Trucuri de numărare orală. Începe în știință. Înmulțirea unui număr cu o sumă

Procesul de numărare mentală poate fi considerat ca o tehnologie de numărare care combină ideile și abilitățile umane despre numere, algoritmi matematici de aritmetică.

Există trei tipuri tehnologii aritmetice mentale, care utilizează diferite capacități fizice ale unei persoane:

tehnologie de numărare a motoarelor audio;

tehnologie de numărare vizuală.

trăsătură caracteristică numărare mentală audiomotorie este de a însoți fiecare acțiune și fiecare număr cu o frază verbală de genul „de două ori doi – patru”. Sistemul tradițional de numărare este tocmai tehnologia audio-motor. Dezavantajele metodei audio-motorii de efectuare a calculelor sunt:

absența în fraza memorată a relațiilor cu rezultate vecine,

imposibilitatea de a separa zeci și unități ale produsului în fraze despre tabla înmulțirii fără a repeta întreaga frază;

incapacitatea de a inversa fraza de la răspunsul la factori, ceea ce este important pentru efectuarea diviziunii cu un rest;

viteza redusă de redare a unei fraze verbale.

Supercalculatoarele, care demonstrează viteze mari de gândire, își folosesc abilitățile vizuale și memoria vizuală excelentă. Oamenii care sunt pricepuți în calculele vitezei nu folosesc cuvinte în procesul de rezolvare a unei probleme de aritmetică în mintea lor. Ele arată realitatea tehnologia vizuală a numărării mentale, lipsit de principalul dezavantaj - viteza lentă de a efectua operații elementare cu numere.

Poate că metodele noastre de înmulțire nu sunt perfecte; poate se va inventa chiar mai rapid și mai de încredere.

Desigur, este imposibil să cunoști toate metodele de numărare rapidă, dar cele mai accesibile pot fi studiate și aplicate.

Exersează numărătoarea.

Există oameni care pot efectua operații aritmetice simple în mintea lor. Înmulțiți un număr de două cifre cu un număr de o cifră, înmulțiți cu 20, înmulțiți două numere mici de două cifre și așa mai departe. - pot efectua toate aceste acțiuni în minte și suficient de rapid, mai rapid decât o persoană obișnuită. Adesea, această abilitate este justificată de necesitatea utilizării practice constante. De regulă, oamenii care se pricep la aritmetica mentală au o educație matematică sau cel puțin experiență în rezolvarea a numeroase probleme de aritmetică.

Fără îndoială, experiența și pregătirea joacă un rol crucial în dezvoltarea oricărei abilități. Dar abilitatea de a număra mental nu se bazează doar pe experiență. Acest lucru este dovedit de oameni care, spre deosebire de cei descriși mai sus, sunt capabili să calculeze în mintea lor exemple mult mai complexe. De exemplu, astfel de oameni pot înmulți și împărți numere din trei cifre, pot efectua operații aritmetice complexe pe care nu orice persoană le poate număra într-o coloană.

Ce trebuie să cunoască și să poată stăpâni un om obișnuit pentru a stăpâni o astfel de abilitate fenomenală? Astăzi, există diverse tehnici care te ajută să înveți cum să numeri rapid în mintea ta. După ce am studiat multe abordări ale predării abilității de a număra oral, putem distinge3 componente principale a acestei aptitudini:

1. Abilitatea. Capacitatea de a concentra atenția și capacitatea de a păstra mai multe lucruri în memoria pe termen scurt în același timp. Predispoziție la matematică și gândire logică.

2. Algoritmi. Cunoașterea algoritmilor speciali și capacitatea de a selecta rapid algoritmul dorit și cel mai eficient în fiecare situație specifică.

3. Antrenament și experiență, a căror valoare pentru nicio abilitate nu a fost anulată. Antrenamentul constant și complicarea treptată a sarcinilor și exercițiilor vă vor permite să îmbunătățiți viteza și calitatea aritmeticii mentale.

Trebuie remarcat faptul că al treilea factor este de importanță cheie. Fără experiența necesară, nu îi vei putea surprinde pe alții cu un scor rapid, chiar dacă cunoști cel mai convenabil algoritm. Totuși, nu subestima importanța primelor două componente, pentru că având capacitatea și un set de algoritmi necesari în arsenalul tău, poți depăși chiar și pe cel mai experimentat „contabil”, cu condiția să te antrenezi în același timp.

Mai multe moduri de numărare orală:

1. Înmulțiți cu 5 este mai convenabil astfel: mai întâi înmulțiți cu 10, apoi împărțiți cu 2

2. Înmulțiți cu 9. Pentru a înmulți un număr cu 9, trebuie să adăugați 0 la multiplicand și să scădeți multiplicatorul din numărul rezultat, de exemplu 45 9=450-45=405.

3. Înmulțiți cu 10. Atribuiți zero în dreapta: 48 10 = 480

4. Înmulțiți cu 11. număr din două cifre. Depărtați numerele N și A, introduceți suma (N + A) în mijloc.

de exemplu, 43 11 === 473.

5. Înmulțiți cu 12. se face aproximativ în același mod ca pentru 11. Dublam fiecare cifră a numărului și adăugăm vecinul cifrei inițiale din dreapta rezultatului.

Exemple.Să ne înmulțimpe.

Să începem cu numărul cel mai potrivit - acesta este. Hai sa dublamsi adauga un vecin (nu exista in acest caz). Primim. Să scriemsi amintesteti.

Deplasați la stânga la următoarea cifră. Hai sa dublam, primim, adaugă un vecin,, primim, adăuga. Să scriemsi amintesteti.

Să trecem la stânga la următoarea cifră,. Hai sa dublam, primim. Adaugă un vecinsi ia. Să adăugăm, care a fost memorat, primim. Să scriemsi amintesteti.

Să trecem la stânga la o cifră inexistentă - zero. Dublați-l, obțineți și adăugați un vecin, , care ne va oferi . În cele din urmă, adăugați , care a fost amintit, obținem . Hai să scriem . Răspuns: .

6. Înmulțirea și împărțirea cu 5, 50, 500 etc.

Înmulțirea cu 5, 50, 500 etc. este înlocuită cu înmulțirea cu 10, 100, 1000 etc., apoi împărțirea cu 2 a produsului rezultat (sau împărțirea cu 2 și înmulțirea cu 10, 100, 1000 etc.) . (50 = 100: 2 etc.)

54 5=(54 10):2=540:2=270 (54 5 = (54:2) 10= 270).

Pentru a împărți un număr la 5,50, 500 etc., trebuie să împărțiți acest număr la 10.100, 1000 etc. și să înmulțiți cu 2.

10800: 50 = 10800:100 2 =216

10800: 50 = 10800 2:100 =216

7. Înmulțirea și împărțirea cu 25, 250, 2500 etc.

Înmulțirea cu 25, 250, 2500 etc. se înlocuiește cu înmulțirea cu 100, 1000, 10000 etc. iar rezultatul se împarte la 4. (25 = 100: 4)

542 25=(542 100):4=13550 (248 25=248: 4 100 = 6200)

(dacă numărul este divizibil cu 4, atunci înmulțirea nu durează, orice elev o poate face).

Pentru a împărți un număr la 25, 25,250,2500 etc., acest număr trebuie împărțit la 100,1000,10000 etc. și înmulțiți cu 4: 31200: 25 = 31200:100 4 = 1248.

8. Înmulțirea și împărțirea cu 125, 1250, 12500 etc.

Înmulțirea cu 125, 1250 etc. se înlocuiește cu înmulțirea cu 1000, 10000 etc., iar produsul rezultat trebuie împărțit la 8. (125 = 1000 : 8)

72 125=72 1000: 8=9000

Dacă numărul este divizibil cu 8, atunci mai întâi facem împărțirea cu 8 și apoi înmulțirea cu 1000, 10000 etc.

48 125 = 48: 8 1000 = 6000

Pentru a împărți un număr la 125, 1250 etc., trebuie să împărțiți acest număr la 1000, 10000 etc. și să înmulțiți cu 8.

7000: 125 = 7000: 10008 = 56.

9. Înmulțirea și împărțirea cu 75, 750 etc.

Pentru a înmulți un număr cu 75, 750 etc., trebuie să împărțiți acest număr la 4 și să înmulțiți cu 300, 3000 etc. (75=300:4)

4875 = 48:4300 = 3600

Pentru a împărți un număr la 75.750 etc., trebuie să împărțiți acest număr la 300, 3000 etc. si inmultiti cu 4

7200: 75 = 7200: 3004 = 96.

10. Înmulțiți cu 15, 150.

Când înmulțiți cu 15, dacă numărul este impar, înmulțiți-l cu 10 și adăugați jumătate din produsul rezultat:

23 15=23 (10+5)=230+115=345;

dacă numărul este par, atunci acționăm și mai simplu - adăugați jumătate din el la număr și înmulțiți rezultatul cu 10:

18 15=(18+9) 10=27 10=270.

