca urmare a experienței, poate apărea, dar poate să nu apară. Un exemplu de eveniment aleatoriu poate fi identificarea defectelor produsului la controlul unui lot de produse finite, o nerespectare a mărimii produsului care este procesată, defectarea uneia dintre unitățile sistemului de control automat.

Evenimentele sunt numite egal posibilDacă, în condițiile de testare, niciunul dintre aceste evenimente nu este în mod obiectiv mai mult decât altele. De exemplu, lăsați magazinul să furnizeze becuri electrice (și în cantități egale) mai mulți producători. Evenimentele din achiziționarea de becuri de lumină din oricare dintre aceste plante sunt egale.

Un concept important este grupul complet de evenimente. Mai multe evenimente din această experiență formează un grup complet dacă, ca urmare a experienței, cel puțin unul dintre aceștia va apărea cu siguranță. De exemplu, există zece bile în urnă, dintre care șase bile roșii, patru alb, și cinci bile au numere. - Aspectul unei minge roșii la o singură extracție este apariția unui castron alb - aspectul unei minge cu numărul. Evenimentele formează un grup complet de evenimente comune.

Introducem conceptul de evenimente opuse sau suplimentare. Sub opus Evenimentul este înțeles ca un eveniment care trebuie să apară dacă nu a existat un eveniment. Evenimentele opuse sunt incomplete și singurele posibile. Ele formează un grup complet de evenimente. De exemplu, dacă lotul de produse fabricate constă în adecvate și defecte, atunci la scoaterea unui produs, acesta poate fi fie afluent - un eveniment sau un eveniment defect.

Operațiuni privind evenimentele

La elaborarea aparatului și a metodelor de studiere a evenimentelor aleatorii în teoria probabilității, conceptul de suma și munca de evenimente este foarte importantă.

Suma sau asociația, mai multe evenimente se numește un eveniment constând în apariția cel puțin unul dintre aceste evenimente.

Cantitatea de evenimente este indicată după cum urmează:

De exemplu, dacă un eveniment lovește ținta la prima lovitură, un eveniment - la al doilea, evenimentul este de a intra la toate țintă, indiferent, cu ceea ce o fotografie este prima, a doua sau când ambele împreună.

Lucrarea sau intersecția, mai multe evenimente se numește un eveniment constând în apariția comună a tuturor acestor evenimente.

Este indicată activitatea evenimentelor

De exemplu, dacă evenimentul a lovit țintă la prima fotografie, un eveniment - la al doilea, evenimentul este că scopul a fost lovit la ambele fotografii.

Conceptele valorii și activitatea evenimentelor au o interpretare geometrică vizuală. Lăsați evenimentul să constituie să introducă punctul în zonă, evenimentul - în contact în zonă, atunci evenimentul constă în obținerea punctului în zonă, umbrite în fig. 1, și un eveniment - în punctul de punct la zonă, umbrite în fig. 2.

Definirea clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu

Pentru o comparație cantitativă a evenimentelor în gradul de posibilitate de apariție, este introdusă o măsură numerică, care se numește probabilitatea unui eveniment.

Probabilitatea evenimentului este numită numărul care este o expresie a posibilității obiective a unui eveniment.

Probabilitatea evenimentelor va fi notată de simbol.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri care conduc la acesta, din numărul total al singurei, egale și neconcordanțe ale numărului, adică

Aceasta este o definiție clasică de probabilitate. Astfel, pentru a găsi probabilitatea unui eveniment, este necesar, luând în considerare diverse rezultate ale testului, pentru a găsi un set de cazuri posibile, de echilibru și incoerente, calculează numărul total, numărul de cazuri care favorizează acest eveniment și Apoi calculați formula (1.1).

Din formula (1.1) rezultă că probabilitatea unui eveniment este un număr non-negativ și poate varia în intervalul de la zero la unul, în funcție de faptul că o fracțiune este un număr favorabil de cazuri în numărul total de cazuri:

Proprietăți probabil

Proprietate 1. Dacă toate cazurile sunt favorabile acestui eveniment, acest eveniment se va întâmpla cu siguranță. În consecință, evenimentul în cauză este fiabil și probabilitatea apariției sale, ca în acest caz

Proprietate 2. Dacă nu există un singur caz care să conducă la acest eveniment, acest eveniment nu se poate întâmpla ca urmare a experienței. În consecință, evenimentul examinat este imposibil și probabilitatea apariției sale, ca în acest caz:

Proprietate 3. Probabilitatea apariției evenimentelor care formează un grup complet este egală cu cea.

