Clasa de master „Derivată a unei funcții în examen” material pentru pregătirea examenului (gia) la algebră (clasa a 11-a) pe tema. Derivată Cum se rezolvă graficele derivatei unei funcții

Această secțiune conține problemele examenului de matematică pe teme legate de studiul funcțiilor și derivatelor acestora.

Versiuni demo Examen de stat unificat 2020 an se pot întâlni sub numărul 14 pentru nivelul de bază și sub număr 7 pentru nivelul profilului.

Aruncă o privire atentă la aceste trei grafice de funcții.
Ați observat că aceste funcții sunt într-un fel „înrudite”?
De exemplu, în acele zone în care graficul funcției verzi este situat peste zero, funcția roșie crește. În acele zone în care graficul funcției verzi este sub zero, funcția roșie scade.
Remarci similare pot fi făcute pentru graficele roșii și albastre.
De asemenea, puteți observa că zerourile funcției verzi (puncte X = −1 și X = 3) coincid cu punctele extreme ale graficului roșu: at X = −1 pe diagrama roșie vedem un maxim local, la NS = 3 pe graficul roșu, minimul local.
Este ușor de observat că maximele și minimele locale ale diagramei albastre sunt atinse în aceleași puncte în care diagrama roșie trece prin valoare. y = 0.
Este posibil să tragem mai multe concluzii despre particularitățile comportamentului acestor grafice, deoarece acestea sunt într-adevăr legate între ele. Priviți formulele funcțiilor situate sub fiecare dintre grafice și, prin calcule, asigurați-vă că fiecare anterioară este o derivată pentru următoarea și, în consecință, fiecare următoare este una dintre preformele funcției anterioare.

φ 1 (X ) = φ" 2 (X ) φ 2 (X ) = Φ 1 (X )
φ 2 (X ) = φ" 3 (X ) φ 3 (X ) = Φ 2 (X )

Să ne amintim ce știm despre derivată:

Derivată a unei funcții y = f(X) la punct NS exprimă rata de schimbare a funcției în punct X.

Sensul fizic al derivatului constă în faptul că derivata exprimă viteza procesului descris de dependența y = f (x).

Sensul geometric al derivatului constă în faptul că valoarea sa în punctul luat în considerare este egală cu panta tangentei trasate la graficul funcţiei derivabile în acest punct.

Acum să nu existe un grafic roșu în imagine. Să presupunem că nu știm nici formulele funcției.

Pot să vă întreb ceva legat de comportamentul unei funcții φ 2 (X ) dacă se știe că este derivata funcției φ 3 (X ) și funcția antiderivată φ 1 (X )?
Poate sa. Și la multe întrebări se poate răspunde exact, deoarece știm că derivata este o caracteristică a ratei de schimbare a unei funcții, așa că putem judeca unele dintre caracteristicile comportamentului uneia dintre aceste funcții uitându-ne la graficul celeilalte funcții. .

Înainte de a răspunde la următoarele întrebări, derulați pagina în sus, astfel încât imaginea de sus care conține graficul roșu să fie ascunsă. Când răspunsurile sunt date, puneți-l înapoi pentru a verifica rezultatul. Și abia după aceea vezi decizia mea.

1) Folosind graficul derivatei φ" 2 (X ) (în cazul nostru, acesta este un grafic verde), determinați care dintre cele 2 valori ale funcției este mai mare φ 2 (−3) sau φ 2 (−2)?

Graficul derivatei arată că pe segmentul [−3; −2] valorile sale sunt strict pozitive, ceea ce înseamnă că funcția de pe acest segment crește doar, prin urmare valoarea funcției la capătul din stânga X = −3 este mai mică decât valoarea sa de la capătul din dreapta X = −2.

Răspuns: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Folosind graficul antiderivat Φ 2 (X ) (în cazul nostru, acesta este un grafic albastru), determinați care dintre cele 2 valori ale funcției este mai mare φ 2 (−1) sau φ 2 (4)?