Când înmulțim un număr cu 150, folosim același truc și înmulțim rezultatul cu 10, deoarece 150=15 10:

24 150=((24+12) 10) 10=(36 10) 10=3600.

În mod similar, înmulțiți rapid un număr din două cifre (în special unul par) cu un număr din două cifre care se termină în 5:

24 35 = 24 (30 +5) = 24 30+24:2 10 = 720+120=840.

11. Înmulțiți numere cu două cifre mai mici de 20.

La unul dintre numere trebuie să adăugați numărul de unități ale celuilalt, înmulțiți această sumă cu 10 și adăugați la aceasta produsul unităților acestor numere:

18 16=(18+6) 10+8 6= 240+48=288.

În modul descris, puteți înmulți numere din două cifre mai mici de 20, precum și numere în care același număr de zeci: 23 24 \u003d (23 + 4) 20 + 4 6 \u003d 27 20 + 12 \u003d 540 + 12 \u003d 562.

Explicaţie:

(10+a) (10+b) = 100 + 10a + 10b + a b = 10 (10+a+b) + a b = 10 ((10+a)+b) + a b .

12. Înmulțirea unui număr din două cifre cu 101 .

Poate cea mai simplă regulă este: adăugați numărul dvs. la sine. Înmulțirea s-a încheiat.
Exemplu: 57 101 = 5757 57 --> 5757

Explicație: (10a+b) 101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
În mod similar, numerele din trei cifre sunt înmulțite cu 1001, numerele din patru cifre cu 10001 etc.

13. Înmulțiți cu 22, 33, ..., 99.

Pentru a înmulți un număr din două cifre 22,33, ..., 99, acest multiplicator trebuie reprezentat ca produs al unui număr dintr-o singură cifră cu 11. Efectuați înmulțirea mai întâi cu un număr dintr-o singură cifră și apoi cu 11:

15 33= 15 3 11=45 11=495.

14. Înmulțiți numerele din două cifre cu 111 .

Mai întâi, să luăm un multiplicand, un astfel de număr de două cifre, a cărui suma cifrelor este mai mică de 10. Să explicăm cu exemple numerice:

Deoarece 111=100+10+1, atunci 45 111=45 (100+10+1). Atunci când înmulțiți un număr de două cifre, a cărui suma cifrelor este mai mică de 10, cu 111, este necesar să introduceți de două ori suma cifrelor (adică numerele pe care le reprezintă) a zecilor și unităților sale 4 + 5. = 9 în mijlocul dintre cifre. 4500+450+45=4995. Prin urmare, 45 111=4995. Când suma cifrelor unui multiplicator de două cifre este mai mare sau egală cu 10, de exemplu 68 11, se adună cifrele multiplicandului (6 + 8) și se introduc 2 unități din suma rezultată în mijlocul numerelor 6 și 8. În cele din urmă, adăugați 1100 la numărul compilat 6448. Prin urmare, 68 111 = 7548.

15. Numerele la pătrat constând doar din 1.

11 x 11 =121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Unele metode nestandard de înmulțire.

Înmulțirea unui număr cu un factor cu o singură cifră.

Pentru a înmulți un număr cu un factor de o singură cifră (de exemplu, 34 9) oral, trebuie să efectuați acțiuni începând de la cea mai semnificativă cifră, adunând succesiv rezultatele (30 9=270, 4 9=36, 270+36=306).

Pentru o numărare mentală eficientă, este util să cunoașteți tabla înmulțirii până la 19 * 9. În acest caz, înmulțirea 147 8 se realizează în minte astfel: 147 8=140 8+7 8= 1120 + 56= 1176 . Totuși, fără a cunoaște tabla înmulțirii până la 19 9, în practică este mai convenabil să se calculeze toate astfel de exemple prin reducerea multiplicatorului la numărul de bază: 147 8=(150-3) 8=150 8-3 8=1200-24=1176, cu 150 8=(150 2) 4=300 4=1200.

Dacă unul dintre înmulțiți este descompus în factori cu o singură valoare, este convenabil să efectuați acțiunea înmulțind succesiv cu acești factori, de exemplu, 225 6=225 2 3=450 3=1350. De asemenea, ar putea fi mai simplu 225 6=(200+25) 6=200 6+25 6=1200+150=1350.

Înmulțirea numerelor din două cifre.

1. Înmulțiți cu 37.

La înmulțirea unui număr cu 37, dacă numărul dat este un multiplu de 3, acesta se împarte la 3 și se înmulțește cu 111.

27 37=(27:3) (37 3)=9 111=999

Dacă acest număr nu este un multiplu al lui 3, atunci 37 este scăzut din produs sau 37 este adăugat la produs.

23 37=(24-1) 37=(24:3) (37 3)-37=888-37=851.

Este ușor să ne amintim produsul unora dintre ele:

3 x 37 = 111 33 x 3367 = 111111

6 x 37 = 222 66 x 3367 = 222222

9 x 37 = 333 99 x 3367 = 333333

12 x 37 = 444 132 x 3367 = 444444

15 x 37 = 555 165 x 3367 = 555555

18 x 37 = 666 198 x 3367 = 666666

21 x 37 = 777 231 x 3367 = 777777

24 x 37 = 888 264 x 3367 = 888888

27 x 37 = 999 297 x 3367 = 99999

2. Dacă zeci de numere din două cifre încep cu aceeași cifră, iar suma unităților este 10 , atunci când sunt înmulțite, găsim produsul în această ordine:

1) înmulțiți zece din primul număr cu zece din al doilea număr mai mare cu unu;

2) înmulțiți unitățile:

8 3x 8 7= 7221 ( 8x9=72 , 3x7=21)

5 6x 5 4=3024 ( 5x6=30 , 6x4=24)

Algoritm pentru înmulțirea numerelor din două cifre apropiate de 100

De exemplu:97 x 96 = 9312

Aici folosesc următorul algoritm: dacă doriți să înmulțiți doi

numere din două cifre apropiate de 100, apoi procedați astfel:

1) găsiți deficiențele factorilor până la o sută;

2) scade de la un factor dezavantajul celui de-al doilea până la o sută;

3) adăugați produsul deficiențelor la rezultat cu două cifre

factori de până la sute.

Literatura relevantă menționează astfel de metode de înmulțire precum „îndoire”, „zăbrele”, „înapoi în față”, „romb”, „triunghi” și multe altele. Am vrut să știu ce alte tehnici de înmulțire non-standard există în matematică? Se pare că sunt o mulțime. Iată câteva dintre aceste trucuri.

Metoda taraneasca:

Unul dintre factori se dublează, în timp ce celălalt scade în paralel cu aceeași cantitate. Când coeficientul devine egal cu unu, produsul obţinut în paralel este răspunsul dorit.

Dacă câtul se dovedește a fi un număr impar, atunci unul este eliminat din el și restul este împărțit. Apoi la răspunsul primit se adaugă lucrările care stăteau vizavi de coeficientii impari

„Metoda Crucii”.

În această metodă, factorii sunt trecuți unul sub altul și numerele lor sunt înmulțite în linie dreaptă și în cruce.

3 1 = 3 este ultima cifră.

2 1 + 3 3 = 11. Penultima cifră este 1, cu 1 mai mult în minte.

2 3 = 6; 6 + 1 = 7 este prima cifră a produsului

Produsul dorit este 713.

Metoda de înmulțire chino-japoneză.

Nu este un secret pentru nimeni că diferite țări au metode de predare diferite. Se pare că în Japonia, elevii din clasa I pot înmulți numere din trei cifre fără să cunoască tabla înmulțirii. Pentru aceasta este folosit. Logica metodei este clară din figură. După desen, trebuie doar să numărați numărul de intersecții din fiecare zonă.

Chiar și numerele din trei cifre pot fi înmulțite folosind această metodă. Probabil, atunci când copiii învață ulterior masa înmulțirii, vor putea să se înmulțească într-un mod mai simplu și mai rapid, într-o coloană. Mai mult, metoda de mai sus necesită prea mult timp atunci când înmulțiți numere precum 89 și 98, deoarece trebuie să desenați 34 de dungi și să numărați toate intersecțiile. Pe de altă parte, în astfel de cazuri, puteți folosi un calculator. Mulți li se va părea că acest mod de multiplicare japoneză sau chineză este prea complicat și confuz, dar acest lucru este doar la prima vedere. Vizualizarea, adică imaginea tuturor punctelor de intersecție a liniilor (multiplicatorilor) de pe același plan, este cea care ne oferă suport vizual, în timp ce metoda tradițională de înmulțire presupune un număr mare de operații aritmetice doar în minte. Înmulțirea chineză sau japoneză ajută nu numai la înmulțirea rapidă și eficientă a numerelor de două și trei cifre fără un calculator, dar și dezvoltă erudiția. De acord, nu toată lumea se poate lăuda că, în practică, deține metoda de înmulțire chineză antică ( ), care este relevantă și funcționează grozav în lumea modernă.

