Marginile sunt paralele cu fețele. Paralepiped dreptunghiular. Paralelepiped și tipurile sale

În această lecție, toată lumea va putea studia tema „Cutie dreptunghiulară”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintim proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi vom lua în considerare ce este un cuboid și vom discuta principalele sale proprietăți.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), ele se află în planuri paralele astfel încât marginile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(cifrele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și bisectează acel punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită în jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele paralelipipedului intersectează și bisectează punctul de intersecție.

3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale paralelipipedului: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definiție. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe dreptele AD și AB, care se află în planul bazei. Și, prin urmare, dreptunghiuri se află pe fețele laterale. Și bazele sunt paralelograme arbitrare. Notați, ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Caseta din dreapta

Deci, o cutie dreaptă este o cutie în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele cutiei.

Definiție. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralepipedul АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4) dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (marginea laterală este perpendiculară pe planul bazei, adică un paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Cuboid

O cutie dreptunghiulară are toate proprietățile unei cutii arbitrare. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.

Asa de, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui cuboid sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte.

Luați în considerare, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABB 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci unghiul diedric considerat mai poate fi notat astfel: ∠А 1 АВD.

Luați punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul ABB-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Prin urmare, ∠A 1 AD este unghiul liniar al unghiului diedric dat. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ceea ce înseamnă că unghiul diedrul la marginea AB este de 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Se dovedește în mod similar că orice unghi diedru al unui paralelipiped dreptunghiular este drept.

Pătratul diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană din același vârf al cuboidului sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - un paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrați: .

Orez. 5 Cuboid

Dovada:

Linia CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Deci triunghiul CC 1 A este un triunghi dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Să considerăm un triunghi dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:

La fel de , A , apoi. Deoarece CC 1 = AA 1, atunci ce trebuia să fie demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să desemnăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Un paralelipiped este o figură geometrică, toate cele 6 fețe ale căreia sunt paralelograme.

În funcție de tipul acestor paralelograme, se disting următoarele tipuri de paralelipiped:

• Drept;
• înclinat;
• dreptunghiular.

Un paralelipiped drept este o prismă patruunghiulară ale cărei margini formează un unghi de 90 ° cu planul de bază.

Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă patruunghiulară, ale cărei fețe sunt dreptunghiuri. Un cub este un fel de prismă pătrangulară în care toate fețele și muchiile sunt egale.

Caracteristicile unei figuri predetermina proprietățile acesteia. Acestea includ următoarele 4 afirmații:

Amintirea tuturor proprietăților de mai sus este simplă, ele sunt ușor de înțeles și sunt derivate logic pe baza tipului și caracteristicilor corpului geometric. Cu toate acestea, declarațiile simple pot fi incredibil de utile atunci când rezolvați sarcini tipice USE și vor economisi timpul necesar pentru a trece testul.

Formule paralelepipedice

Pentru a găsi răspunsuri la problemă, nu este suficient să cunoaștem numai proprietățile figurii. Este posibil să aveți nevoie și de câteva formule pentru a găsi aria și volumul unui corp geometric.

Aria bazelor se găsește și ca indicator corespunzător al unui paralelogram sau dreptunghi. Puteți alege singur baza paralelogramului. De regulă, atunci când rezolvați probleme, este mai ușor să lucrați cu o prismă, care se bazează pe un dreptunghi.

Formula pentru găsirea suprafeței laterale a unui paralelipiped poate fi necesară și în sarcinile de testare.

Exemple de rezolvare a sarcinilor tipice USE

Exercitiul 1.

Dat: un cuboid cu dimensiunile de 3, 4 și 12 cm.
Necesar Aflați lungimea uneia dintre diagonalele principale ale figurii.
Decizie: Orice soluție la o problemă geometrică trebuie să înceapă cu construirea unui desen corect și clar, pe care se va indica „dată” și valoarea dorită. Figura de mai jos prezintă un exemplu de formatare corectă a condițiilor sarcinii.

Luând în considerare desenul realizat și amintindu-ne toate proprietățile unui corp geometric, ajungem la singura modalitate corectă de a-l rezolva. Aplicând proprietatea 4 a paralelipipedului, obținem următoarea expresie:

După calcule simple, obținem expresia b2=169, deci b=13. Răspunsul la sarcină a fost găsit, nu ar trebui să dureze mai mult de 5 minute pentru a-l căuta și a-l desena.

Sarcina 2.

Dat: o cutie oblică cu marginea laterală de 10 cm, un dreptunghi KLNM cu dimensiunile de 5 și 7 cm, care este o secțiune a figurii paralelă cu marginea indicată.
Necesar Găsiți aria suprafeței laterale a prismei patrulatere.
Decizie: Mai întâi trebuie să schițați datele.

Pentru a rezolva această sarcină, trebuie să folosiți ingeniozitatea. Din figură se poate observa că laturile KL și AD sunt inegale, precum și perechea ML și DC. Cu toate acestea, perimetrele acestor paralelograme sunt în mod evident egale.