Graficul antiderivat arată că punctul X = −1 este în regiunea crescătoare, deci valoarea derivatei corespunzătoare este pozitivă. Punct X = 4 este în regiunea descrescătoare și valoarea derivatei corespunzătoare este negativă. Deoarece valoarea pozitivă este mai mare decât cea negativă, concluzionăm că valoarea funcției necunoscute, care este tocmai derivata, este mai mică la punctul 4 decât la punctul −1.

Răspuns: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Există o mulțime de întrebări similare pe care le puteți adresa despre programul lipsă, ceea ce duce la o mare varietate de sarcini cu un răspuns scurt, construite după aceeași schemă. Încercați să rezolvați unele dintre ele.

Sarcini pentru determinarea caracteristicilor unei derivate grafice a unei funcții.

Poza 1.

Figura 2.

Problema 1

y = f (X ) definită pe intervalul (−10,5; 19). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este pozitivă.

Derivata funcției este pozitivă în acele zone în care funcția crește. Figura arată că acestea sunt intervalele (−10,5; −7,6), (−1; 8,2) și (15,7; 19). Să enumerăm toate punctele din aceste intervale: „−10”, „- 9”, „−8”, „0”, „1”, „2”, „3”, „4”, „5”, „6 „, „7”, „8”, „16”, „17”, „18”. Sunt 15 puncte în total.

Răspuns: 15

Remarci.
1. Când în problemele despre graficele funcțiilor este necesar să se numească „puncte”, de regulă, acestea înseamnă doar valorile argumentului X , care sunt abscisele punctelor corespunzătoare situate pe grafic. Ordonatele acestor puncte sunt valorile funcției, sunt dependente și pot fi calculate cu ușurință dacă este necesar.
2. La enumerarea punctelor nu am ținut cont de marginile intervalelor, deoarece funcția în aceste puncte nu crește sau scade, ci „se desfășoară”. Derivata în astfel de puncte nu este nici pozitivă, nici negativă, este egală cu zero, de aceea se numesc puncte staționare. În plus, aici nu luăm în considerare limitele domeniului de definiție, deoarece condiția spune că acesta este un interval.

Problema 2

Figura 1 prezintă graficul funcției y = f (X ) definită pe intervalul (−10,5; 19). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției f" (X ) este negativă.

Derivata funcției este negativă în acele zone în care funcția scade. Figura arată că acestea sunt intervalele (−7,6; −1) și (8,2; ​​15,7). Puncte întregi în aceste intervale: „−7”, „- 6”, „−5”, „- 4”, „−3”, „- 2”, „9”, „10”, „11”, „12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Sunt 13 puncte în total.

Răspuns: 13

Vedeți notele pentru sarcina anterioară.

Pentru a rezolva următoarele probleme, trebuie să vă amintiți încă o definiție.

Punctele maxime și minime ale funcției sunt unite printr-un nume comun - puncte extremum .

În aceste puncte, derivata funcției este fie zero, fie nu există ( condiție extremum necesară).
Totuși, o condiție necesară este un semn, dar nu o garanție a existenței unui extremum al unei funcții. O condiție suficientă pentru un extremum este o modificare a semnului derivatei: dacă derivata într-un punct își schimbă semnul din „+” în „-”, atunci acesta este punctul maxim al funcției; dacă derivata într-un punct își schimbă semnul din „-” în „+”, atunci acesta este punctul minim al funcției; dacă într-un punct derivata funcției este egală cu zero, sau nu există, dar semnul derivatei nu se schimbă în sens opus la trecerea prin acest punct, atunci punctul specificat nu este punctul extremum al funcției. Acesta poate fi un punct de inflexiune, un punct de întrerupere sau un punct de întrerupere în graficul unei funcții.

Problema 3

Figura 1 prezintă graficul funcției y = f (X ) definită pe intervalul (−10,5; 19). Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = 6 sau se potrivește.