Proprietatea 4. Probabilitatea debutului evenimentului opus este definită în același mod ca și probabilitatea apariției, evenimentelor:

unde - numărul de cazuri care conduc aspectul evenimentului opus. Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea evenimentului:

Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul său, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a recurge la experiment și, pe baza raționamentului logic.

Exemplul 1. Când apelați numărul de telefon, abonatul a uitat o singură cifră și a marcat-o. Găsiți probabilitatea ca figura dorită să fie tastată.

Decizie. Denotă evenimentul constând în ceea ce figura dorită este tastată. Abonatul ar putea lega orice din 10 cifre, prin urmare numărul total de rezultate posibile este 10. Aceste rezultate sunt posibile numai (este necesar unul dintre numere) și echilibrul (figura este marcată). Evenimentul favorizează un singur rezultat (cifra dorită este doar una). Probabilitatea dorită este egală cu raportul dintre numărul de rezultate, conductiv la evenimente, la numărul tuturor rezultatelor:

Elemente de combinatoare

În teoria probabilităților folosesc adesea cazare, permutări și combinații. Dacă setul este dat, atunci cazare (combinație) Din elementele software-ului se numește orice subset comandat (dezordonat) al elementelor setului. Când se numește plasarea permutare De la elemente.

Fie, de exemplu, dat o mulțime. Locurile din cele trei elemente ale acestui set de două sunt ,,,,,,, combinații - ,,

Două combinații diferă cel puțin un element, iar plasarea variază fie cu elementele în sine, fie ordinea urmărilor lor. Numărul de combinații din elementele software-ului se calculează cu formula

există o serie de cazare din elemente de software; - numărul de permutări din elemente.

Exemplul 2. Există 7 standard din partea din partea. Găsiți probabilitatea ca printre cei luați, făcând 6 părți exact 4 standard.

Decizie. Numărul total de rezultate posibile de testare este egal cu numărul de metode care pot fi eliminate 6 părți din 10, adică egale cu numărul de combinații de 10 elemente ale 6. Numărul de rezultate favorizate (printre 6 părți luate exact 4 standard), definim după cum urmează: 4 părți standard pot fi luate din 7 metode de piese standard; În același timp, părțile rămase trebuie să fie nestandardizate; Luați 2 detalii non-standard de la piesele non-standard pot fi în moduri. În consecință, numărul rezultatelor favorizate este egal. Probabilitatea inițială este egală cu raportul dintre numărul de rezultate, favorabil evenimentelor, la numărul tuturor rezultatelor:

Definirea statistică a probabilității

Formula (1.1) este utilizată pentru a calcula direct probabilitatea evenimentelor numai atunci când experiența este redusă la schema de cazuri. În practică, definiția clasică a probabilității nu este adesea aplicabilă din două motive: În primul rând, definiția clasică a probabilității sugerează că numărul total de cazuri ar trebui să fie desigur. De fapt, este adesea nelimitat. În al doilea rând, este adesea imposibil să se prezinte rezultate de experiență sub formă de echilibru și evenimente incomplete.

Frecvența apariției evenimentelor în experimentele repetate are o tendință de stabilizare a unui fel de valoare permanentă. Astfel, având în vedere evenimentul, unele cantități permanente sunt grupate de frecvențe și care este caracteristica comunicării obiective dintre complexul de condiții în care se desfășoară experiențe și un eveniment.

Probabilitatea unui eveniment aleator este numită numărul, în apropierea căreia frecvențele acestui eveniment sunt grupate pe măsură ce crește numărul de teste.

Această definiție este numită statistic.

Avantajul modului statistic de a determina probabilitatea este că se bazează pe experimentul real. Cu toate acestea, dezavantajul său semnificativ este acela de a determina probabilitatea ca este necesar să se îndeplinească un număr mare de experimente care sunt adesea asociate cu costurile materiale. Definiția statistică a probabilității unui eveniment, deși dezvăluie destul de mult conținutul acestui concept, dar nu permite posibilitatea calculării reale a probabilității.

