1 vibrații mecanice. Vibrații mecanice (școală de bază). Conform variantei de interacțiune cu mediul
1. Oscilații. Fluctuații periodice. Vibrații armonice.
2. Vibrații libere. Oscilații continue și amortizate.
3. Vibrații forțate. Rezonanţă.
4. Compararea proceselor oscilatorii. Energia vibrațiilor armonice susținute.
5. Auto-oscilații.
6. Oscilațiile corpului uman și înregistrarea lor.
7. Concepte și formule de bază.
8. Sarcini.
1.1. Fluctuații. Fluctuații periodice.
Vibrații armonice
Fluctuații se numesc procese care diferă în diferite grade de repetabilitate.
Recurent procesele apar continuu în interiorul oricărui organism viu, de exemplu: contracțiile inimii, funcția pulmonară; tremurăm când ne este frig; auzim și vorbim din cauza vibrațiilor timpanelor și a corzilor vocale; când mergem, picioarele noastre oscilează. Atomii din care suntem făcuți vibrează. Lumea în care trăim este surprinzător de predispusă la ezitare.
În funcție de natura fizică a procesului de repetare, se disting oscilații: mecanice, electrice etc. Această prelegere discută vibrații mecanice.
Fluctuații periodice
Periodic numite astfel de fluctuații în care toate caracteristicile mișcării se repetă după o anumită perioadă de timp.
Pentru oscilațiile periodice, se utilizează următoarele caracteristici:
perioada de oscilație T, egal cu timpul în care apare o oscilație completă;
frecvența vibrațiilorν, egal cu numărul de oscilații realizate într-o secundă (ν = 1 / T);
amplitudinea vibrațiilor A, egal cu deplasarea maximă din poziția de echilibru.
Vibrații armonice
Un loc special printre oscilațiile periodice îl ocupă armonic fluctuații. Importanța lor se datorează următoarelor motive. În primul rând, oscilațiile în natură și în tehnologie au adesea un caracter foarte apropiat de armonic și, în al doilea rând, procesele periodice de o formă diferită (cu o dependență diferită de timp) pot fi reprezentate ca suprapunerea mai multor oscilații armonice.
Vibrații armonice- acestea sunt fluctuații în care valoarea observată se modifică în timp în conformitate cu legea sinusului sau cosinusului:
În matematică, funcțiile de acest fel sunt numite armonic, prin urmare, oscilațiile descrise de astfel de funcții sunt numite și armonice.
Poziția corpului care efectuează mișcarea oscilatorie se caracterizează prin deplasare relativ la poziția de echilibru. În acest caz, cantitățile incluse în formula (1.1) au următoarea semnificație:
NS- părtinire corpuri la momentul t;
A - amplitudine fluctuații egale cu deplasarea maximă;
ω - frecvența circulară oscilații (numărul de oscilații efectuate în 2 π secunde) asociate cu frecvența vibrațiilor prin raport
φ = (ωt +φ 0) - fază fluctuații (la momentul t); φ 0 - faza initiala oscilații (la t = 0).
Orez. 1.1. Graficele de deplasare a timpului pentru x (0) = A și x (0) = 0
1.2. Vibrații libere. Oscilații continue și amortizate
Liber sau proprii sunt numite astfel de vibrații care apar în sistem, lăsate pentru sine, după ce a fost îndepărtat din poziția de echilibru.
Un exemplu este vibrațiile unei mingi suspendate de un fir. Pentru a provoca vibrații, trebuie să împingeți mingea sau, luând-o în lateral, eliberați-o. La împingere, mingea este spusă cinetică energie, iar în caz de abatere - potenţial.
Vibrațiile libere sunt efectuate datorită furnizării inițiale de energie.
Vibrații nete amortizate
Vibrațiile libere pot fi continue numai în absența forței de frecare. În caz contrar, furnizarea inițială de energie va fi cheltuită pentru a o depăși, iar gama de fluctuații va scădea.
De exemplu, luați în considerare vibrațiile unui corp suspendat pe un arc fără greutate care apar după ce corpul este deviat în jos și apoi eliberat (Fig. 1.2).
Orez. 1.2. Vibrațiile corpului pe un arc
Din partea arcului întins, corpul acționează forță elastică F proporțional cu cantitatea de deplasare NS:
Factorul constant k se numește rata primăveriiși depinde de mărimea și materialul său. Semnul „-” indică faptul că forța elastică este întotdeauna direcționată în direcția opusă direcției de deplasare, adică la poziția de echilibru.
În absența fricțiunii, forța elastică (1.4) este singura forță care acționează asupra corpului. Conform celei de-a doua legi a lui Newton (ma = F):
După transferarea tuturor termenilor în partea stângă și împărțirea la masa corpului (m), obținem ecuația diferențială a vibrațiilor libere în absența fricțiunii:
Valoarea ω 0 (1,6) s-a dovedit a fi egală cu frecvența ciclică. Această frecvență se numește proprii.
Astfel, vibrațiile libere în absența fricțiunii sunt armonice dacă, la abaterea de la poziția de echilibru, forță elastică(1.4).
Circular propriu frecvența este principala caracteristică a oscilațiilor armonice libere. Această valoare depinde numai de proprietățile sistemului oscilator (în cazul analizat, de masa corpului și rigiditatea arcului). În cele ce urmează, simbolul ω 0 va fi întotdeauna folosit pentru a indica frecvența circulară naturală(adică frecvența cu care ar apărea oscilațiile în absența forței de frecare).
Amplitudinea vibrațiilor libere este determinat de proprietățile sistemului oscilator (m, k) și de energia care i se conferă în momentul inițial al timpului.
În absența fricțiunii, oscilațiile libere, apropiate de cele armonice, apar și în alte sisteme: pendule matematice și fizice (teoria acestor probleme nu este luată în considerare) (Fig. 1.3).
Pendul matematic- un corp mic (punct material), suspendat pe un fir fără greutate (Fig. 1.3 a). Dacă firul este deviat din poziția de echilibru cu un unghi mic (până la 5 °) α și eliberat, atunci corpul va oscila cu o perioadă determinată de formulă
unde L este lungimea firului, g este accelerația gravitației.