Amintiți-vă că ecuația dreptei are forma y = kx + b , Unde k- coeficientul de inclinare al acestei drepte fata de axa Bou... În cazul nostru k= 0, adică Drept y = 6 nu înclinat dar paralel cu axa Bou... Aceasta înseamnă că tangentele necesare trebuie să fie și paralele cu axa Bouși trebuie să aibă și un coeficient de pantă de 0. Tangentele au această proprietate la punctele extreme ale funcțiilor. Prin urmare, pentru a răspunde la întrebare, trebuie doar să calculați toate punctele extreme de pe diagramă. Sunt 4 dintre ele - două puncte maxime și două puncte minime.

Răspuns: 4

Problema 4

Funcții y = f (X ) definită pe intervalul (−11; 23). Aflați suma punctelor extreme ale funcției de pe segment.

Pe segmentul indicat, vedem 2 puncte extreme. Maximul funcției este atins la punct X 1 = 4, minim la punct X 2 = 8.
X 1 + X 2 = 4 + 8 = 12.

Răspuns: 12

Problema 5

Figura 1 prezintă graficul funcției y = f (X ) definită pe intervalul (−10,5; 19). Aflați numărul de puncte la care derivata funcției f" (X ) este egal cu 0.

Derivata funcției este egală cu zero la punctele extreme, dintre care 4 sunt vizibile pe grafic:
2 puncte de maxim și 2 puncte de minim.

Răspuns: 4

Sarcini pentru determinarea caracteristicilor unei funcții din graficul derivatei sale.

Poza 1.

Figura 2.

Problema 6

Figura 2 prezintă graficul f" (X ) - derivata functiei f (X ) definită pe intervalul (−11; 23). În ce punct al segmentului [−6; 2] funcția f (X ) ia cea mai mare valoare.

Pe intervalul indicat, derivata nu a fost nicăieri pozitivă, prin urmare funcția nu a crescut. A scăzut sau a trecut prin puncte staționare. Astfel, funcția a atins cea mai mare valoare pe marginea din stânga a segmentului: X = −6.

Răspuns: −6

Cometariu: Graficul derivatei arată că pe segmentul [−6; 2] este egal cu zero de trei ori: la punctele X = −6, X = −2, X = 2. Dar la punct X = −2, nu a schimbat semnul, ceea ce înseamnă că nu ar putea exista un extremum al funcției în acest moment. Cel mai probabil a existat un punct de inflexiune în graficul funcției inițiale.

Problema 7

Figura 2 prezintă graficul f" (X ) - derivata functiei f (X ) definită pe intervalul (−11; 23). În ce punct al segmentului funcția ia cea mai mică valoare.

Pe segment, derivata este strict pozitivă, prin urmare, funcția pe acest segment a crescut. Astfel, funcția a atins cea mai mică valoare pe marginea din stânga a segmentului: X = 3.

Răspuns: 3

Problema 8

Figura 2 prezintă graficul f" (X ) - derivata functiei f (X ) definită pe intervalul (−11; 23). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f (X ) aparținând segmentului [−5; 10].

În funcție de condiția necesară pentru un extremum, maximul funcției poateîn punctele în care derivata sa este zero. Pe un anumit segment, acestea sunt punctele: X = −2, X = 2, X = 6, X = 10. Dar conform condiției suficiente, ea va fi cu siguranta numai în acelea dintre ele în care semnul derivatei se schimbă de la „+” la „-”. Pe graficul derivatei, vedem că din punctele enumerate, doar punctul este astfel X = 6.

Răspuns: 1

Problema 9

Figura 2 prezintă graficul f" (X ) - derivata functiei f (X ) definită pe intervalul (−11; 23). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f (X ) aparţinând segmentului.