Înmulțirea se poate face folosind un tabel matriceal c :

43219876=?

În primul rând, scriem produsele numerelor.
2. Aflați sumele de-a lungul diagonalei:
36, 59, 70, 70, 40, 19, 6
3. Primim răspunsul de la sfârșit, adăugând cifrele „în plus” la cifra din față:2674196

Metoda grilajului.

Se desenează un dreptunghi împărțit în pătrate. Următoarele sunt celule pătrate, împărțite în diagonală. În fiecare linie scriem produsul numerelor deasupra acestei celule și în dreapta acesteia, în timp ce numărul de zeci al produsului este scris deasupra barei oblice, iar numărul de unități este sub ea. Acum adunați numerele din fiecare slash făcând această operație, de la dreapta la stânga. Dacă se dovedește a fi mai mult de 10, atunci scriem doar numărul de unități ale sumei și adăugăm numărul de zeci la următoarea sumă.

1 7

Scriem numerele de răspuns de la stânga la dreapta: 4, 5, 17, 20, 7, 5. Începând din dreapta, scriem, adăugând numere „în plus” la „vecin”: 469075.

A primit: 725 x 647 = 469075.

Tehnici de numărare rapidă: Magie disponibilă tuturor

Pentru a înțelege rolul pe care numerele îl joacă în viața noastră, puneți la punct un experiment simplu. Încearcă să te descurci fără ele pentru un timp. Fără numere, fără calcule, fără măsurători... Te vei găsi într-o lume ciudată în care te vei simți absolut neajutorat, legat de mâini și de picioare. Cum să ajungi la timp la o întâlnire? Deosebești un autobuz de altul? Sună? Cumpăr pâine, cârnați, ceai? Gatiti supa sau cartofii? Fără numere și, prin urmare, fără numărare, viața este imposibilă. Dar cât de greu se dă uneori această știință! Încercați să înmulțiți rapid 65 cu 23? Nu funcționează? Mâna însăși se întinde spre un telefon mobil cu un calculator. Între timp, țăranii ruși semianalfabeti de acum 200 de ani au făcut acest lucru cu calm, folosind doar prima coloană a tabelului înmulțirii - înmulțirea cu doi. Nu crezi? Dar în zadar. Aceasta este realitatea.

computer din epoca de piatră

Chiar și fără să cunoască numerele, oamenii au încercat deja să numere. Dacă strămoșii noștri, care trăiau în peșteri și purtau piei, aveau nevoie să schimbe ceva cu un trib vecin, ei au acționat simplu: au curățat locul și au așezat, de exemplu, un vârf de săgeată. Aproape se află un pește sau o mână de nuci. Și așa mai departe până când una dintre mărfurile schimbate s-a terminat, sau șeful „misiunii comerciale” a decis că este suficient. Primitiv, dar în felul său foarte convenabil: nu vei fi confuz și nu vei fi înșelat.

Odată cu dezvoltarea creșterii vitelor, sarcinile au devenit mai complicate. Trebuia cumva numărat o turmă mare pentru a ști dacă toate caprele sau vacile erau la locul lor. „Mașina de calculat” a ciobanilor analfabeți, dar deștepți, era un dovleac de pigă cu pietricele. De îndată ce animalul a părăsit țarc, ciobanul a pus o pietricică în tărtăcuță. Seara, turma s-a întors, iar ciobanul a scos câte o piatră cu fiecare animal care a intrat în tarc. Dacă tărtăcuța era goală, știa că turma era în regulă. Dacă erau pietricele, se ducea să caute pierderea.

Când au apărut numerele, lucrurile au devenit mai distractive. Deși pentru o lungă perioadă de timp strămoșii noștri au folosit doar trei cifre: „unu”, „pereche” și „multe”.

Poți număra mai repede decât un computer?

Depășiți un dispozitiv care efectuează sute de milioane de operațiuni pe secundă? Imposibil... Dar cel care spune asta este crunt de necinstit sau pur și simplu trece cu vederea ceva în mod deliberat. Un computer este doar un set de cipuri din plastic; nu contează de la sine.

Să punem întrebarea într-un alt fel: poate o persoană, calculând în mintea sa, să depășească pe cineva care efectuează calcule pe calculator? Și aici răspunsul este da. Într-adevăr, pentru a primi un răspuns de la „valiză neagră”, datele trebuie mai întâi introduse în ea. Acest lucru va fi făcut de o persoană cu ajutorul degetelor sau al vocii. Și toate aceste acțiuni au limite de timp. Restricții de netrecut. Natura însăși le-a furnizat corpului uman. Totul, cu excepția unui organ. Creier!

Calculatorul poate efectua doar două operații: adunare și scădere. Înmulțirea pentru el este o adunare multiplă, iar împărțirea este o scădere multiplă.

Creierul nostru se comportă diferit.

Clasa în care a studiat viitorul rege al matematicii, Carl Gauss, a primit cumva sarcina: adună toate numerele de la 1 la 100. Carl a scris răspunsul absolut corect pe tablă de îndată ce profesorul a terminat de explicat sarcina. Nu a adăugat cu sârguință numerele în ordine, așa cum ar face orice computer care se respectă. A aplicat formula pe care a descoperit-o el însuși: 101 x 50 = 5050. Și acesta este departe de singurul truc care grăbește calculele mentale.

Cele mai simple trucuri pentru numărare rapidă

Se predau la scoala. Cel mai simplu: dacă trebuie să adăugați 9 la orice număr, adăugați 10 și scădeți 1, dacă 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3), etc.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Rapid și convenabil.

Numerele din două cifre se adună la fel de ușor. Dacă ultima cifră din al doilea termen este mai mare de cinci, numărul este rotunjit la următorii zece, iar apoi „excesul” este scăzut. 22 + 47 = 22 + 50 – 3 = 69

Cu numerele din trei cifre, nu există dificultăți în același mod. Le adăugăm, după cum citim, de la stânga la dreapta: 321 + 543 \u003d 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 \u003d 864. Mult mai ușor decât într-o coloană. Și mult mai rapid.

Dar scăderea? Principiul este același: rotunjim scăderea la cel mai apropiat întreg și adăugăm pe cea care lipsește: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 \u003d 43 - 30 + 3 \u003d 16. Mai rapid decât pe un calculator - și nicio plângere din partea profesorului chiar și în timpul testului!

Trebuie să învăț tabla înmulțirii?

Copiii de obicei urăsc asta. Și o fac corect. Nu e nevoie să o înveți! Dar nu te grăbi să fii revoltat. Nimeni nu susține că tabelul nu trebuie cunoscut.

Invenția sa este atribuită lui Pitagora, dar, cel mai probabil, marele matematician a dat doar o formă completă, concisă, a ceea ce era deja cunoscut. La săpăturile din Mesopotamia antică, arheologii au găsit tăblițe de lut cu sacramentalul: „2 x 2”. Oamenii folosesc de mult acest sistem extrem de convenabil de calcule și au descoperit multe modalități care ajută la înțelegerea logicii interne și frumusețea tabelului, la înțelegerea - și nu în mod prostesc, la memorarea mecanică.

În China antică, au început să învețe tabelul înmulțind cu 9. Este mai ușor astfel, și nu în ultimul rând pentru că poți înmulți cu 9 „pe degete”.

Puneți ambele mâini pe masă, cu palmele în jos. Primul deget din stânga este 1, al doilea este 2 și așa mai departe. Să presupunem că trebuie să rezolvați o problemă 6 x 9. Ridicați al șaselea deget. Degetele din stânga vor arăta zeci, iar din dreapta - unități. Răspunsul 54.

Exemplu: 8 x 7. Mâna stângă este primul multiplicator, mâna dreaptă este al doilea. Sunt cinci degete pe mână și avem nevoie de 8 și 7. Îndoim trei degete pe mâna stângă (5 + 3 = 8), pe dreapta 2 (5 + 2 = 7). Avem cinci degete îndoite, ceea ce înseamnă cinci duzini. Acum înmulțiți restul: 2 x 3 = 6. Acestea sunt unități. Total 56.

Aceasta este doar una dintre cele mai simple metode de înmulțire „degetelor”. Există multe dintre ele. „Pe degete” poți opera cu numere de până la 10.000!

Sistemul „degetelor” are un bonus: copilul îl percepe ca pe un joc distractiv. Se angajează de bunăvoie, experimentează o mulțime de emoții pozitive și, ca urmare, foarte curând începe să efectueze toate operațiunile în mintea lui, fără ajutorul degetelor.

Puteți împărți și cu degetele, dar este puțin mai complicat. Programatorii încă își folosesc mâinile pentru a converti numerele din zecimal în binar - este mai convenabil și mult mai rapid decât pe un computer. Dar, în cadrul programului școlar, puteți învăța să divizați rapid chiar și fără degete, în mintea dvs.