Orez. 1.3. Pendul matematic (a), pendul fizic (b)
Pendul fizic- un corp rigid oscilând sub acțiunea gravitației în jurul unei axe orizontale fixe. Figura 1.3 b prezintă schematic un pendul fizic sub forma unui corp de formă arbitrară, deviat din poziția de echilibru printr-un unghi α. Perioada de oscilație a unui pendul fizic este descrisă prin formulă
unde J este momentul de inerție al corpului în jurul axei, m este masa, h este distanța dintre centrul de greutate (punctul C) și axa suspensiei (punctul O).
Momentul de inerție este o cantitate care depinde de masa corpului, de dimensiunea și poziția acestuia în raport cu axa de rotație. Momentul de inerție este calculat folosind formule speciale.
Oscilații amortizate gratuite
Forțele de frecare care acționează în sistemele reale schimbă semnificativ natura mișcării: energia sistemului oscilator este în continuă scădere, iar oscilațiile fie se estompeze sau nu apar deloc.
Forța de rezistență este direcționată în direcția opusă mișcării corpului și la viteze nu foarte mari este proporțională cu magnitudinea vitezei:
Graficul acestor fluctuații este prezentat în Fig. 1.4.
Ca o caracteristică a gradului de atenuare, se numește o cantitate adimensională decrement de amortizare logaritmicăλ.
Orez. 1.4. Deplasare versus timp pentru oscilații amortizate
Decrement de amortizare logaritmică este egal cu logaritmul natural al raportului dintre amplitudinea oscilației anterioare și amplitudinea oscilației ulterioare.
unde i este numărul ordinal al vibrației.
Este ușor de văzut că scăderea de amortizare logaritmică se găsește prin formulă
Atenuare puternică. La
dacă condiția β ≥ ω 0 este îndeplinită, sistemul revine la poziția de echilibru fără a vibra. Această mișcare se numește aperiodic. Figura 1.5 prezintă două modalități posibile de a reveni la poziția de echilibru în timpul mișcării aperiodice.
Orez. 1.5. Mișcare periodică
1.3. Vibrații forțate, rezonanță
Vibrațiile libere în prezența forțelor de frecare sunt amortizate. Oscilațiile continue pot fi create folosind influențe externe periodice.
Forţat se numesc astfel de oscilații, timp în care sistemul oscilant este expus unei forțe periodice externe (se numește forță motrice).
Să se schimbe forța motrice conform legii armonice
Graficul oscilației forțate este prezentat în Fig. 1.6.
Orez. 1.6. Diagrama deplasării în funcție de timp pentru oscilațiile forțate
Se vede că amplitudinea oscilațiilor forțate atinge valoarea stării de echilibru treptat. Vibrațiile forțate în stare staționară sunt armonice, iar frecvența lor este egală cu frecvența forței motrice:
Amplitudinea (A) a oscilațiilor forțate în stare staționară se găsește prin formula:
Rezonanţă se numește realizarea amplitudinii maxime a vibrațiilor forțate la o anumită valoare a frecvenței forței motrice.
Dacă condiția (1.18) nu este îndeplinită, atunci rezonanța nu apare. În acest caz, odată cu creșterea frecvenței forței motrice, amplitudinea oscilațiilor forțate scade monoton, tindând la zero.
Dependența grafică a amplitudinii A a oscilațiilor forțate de frecvența circulară a forței motrice la diferite valori ale coeficientului de amortizare (β 1> β 2> β 3) este prezentată în Fig. 1.7. Acest set de grafice se numește curbe de rezonanță.
În unele cazuri, o creștere puternică a amplitudinii vibrațiilor la rezonanță este periculoasă pentru puterea sistemului. Există cazuri în care rezonanța a dus la distrugerea structurilor.
Orez. 1.7. Curbele de rezonanță
1.4. Compararea proceselor oscilatorii. Energia vibrațiilor armonice susținute
Tabelul 1.1 prezintă caracteristicile proceselor oscilatorii considerate.
Tabelul 1.1. Caracteristicile vibrațiilor libere și forțate
Energia vibrațiilor armonice susținute
Un corp care efectuează vibrații armonice are două tipuri de energie: energia cinetică a mișcării E k = mv 2/2 și energia potențială E p asociată cu acțiunea unei forțe elastice. Se știe că sub acțiunea unei forțe elastice (1.4), energia potențială a unui corp este determinată de formula E n = kx 2/2. Pentru vibrații susținute NS= A cos (ωt), iar viteza corpului este determinată de formulă v= - А ωsin (ωt). Din aceasta, se obțin expresii pentru energiile unui corp care efectuează oscilații continue:
Energia totală a sistemului, în care apar oscilații armonice continue, este alcătuită din aceste energii și rămâne neschimbată:
Aici m este masa corpului, ω și A sunt frecvența circulară și amplitudinea vibrațiilor, k este coeficientul de elasticitate.
1.5. Auto-oscilații
Există astfel de sisteme care reglează ele însele reaprovizionarea periodică a energiei pierdute și, prin urmare, pot fluctua mult timp.
Auto-oscilații- oscilații neamortizate, susținute de o sursă externă de energie, al cărei flux este reglat de sistemul oscilant însuși.
Se numesc sisteme în care apar astfel de oscilații auto-oscilant. Amplitudinea și frecvența auto-oscilațiilor depind de proprietățile sistemului auto-oscilant. Un sistem auto-oscilant poate fi reprezentat de următoarea diagramă:
În acest caz, sistemul oscilator în sine acționează ca un canal de feedback asupra regulatorului de energie, informându-l despre starea sistemului.
Părere se numește impactul rezultatelor oricărui proces asupra cursului său.
Dacă un astfel de impact duce la o creștere a intensității procesului, atunci feedback-ul este apelat pozitiv. Dacă impactul duce la o scădere a intensității procesului, atunci se apelează la feedback negativ.
Într-un sistem auto-oscilant, pot fi prezenți feedback pozitiv și negativ.
Un exemplu de sistem auto-oscilant este un ceas în care pendulul primește șocuri datorită energiei unei greutăți ridicate sau a unui arc răsucit, iar aceste șocuri apar în acele momente în care pendulul trece prin poziția de mijloc.