Extremele unei funcții pot fi în acele puncte în care derivata sa este 0. Pe un segment dat al graficului derivatelor, vedem 5 astfel de puncte: X = 2, X = 6, X = 10, X = 14, X = 18. Dar la punct X = 14 derivata nu și-a schimbat semnul, de aceea trebuie exclusă din considerare. Aceasta lasă 4 puncte.

Răspuns: 4

Problema 10

Figura 1 prezintă graficul f" (X ) - derivata functiei f (X ) definită pe intervalul (−10,5; 19). Aflați intervalele funcției crescătoare f (X ). În răspuns, indicați lungimea celui mai lung dintre ele.

Intervalele de creștere ale funcției coincid cu intervalele de pozitivitate ale derivatei. Pe grafic vedem trei dintre ele - (−9; −7), (4; 12), (18; 19). Cel mai lung dintre ele este al doilea. Lungimea sa l = 12 − 4 = 8.

Răspuns: 8

Sarcina 11

Figura 2 prezintă graficul f" (X ) - derivata functiei f (X ) definită pe intervalul (−11; 23). Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f (X ) este paralelă cu dreapta y = −2X − 11 sau se potrivește cu el.

Panta (alias tangenta pantei) unei drepte date k = −2. Suntem interesați de tangente paralele sau coincidente, adică. drepte cu aceeași pantă. Pe baza semnificației geometrice a derivatei - panta tangentei în punctul considerat al graficului funcției, recalculăm punctele la care derivata este egală cu −2. Există 9 astfel de puncte în Figura 2. Este convenabil să le numărați după intersecțiile graficului și a liniei grilei care trece prin valoarea −2 pe axă. Oi.

Răspuns: 9

După cum puteți vedea, folosind același grafic, puteți adresa o mare varietate de întrebări despre comportamentul unei funcții și derivata ei. De asemenea, aceeași întrebare poate fi atribuită graficelor diferitelor funcții. Aveți grijă când rezolvați această problemă la examen și vi se va părea foarte ușor. Alte tipuri de probleme din această sarcină - despre semnificația geometrică a antiderivatei - vor fi discutate într-o altă secțiune.

Derivată a funcției $ y = f (x) $ la un punct dat $ x_0 $ este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul corespunzător al argumentului său, cu condiția ca acesta din urmă să tinde spre zero:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

Diferențierea este operația de găsire a unei derivate.

Tabel derivat al unor funcții elementare

Reguli de bază pentru diferențiere

1. Derivata sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) derivatelor

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

Aflați derivata funcției $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

Derivata sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) derivatelor.

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. Derivată a lucrării

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

Aflați derivata $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. Derivată a coeficientului

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

Aflați derivata $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei exterioare cu derivata functiei interioare

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

Sensul fizic al derivatului

Dacă un punct material se mișcă rectiliniu și coordonatele lui se modifică în funcție de timp conform legii $ x (t) $, atunci viteza instantanee a acestui punct este egală cu derivata funcției.

Punctul se deplasează de-a lungul dreptei de coordonate conform legii $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, unde $ x (t) $ este coordonata la momentul $ t $. În ce moment va fi viteza punctului egală cu $ 12 $?

1. Viteza este derivata lui $ x (t) $, deci găsim derivata funcției date

$ v (t) = x "(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. Pentru a afla în ce moment $ t $ viteza a fost egală cu $ 12 $, compuneți și rezolvați ecuația:

Sensul geometric al derivatului

Amintiți-vă că ecuația unei drepte care nu este paralelă cu axele de coordonate poate fi scrisă sub forma $ y = kx + b $, unde $ k $ este panta dreptei. Coeficientul $ k $ este egal cu tangentei unghiului de înclinare dintre linia dreaptă și direcția pozitivă a axei $ Ox $.

Derivata funcției $ f (x) $ în punctul $ x_0 $ este egală cu panta $ k $ a tangentei la grafic în acest punct:

Prin urmare, putem întocmi o egalitate generală:

$ f "(x_0) = k = tgα $

În figură, tangenta la funcția $ f (x) $ crește, prin urmare, coeficientul $ k> 0 $. Deoarece $ k> 0 $, atunci $ f "(x_0) = tgα> 0 $. Unghiul $ α $ dintre tangentă și direcția pozitivă $ Ox $ este ascuțit.