Să presupunem că trebuie să rezolvați exemplul 91: 13. Coloană? Nu este nevoie să încurci hârtia. Dividendele se termină cu unu. Iar divizorul este trei. Care este primul lucru din tabla înmulțirii în care este implicat triplul și se termină cu unu? 3 x 7 = 21. Şapte! Asta e, am prins-o. Nevoia 84: 14. Amintiți-vă tabelul: 6 x 4 = 24. Răspunsul este 6. Simplu? Încă ar fi!

magia numerelor

Majoritatea trucurilor de numărare rapidă sunt similare trucurilor magice. Luați cel puțin cel mai faimos exemplu de înmulțire cu 11. Pentru, de exemplu, 32 x 11, trebuie să scrieți 3 și 2 de-a lungul marginilor și să puneți suma lor în mijloc: 352.

Pentru a înmulți un număr din două cifre cu 101, scrieți pur și simplu numărul de două ori. 34 x 101 = 3434.

Pentru a înmulți un număr cu 4, înmulțiți-l de două ori cu 2. Pentru a împărți, împărțiți de două ori cu 2.

Multe trucuri inteligente și, cel mai important, rapide ajută la ridicarea unui număr la o putere, la extragerea rădăcinii pătrate. Celebrele „30 de trucuri ale lui Perelman” pentru oamenii cu minte matematică vor fi mai cool decât spectacolul lui Copperfield, pentru că, de asemenea, ÎNȚELEGE ce se întâmplă și cum se întâmplă. Ei bine, restul se poate bucura de focalizarea frumoasă. De exemplu, trebuie să înmulțiți 45 cu 37. Să scriem numerele pe o foaie și să le separăm cu o linie verticală. Împărțim numărul din stânga la 2, aruncând restul, până obținem unul. Dreapta - înmulțiți până când numărul de linii din coloană este egal. Apoi tăiem din coloana DREAPTA toate acele numere vizavi de care se obține un rezultat par în coloana STÂNGA. Adăugăm numerele rămase din coloana din dreapta. Se dovedește 1665. Înmulțiți numerele în mod obișnuit. Răspunsul se va potrivi.

„Încărcare” pentru minte

Tehnicile de numărare rapidă pot face viața mai ușoară unui copil la școală, mamei într-un magazin sau bucătărie și tatălui la serviciu sau la birou. Dar preferăm calculatorul. De ce? Nu ne place să ne stresăm. Ne este greu să ținem în cap numerele, chiar și cele din două cifre. Din anumite motive, ei nu rezistă.

Încercați să mergeți în mijlocul camerei și să vă așezați pe sfoară. Din anumite motive „nu se așează”, nu? Iar gimnasta o face destul de calmă, fără a se încorda. Trebuie să te antrenezi!

Cel mai simplu mod de a te antrena și, în același timp, de a încălzi creierul: numărarea verbală cu voce tare (obligatorie!) prin numărul până la o sută și înapoi. Dimineața, stând sub duș sau pregătind micul dejun, numărați: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Puteți număra în trei, în opt - principalul lucru este să o faceți tare. După doar câteva săptămâni de practică regulată, veți fi surprinși de cât de UȘOR devine să vă ocupați de numere.

Engleză: Wikipedia face site-ul mai sigur. Utilizați un browser web vechi care nu se va putea conecta la Wikipedia în viitor. Actualizați-vă dispozitivul sau contactați administratorul IT.

中文: 维基百科正在使网站更加安全您正在使用旧的，这在将来无法连接维基百科。更新您的设备或您的的管理员。提供更，，具技术性的更新仅英语英语英语英语英语英语英语英语的更新仅英语英语英语英语英语英语英语英语英语的更新仅英语英语英语英语英语英语英语英语英语更新仅英语英语英语英语英语英语英语英语英语的更新仅英语英语英语英语英语英语英语英语英语 ” SALUT ）。

Spanol: Wikipedia face el sitio mai sigur. Utilizați un browser web care nu va fi capabil de a conecta Wikipedia în viitor. Actualice su dispozitiv sau contact a su administrator informático. Mai jos există o actualizare mai lungă și mai tehnică în engleză.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

francez: Wikipedia va bientôt augmenter la securitatea site-ului. Utilizați în prezent un navigator web ancien, care ne pourra plus se connecter à Wikipédia atunci când va fi făcut. Vă rugăm să puneți aparatul dvs. sau să contactați administratorul informatic al acestui fin. Informațiile suplimentare, plus tehnicile și în engleză sunt disponibile pe jos.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めいます。ご利用のブラウザはがが、今後、ウィキペディアにできなくなる可能性がますデバイスを更新か、管理管理者ごください。技術面の更新更新更新更新更新更新ください。技術面面の更新更新更新更新更新更新ください。技術面面の更新更新更新更新更新更新ください。技術技術面の更新更新更新更新更新更新 ”更新更新更新詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい AH情報は以下には以下に觱語に觱語にせすいしい

Limba germana: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia va face mai mult pe site. Stai using un browser web che non will will in grado di connettersi a Wikipedia in viitor. Per favore, actualizați dispozitivul sau contactați administratorul informatic. Più in basso è disponibil un aggiornamento più dettagliato e tecnico în engleză.

maghiar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Suedia: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Înlăturăm suportul pentru versiunile de protocol TLS nesigure, în special TLSv1.0 și TLSv1.1, pe care software-ul browserului se bazează pentru a se conecta la site-urile noastre. Acest lucru este cauzat de obicei de browsere învechite sau de smartphone-uri Android mai vechi. Sau ar putea fi interferența din partea software-ului „Web Security” corporativ sau personal, care de fapt scade securitatea conexiunii.

Trebuie să vă actualizați browserul web sau să remediați în alt mod această problemă pentru a accesa site-urile noastre. Acest mesaj va rămâne până la 1 ianuarie 2020. După această dată, browserul dvs. nu va putea stabili o conexiune la serverele noastre.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

Numărarea mentală este gimnastică pentru minte. Metode de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, pentru producerea cărora este suficientă numărarea mentală. Motivația pentru alegerea unui subiect a fost capacitatea de a găsi rapid și clar rezultatul operațiilor matematice. Ei spun că, dacă vrei să poți rezolva probleme, ar trebui să începi să le rezolvi. Poti invata sa numeri repede, sa numeri in minte doar cu o mare dorinta si pregatire sistematica in rezolvarea problemelor.

Metodele de numărare orală sunt cunoscute de mult timp. Excelentele abilități de aritmetică mentală ale unor matematicieni geniali precum Gauss, von Neumann, Euler sau Wallis provoacă o adevărată încântare pentru mulți. S-au scris multe despre asta. Vrem să spunem și să arătăm câteva secrete de calcul bine-cunoscute. Și apoi o matematică complet diferită se va deschide înaintea ta. Vioi, util și de înțeles.

„Computerul” din epoca de piatră

Când au apărut numerele, lucrurile au devenit mai distractive. Deși pentru o lungă perioadă de timp strămoșii noștri au folosit doar trei cifre: „unu”, „pereche” și „multe”.

Poți număra mai repede decât un computer? Depășiți un dispozitiv care efectuează sute de milioane de operațiuni pe secundă? Imposibil... Dar cel care spune asta este crunt de necinstit sau pur și simplu trece cu vederea ceva în mod deliberat. Un computer este doar un set de cipuri din plastic; nu contează de la sine.

Calculatorul poate efectua doar două operații: adunare și scădere. Înmulțirea pentru el este o adunare multiplă, iar împărțirea este o scădere multiplă.

Creierul nostru se comportă diferit. Clasa în care a studiat viitorul rege al matematicii, Carl Gauss, a primit cumva sarcina: adună toate numerele de la 1 la 100. Carl a scris răspunsul absolut corect pe tablă de îndată ce profesorul a terminat de explicat sarcina. Nu a adăugat cu sârguință numerele în ordine, așa cum ar face orice computer care se respectă. A aplicat formula pe care a descoperit-o el însuși: 101 x 50 = 5050. Și acesta este departe de singurul truc care grăbește calculele mentale.

Relevanţă:

Acest subiect este unul dintre cele mai relevante. Dezvoltarea abilităților mentale de numărare ocupă un loc special în școală și este una dintre sarcinile principale ale predării matematicii în această etapă. În primii ani de pregătire sunt stabilite principalele metode de calcul oral, care activează activitatea mentală a elevilor, dezvoltă memoria, vorbirea, capacitatea de a percepe ceea ce se spune cu ureche, măresc atenția și viteza de reacție.

Obiectul de studiu: Matematică.

Subiect de studiu: Numărarea verbală

Ţintă:

Aflați despre metodele și tehnicile de numărare orală.

Sarcini:

Teoria studiului.

Scrieți o notă istorică pe această temă

Luați în considerare toate elementele și metodele posibile de numărare orală.

Demonstrați că aceste tehnici chiar ajută.

Metode:

Teoretic.

Analitic.