Un exemplu de sisteme biologice auto-oscilante sunt organele precum inima și plămânii.
1.6. Vibrațiile corpului uman și înregistrarea lor
Analiza vibrațiilor create de corpul uman sau de părțile sale individuale este utilizată pe scară largă în practica medicală.
Mișcări oscilatorii ale corpului uman la mers
Mersul este un proces locomotor periodic complex rezultat din activitatea coordonată a mușchilor scheletici ai trunchiului și membrelor. Analiza procesului de mers oferă multe caracteristici de diagnostic.
O caracteristică a mersului este frecvența poziției de sprijin cu un picior (perioada de sprijin unic) sau două picioare (perioada de sprijin dublu). În mod normal, raportul acestor perioade este de 4: 1. Când mergeți, există o deplasare periodică a centrului de masă (CM) de-a lungul axei verticale (în mod normal cu 5 cm) și o abatere laterală (în mod normal cu 2,5 cm). În acest caz, CM se deplasează de-a lungul unei curbe, care poate fi reprezentată aproximativ de o funcție armonică (Fig. 1.8).
Orez. 1.8. Deplasarea verticală a CM a corpului uman în timpul mersului
Mișcări oscilatorii complexe menținând în același timp o poziție verticală a corpului.
O persoană în picioare are oscilații complexe ale centrului general de masă (GCM) și al centrului de presiune (CP) al picioarelor pe planul de sprijin. Analiza acestor fluctuații se bazează pe statokinesimetrie- o metodă de evaluare a capacității unei persoane de a menține o postură verticală. Prin păstrarea proiecției GCM în coordonatele graniței zonei de sprijin. Această metodă este implementată folosind un analizor stabilometric, a cărui parte principală este o stabiloplatformă, pe care subiectul se află în poziție verticală. Oscilațiile făcute de CP-ul subiectului, menținând în același timp o poziție verticală, sunt transmise la stabiloplatform și înregistrate de tensometre speciale. Semnalele celulei de sarcină sunt transmise dispozitivului de înregistrare. În acest caz, este scris statokinesigram - traiectoria mișcării CP a subiectului testat pe un plan orizontal într-un sistem bidimensional de coordonate. Spectrul armonic statokinesigrame se poate judeca particularitățile verticalizării în normă și în cazul abaterilor de la aceasta. Această metodă vă permite să analizați indicatorii de stabilitate statokinetică (SKU) ai unei persoane.
Vibrații mecanice ale inimii
Există diferite metode de examinare a inimii, care se bazează pe procese periodice mecanice.
Balistocardiografie(BCG) este o metodă pentru studierea manifestărilor mecanice ale activității cardiace, bazată pe înregistrarea micromovărilor pulsului corpului, cauzată de ejectarea unei apăsări de sânge din ventriculii inimii în vase mari. În acest caz, apare fenomenul recul. Corpul uman este așezat pe o platformă mobilă specială situată pe o masă staționară masivă. Platforma, ca urmare a reculului, intră într-o mișcare oscilatorie complexă. Dependența deplasării la timp a platformei de corp se numește balistocardiogramă (Fig. 1.9), a cărei analiză face posibilă judecarea mișcării sângelui și a stării activității cardiace.
Apexcardiografie(AKG) este o metodă de înregistrare grafică a oscilațiilor cu frecvență joasă a pieptului în zona impulsului apical cauzată de activitatea inimii. Înregistrarea unei apexcardiograme se efectuează, de regulă, pe o electrocardiogramă multicanal.
Orez. 1.9.Înregistrare balistocardiogramă
ograph folosind un senzor piezocristalin, care este un convertor de vibrații mecanice în electrice. Înainte de a înregistra pe peretele toracic anterior, palparea determină punctul de pulsație maximă (impuls apical), în care este fixat senzorul. O apexcardiogramă este construită automat în funcție de semnalele senzorului. Se efectuează o analiză a amplitudinii ACG - amplitudinile curbei sunt comparate la diferite faze ale inimii cu o abatere maximă de la linia zero - segmentul EO, luat ca 100%. Figura 1.10 prezintă o apexcardiogramă.
Orez. 1.10.Înregistrarea apexcardiogramei
Kinetocardiografie(KKG) - o metodă de înregistrare a vibrațiilor de joasă frecvență ale peretelui toracic cauzate de activitatea cardiacă. O kinetocardiogramă diferă de o apexcardiogramă: prima înregistrează o înregistrare a mișcărilor absolute ale peretelui toracic în spațiu, a doua înregistrează vibrațiile spațiului intercostal în raport cu coastele. În această metodă, se determină deplasarea (KKG x), viteza de mișcare (KKG v) și accelerația (KKG a) pentru oscilațiile toracice. Figura 1.11 prezintă o comparație a diferitelor kinetocardiograme.
Orez. 1.11.Înregistrarea kinetocardiogramelor de deplasare (x), viteză (v), accelerație (a)
Dinamocardiografie(DCG) - o metodă de evaluare a mișcării centrului de greutate al pieptului. Dinamocardiograful vă permite să înregistrați forțele care acționează din partea laterală a pieptului uman. Pentru a înregistra o dinamocardiogramă, pacientul este așezat pe o masă întinsă pe spate. Sub piept există un dispozitiv de detectare, care constă din două plăci metalice rigide de 30x30 cm, între care există elemente elastice cu tensometre atașate la ele. Variind periodic în mărime și loc de aplicare, sarcina care acționează asupra dispozitivului de detectare este compusă din trei componente: 1) componentă constantă - masa pieptului; 2) variabilă - efectul mecanic al mișcărilor respiratorii; 3) variabil - procese mecanice care însoțesc contracția inimii.
Dinamocardiograma este înregistrată în timp ce țineți respirația pacientului în două direcții: în raport cu axele longitudinale și transversale ale dispozitivului receptor. Compararea diferitelor dinamocardiograme este prezentată în Fig. 1.12.
Seismocardiografie pe baza înregistrării vibrațiilor mecanice ale corpului uman cauzate de munca inimii. În această metodă, cu ajutorul senzorilor instalați în regiunea bazei procesului xifoid, se înregistrează un impuls cardiac datorită activității mecanice a inimii în timpul perioadei de contracție. În acest caz, există procese asociate cu activitatea mecanoreceptorilor tisulari ai patului vascular, care se activează atunci când volumul de sânge circulant scade. Semnalul cardiac seismic formează forma oscilațiilor sternului.