Prin urmare, aria laterală a figurii va fi egală cu aria secțiunii transversale înmulțită cu nervura AA1, deoarece, în funcție de condiție, coasta este perpendiculară pe secțiune. Raspuns: 240 cm2.

EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:

Luați în considerare aceste elemente:

Cărămizi de construcție, zaruri, cuptor cu microunde. Aceste obiecte sunt unite printr-o formă.

O suprafață formată din două paralelograme egale ABCD și A1B1C1D1

iar patru paralelograme AA1B1B și BB1C1C, CC1D1D, AA1D1D se numesc paralelipiped.

Paralelogramele care alcătuiesc paralelipipedul se numesc fețe. Fața A1B1C1D1. Fața BB1S1S. Edge ABCD.

În acest caz, fețele ABCD și A1B1C1D1 sunt mai des numite baze, iar fețele rămase sunt laterale.

Laturile paralelogramelor se numesc margini ale paralelipipedului. Edge A1B1. Coasta CC1. Edge AD.

Muchia CC1 nu aparține bazelor, se numește marginea laterală.

Vârfurile paralelogramelor se numesc vârfuri ale paralelipipedului.

Sus D1. Pinacle B. Pinacle C.

Vârfurile D1 și B

nu aparțin aceleiași fețe și sunt numite opuse.

Paralepipedul poate fi desenat în diferite moduri.

Paralepipedul de la bază, care este un romb, în ​​timp ce imaginile fețelor sunt paralelograme.

Un paralelipiped la bază, care este un pătrat. Marginile invizibile AA1, AB, AD sunt prezentate ca linii întrerupte.

Paralepipedul de la bază, care este un pătrat

Un paralelipiped la baza căruia se află un dreptunghi sau un paralelogram

Un paralelipiped cu toate laturile pătrate. Mai des se numește cub.

Toate paralelipipede considerate au proprietăți. Să le formulăm și să le dovedim.

Proprietatea 1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

Luați în considerare paralelipipedul ABCDА1В1С1D1 și demonstrați, de exemplu, că fețele BB1C1C și AA1D1D sunt paralele și egale.

După definiția unui paralelipiped, fața ABCD este un paralelogram, ceea ce înseamnă că, prin proprietatea unui paralelogram, muchia BC este paralelă cu muchia AD.

Fața ABV1A1 este, de asemenea, un paralelogram, ceea ce înseamnă că muchiile BB1 ​​și AA1 sunt paralele.

Aceasta înseamnă că două drepte care se intersectează BC și BB1 ale unui plan, respectiv, sunt paralele cu două drepte AD și, respectiv, AA1 ale altui plan, ceea ce înseamnă că planele ABB1A1 și BCC1D1 sunt paralele.

Toate fețele paralelipipedului sunt paralelograme, ceea ce înseamnă BC=AD, BB1=AA1.

În acest caz, laturile unghiurilor B1BC și A1AD sunt co-direcționate, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Astfel, două laturi adiacente și unghiul dintre ele ale paralelogramului ABB1A1 sunt, respectiv, egale cu două laturi adiacente și unghiul dintre ele ale paralelogramului BCC1D1, ceea ce înseamnă că aceste paralelograme sunt egale.

Paralepipedul are și proprietatea diagonală. Diagonala unui paralelipiped este un segment care leagă vârfuri neînvecinate. În desen, linia punctată arată diagonalele B1D, BD1, A1C.

Deci, proprietatea 2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, iar punctul de intersecție se împarte la jumătate.

Pentru a demonstra proprietatea, luați în considerare patrulaterul BB1D1D. Diagonalele sale В1D, BD1 sunt diagonalele paralelipipedului ABCDА1В1С1D1.

În prima proprietate, am aflat deja că muchia BB1 este paralelă și egală cu muchia AA1, dar muchia AA1 este paralelă și egală cu muchia DD1. Prin urmare, muchiile BB1 ​​și DD1 sunt paralele și egale, ceea ce demonstrează patrulaterul BB1D1D-paralelogram. Și într-un paralelogram, conform proprietății, diagonalele B1D, BD1 se intersectează într-un punct O și acest punct se împarte la jumătate.

Patrulaterul BC1D1A este, de asemenea, un paralelogram, iar diagonalele sale C1A se intersectează într-un punct și bisectează acest punct. Diagonalele paralelogramului C1A, BD1 sunt diagonalele paralelipipedului, ceea ce înseamnă că proprietatea declarată este dovedită.

Pentru a consolida cunoștințele teoretice despre paralelipiped, luați în considerare problema demonstrației.

Punctele L,M,N,P sunt marcate pe marginile paralelipipedului astfel încât BL=CM=A1N=D1P. Demonstrați că ALMDNB1C1P este un paralelipiped.