În definiția clasică a probabilității, se ia în considerare un grup complet de un număr finit de evenimente de echilibru. În practică, foarte des numărul de rezultate posibile de teste este infinit. În astfel de cazuri, definiția de probabilitate clasică nu este aplicabilă. Cu toate acestea, uneori în astfel de cazuri pot fi utilizate de o altă metodă de calculare a probabilității. Pentru claritate, limita la un caz bidimensional.

Să presupunem în avion, este setată o anumită zonă, care conține o altă zonă de zonă (figura 3). În zonă, Rudich se grăbește un punct. Care este probabilitatea ca punctul să cadă în zonă? În acest caz, se presupune că punctul abandonat poate cădea în orice punct al regiunii, iar probabilitatea de a cădea în orice parte a regiunii este proporțională cu zona părții și nu depinde de locația și forma sa . În acest caz, probabilitatea de a atinge zona atunci când aruncați un punct în zonă

Astfel, în general, în cazul în care posibilitatea unei aspecte aleatorie a unui punct în interiorul unei anumite regiuni pe o linie dreaptă, avionul sau în spațiu nu este determinată de poziția acestei regiuni și limitele sale, ci doar dimensiunea sa, adică lungime, lungime, zona sau volumul, atunci probabilitatea de intrare a unui punct aleatoriu în interior este definită ca raport de dimensiune a acestei zone la dimensiunea întregii zone în care poate apărea acest punct. Aceasta este o definiție geometrică a probabilității.

Exemplul 3. Ținta rotundă se rotește cu o viteză unghiulară constantă. Cincea din țintă este pictată în verde, iar restul este în alb (figura 4). Ținta este împușcată, astfel încât lovirea țintei este un eveniment fiabil. Este necesar să se determine probabilitatea de a atinge sectorul țintă, pictat în verde.

Decizie. Denotă - "Shot a căzut în sectorul pictat într-o culoare verde." Apoi. Probabilitatea este obținută ca atitudinea zonei părții țintei pictate în culoarea verde, în întreaga zonă țintă, deoarece lovirea în orice parte a țintei este echilibrul.

Axiomii de teorie a probabilității

Din determinarea statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu, rezultă că probabilitatea unui eveniment este numărul, în apropierea căruia frecvențele acestui eveniment sunt grupate, observate pe experiență. Prin urmare, axiomele de teorie a probabilității sunt introduse astfel încât probabilitatea unui eveniment să aibă proprietățile principale de frecvență.

Axioma 1. Fiecare eveniment corespunde unui anumit număr care satisface condiția și numită probabil.

Mulți, întâlnite cu conceptul de "teoria probabilității", sunt înspăimântați, gândindu-se că acest lucru este ceva insuportabil, foarte complicat. Dar totul nu este într-adevăr atât de tragic. Astăzi vom lua în considerare conceptul de bază al teoriei probabilității, să învățăm cum să rezolvăm problemele pe exemple specifice.

Știința

Ce studiază o astfel de secțiune a matematicii, cum ar fi "Teoria probabilității"? Notează modelele și valorile. Pentru prima dată această întrebare, oamenii de știință au fost interesați de secolul al XVIII-lea, când a fost studiat jocurile de noroc. Conceptul de bază al teoriei probabilității este un eveniment. Acesta este un fapt care este menționat de experiență sau observare. Dar care este experiența? Un alt concept de bază al teoriei probabilității. Aceasta înseamnă că această compoziție a circumstanțelor nu este creată din întâmplare, ci cu un anumit scop. În ceea ce privește observația, aici cercetătorul însuși nu participă la experiență, ci pur și simplu au martor evenimente de date, el nu afectează ceea ce se întâmplă.

Evenimente

Am aflat că conceptul de bază al teoriei probabilității este un eveniment, dar nu a fost considerat clasificarea. Toate acestea sunt împărțite în următoarele categorii:

• De încredere.
• Imposibil.
• Aleatoriu.

Indiferent de evenimentele care sunt observate sau create în timpul experienței, toate acestea fac obiectul acestei clasificări. Oferim fiecărui tip de specii să se familiarizeze separat.