Orez. 1.12.Înregistrarea dinamocardiogramelor longitudinale normale (a) și transversale (b)
Vibrații
Introducerea pe scară largă a diferitelor mașini și mecanisme în viața umană crește productivitatea muncii. Cu toate acestea, activitatea multor mecanisme este asociată cu apariția vibrațiilor care sunt transmise unei persoane și au un efect nociv asupra acesteia.
Vibrații- vibrațiile forțate ale corpului, în care fie întregul corp vibrează ca întreg, fie părțile sale separate vibrează cu amplitudini și frecvențe diferite.
O persoană experimentează constant diferite tipuri de influențe vibraționale în transport, în producție, în viața de zi cu zi. Vibrațiile care au apărut în orice parte a corpului (de exemplu, mâna unui muncitor care ține un ciocan) se propagă în tot corpul sub formă de unde elastice. Aceste unde provoacă deformări variabile de diferite tipuri (compresie, întindere, forfecare, îndoire) în țesuturile corpului. Efectul vibrațiilor asupra unei persoane se datorează multor factori care caracterizează vibrațiile: frecvența (spectrul de frecvență, frecvența fundamentală), amplitudinea, viteza și accelerația unui punct oscilant, energia proceselor oscilatorii.
Expunerea prelungită la vibrații provoacă tulburări permanente în funcțiile fiziologice normale ale corpului. Poate apărea boală prin vibrații. Această boală duce la o serie de tulburări grave în corpul uman.
Influența pe care vibrațiile o au asupra corpului depinde de intensitatea, frecvența, durata vibrațiilor, locul aplicării și direcția lor în raport cu corpul, postura, precum și de starea persoanei și de caracteristicile sale individuale.
Oscilațiile cu o frecvență de 3-5 Hz provoacă reacții ale aparatului vestibular, tulburări vasculare. La frecvențe de 3-15 Hz, se observă tulburări asociate cu vibrații rezonante ale organelor individuale (ficat, stomac, cap) și corpul în ansamblu. Fluctuațiile cu frecvențe de 11-45 Hz provoacă insuficiență vizuală, greață și vărsături. La frecvențe care depășesc 45 Hz, apar leziuni ale vaselor creierului, afectarea circulației sanguine etc. Figura 1.13 prezintă zonele frecvențelor de vibrații care au un efect dăunător asupra unei persoane și a sistemelor organelor sale.
Orez. 1.13. Intervalele de frecvență ale efectelor nocive ale vibrațiilor asupra oamenilor
În același timp, în unele cazuri, vibrațiile sunt utilizate în medicină. De exemplu, folosind un vibrator special, medicul dentist pregătește amalgamul. Utilizarea dispozitivelor vibratoare de înaltă frecvență face posibilă găurirea unei găuri cu o formă complexă în dinte.
Vibrația este folosită și în masaj. În timpul masajului manual, țesuturile masate sunt setate în mișcare vibrațională cu ajutorul mâinilor maseurului. În timpul masajului hardware, se folosesc vibratoare, în care sunt folosite vârfuri de diferite forme pentru a transmite mișcări vibraționale către corp. Aparatele de vibrații sunt împărțite în aparate pentru vibrații generale care scutură întregul corp („scaun”, „pat”, „platformă” etc.) și aparate pentru impactul vibrațiilor locale asupra anumitor părți ale corpului.
Mecanoterapie
În exercițiile de fizioterapie (terapia exercițiilor), se utilizează simulatoare, pe care se efectuează mișcări oscilatorii ale diferitelor părți ale corpului uman. Sunt folosite în mecanoterapie - formă de terapie prin efort, una dintre sarcinile căreia este implementarea unor exerciții fizice dozate, repetitive ritmice, pentru a antrena sau restabili mobilitatea articulațiilor pe aparate de tip pendul. Baza acestor dispozitive este una de echilibrare (din fr. echilibrist- leagăn, balans) un pendul, care este o pârghie cu două brațe care efectuează mișcări oscilatorii (oscilante) în jurul unei axe fixe.
1.7. Concepte și formule de bază
Continuarea tabelului
Continuarea tabelului
Sfârșitul mesei
1.8. Sarcini
1. Dați exemple de sisteme vibraționale umane.
2. La un adult, inima bate 70 pe minut. Determinați: a) frecvența contracțiilor; b) numărul reducerilor în 50 de ani
Răspuns: a) 1,17 Hz; b) 1,84x10 9.
3. Cât trebuie să aibă un pendul matematic pentru ca perioada sa de oscilație să fie egală cu 1 secundă?
4.
O tijă subțire, dreaptă, omogenă de 1 m lungime este suspendată de capăt pe o axă. Determinați: a) care este perioada oscilațiilor sale (mici)? b) care este lungimea unui pendul matematic cu aceeași perioadă de oscilație?
5.
Un corp care cântărește 1 kg vibrează conform legii x = 0,42 cos (7,40t), unde t se măsoară în secunde, iar x este în metri. Găsiți: a) amplitudinea; b) frecvența; c) energie deplină; d) energii cinetice și potențiale la x = 0,16 m.
6.
Estimați viteza cu care o persoană merge cu un pas lung l= 0,65 m. Lungimea piciorului L = 0,8 m; centrul de greutate este la o distanță H = 0,5 m de picior. Pentru momentul inerției piciorului față de articulația șoldului, utilizați formula I = 0,2 ml 2.
7.
Cum puteți determina masa unui corp mic la bordul unei stații spațiale dacă aveți la dispoziție un ceas, un arc și un set de greutăți?
8.
Amplitudinea oscilațiilor amortizate scade în 10 oscilații cu 1/10 din valoarea sa inițială. Perioada de oscilație este T = 0,4 s. Determinați decrementul logaritmic și factorul de amortizare.