Ipoteză:

În viață, există multe moduri și metode diferite de numărare mentală.

Partea teoretică

Numărarea verbală- calcule matematice efectuate de o persoană fără ajutorul unor dispozitive suplimentare (calculator, calculator, abac etc.) și dispozitive (pix, creion, hârtie etc.).

Procesul de numărare mentală poate fi considerat ca o tehnologie de numărare care combină ideile și abilitățile umane despre numere, algoritmi matematici de aritmetică.

Există trei tipuri tehnologii aritmetice mentale, care utilizează diferite capacități fizice ale unei persoane:

numărarea „pe degete”;

tehnologie de numărare a motoarelor audio;

tehnologie de numărare vizuală.

absența în fraza memorată a relațiilor cu rezultate vecine,

imposibilitatea de a separa zeci și unități ale produsului în fraze despre tabla înmulțirii fără a repeta întreaga frază;

incapacitatea de a inversa fraza de la răspunsul la factori, ceea ce este important pentru efectuarea diviziunii cu un rest;

viteza redusă de redare a unei fraze verbale.

Tehnici de numărare orală

Înmulțiți cu 9.

Pentru a înmulți orice număr între 1 și 9 cu 9, uită-te la mâini. Îndoiți degetul care corespunde numărului înmulțit (de exemplu, 9x3 - îndoiți al treilea deget), numărați degetele până la degetul îndoit (în cazul lui 9x3 este 2), apoi numărați după degetul îndoit (în cazul nostru este este 7).

Înmulțirea numerelor de la 10 la 20.

Este foarte ușor să înmulți astfel de numere!

La unul dintre numere este necesar să adăugați numărul de unități ale celuilalt, să înmulțiți cu 10 și să adăugați produsul unităților de numere.

De exemplu: 11*13=(11+3)*10+1*3=143

Înmulțiți cu 11.

Știm cu toții că atunci când înmulțim cu 10, la număr se adaugă 0, dar știai că există o modalitate la fel de simplă de a înmulți un număr de două cifre cu 11? Iată-l:

Pentru a înmulți un număr de două cifre, a cărui sumă nu depășește 10, cu 11, este necesar să se depărteze cifrele acestui număr și să se pună suma acestor cifre între ele.

De exemplu: 21*11=231

Scăderea de la 1000.

(Imaginați-vă că ați venit la magazin cu o notă mare)

Pentru a scădea din 1000 și a calcula rapid schimbarea, puteți folosi această regulă simplă:

Scădeți toate cifrele din 9, cu excepția ultimei.

Scădeți ultima cifră din 10!

De exemplu: 1000-254

Pătrat rapid.

Această tehnică vă va ajuta să pătrați rapid un număr din două cifre care se termină cu 5. Înmulțiți prima cifră cu ea însăși +1 și adăugați 25 la sfârșit. Gata!

Exemplu: 252= (2 ∙ (2+1)) adăugați 25

2 ∙ 3 = 6. În răspuns obținem 625

Înmulțiți cu 101.

Pentru a înmulți un număr din două cifre cu 101, scrieți pur și simplu numărul de două ori. 34 x 101 = 3434.

Pentru a înmulți un număr cu 4, înmulțiți-l de două ori cu 2. Pentru a împărți, împărțiți de două ori cu 2.

Este mai convenabil să înmulțiți cu 5 astfel: mai întâi înmulțiți cu 10, apoi împărțiți cu 2 la mijloc suma (N + A).

Când înmulțiți cu 1,5, înmulțitul trebuie împărțit la jumătate și adăugat la înmulțit, de exemplu 48 × 1,5 = 48/2 + 48 = 72. Poate fi aplicat la înmulțirea cu 15 48 × 1,5 × 10 \u003d 720.

Majoritatea trucurilor de numărare rapidă sunt similare trucurilor magice. Multe trucuri inteligente și, cel mai important, rapide ajută la ridicarea unui număr la o putere, la extragerea rădăcinii pătrate. Celebrele „30 de trucuri ale lui Perelman” pentru oamenii cu minte matematică vor fi mai cool decât spectacolul lui Copperfield, pentru că, de asemenea, ÎNȚELEGE ce se întâmplă și cum se întâmplă. Ei bine, restul se poate bucura de focalizarea frumoasă. De exemplu, trebuie să înmulțiți 45 cu 37. Să scriem numerele pe o foaie și să le separăm cu o linie verticală. Împărțim numărul din stânga la 2, aruncând restul, până obținem unul. Dreapta - înmulțiți până când numărul de linii din coloană este egal. Apoi tăiem din coloana DREAPTA toate acele numere vizavi de care se obține un rezultat par în coloana STÂNGA. Adăugăm numerele rămase din coloana din dreapta. Se dovedește 1665. Înmulțiți numerele în mod obișnuit. Răspunsul se va potrivi.

1.2 Concurs de punctaj mental

În prezent, în țările baltice, Slovenia și Ucraina, există concursuri de numărare orală în rândul școlarilor numite Pranglimine (Est. Pranglimină). Din 2004, au fost organizate competiții internaționale între școlari și adulți. În 2016, competițiile au avut loc la Murska Sobota (Slovenia).

Din 2004, Campionatul Mondial de calcul mental se desfășoară la fiecare doi ani. Se organizează concursuri pentru rezolvarea unor probleme precum adunarea a zece numere de 10 cifre (conform regulilor din 2016, se acordă 7 minute pentru această sarcină), înmulțirea a două numere de 8 cifre în 10 minute, calcularea zilei săptămânii conform Calendarul gregorian pentru o dată dată de la 1600 la 2100 de ani (1 minut), rădăcină pătrată de 6 cifre în 10 minute (rezultatul trebuie raportat cu 8 zecimale). Câștigătorul la categoria „Cel mai bun contor universal” se determină și pe baza rezultatelor rezolvării a șase „probleme cu surpriză” necunoscute. Aplicația este însoțită de rezultate în sporturi mentale și de rezultat în programele Memoriad, confirmate de cineva (de exemplu, un profesor de matematică). Nu există limită de vârstă și nu se face distincție între sexe. Participantul începe fiecare sarcină cu comanda „Neuroni: Gata, mergeți”. Campionatul din 2018 a avut loc în perioada 28-30 septembrie 2018 la Phæno Science Center din Wolfsburg, Germania, conform următoarelor reguli.

Memoriad (MEntal math + meMORy + olimpIAD) este o olimpiada internațională de numărare mentală, memorare și citire rapidă, desfășurată la fiecare 4 ani (coincidend în ani cu Jocurile Olimpice de vară). Sarcinile de aritmetică mentală includ: înmulțirea numerelor din 5, 8 și 20 de cifre; împărțirea numerelor din 10 cifre la cele din 5 cifre; luarea rădăcinii pătrate a unui număr de 6, 8 și 10 cifre; adăugarea a 250 două -numere cu cifre, arătând fiecare numere 0,6 secunde. Printre alte sarcini: amintirea numerelor binare, a numerelor zecimale pentru un anumit timp (de la 1 minut la 1 oră).

1.3 Aritmetica mentală în art

În Rusia, un tablou al unui artist rus este bine cunoscut Nikolai Bogdanov-Belsky « Numărarea orală în școala populară a lui S. A. Rachinsky”(Fig. 7), scrisă în 1895. Sarcina dată pe tablă, la care se gândesc elevii, necesită abilități de numărare mentală și ingeniozitate destul de ridicate.

Fenomenul de numărare rapidă a unui pacient autist este dezvăluit în filmul „Rain Man” (Fig. 5) de Barry Levinson și în filmul „Pi” (Fig. 3) Darren Aronofsky. Barry Levinson (fig. 4) (ing. Barry Levinson; născut la 6 aprilie 1942) este un regizor, scenarist și producător american de film. Câștigător al Oscarului în 1989.

Darren Aronofsky (ing. Darren Aronofsky; născut la 12 februarie 1969, Brooklyn, New York, SUA) este un regizor, scenarist și producător american de film (fig. 6).

Concluzie

Tehnicile de numărare rapidă pot face viața mai ușoară unui copil la școală, mamei într-un magazin sau bucătărie și tatălui la serviciu sau la birou. Cel mai simplu mod de a te antrena și, în același timp, de a încălzi creierul: numărarea verbală cu voce tare (obligatorie!) prin numărul până la o sută și înapoi. Dimineața, stând sub duș sau pregătind micul dejun, numărați: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Puteți număra în trei, în opt - principalul lucru este să o faceți tare. După doar câteva săptămâni de practică regulată, veți fi surprinși de cât de UȘOR devine să vă ocupați de numere. Toată lumea are nevoie de cunoștințe de matematică - atât studenți, cât și profesori. Modul în care se realizează oral operațiile matematice afectează calitatea (prezența sau absența erorilor în calcul). De asemenea, metoda de execuție afectează timpul de calcul: cunoașterea anumitor trucuri pentru calcularea rapidă, desigur, reduce timpul de finalizare a sarcinii.