În figură, tangenta la funcția $ f (x) $ scade; prin urmare, coeficientul $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

În figură, tangenta la funcția $ f (x) $ este paralelă cu axa $ Ox $, prin urmare, coeficientul $ k = 0 $, prin urmare, $ f "(x_0) = tan α = 0 $. punctul $ x_0 $ la care $ f "(x_0) = 0 $, numit extrem.

Figura prezintă graficul funcției $ y = f (x) $ și tangenta la acest grafic, desenată în punctul cu abscisa $ x_0 $. Aflați valoarea derivatei funcției $ f (x) $ în punctul $ x_0 $.

Tangenta la grafic crește, prin urmare, $ f "(x_0) = tg α> 0 $

Pentru a găsi $ f "(x_0) $, găsiți tangenta unghiului de înclinare dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $ Ox $. Pentru aceasta, adăugați tangenta la triunghiul $ ABC $.

Aflați tangenta unghiului $ BAC $. (Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

Răspuns: 0,25 USD

Derivata este, de asemenea, folosită pentru a găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare:

Dacă $ f "(x)> 0 $ în interval, atunci funcția $ f (x) $ crește în acest interval.

Dacă $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figura prezintă graficul funcției $ y = f (x) $. Găsiți printre punctele $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ acele puncte la care derivata funcției este negativă.

Ca răspuns, notați numărul de puncte acordat.

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, vom lua în considerare imediat funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural”, iar pentru el folosim o notație specială: în loc să scriem.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Regulile de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a unei derivate.

Asta e tot. Cum altfel să numiți acest proces într-un singur cuvânt? Nu o derivare... Diferenţialul matematicii se numeşte acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, avem nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este mutată în afara semnului derivatei.

Dacă este un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența:.

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al lucrării

Totul este la fel aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției în punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale, nu doar exponentul (ai uitat ce este?).

Deci, unde este un număr.

Cunoaștem deja derivata funcției, așa că să încercăm să aruncăm funcția noastră într-o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, vom folosi o regulă simplă:. Atunci:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este dificilă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un multiplicator, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, în răspuns îl lăsăm în această formă.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula corespunzătoare de diferențiere:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi unul arbitrar al logaritmului cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aduceți acest logaritm la bază. Cum schimbi baza logaritmului? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este doar o constantă (număr constant, fără variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivatele funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în USE, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va trece), dar din punctul de vedere al matematicii, cuvântul „dificil” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă transportoare mică: doi oameni stau și fac un fel de acțiune cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (baton de ciocolată), îi găsesc cosinusul (înveliș), apoi pătrați ce am primit (o legați cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o altă a doua acțiune cu rezultatul primei.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru,.

S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când schimbați ordinea acțiunilor, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (la fel). ...

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită Funcția „externă”., și acțiunea luată mai întâi - respectiv Funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Care este prima acțiune de luat? Mai întâi, vom calcula sinusul și abia apoi îl vom ridica la un cub. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Și funcția inițială este compoziția lor:.
2. Intern:; extern:.
   Examinare: .
3. Intern:; extern:.
   Examinare: .
4. Intern:; extern:.
   Examinare: .
5. Intern:; extern:.
   Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată - căutați un derivat. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit o regulă oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Totul pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern:;

Extern:;

2) Intern:;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nimic nu poate fi scos de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern:;

Extern:;

Este imediat clar că aici există o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică executăm a treia acțiune (punem o ciocolată în un înveliș și cu o panglică într-un portofoliu). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: totuși, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim toate acestea.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să luăm un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să definim un curs de acțiune.