Vibrații mecanice
1. Vibrații mecanice
1.1 Vibrații mecanice: vibrații armonice, amortizate și forțate
1.2 Auto-oscilații
1.3 Descompunerea vibrațiilor într-un spectru armonic. Aplicație de analiză armonică pentru procesarea datelor de diagnosticare
1.4 Undele mecanice, tipurile lor și viteza de propagare
1.5 Caracteristicile energetice ale undei
Lista surselor utilizate
1. Vibrații mecanice
1.1 Vibrații mecanice: vibrații armonice, amortizate și forțate
Oscilațiile sunt procese care diferă în diferite grade de repetare (oscilația unui pendul de ceas, vibrațiile unui șir sau picioarele furcii de reglare, tensiunea între plăcile condensatorului într-un circuit al receptorului radio, funcționarea inimii).
În funcție de natura fizică a procesului de repetare, se disting oscilații: mecanice, electromagnetice, electromecanice etc. Vom lua în considerare vibrațiile mecanice. Oscilațiile care apar în absența fricțiunii și a forțelor externe sunt numite adecvate; frecvența lor depinde doar de proprietățile sistemului.
Cele mai simple sunt vibrațiile armonice, adică astfel de fluctuații în care cantitatea fluctuantă (de exemplu, devierea unui pendul) se schimbă în timp conform legii sinusului sau cosinusului.
Ecuația diferențială a oscilației armonice
Luați în considerare cel mai simplu sistem oscilator: o bilă de masă m este suspendată de un arc.
În acest caz, forța elastică F1 echilibrează forța gravitațională mg. Dacă mutați mingea la distanță NS, atunci o forță elastică mare va acționa asupra ei (F 1 + F). Modificarea forței elastice conform legii lui Hooke este proporțională cu modificarea lungimii arcului sau a deplasării mingii x:
unde k este rigiditatea arcului. Semnul „-” reflectă faptul că deplasarea și forța au direcții opuse.
unde (w 0 t + a 0) = a este faza de oscilație; a 0 - faza inițială la t = 0; w 0 - frecvența circulară a vibrațiilor; A este amplitudinea lor.
Deci, prejudecata x se schimbă în timp în conformitate cu legea cosinusului.
În consecință, mișcarea unui sistem sub acțiunea unei forțe de forma f = - kx este o oscilație armonică.
Pentru un pendul de primăvară obținem:
Frecvența circulară este legată de raportul obișnuit n :.
Energie la vibrații armonice
Haideți să aflăm cum este cinetica Еkși potențial Ep energie de vibrație armonică. Energia cinetică este egală cu:
, (4)unde k = m w 0 2.
Găsim energia potențială din formula energiei potențiale pentru deformarea elastică și folosind (3):
(5)Adăugarea (4) și (5), luând în considerare relația
, primim:E = E K + E P =
. (6)Astfel, energia totală a unei vibrații armonice rămâne constantă în absența forțelor de frecare; în timpul procesului oscilator, energia cinetică este convertită în energie potențială și invers.
Oscilații amortizate
Oscilațiile care apar în sistem în absența forțelor externe (dar în prezența fricțiunii sau a pierderilor de radiații) sunt numite libere. Frecvența de vibrație liberă depinde de proprietățile sistemului și de intensitatea pierderilor.
Prezența fricțiunii duce la oscilații amortizate. Oscilațiile cu amplitudine descrescătoare se numesc amortizate.
Să presupunem că, pe lângă forța cvasi-elastică, forțele de rezistență ale mediului (fricțiune) acționează asupra sistemului, atunci a doua lege a lui Newton are forma:
. (7)Ne limităm să luăm în considerare oscilații mici, atunci viteza sistemului va fi mică, iar la viteze mici, forța de tracțiune este proporțională cu valoarea vitezei:
, (8)unde r este coeficientul de rezistență al mediului. Semn " - „datorită faptului că F tr și V au direcții opuse.
Înlocuiți (8) cu (7). Atunci
sauDenotăm
,
unde b este coeficientul de amortizare, w 0 este frecvența unghiulară a vibrațiilor naturale. Atunci
Soluția acestei ecuații depinde în esență de semnul diferenței: w 2 = w 0 2 -b 2, unde w este frecvența circulară a oscilațiilor amortizate. În condiția w 0 2 -b 2> 0, w este o valoare reală și soluția (3) va fi după cum urmează:
Graficul acestei funcții este prezentat în figură.
Orez. 2. Oscilații amortizate.
Linia punctată arată schimbarea amplitudinii: A = ± A 0 e - b t.
Perioada oscilațiilor amortizate depinde de coeficientul de frecare și este egală cu:
(11)Cu o rezistență nesemnificativă a mediului (b2< Din formula care exprimă legea descompunerii amplitudinii oscilațiilor, ne putem asigura că raportul amplitudinilor separate între ele printr-un interval de o perioadă (T) rămâne constant pe tot parcursul procesului de amortizare. Într-adevăr, amplitudinile vibrațiilor, separate printr-un interval de o perioadă, sunt exprimate după cum urmează: Această relație se numește
această relație:
Această valoare se numește decrement de amortizare logaritmică pentru perioadă.
Cu o puternică amortizare b 2> w02, rezultă din formula (11) că perioada de oscilație este o valoare imaginară. În acest caz, mișcarea este de natură aperiodică (non-periodică) - sistemul scos din poziția de echilibru revine la poziția de echilibru fără a vibra. Care dintre aceste moduri în care sistemul ajunge la echilibru depinde de condițiile inițiale.
Vibrații forțate. Rezonanţă
Forţat se numesc astfel de oscilații care apar într-un sistem oscilator sub acțiunea unei forțe externe care se schimbă periodic (forța motrice). Să se schimbe forța motrice cu timpul conform legii armonice: f = F0 cosW t, unde F0 este amplitudinea, W este frecvența circulară a forței motrice.
La elaborarea ecuației mișcării, este necesar să se ia în considerare, pe lângă forța motrice, și acele forțe care acționează în sistem în timpul oscilațiilor libere, adică forța cvasi-elastică și forța de rezistență a mediu. Apoi ecuația mișcării (a doua lege a lui Newton) va fi scrisă după cum urmează:
Împărțind această ecuație cu m și transferând termenii cu dx și d 2 x pe partea stângă, obținem o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi.
Caracteristica oscilației
Fază determină starea sistemului și anume coordonatele, viteza, accelerația, energia etc.