Surse

http://www.calculator888.ru/blog/matematika/ustnyi-schet.html

https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/nestandartnie_priemi_ustnogo_scheta_111544.html

https://4brain.ru/schitat-v-ume/

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%87%D1%91%D1 %82

Anexa 1

Orez. 1 Fig.2

Orez. 3 Fig. 4 Fig. 5

Filiala școlii secundare MBOU Tokarevskaya nr. 1 din satul Poletaevo

Cercetare

consilier științific: Zueva Irina Petrovna

profesor de matematică

Poletaevo 2016

Introducere.

Capitolul I. Cercetare în teorie

1.1. Apariția numărării printre oamenii primitivi

1.2. Schimbarea contului când apare o civilizație

1.3. Prima literatură despre metodele de numărare

1.4. Tabel de înmulțire pe degete

1.5. Oamenii numără rapid fenomene

Capitolul II. Experimente și analiza soluției

2.1. Înmulțiți cu 11 un număr a cărui sumă de cifre este mai mică de 10

2.2. Înmulțiți cu 11 un număr a cărui sumă de cifre este mai mare decât 10.

2.4 Înmulțiți cu 22,33,….99

2.5 Înmulțirea cu numărul 111, 1111 etc., cunoscând regulile

înmulțind un număr din două cifre cu numărul 11.

2.6. Înmulțirea unui număr din două cifre cu 101, 1001 etc.

2.7. Înmulțiți cu 37

Constatări.

Lista literaturii folosite.

Introducere.

Pentru a participa la conferința de lucrări creative ale școlarilor „Fețe mici”. M-am hotărât rapid asupra alegerii subiectului. Mereu m-au interesat ce metode folosesc profesorii de matematică atunci când verifică caietele, când explică material nou, când trebuie să facă un calcul rapid. Anumite tehnici de numărare rapidă sugerate în lecții au fost ușoare pentru mine, dar cu cât învățăm mai departe matematica, cu atât vreau să învăț mai mult despre cum poți folosi în continuare numărarea rapidă pe numere mai complexe.

Dosarul va fi aici:/data/edu/files/i1461402798.pptx (Metode non-standard de numărare orală)

Am ales subiectul Metode nestandard de numărare orală» pentru că îmi place matematica și aș dori să învăț să număr rapid și corect, fără a apela la un calculator.

Mi-am pus o problemă: să găsesc și să iau în considerare metode non-standard de numărare rapidă orală, care nu sunt luate în considerare direct în cursul de matematică din școală.

Obiect de studiu- abilități de calcul și numărare rapidă la lecțiile materiilor din ciclul natural - matematic.

Subiect de studiu- tehnici non-standard și abilități de numărare mentală la înmulțirea numerelor naturale.

Sarcini1) aflați despre metodele simplificate, non-standard de calcule orale atunci când înmulțiți numere naturale.

2) luați în considerare și arătați cu exemple utilizarea metodelor nestandardizate pentru înmulțirea și împărțirea numerelor.

Metode de cercetare:

1) colectarea de informații;

2) sistematizare și generalizare.

Ţintămunca de cercetare: să studieze metodele și tehnicile de numărare rapidă și să dovedească necesitatea capacității de numărare rapidă și utilizarea eficientă a acestor tehnici.

RelevanţăSubiectul ales este că următoarele metode de numărare rapidă sunt concepute pentru mintea unei persoane „obișnuite” și nu necesită abilități unice. Principalul lucru este antrenamentul mai mult sau mai puțin lung. În plus, dezvoltarea acestor abilități dezvoltă logica și memoria elevului.

CAPITOLUL I

1.1. Cum au învățat oamenii să numere.

În această etapă, va trebui să mă aprofundez în istoria numărării pentru a înțelege avantajele persoanelor care au tehnici de numărare rapidă.

Nimeni nu știe cum a apărut numărul pentru prima dată, cum a început omul primitiv să numere. Cu toate acestea, cu zeci de mii de ani în urmă, omul primitiv a strâns fructele copacilor, a mers la vânătoare, a pescuit, a învățat să facă un topor și un cuțit de piatră și a trebuit să numere diverse obiecte pe care le-a întâlnit în viața de zi cu zi. Treptat, a apărut nevoia de a răspunde la întrebări vitale: câte fructe va obține fiecare, pentru ca toată lumea să aibă destule, cât să cheltuiască astăzi pentru a păstra în rezervă, câte cuțite trebuiau făcute etc. Astfel, fără să observe, persoana a început să numere și să calculeze.

La început, o persoană a învățat să evidențieze obiecte individuale. De exemplu, dintr-o haită de lupi, o turmă de căprioare, el a scos în evidență un lider, dintr-o puiet de pui - un pui etc. După ce au învățat să evidențieze un obiect dintre multe altele, au spus „unul”, iar dacă erau mai mulți - „mulți”. Chiar și pentru numele numărului „unu” au folosit adesea un cuvânt care denota un singur obiect, de exemplu, „lună”, „soare”. O astfel de coincidență a numelui obiectului și a numărului a fost păstrată în limba unor popoare până astăzi.

Observațiile frecvente ale seturilor formate dintr-o pereche de obiecte (ochi, urechi, aripi, mâini) au condus o persoană la ideea numărului doi. Până acum, cuvântul „doi” în unele limbi sună la fel ca „ochi” sau „aripi”.

Dacă erau mai mult de două obiecte, atunci omul primitiv a spus „multe”. Doar treptat o persoană a învățat să numere până la trei, apoi până la cinci și până la zece și așa mai departe. Numirea fiecărui număr într-un cuvânt separat a fost un mare pas înainte.

Oamenii își foloseau degetele de la mâini și de la picioare pentru a număra. La urma urmei, și copiii mici învață să numere pe degete. Cu toate acestea, această metodă a fost potrivită numai în douăzeci.

1.2. Scorul se schimbă când apare civilizația.

Pe măsură ce vorbirea s-a dezvoltat, oamenii au început să folosească cuvinte pentru a reprezenta numere. Nu era nevoie să arăți cuiva degete, pietricele sau obiecte reale pentru a-și numi numărul. Desenele, desenele sau simbolurile au început să fie folosite pentru a reprezenta numerele. Au existat, de asemenea, sisteme cu simboluri separate pentru fiecare cifră până la 9 inclusiv, precum sistemul de cifre arabe pe care îl folosim acum, iar grecii aveau un simbol special și pentru 10.

Cu ajutorul degetelor, oamenii au învățat nu numai să numere numere mari, ci și să efectueze adunări și scăderi.

Pentru confortul numărării, comercianții antici au început să pună cereale și coji pe o farfurie specială, care în cele din urmă a devenit cunoscută sub numele de abac.

Pe vremuri, operațiunile de înmulțire și împărțire, în special cele din urmă, erau deosebit de complexe și dificile. „Înmulțirea este chinul meu, iar dezbinarea este necaz”, spuneau ei pe vremuri. Atunci nu exista încă, ca acum, o tehnică elaborată prin practică pentru fiecare acțiune. Dimpotrivă, aproape o duzină de metode diferite de înmulțire și împărțire au fost utilizate în același timp - fiecare metodă era mai complicată decât cealaltă, pe care o persoană cu abilități medii nu și-a putut aminti cu fermitate. Fiecare profesor de calcul a respectat tehnica lui preferată, fiecare „maestru de diviziune” (au fost astfel de specialiști) și-a lăudat propriul mod de a efectua această acțiune.

1.3. Prima literatură despre metodele de numărare.

În cartea lui V. Belyustin „Cum oamenii au ajuns treptat la aritmetica reală” (1914), sunt descrise 27 de metode de înmulțire, iar autorul notează: „Este foarte posibil ca mai multe (metode) să fie ascunse în adâncurile depozitarilor de cărți, împrăștiate în numeroase colecții, în principal.Metoda noastră modernă de înmulțire este descrisă acolo sub denumirea de „șah”. A existat și o metodă foarte interesantă, precisă, ușoară, dar greoaie de „galeră” sau „barcă”, numită așa datorită faptului că, la împărțirea numerelor în acest fel, se obține o cifră asemănătoare cu o barcă sau o bucătărie. Am folosit această metodă până la mijlocul secolului al XVIII-lea. („Aritmetică” - un vechi manual rusesc de matematică, pe care Lomonosov l-a numit „porțile învățării sale”) folosește exclusiv metoda „gălei”, fără a folosi însă acest nume.

Sunt menționate metode precum „îndoire”, „zăbrele”, „spate în față”, „romb”, „triunghi” și multe altele. Multe dintre aceste trucuri pentru înmulțirea numerelor sunt lungi și necesită verificare obligatorie.

Interesant este că nici metoda noastră de înmulțire nu este perfectă, poți veni cu altele și mai rapide și chiar mai de încredere.