1. O expresie radicală. ...

2. Rădăcină. ...

3. Sinusul. ...

4. Pătrat. ...

5. Pune totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la un increment infinit de argument:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este mutată în afara semnului derivatului:

Derivat al sumei:

Derivată a lucrării:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim functia "interna", gasim derivata ei.
2. Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

\ (\ DeclareMathOperator (\ tg) (tg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ ctg) (ctg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ arctg) (arctg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ arcctg) (arcctg) \)

Elemente de conținut

Derivată, tangentă, antiderivată, grafice de funcții și derivate.

Derivat Fie definită funcția \ (f (x) \) într-o vecinătate a punctului \ (x_0 \).

Derivată a funcției \ (f \) în punctul \ (x_0 \) numită limită

\ (f "(x_0) = \ lim_ (x \ rightarrow x_0) \ dfrac (f (x) -f (x_0)) (x-x_0), \)

dacă această limită există.

Derivata unei functii intr-un punct caracterizeaza rata de schimbare a acestei functii intr-un punct dat.

Tabelul derivatelor

Reguli de diferențiere\ (f \) și \ (g \) - funcții în funcție de variabila \ (x \); \ (c \) este un număr.

2) \ ((c \ cdot f) "= c \ cdot f" \)

3) \ ((f + g) "= f" + g "\)

4) \ ((f \ cdot g) "= f" g + g "f \)

5) \ (\ stânga (\ dfrac (f) (g) \ dreapta) "= \ dfrac (f" g-g "f) (g ^ 2) \)

6) \ (\ stânga (f \ stânga (g (x) \ dreapta) \ dreapta) "= f" \ stânga (g (x) \ dreapta) \ cdot g "(x) \) - derivată a unei funcții complexe

Sensul geometric al derivatului Ecuația unei drepte- nu paralel cu axa \ (Oy \) poate fi scris ca \ (y = kx + b \). Coeficientul \ (k \) din această ecuație se numește panta dreptei... Este egală cu tangenta unghi de înclinare această linie dreaptă.

Unghiul de înclinare al unei linii drepte- unghiul dintre direcția pozitivă a axei \ (Ox \) și dreapta dată, măsurat în direcția unghiurilor pozitive (adică în direcția de rotație minimă de la axa \ (Ox \) la \ (Oy \) axa).

Derivata funcției \ (f (x) \) în punctul \ (x_0 \) este egală cu panta tangentei la graficul funcției în acest punct: \ (f "(x_0) = \ tg \ alfa. \)

Dacă \ (f "(x_0) = 0 \), atunci tangenta la graficul funcției \ (f (x) \) în punctul \ (x_0 \) este paralelă cu axa \ (Ox \).

Ecuație tangentă

Ecuația tangentei la graficul funcției \ (f (x) \) în punctul \ (x_0 \):

\ (y = f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0) \)

Monotonitatea unei funcții Dacă derivata unei funcții este pozitivă în toate punctele intervalului, atunci funcția crește în acest interval.

Dacă derivata unei funcții este negativă în toate punctele intervalului, atunci funcția scade în acest interval.

Puncte minime, maxime și de inflexiune pozitiv pe negativîn acest punct, atunci \ (x_0 \) este punctul maxim al funcției \ (f \).

Dacă funcția \ (f \) este continuă în punctul \ (x_0 \), iar valoarea derivatei acestei funcții \ (f "\) se modifică din negativ pe pozitivîn acest punct, atunci \ (x_0 \) este punctul minim al funcției \ (f \).

Se numesc punctele în care derivata \ (f "\) este zero sau nu există puncte critice funcția \ (f \).

Puncte interioare ale domeniului de definire a funcției \ (f (x) \), unde \ (f "(x) = 0 \) pot fi puncte de minim, maxim sau de inflexiune.