Frecvența ciclică caracterizează rata de schimbare în faza de oscilații.
Starea inițială a sistemului oscilator este caracterizată prin faza initiala
Amplitudinea oscilației A este cea mai mare deplasare din poziția de echilibru
Perioada T- Aceasta este perioada de timp în care punctul efectuează un full swing.
Frecvența oscilației este numărul de oscilații complete pe unitate de timp t.
Frecvența, frecvența ciclică și perioada de oscilație sunt legate ca
Tipuri de vibrații
Se numesc oscilații care apar în sistemele închise liber sau proprii fluctuații. Se numesc oscilații care apar sub influența forțelor externe forţat... De asemenea, întâlniți-vă auto-oscilații(forțat automat).
Dacă luăm în considerare oscilațiile în funcție de caracteristicile schimbătoare (amplitudine, frecvență, perioadă etc.), atunci ele pot fi împărțite în armonic, decolorare, creştere(și, de asemenea, din fierăstrău, dreptunghiular, complex).
Cu vibrații libere în sistemele reale, apar întotdeauna pierderi de energie. Energia mecanică este consumată, de exemplu, pentru a efectua lucrări de depășire a forțelor de rezistență la aer. Sub influența forței de frecare, amplitudinea oscilațiilor scade, iar după un timp oscilațiile se opresc. Evident, cu cât sunt mai multe forțe de rezistență la mișcare, cu atât oscilațiile se opresc mai repede.
Vibrații forțate. Rezonanţă
Vibrațiile forțate nu sunt amortizante. Prin urmare, este necesar să se compenseze pierderile de energie pentru fiecare perioadă de oscilație. Pentru a face acest lucru, este necesar să se acționeze asupra corpului oscilant cu o forță care se schimbă periodic. Vibrațiile forțate sunt efectuate cu o frecvență egală cu frecvența modificărilor forței externe.
Vibrații forțate
Amplitudinea vibrațiilor mecanice forțate atinge cea mai mare valoare dacă frecvența forței motrice coincide cu frecvența sistemului vibrațional. Acest fenomen se numește rezonanţă.
De exemplu, dacă tragi periodic cablul în timp cu vibrațiile sale naturale, atunci vom observa o creștere a amplitudinii vibrațiilor sale.
Dacă mutați un deget umed de-a lungul marginii paharului, paharul va emite un sunet. Deși imperceptibil, degetul se mișcă intermitent și transferă energie către sticlă în porțiuni scurte, provocând vibrația sticlei.
Pereții sticlei încep, de asemenea, să vibreze dacă o undă sonoră este direcționată către aceasta cu o frecvență egală cu a sa. Dacă amplitudinea devine foarte mare, geamul se poate rupe chiar. Datorită rezonanței din timpul cântării lui F.I. Chaliapin, pandantivele de cristal ale candelabrelor tremurau (rezonau). Rezonanța poate fi văzută și în baie. Dacă cânți încet sunete de frecvențe diferite, atunci rezonanța va apărea la una dintre frecvențe.
În instrumentele muzicale, rolul rezonatorilor este jucat de părți ale corpului lor. O persoană are și propriul său rezonator - aceasta este cavitatea bucală, care amplifică sunetele emise.
Fenomenul de rezonanță trebuie luat în considerare în practică. În unele fenomene poate fi util, în altele poate fi dăunător. Fenomenele de rezonanță pot provoca daune ireversibile diferitelor sisteme mecanice, cum ar fi podurile proiectate necorespunzător. Deci, în 1905, Podul Egiptean s-a prăbușit la Sankt Petersburg, când a trecut o escadronă de cai, iar în 1940, Podul Takoma din Statele Unite s-a prăbușit.
Fenomenul rezonanței este utilizat atunci când, cu ajutorul unei forțe mici, este necesar să se obțină o creștere mare a amplitudinii oscilațiilor. De exemplu, limba grea a unui clopot mare poate fi legănată cu o forță relativ mică, cu o frecvență egală cu frecvența naturală a clopotului.
Teme ale codificatorului USE: oscilații armonice; amplitudinea, perioada, frecvența, faza oscilațiilor; vibrații libere, vibrații forțate, rezonanță.
Fluctuații - acestea sunt schimbări în starea sistemului care se repetă în timp. Conceptul de vibrații acoperă o gamă foarte largă de fenomene.
Fluctuații în sisteme mecanice sau vibrații mecanice- Aceasta este o mișcare mecanică a unui corp sau a unui sistem de corpuri, care are o repetabilitate în timp și are loc în vecinătatea poziției de echilibru. Poziția de echilibru se numește o stare a sistemului în care poate rămâne o perioadă de timp arbitrară, fără a experimenta influențe externe.
De exemplu, dacă pendulul este deviat și eliberat, atunci vor începe oscilațiile. Poziția de echilibru este poziția pendulului în absența deformării. În această poziție, pendulul, dacă nu este atins, poate rămâne la nesfârșit. Când oscilează, pendulul trece de multe ori poziția de echilibru.
Imediat după ce pendulul deviat a fost eliberat, acesta a început să se miște, a trecut de poziția de echilibru, a ajuns în poziția extremă opusă, s-a oprit acolo pentru o clipă, s-a deplasat în direcția opusă, a trecut din nou de poziția de echilibru și s-a întors înapoi. S-a întâmplat un lucru plină desfășurare... Mai mult, acest proces va fi repetat periodic.
Amplitudinea vibrațiilor corpului este valoarea celei mai mari abateri de la poziția de echilibru.
Perioada de oscilație - acesta este momentul unei oscilații complete. Putem spune că în această perioadă corpul parcurge o cale de patru amplitudini.
Frecvența oscilației este reciprocul perioadei :. Frecvența este măsurată în hertz (Hz) și arată câte oscilații complete apar într-o secundă.
Vibrații armonice.
Vom presupune că poziția corpului oscilant este determinată de o singură coordonată. Poziția de echilibru corespunde valorii. Sarcina principală a mecanicii în acest caz este de a găsi o funcție care să dea coordonatele corpului în orice moment.
Pentru o descriere matematică a oscilațiilor, este firesc să se utilizeze funcții periodice. Există multe astfel de funcții, dar două dintre ele - sinus și cosinus - sunt cele mai importante. Au multe proprietăți bune și sunt strâns legate de o gamă largă de fenomene fizice.