1.4. Tabelul înmulțirii pe „degete”.

Tabla înmulțirii este cunoștințele necesare în viața fiecărei persoane care trebuie memorate într-un mod elementar, ceea ce nu este deloc elementar la început la școală. Apoi, cu ușurința unui magician, „facem” pe exemple de înmulțire: 2 3, 3 5, 4 6 etc., dar în timp uităm din ce în ce mai mult de factorii mai aproape de 9, mai ales dacă nu am cunoscut practica de numărare pentru mult timp, motiv pentru care ne predăm puterii calculatorului sau sperăm în prospețimea cunoștințelor unui prieten. Cu toate acestea, stăpânind o tehnică simplă de înmulțire „manuală”, putem refuza cu ușurință serviciile unui calculator. Precizare: vorbim de tabla de înmulțire a școlii, adică. pentru numerele de la 2 la 9 înmulțite cu numerele de la 1 la 10.

Înmulțirea pentru numărul 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - este mai ușor de șters din memorie și mai dificil de recalculat manual prin adunare, dar pentru numărul 9 înmulțirea este ușor de reprodus „pe degete”. Întinde-ți degetele pe ambele mâini și întoarce-ți palmele departe de tine. Atribuiți mental numere de la 1 la 10 degetelor, începând cu degetul mic al mâinii stângi și terminând cu degetul mic al mâinii drepte (acest lucru este prezentat în figură). Să presupunem că vrem să înmulțim 9 cu 7. Îndoim un deget cu un număr egal cu numărul cu care vom înmulți 9. În exemplul nostru, trebuie să îndoim un deget cu numărul 7. Numărul de degete din stânga lui degetul îndoit ne arată numărul de zeci din răspuns, numărul degetelor din dreapta - numărul de unități. În stânga, avem 6 degete neîndoite, în dreapta - 3 degete. Astfel, 9 7=63. Figura de mai jos arată în detaliu întregul principiu al „calculului”.

Un alt exemplu: trebuie să calculați 9 9=? Pe parcurs, vom spune că degetele s-ar putea să nu acționeze neapărat ca o „mașină de calcul”. Luați de exemplu 10 celule într-un caiet. Trimitem celula a 9-a. Sunt 8 celule în stânga, 1 celulă în dreapta. Deci 9 9=81. Totul este foarte simplu.

Înmulțirea pentru numărul 8 - 8 1, 8 2 ... 8 10 - acțiunile de aici sunt similare cu înmulțirea pentru numărul 9 cu unele modificări. În primul rând, deoarece numărul 8 îi lipsește deja doi la numărul rotund 10, trebuie să îndoim două degete simultan de fiecare dată - cu numărul x și următorul deget cu numărul x + 1. În al doilea rând, imediat după degetele îndoite, trebuie să îndoim tot atâtea degete câte degete rămân necurbate în stânga. În al treilea rând, funcționează direct atunci când înmulțiți cu un număr de la 1 la 5, iar când înmulțiți cu un număr de la 6 la 10, trebuie să scădeți cinci din numărul x și să efectuați calculul ca pentru numărul de la 1 la 5. și apoi adăugați numărul 40 la răspuns, pentru că altfel va trebui să efectuați trecerea printr-o duzină, ceea ce nu este foarte convenabil „pe degete”, deși în principiu nu este atât de dificil. În general, trebuie remarcat faptul că înmulțirea pentru numere sub 9 este cu atât mai incomod de efectuat „pe degete”, cu atât numărul este mai mic de la 9.

Acum luați în considerare un exemplu de înmulțire pentru numărul 8. Să presupunem că vrem să înmulțim 8 cu 3. Îndoiți degetul cu numărul 3 și apoi degetul cu numărul 4 (3 + 1). În stânga avem 2 degete neîndoite, așa că trebuie să mai îndoim 2 degete după degetul cu numărul 4 (acestea vor fi degete cu cifrele 5, 6 și 7). Sunt 2 degete neîndoite în stânga și 4 degete în dreapta. Prin urmare, 8 3=24.

Un alt exemplu: calculează 8 8=? După cum am menționat mai sus, atunci când înmulțiți cu un număr de la 6 la 10, trebuie să scădeți cinci din numărul x, să efectuați calculul cu noul număr x-5 și apoi să adăugați numărul 40 la răspuns. Avem x \u003d 8, ceea ce înseamnă că îndoim degetul cu numărul 3 ( 8-5=3) și următorul deget numărul 4 (3+1). În stânga, două degete nu au fost îndoite, așa că mai îndoim două degete (cu numărul 5.6). Obținem: în stânga 2 degete nu sunt îndoite și în dreapta - 4 degete, ceea ce înseamnă numărul 24. Dar la acest număr trebuie adăugat și 40: 24 + 40 \u003d 64. Ca rezultat, 8 8=64.

1.5. Oamenii sunt un fenomen de numărare rapidă.

Fenomenul abilităților speciale în numărarea mentală există de mult timp. După cum știți, au fost deținute de mulți oameni de știință, în special Andre Ampère și Karl Gauss. Cu toate acestea, capacitatea de a număra rapid a fost, de asemenea, inerentă multor oameni a căror profesie era departe de matematică și știință în general.

Până în a doua jumătate a secolului al XX-lea, spectacolele specialiștilor în numărătoarea orală erau populare pe scenă. Uneori organizau între ei concursuri expoziționale. Cunoscuții „super-contoare” ruși sunt Aron Chikvashvili, David Goldstein, Yuri Gorny, străini - Borislav Gadzhansky, William Kline, Thomas Fuller și alții.

Deși unii experți au asigurat că este o chestiune de abilități înnăscute, alții au susținut convingător contrariul: „treba nu este doar și nu atât în unele abilități „fenomenale” excepționale, ci în cunoașterea unor legi matematice care îți permit să faci rapid. fă calcule” și a dezvăluit de bunăvoie aceste legi .

Adevărul, ca de obicei, s-a dovedit a fi pe un anumit „mijloc de aur” al unei combinații de abilități naturale și trezirea, cultivarea și utilizarea lor competentă și harnică. Cei care, urmând lui Trofim Lysenko, se bazează numai pe voință și asertivitate, cu toate metodele și metodele deja cunoscute de numărare mentală, de obicei cu toate eforturile lor, nu se ridică peste realizările foarte, foarte medii. Mai mult, încercările persistente de a „încărca” bine creierul cu activități precum numărarea mentală, șah orb etc. poate duce cu ușurință la suprasolicitare și o scădere vizibilă a performanței mentale, a memoriei și a bunăstării (și în cele mai severe cazuri, la schizofrenie). Pe de altă parte, oamenii talentați, folosindu-se fără discernământ a talentelor lor într-un domeniu precum aritmetica mentală, se „ard” rapid și încetează să mai poată arăta realizări strălucitoare pentru o lungă perioadă de timp și în mod constant. Unul dintre exemplele unei combinații reușite a ambelor condiții (talent natural și mare muncă competentă asupra propriei persoane) l-a arătat compatriotul nostru, originar din Teritoriul Altai, Yuri Gorny.

Poate singurul sistem fundamentat științific și suficient de detaliat pentru o creștere bruscă a vitezei de numărare mentală a fost creat în anii celui de-al Doilea Război Mondial de profesorul de matematică din Zurich J. Trachtenberg. Este cunoscut sub numele de „Sistemul de numărare rapidă”. Istoria creării sale este neobișnuită. În 1941 naziștii l-au aruncat pe Trachtenberg într-un lagăr de concentrare. Pentru a supraviețui în condiții inumane și pentru a-și menține psihicul normal, Trachtenberg a început să dezvolte principiile numărării accelerate. În cei patru ani groaznici ai șederii sale în lagărul de concentrare, profesorul a reușit să creeze un sistem coerent de predare accelerată a copiilor și adulților noțiunile de bază ale numărării rapide. De la bun început, rezultatele au fost cele mai încurajatoare. Elevii s-au bucurat de noile competențe dobândite și au mers înainte cu entuziasm. Dacă mai devreme erau respinși de monotonie, acum erau atrași de o varietate de tehnici. Pas cu pas, datorită succeselor lor, interesul pentru cursuri a crescut. După război, Trachtenberg a creat și a condus Institutul de Matematică din Zurich, care a câștigat faima mondială.

De asemenea, alți oameni de știință au fost implicați în dezvoltarea tehnicilor de numărare rapidă: Yakov Isidorovici Perelman, Georgy Berman și alții.

Voi da exemple de multiplicare a numerelor care au primit cea mai mare descriere din literatură.

Capitolul II.

2.1 Înmulțirea cu 11 a unui număr a cărui sumă de cifre nu depășește 10.

Pentru a multiplica cu 11 un număr a cărui sumă de cifre este 10 sau mai mică de 10, trebuie să împingeți mental cifrele acestui număr, să puneți suma acestor cifre între ele și apoi să adăugați 1 la prima cifră și să lăsați a doua și ultima (a treia) cifră neschimbată.

27 x 11 \u003d 2 (2 + 7) 7 \u003d 297;

62 x 11= 6 (6+2) 2 = 682.