Sensul fizic al derivatului Dacă un punct material se mișcă rectiliniu și coordonatele sale se modifică în funcție de timp conform legii \ (x = x (t) \), atunci viteza acestui punct este egală cu derivata coordonatei în raport cu timpul:

Accelerația unui punct material este egală cu derivata vitezei acestui punct în raport cu timpul:

\ (a (t) = v "(t). \)

Serghei Nikiforov

Dacă derivata unei funcții este semn constant pe un interval, iar funcția în sine este continuă pe granițele sale, atunci punctele de limită sunt adăugate atât la intervale crescătoare, cât și la intervale descrescătoare, ceea ce corespunde pe deplin definiției funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Buna ziua. Cum (pe ce bază) se poate afirma că în punctul în care derivata este egală cu zero, funcția crește. Da motive. Altfel, e doar capriciu al cuiva. După ce teoremă? Și, de asemenea, dovada. Mulțumiri.

A sustine

Valoarea derivatei într-un punct nu este direct legată de creșterea funcției pe interval. Luați în considerare, de exemplu, funcțiile - toate cresc pe segment

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Dacă o funcție crește pe intervalul (a; b) și este definită și continuă în punctele a și b, atunci crește pe interval. Acestea. punctul x = 2 este inclus în acest interval.

Deși, de regulă, creșterea și scăderea sunt considerate nu pe un segment, ci pe un interval.

Dar chiar în punctul x = 2, funcția are un minim local. Și cum să explicăm copiilor că atunci când caută puncte de creștere (scădere), atunci punctele de extremum local nu sunt numărate, ci intră în intervalele de creștere (scădere).

Având în vedere că prima parte a examenului este pentru „grupa mijlocie a grădiniței”, atunci astfel de nuanțe sunt probabil prea multe.

Separat, multe mulțumiri pentru „Rezolvarea examenului de stat unificat” tuturor angajaților - un ghid excelent.

Serghei Nikiforov

O explicație simplă se poate obține plecând de la definirea unei funcții crescătoare/descrescătoare. Permiteți-mi să vă reamintesc că sună așa: o funcție se numește creștere/descrescătoare în interval dacă unui argument de funcție mai mare îi corespunde o valoare a funcției mai mare/mai mică. Această definiție nu folosește în niciun fel conceptul de derivată, așa că nu pot apărea întrebări despre punctele în care derivata dispare.

Irina Ismakova 20.11.2017 11:46

Buna ziua. Aici, în comentarii, văd convingerea că frontierele ar trebui incluse. Să zicem că sunt de acord cu asta. Dar vă rugăm să priviți soluția dvs. la problema 7089. Acolo, atunci când specificați intervale crescătoare, limitele nu sunt incluse. Și asta afectează răspunsul. Acestea. soluțiile sarcinilor 6429 și 7089 se contrazic. Vă rugăm să clarificați această situație.

Alexandru Ivanov

Articolele 6429 și 7089 au întrebări complet diferite.

Într-unul despre intervalele de creștere, iar în celălalt despre intervalele cu derivată pozitivă.

Nu există nicio contradicție.

Extremele sunt incluse în intervalele de creștere și scădere, dar punctele în care derivata este egală cu zero nu sunt incluse în intervalele la care derivata este pozitivă.

A Z 28.01.2019 19:09

Colegii, există un concept de creștere la un moment dat

(vezi Fichtengolts de exemplu)

iar înțelegerea dvs. de creștere la x = 2 este contrară definiției clasice.

Creșterea și scăderea este un proces și aș dori să ader la acest principiu.

În orice interval care conține punctul x = 2, funcția nu crește. Prin urmare, includerea unui punct dat x = 2 este un proces special.

De obicei, pentru a evita confuzia, se vorbește separat despre includerea capetelor intervalelor.

Alexandru Ivanov

Funcția y = f (x) se numește crescător pe un anumit interval dacă valoarea mai mare a argumentului din acest interval corespunde valorii mai mari a funcției.

În punctul x = 2, funcția este diferențiabilă, iar pe intervalul (2; 6) derivata este pozitivă, deci, pe interval)