Deoarece funcțiile sinus și cosinus sunt obținute unele de altele prin deplasarea argumentului cu, vă puteți limita doar la una dintre ele. Vom folosi cosinusul pentru claritate.
Vibrații armonice- acestea sunt oscilații la care coordonata depinde de timp conform legii armonice:
(1)
Să aflăm semnificația cantităților incluse în această formulă.
O valoare pozitivă este cea mai mare valoare a coordonatei în valoare absolută (deoarece valoarea maximă a modulului cosinusului este egală cu una), adică cea mai mare abatere de la poziția de echilibru. Prin urmare - amplitudinea oscilațiilor.
Se numește argumentul cosinusului fază ezitare. Valoarea egală cu valoarea fazei la se numește faza inițială. Faza inițială corespunde coordonatei inițiale a corpului :.
Cantitatea se numește frecvența ciclică... Să găsim legătura acestuia cu perioada de oscilație și frecvența. O oscilație completă corespunde unei creșteri de fază egale cu radianii :, de unde
(2)
(3)
Frecvența ciclică este măsurată în rad / s (radiani pe secundă).
În conformitate cu expresiile (2) și (3), obținem încă două forme de scriere a legii armonice (1):
Graficul funcției (1), exprimând dependența coordonatei de timp cu oscilații armonice, este prezentat în Fig. 1.
Legea armonică a formei (1) este de natură cea mai generală. El răspunde, de exemplu, situațiilor în care două acțiuni inițiale au fost efectuate simultan cu pendulul: l-au deviat cu o cantitate și i-au dat o anumită viteză inițială. Există două cazuri speciale importante când una dintre aceste acțiuni nu a fost efectuată.
Lăsați pendulul să fie deviat, dar viteza inițială nu a fost raportată (eliberată fără viteza inițială). Este clar că, în acest caz, prin urmare, se poate pune. Obținem legea cosinusului:
Graficul oscilațiilor armonice în acest caz este prezentat în Fig. 2.
 |
| Orez. 2. Legea cosinusului |
Să presupunem acum că pendulul nu a fost deviat, dar viteza inițială i-a fost dată de impactul din poziția de echilibru. În acest caz, așa că puteți pune. Obținem legea sinusului:
Graficul oscilației este prezentat în Fig. 3.
 |
| Orez. 3. Legea sinelui |
Ecuația vibrațiilor armonice.
Să revenim la legea armonică generală (1). Distingem această egalitate:
. (4)
Acum diferențiem egalitatea obținută (4):
. (5)
Să comparăm expresia (1) pentru coordonată și expresia (5) pentru proiecția accelerării. Vedem că proiecția accelerației diferă de coordonată numai printr-un factor:
. (6)
Acest raport se numește ecuația vibrației armonice... Poate fi rescris după cum urmează:
. (7)
Din punct de vedere matematic, ecuația (7) este ecuație diferențială... Funcțiile (nu numerele, ca în algebra obișnuită) servesc drept soluții la ecuații diferențiale.
Deci, puteți demonstra că:
O soluție la ecuația (7) este orice funcție a formei (1) cu arbitrar;
Nicio altă funcție nu este o soluție la această ecuație.
Cu alte cuvinte, relațiile (6), (7) descriu oscilațiile armonice cu o frecvență ciclică și numai ele. Două constante sunt determinate din condițiile inițiale - în funcție de valorile inițiale ale coordonatei și vitezei.
Pendul de primăvară.
Pendul de primăvară este o greutate montată pe arc, capabilă să vibreze orizontal sau vertical.
Să găsim perioada micilor oscilații orizontale ale pendulului arcului (Fig. 4). Oscilațiile vor fi mici dacă deformarea arcului este mult mai mică decât dimensiunea sa. Pentru deformări mici, putem folosi legea lui Hooke. Acest lucru va duce la faptul că vibrațiile sunt armonice.
Neglijăm frecarea. Sarcina are o masă, rigiditatea arcului este egală.
Coordonata corespunde poziției de echilibru în care arcul nu este deformat. În consecință, cantitatea de deformare a arcului este egală cu modulul coordonatei sarcinii.
 |
| Orez. 4. Pendul de primăvară |
În direcția orizontală, numai forța arcului acționează asupra sarcinii. A doua lege a lui Newton pentru încărcătura în proiecție pe axă este:
. (8)
Dacă (sarcina este deplasată spre dreapta, ca în figură), atunci forța elastică este direcționată în direcția opusă și. Dimpotrivă, dacă, atunci. Semnele și sunt întotdeauna opuse, astfel încât legea lui Hooke poate fi scrisă după cum urmează:
Atunci relația (8) ia forma:
Am obținut o ecuație a vibrațiilor armonice ale formei (6), în care
Frecvența oscilației ciclice a pendulului arcului este astfel egală cu:
. (9)
De aici și din raport, găsim perioada de oscilații orizontale a pendulului arcului:
. (10)
Dacă suspendați o greutate pe un arc, veți obține un pendul cu arc care oscilează în direcție verticală. Se poate arăta că, în acest caz, formula (10) este valabilă pentru perioada de oscilație.
Pendul matematic.
Pendul matematic este un corp mic suspendat pe un fir inextensibil fără greutate (Fig. 5). Un pendul matematic poate oscila într-un plan vertical într-un câmp gravitațional.
 |
| Orez. 5. Pendul matematic |
Să găsim perioada micilor oscilații a pendulului matematic. Lungimea firului este. Neglijăm rezistența la aer.
Să scriem a doua lege a lui Newton pentru pendul:
și proiectați-l pe axă:
Dacă pendulul ocupă o poziție ca în figură (adică), atunci:
Dacă pendulul se află pe cealaltă parte a poziției de echilibru (adică), atunci:
Deci, pentru orice poziție a pendulului, avem:
. (11)
Când pendulul este în repaus în poziția de echilibru, egalitatea este satisfăcută. Pentru oscilații mici, când abaterile pendulului de la poziția de echilibru sunt mici (în comparație cu lungimea firului), se realizează o egalitate aproximativă. Îl vom folosi în formula (11):
Aceasta este o ecuație a vibrațiilor armonice ale formei (6), în care
În consecință, frecvența ciclică a oscilațiilor unui pendul matematic este egală cu:
. (12)
De aici și perioada de oscilație a pendulului matematic:
. (13)
Vă rugăm să rețineți că formula (13) nu include masa sarcinii. Spre deosebire de un pendul cu arc, perioada de oscilație a unui pendul matematic nu depinde de masa acestuia.