Eveniment fiabil

Aceasta este circumstanța la care se face setul de evenimente necesare. Pentru a înlătura mai bine în esență, este mai bine să aduceți câteva exemple. Fizica și chimia și economia și matematica superioară sunt supuse acestei legi. Teoria probabilității include un astfel de concept important ca un eveniment fiabil. Dăm exemple:

• Lucrăm și obținem o remunerație sub formă de salarii.
• Au trecut examenele de bine, a avut loc concursul, primim o recompensă pentru aceasta sub forma unei instituții de învățământ.
• Am investit bani în bancă, dacă este necesar, le facem înapoi.

Astfel de evenimente sunt fiabile. Dacă am îndeplinit toate condițiile necesare, atunci vom obține cu siguranță rezultatul așteptat.

Evenimente imposibile

Acum luăm în considerare elementele teoriei probabilității. Propunem să mergem la explicația următorului tip de eveniment, și anume este imposibil. Pentru a începe, vom discuta cea mai importantă regulă - probabilitatea evenimentului imposibil este zero.

Din această formulă, este imposibil să se retragă la rezolvarea problemelor. Pentru a explica, oferim exemple de astfel de evenimente:

• Apa înghețată la o temperatură plus zece (este imposibilă).
• Nici o electricitate nu afectează producția (este, de asemenea, imposibilă, ca în exemplul anterior).

Mai multe exemple nu trebuie administrate, deoarece cele descrise mai sus reflectă esența acestei categorii. Evenimentul imposibil nu se va întâmpla niciodată în nici un caz.

Evenimente aleatoare

Studiile elementelor o atenție deosebită ar trebui acordată acestui tip de evenimente. Aceștia sunt că aceste studii științifice. Ca urmare a experienței, se poate întâmpla ceva sau nu. În plus, testul poate fi efectuat un număr nelimitat de ori. Exemple luminoase pot servi:

• O castă de monede este o experiență sau un test, un Eagle Falling este un eveniment.
• Tragerea unei mingea orbește - un test, o minge roșie prinsă - acesta este un eveniment și așa mai departe.

Aceste exemple pot fi o cantitate nelimitată, dar, în general, esența trebuie să fie clară. Pentru a rezuma și a sistematiza cunoștințele dobândite la evenimente, este dată un tabel. Teoria probelor studiază doar ultima viziune a tuturor celor prezentate.

Legile

Teoria probabilității este o știință care studiază capacitatea de a cădea orice eveniment. Ca și alții, are câteva reguli. Următoarele legi ale teoriei probabilității sunt existente:

• Convergența secvențelor variabilelor aleatorii.
• Legea numărului mare.

La calcularea posibilității complexului, puteți utiliza un complex de evenimente simple pentru a obține rezultatul mai ușor și rapid. Rețineți că legile teoriei de probabilitate sunt ușor de dovedit a utiliza anumite teoreme. Oferim să începem să ne familiarizați cu prima lege.

Convergența variabilelor aleatorii

Rețineți că speciile de convergență sunt oarecum:

• Secvența variabilelor aleatorii este dorită de probabilitate.
• Aproape imposibil.
• R convergență medie.
• Convergență de distribuție.

Deci, cu vara, este foarte dificil să se deplasăm în esență. Dăm definițiile care vor ajuta să dau seama de acest subiect. Pentru a începe cu prima vedere. Se numește secvență frecvent ca probabilitateaDacă se observă următoarea condiție: n tinde la infinit, numărul la care se străduiește secvența, mai mult zero și este aproximativ de una.

Mergeți la formularul următor Aproape probabil. Se spune că convergerea secvenței aproape probabil La o variabilă aleatorie pentru N, luptând pentru infinit și P, încercând să se apropie de magnitudinea.

Următorul tip este convergența este rustică. Atunci când se utilizează convergența SK, studiul proceselor aleatorii vectoriale este redus la studiul proceselor lor aleatoriu de coordonate.

Ultimul tip a rămas, să înțelegem pe scurt și să se deplaseze direct la rezolvarea sarcinilor. Convergența distribuției are un alt nume - "slab", explică de ce. Convergență slabă - Acestea sunt convergența funcțiilor de distribuție la toate punctele de localizare ale funcției de distribuție limită.