Fața lui BB1A1A este un paralelogram, ceea ce înseamnă că muchia BB1 este egală și paralelă cu muchia AA1, dar prin condiție segmentele BL și A1N, ceea ce înseamnă că segmentele LB1 și NA sunt egale și paralele.

3) Prin urmare, patrulaterul LB1NA pe baza unui paralelogram.

4) Deoarece CC1D1D este un paralelogram, înseamnă că muchia CC1 este egală și paralelă cu muchia D1D, iar CM este egal cu D1P prin condiție, deci segmentele MC1 și DP sunt egale și paralele

Prin urmare, patrulaterul MC1PD este, de asemenea, un paralelogram.

5) Unghiurile LB1N și MC1P sunt egale ca unghiuri cu laturile paralele și, respectiv, egal direcționate.

6) Am obținut că paralelogramele și MC1PD au laturile corespunzătoare egale și unghiurile dintre ele sunt egale, deci paralelogramele sunt egale.

7) Segmentele sunt egale după condiție, deci BLMC este un paralelogram și latura BC este paralelă cu latura LM este paralelă cu latura B1C1.

8) În mod similar, din paralelogramul NA1D1P rezultă că latura A1D1 este paralelă cu latura NP și paralelă cu latura AD.

9) Fețele opuse ABB1A1 și DCC1D1 ale paralelipipedului sunt paralele prin proprietate, iar segmentele de drepte paralele închise între plane paralele sunt egale, ceea ce înseamnă că segmentele B1C1, LM, AD, NP sunt egale.

Se obtine ca in patrulaterele ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD doua laturi sunt paralele si egale, ceea ce inseamna ca sunt paralelograme. Apoi suprafața noastră ALMDNB1C1P este formată din șase paralelograme, dintre care două sunt egale și, prin definiție, este un paralelipiped.

|
paralelipiped, fotografie paralelipiped
Paralelipiped(altă greacă παραλληλ-επίπεδον din altă greacă παρ-άλληλος - „paralel” și alte grecești ἐπί-πεδον - „plan”) - o prismă, a cărei bază este un paralelogram sau (echivalent) un poliedru, care are șase fețe și fiecare dintre ei - paralelogram.

• 1 Tipuri de cutie
• 2 Elemente de bază
• 3 Proprietăți
• 4 formule de bază
  • 4.1 Caseta din dreapta
  • 4.2 Cuboid
  • 4.3 Cub
  • 4.4 Caseta arbitrară
• 5 analiză matematică
• 6 Note
• 7 Legături

Tipuri de cutie

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

• Un cuboid este un cuboid ale cărui fețe sunt toate dreptunghiuri.
• O cutie oblică este o cutie ale cărei fețe laterale nu sunt perpendiculare pe baze.

Elemente principale

Două fețe ale unui paralelipiped care nu au o muchie comună sunt numite opuse, iar cele care au o muchie comună sunt numite adiacente. Două vârfuri ale unui paralelipiped care nu aparțin aceleiași fețe sunt numite opuse. Segmentul care leagă vârfuri opuse se numește diagonala paralelipipedului. Lungimile a trei muchii ale unui cuboid care au un vârf comun se numesc dimensiunile sale.

Proprietăți

• Paralepipedul este simetric față de punctul de mijloc al diagonalei sale.
• Orice segment cu capete aparținând suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit de acesta în jumătate; în special, toate diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și îl bisectează.
• Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.
• Pătratul lungimii diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Formule de bază

Paralepipedul drept

Aria suprafeței laterale Sb \u003d Po * h, unde Ro este perimetrul bazei, h este înălțimea

Suprafața totală Sp \u003d Sb + 2So, unde So este aria bazei

Volumul V=So*h

cuboid

Aria suprafeței laterale Sb=2c(a+b), unde a, b sunt laturile bazei, c este marginea laterală a paralelipipedului dreptunghiular

Suprafața totală Sp=2(ab+bc+ac)

Volumul V=abc, unde a, b, c - măsurători ale unui paralelipiped dreptunghic.

cub

Suprafață:
Volumul: , unde este marginea cubului.

Cutie arbitrară

Volumul și rapoartele dintr-o casetă de oblic sunt adesea definite folosind algebră vectorială. Volumul unui paralelipiped este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a trei vectori definiți de cele trei laturi ale paralelipipedului care emană dintr-un vârf. Raportul dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele dă afirmația că determinantul Gram al acestor trei vectori este egal cu pătratul produsului lor mixt:215.

În analiza matematică

În analiza matematică, un paralelipiped dreptunghic n-dimensional este înțeles ca un set de puncte de forma

Note

1. Dicționarul antic greco-rus al lui Dvoretsky „παραλληλ-επίπεδον”
2. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme. - M.: Şcoala superioară, 1985. - 232 p.

Legături

• cuboid
• Paralelepiped, film educativ

cuboid, cuboid dalgamel, cuboid zurag, cuboid și paralelogram, cuboid din carton, imagine cuboid, volum cuboid, definiție cuboid, formulă cuboid, fotografie cuboid

Informații despre casetă