Vibrații libere și forțate.
Ei spun că sistemul da vibrații libere dacă o dată este scos din poziția de echilibru și apoi lăsat pentru sine. Fără extern periodic
În același timp, sistemul nu experimentează nicio influență și nu există surse interne de energie care să susțină oscilațiile din sistem.
Oscilațiile arcului și ale pendulelor matematice considerate mai sus sunt exemple de oscilații libere.
Se numește frecvența cu care apar vibrațiile libere frecventa naturala sistemul oscilator. Deci, formulele (9) și (12) dau frecvențele de oscilație naturale (ciclice) ale arcurilor și ale pendulurilor matematice.
Într-o situație idealizată în absența fricțiunii, oscilațiile libere nu sunt amortizante, adică au o amplitudine constantă și durează la nesfârșit. Fricțiunea este întotdeauna prezentă în sistemele oscilatorii reale, prin urmare oscilațiile libere se umezesc treptat (Fig. 6).
Vibrații forțate- sunt oscilații făcute de sistem sub influența unei forțe externe care se schimbă periodic în timp (așa-numita forță motrice).
Să presupunem că frecvența naturală a oscilațiilor sistemului este egală, iar forța motrice depinde de timp conform legii armonice:
De ceva timp, se stabilesc oscilații forțate: sistemul face o mișcare complexă, care este o impunere a oscilațiilor forțate și libere. Vibrațiile libere se umezesc treptat, iar în starea de echilibru sistemul efectuează vibrații forțate, care se dovedesc, de asemenea, armonice. Frecvența oscilațiilor forțate la starea de echilibru coincide cu frecvența
o forță forțatoare (o forță externă își impune frecvența sistemului, așa cum ar fi).
Amplitudinea oscilațiilor forțate în stare stabilă depinde de frecvența forței motrice. Graficul acestei dependențe este prezentat în Fig. 7.
 |
| Orez. 7. Rezonanță |
Vedem că rezonanța are loc în apropierea frecvenței - fenomenul creșterii amplitudinii oscilațiilor forțate. Frecvența de rezonanță este aproximativ egală cu frecvența naturală a vibrațiilor sistemului, iar această egalitate este îndeplinită cu cât este mai precisă, cu atât este mai puțin frecată în sistem. În absența fricțiunii, frecvența rezonantă coincide cu frecvența naturală a vibrațiilor, iar amplitudinea vibrației crește până la infinit la.
Fluctuații Sunt mișcări sau procese care se repetă exact sau aproximativ la anumite intervale.
Vibrații mecanice fluctuații ale valorilor mecanice (deplasare, viteză, accelerație, presiune etc.).
Vibrațiile mecanice (în funcție de natura forțelor) sunt:
liber;
forţat;
auto-oscilație.
Liber denumite vibrații care apar cu o singură acțiune a unei forțe externe (transfer inițial de energie) și în absența influențelor externe asupra sistemului oscilator.
Gratuit (sau propriu)- acestea sunt oscilații în sistem sub influența forțelor interne, după ce sistemul este scos din starea de echilibru (în condiții reale, oscilațiile libere sunt întotdeauna amortizate).
Condiții de vibrație liberă
1. Sistemul oscilator trebuie să aibă o poziție stabilă de echilibru.
2. Când scoateți sistemul din poziția de echilibru, ar trebui să apară o forță rezultantă care readuce sistemul în poziția sa inițială
3. Forțele de frecare (rezistență) sunt foarte mici.
Vibrații forțate- fluctuațiile care apar sub influența forțelor externe care se schimbă în timp.
Auto-oscilații- oscilații neamortizate în sistem, susținute de surse interne de energie în absența unei forțe variabile externe.
Frecvența și amplitudinea auto-oscilațiilor sunt determinate de proprietățile sistemului oscilator în sine.
Auto-oscilațiile diferă de oscilațiile libere prin independența amplitudinii față de timp și de acțiunea inițială care excită procesul de oscilație.
Sistemul auto-oscilant constă din: un sistem oscilant; sursa de energie; dispozitive de feedback care reglează fluxul de energie dintr-o sursă internă de energie în sistemul oscilator.
Energia primită de la sursă în timpul perioadei este egală cu energia pierdută de sistemul oscilator în același timp.
Vibrațiile mecanice sunt împărțite în:
decolorare;
neamortizat.
Oscilații amortizate- vibrații, a căror energie scade în timp.
Caracteristicile mișcării oscilatorii:
permanent:
amplitudine (A)
perioada (T)
frecvență ()
Se numește cea mai mare abatere (în modul) a corpului oscilant de la poziția de echilibru amplitudinea oscilațiilor. De obicei, amplitudinea este indicată de litera A.
Se numește perioada de timp în care corpul produce o vibrație completă perioada de fluctuații.
Perioada de oscilație este de obicei notată cu litera T, iar în SI se măsoară în secunde.
Se numește numărul de vibrații pe unitate de timp frecvența vibrațiilor.
Frecvența este indicată de litera v („nu”). O vibrație pe secundă este luată ca unitate de frecvență. Această unitate poartă numele omului de știință german Heinrich Hertz hertz (Hz).
perioada de oscilație T și frecvența de oscilație v sunt legate de următoarea relație:
T = 1 / sau = 1 / T.
Frecvența ciclică (circulară) ω- numărul de oscilații în 2π secunde
Vibrații armonice- vibrațiile mecanice care apar sub acțiunea unei forțe proporționale cu deplasarea și direcționate opuse acesteia. Oscilațiile armonice sunt efectuate conform legii sinusului sau cosinusului.
Lăsați punctul material să efectueze vibrații armonice.
Ecuația vibrației armonice are forma:
a - accelerație V - viteză q - încărcare A - amplitudine t - timp