Asigurați-vă că îndepliniți promisiunea: convergența slabă diferă de tot ceea ce valoarea aleatorie nu este definită în spațiul probabilist. Acest lucru este posibil deoarece condiția este formată exclusiv utilizând funcții de distribuție.

Legea numărului mare

Asistenții excelenți în dovada acestei legi vor fi teoremele teoriei probabilității, cum ar fi:

• Chebyshev inegalitate.
• Teorema chebyshev.
• General Thyorem Chebyshev.
• Teorema lui Markov.

Dacă luăm în considerare toate aceste teoreme, atunci această problemă poate întârzia câteva zeci de foi. De asemenea, avem sarcina principală - aceasta este utilizarea teoriei probabilității în practică. Vă oferim chiar acum și faceți-o. Dar, înainte de aceasta, luați în considerare axiomele de teorie a probabilității, ei vor fi principalii asistenți la rezolvarea problemelor.

Axioms.

De la primul ne-am întâlnit deja când au vorbit despre evenimentul imposibil. Să ne amintim: probabilitatea evenimentului imposibil este zero. Exemplu am adus foarte luminos și memorabil: zăpada a căzut la temperatura aerului de treizeci de grade Celsius.

Al doilea sunete după cum urmează: Un eveniment fiabil are loc cu o probabilitate egală cu una. Acum arătăm cum să o scriem cu ajutorul unei limbi matematice: P (c) \u003d 1.

În al treilea rând: evenimentul aleator poate apărea sau nu, dar abilitatea de a varia întotdeauna de la zero la unul. Cu cât este mai apropiată valoarea la una, șansele sunt mai mult; Dacă valoarea se apropie de zero, probabilitatea este foarte mică. O scriem în limba matematică: 0<Р(С)<1.

Luați în considerare ultima, a patra axiom, care sună așa: probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilității lor. Noi scriem limba matematică: P (A + C) \u003d P (A) + P (B).

Asomii de teorie a probabilității sunt cele mai simple reguli care nu vor fi greu de reținut. Să încercăm să rezolvăm niște sarcini, bazându-se pe cunoașterea deja primită.

Bilet de loterie

Pentru a începe cu, luați în considerare cel mai simplu exemplu - Loteria. Imaginați-vă că ați cumpărat un bilet de loterie pentru noroc. Care este probabilitatea ca voi veți câștiga cel puțin douăzeci de ruble? O mie de bilete sunt implicate în circulație, dintre care unul are un premiu în cinci sute de ruble, zece sute de ruble, cincizeci și douăzeci de ruble și o sută cinci. Sarcinile pe teoria probabilității se bazează pe găsirea oportunității de noroc. Acum, împreună vom analiza soluția deasupra sarcinilor prezentate.

Dacă suntem scrisoarea și am denotăm câștigurile de cinci sute de ruble, probabilitatea de a cădea va fi egală cu 0,001. Cum am primit-o? Trebuie doar să împărtășiți numărul de bilete "fericite" pentru a împărtăși numărul lor (în acest caz: 1/1000).

B este o câștiguri de o sută de ruble, probabilitatea va fi egală cu 0,01. Acum am acționat pe același principiu ca în acțiunea anterioară (10/1000)

C - Câștigurile sunt egale cu douăzeci de ruble. Găsim probabilitatea, este egal cu 0,05.

Restul biletelor nu sunt interesați de noi, deoarece fondul lor este mai mic decât cel specificat în această condiție. Aplicați a patra axiom: probabilitatea câștigării cel puțin douăzeci de ruble este P (a) + P (c) + P (C). Scrisoarea P este indicată de probabilitatea de origine a acestui eveniment, le-am găsit deja în acțiunile anterioare. Rămâne doar pentru a plia datele necesare, primim 0,061 în răspuns. Acesta este numărul și va fi un răspuns la întrebarea sarcinii.

Carte de card

Sarcinile pe teoria probabilității sunt mai complexe, de exemplu, luați următoarea sarcină. Înainte de tine o punte din treizeci și șase de cărți. Sarcina dvs. este de a scoate două hărți la rând fără agitare un teanc, prima și a doua carduri trebuie să fie ași, costumul nu are nimic.