2.2 Înmulțiți cu 11 un număr a cărui sumă de cifre este mai mare decât 10.

Pentru a înmulți cu 11 un număr a cărui sumă de cifre este 10 sau mai mare de 10, trebuie să împingeți mental cifrele acestui număr, să puneți suma acestor cifre între ele și apoi să adăugați 1 la prima cifră și să lăsați a doua și ultima (a treia) cifră neschimbată.

86 x 11 \u003d 8 (8 + 6) 6 \u003d 8 (14) 6 \u003d (8 + 1) 46 \u003d 946.

2.3 Înmulțirea cu unsprezece (după Trachtenberg).

Să ne uităm la un exemplu: 633 ori 11.

Răspunsul este scris sub 633, o cifră de la dreapta la stânga, conform regulilor.

Prima regulă. Scrieți ultima cifră din 633 ca cifră din dreapta rezultatului

633*11

A doua regulă. Fiecare cifră ulterioară a numărului 633 se adaugă vecinului său din dreapta și se scrie în rezultat.3 + 3 va fi 6. Înaintea celor trei, scriem rezultatul 6.

633*11

Să aplicăm din nou regula: 6 + 3 vor fi 9. Ca rezultat, notăm această cifră:

633*11

A treia regulă. Prima cifră a lui 633, adică 6, devine cifra din stânga a rezultatului:

633*11

6963

Răspuns: 6963.

2.4 Înmulțiți cu 22,33,….99

Pentru a înmulți un număr din două cifre cu 22,33, ..., 99, acest multiplicator trebuie reprezentat ca un produs al unui număr cu o singură cifră (de la 2 la 9) cu 11, adică 33 \u003d 3 x 11 ; 44 = 4 x 11 etc. Apoi înmulțiți produsul primelor numere cu 11.

Exemple:

18 x 44 = 18 x 4 x 11 = 72 x 11 = 792;

42 x 22 = 42 x 2 x 11 = 84 x 11 = 924;

13 x 55 = 13 x 5 x 11 = 65 x 11 = 715;

24 x 99 = 24 x 9 x 11 = 216 x 11 = 2376.

2.5 Înmulțirea cu numărul 111, 1111 etc., cunoscând regulile de înmulțire a unui număr de două cifre cu numărul 11.

Dacă suma cifrelor primului factor este mai mică de 10, trebuie să extindeți mental cifrele acestui număr cu 2, 3 etc. pas, adunați numerele și notați de câte ori suma lor este corespunzător între numerele separate. Numărul de pași este întotdeauna mai mic decât numărul de unități cu 1.

Exemplu:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (număr de pași - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (număr de pași - 3)

Când înmulțiți numărul 72 cu 111111, numerele 7 și 2 trebuie îndepărtate cu 5 pași. Aceste calcule pot fi făcute cu ușurință în minte.

42 x 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.(număr de pași - 5)

Dacă există 6 unități, atunci vor fi cu 1 pași mai puțin, adică 5.

Dacă există 7 unități, atunci vor fi 6 pași și așa mai departe.

Înmulțirea unui număr din două cifre cu 111, 1111, 1111 etc., a cărui sumă de cifre este egală sau mai mare decât 10.

Este puțin mai greu să faci o înmulțire declarativă dacă suma cifrelor primului multiplicator este 10 sau mai mult de 10.

Exemple:

86 x 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

În acest caz, este necesar să adăugați 1 la prima cifră 8, obținem 9, apoi 4 + 1 \u003d 5; iar ultimele cifre 4 și 6 rămân neschimbate. Primim răspunsul 9546.

2.6. Înmulțirea unui număr din două cifre cu 101, 1001 etc.

Poate cea mai simplă regulă este: adăugați numărul dvs. la sine. Înmulțirea s-a încheiat. Exemplu:

32 x 101 = 3232; 47 x 101 = 4747;

324 x 1001 = 324 324; 675 x 1001 = 675 675;

6478 x 10001 = 64786478;

846932 x 1000001 = 846932846932.

2.7. Înmulțiți cu 37

Înainte de a învăța cum să înmulțiți verbal cu 37, trebuie să cunoașteți bine semnul divizibilității și tabla înmulțirii cu 3. Pentru a înmulți verbal un număr cu 37, trebuie să împărțiți acest număr cu 3 și să înmulțiți cu 111.

Exemple:

24 x 37 \u003d (24: 3) x 37 x 3 \u003d 8 x 111 \u003d 888;

18 x 37 = (18:3) x 111 = 6 x 111 = 666.

2.8. Algoritm pentru înmulțirea numerelor din două cifre apropiate de 100

De exemplu: 98 x 97 = 9506

Aici folosesc următorul algoritm: dacă doriți să înmulțiți doi

numere din două cifre apropiate de 100, apoi procedați astfel:

1) găsiți deficiențele factorilor până la o sută;

2) scade de la un factor dezavantajul celui de-al doilea până la o sută;

3) adăugați produsul deficiențelor la rezultat cu două cifre

factori de până la sute.

2.9. Înmulțirea unui număr din trei cifre cu 999.

O caracteristică curioasă a numărului 999 apare atunci când orice alt număr de trei cifre este înmulțit cu acesta. Apoi se obține un produs din șase cifre: primele trei cifre sunt numărul înmulțit, doar redus cu una, iar celelalte trei cifre (cu excepția ultimei) sunt „adunările” primei la 9. De exemplu:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

2.10. Înmulțirea cu șase (după Trachtenberg)

Trebuie să adăugați jumătate din „vecinul” fiecărei figuri.

Exemplu: 0622084 * 6

0622084 * 6 4 este cifra dreaptă a acestui număr și, deoarece nu are „vecin” 4, nu există nimic de adăugat.

06222084 * 6 A doua cifră este 8, „vecinul” este 4. Luăm 8 04, adăugăm jumătate din 4 (2) și obținem 10, scriem zero, 1 în transfer.

06222084 * 6 Următoarea cifră este zero. Adăugăm la ea

504 jumătate din „vecinul” 8 (4), adică 0 + 4 = 4 plus

transfer (1).

Restul numerelor sunt aceleași.

Raspuns: 06222084 * 6

3732504

Regula înmulțirii cu 6: dacă „vecinul” este par sau impar - nu joacă niciun rol. Ne uităm doar la numărul însuși: dacă este par, îi adăugăm toată partea sa din jumătatea „vecinului”, dacă este impar, atunci pe lângă jumătatea „vecinului” adăugăm încă 5.

Exemplu: 0443052 * 6

0443052 * 6 2 - chiar și nu are un „vecin”, scrieți-l mai jos

0443052 * 6 5 - impar: 5 + 5 și plus jumătate din „vecinul” 2 (1)

12 va fi 11. Să scriem 1 și să purtăm 1

0443052 * 6 jumătate din 5 va fi 2 și adăugați transportul de 1, va fi 3

0443052 * 6 3 - impar, 3 + 5 = 8

8312

0443052 * 6 4 + jumătate din 3 (1) este 5

58312

0443052 * 6 4 + jumătate din 4 (2) este 6

658312

0443052 * 6 zero + jumătate din 4 (2) este 2

2658312 Răspuns: 2658312.

Constatari:

Sistemul de numărare rapidă al lui Trachtenberg se bazează pe modelele de înmulțire a numerelor. Pentru a înmulți cu 11, 12, 6 etc. trebuie să cunoașteți algoritmul de execuție. Acest sistem este incomod, trebuie să aveți în vedere o mulțime de reguli pentru numărarea rapidă, dar sistemul Trachtenberg arată cât de frumoasă este matematica dacă o persoană descoperă secretele legilor sale, le studiază și învață să le pună în practică.

Concluziile studiului

După cum putem vedea, numărarea rapidă nu mai este un secret cu șapte sigilii, ci un sistem dezvoltat științific. Odată ce există un sistem, atunci poate fi studiat, poate fi urmărit, poate fi stăpânit.

Toate metodele de multiplicare mentală pe care le-am luat în considerare vorbesc despre interesul pe termen lung al oamenilor de știință și al oamenilor obișnuiți de a se juca cu numerele.

Folosind unele dintre aceste metode în clasă sau acasă, puteți dezvolta viteza de calcul, puteți insufla interesul pentru matematică și puteți obține succes în studiul tuturor disciplinelor școlare.

Lista literaturii folosite

1. „Numărarea mentală – gimnastica minții” G.A.Filippov

2. „Algoritmi pentru calcule accelerate” L.V. Biktasheva

3. „Numărare verbală”. E.L. Strunnikov

4. „Cutie matematică” F.F. Nagibin E.S. Kanin

5. „Lumea numerelor” G.I. Zubelevici V.I. Efimov

6. „Probleme pentru un cerc matematic” E.G. Kozlova

7. „Dezvoltarea culturii informatice a studenților” NL. Melnikova

8. Biblioteca „Primul septembrie”