Pentru a începe, găsim probabilitatea ca prima carte să fie Ace, pentru că patru diviziuni timp de treizeci și șase. L-am amânat deoparte. Dați al doilea card, va fi Ace cu probabilitatea a trei treizeci de cincimi. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment depinde de ce hartă am tras primul, ne întrebăm, a fost Ace sau nu. Din aceasta rezultă că evenimentul depinde de eveniment A.

Următoarea acțiune găsim probabilitatea de implementare simultană, adică cu o pliere A și B. Munca lor este după cum urmează: probabilitatea unui eveniment se înmulțește cu probabilitatea condiționată de alta, pe care o calculam, presupunând că primul eveniment sa întâmplat , adică am tras primul la Ace.

Pentru a deveni totul clar, oferim desemnarea unui astfel de element ca evenimente. Se calculează, presupunând că evenimentul este ceea ce sa întâmplat. Se calculează după cum urmează: P (v / a).

Să continuăm soluția problemei noastre: P (A * C) \u003d P (A) * P (IN / A) sau P (A * C) \u003d P (C) * P (A / C). Probabilitatea este egală (4/36) * ((3/35) / (4/36). Calculați, rotunjit la sute. Avem: 0,11 * (0,09 / 0,11) \u003d 0,11 * 0, 82 \u003d 0,09. Probabilitatea Că ne extindem două ași la rând este nouă sute. Valoarea este foarte mică, rezultă din aceasta că probabilitatea evenimentului este extrem de mică.

Numărul uitat

Vă propunem să dezasamblați mai multe opțiuni pentru sarcini care studiază teoria probabilității. Exemple de rezolvare a unora dintre ei ați văzut deja în acest articol, încercați să rezolvați următoarea sarcină: băiatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon al prietenului său, dar din moment ce apelul a fost foarte important, apoi a început să recruteze totul la rândul său . Trebuie să calculăm probabilitatea ca acesta să sune nu mai mult de trei ori. Problema problemei este cea mai simplă, dacă sunt cunoscute regulile, legile și axiomele teoriei probabilității.

Înainte de a viziona o soluție, încercați să vă rezolvați. Știm că ultima cifră poate fi de la zero la nouă, adică există doar zece valori. Probabilitatea de a introduce acest lucru este de 1/10.

Apoi, trebuie să luăm în considerare opțiunile pentru originea evenimentului, să presupunem că băiatul ghici și a câștigat imediat probabilitatea, probabilitatea unui astfel de eveniment este de 1/10. A doua opțiune: primul clopot al alunecării și al doilea la țintă. Calculați probabilitatea unui astfel de eveniment: 9/10 multiplicați cu 1/9, ca rezultat obținem și 1/10. A treia opțiune: primul și al doilea apel nu au fost la adresa, numai de la al treilea băiat a ajuns acolo unde dorea. Calculați probabilitatea unui astfel de eveniment: 9/10 multiplicați pe 8/9 și 1/8, primim 1/10 ca rezultat. Alte opțiuni în condițiile sarcinii nu sunt interesate de noi, am rămas pliate de rezultate, ca rezultat avem 3/10. Răspuns: Probabil ca băiatul să sune nu mai mult de trei ori este egal cu 0,3.

Cărți cu numere

Există nouă cărți în fața dvs., fiecare dintre care este scris numărul de la unul la nouă, numerele nu sunt repetate. Au fost puse în cutie și amestecate cu atenție. Trebuie să calculați probabilitatea ca

• numărul chiar va cădea;
• două cifre.

Înainte de a trece la soluție, vom discuta că M este numărul de cazuri de succes, iar N este numărul total de opțiuni. Considerăm probabilitatea ca numărul să fie chiar. Nu este dificil să se calculeze că chiar patru numere, acesta va fi M, totul este posibil nouă opțiuni, adică M \u003d 9. Atunci probabilitatea este de 0,44 sau 4/9.

Considerăm al doilea caz: numărul de opțiuni pentru nouă și nu pot exista rezultate reușite deloc, adică M este zero. Probabilitatea ca cardul alungit să conțină un număr din două cifre, același lucru este egal cu zero.