Arc cosinus. Rezolvarea ecuației cos t = a. Lecție de algebră pe tema "Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Rezolvarea unei ecuații de forma cos x = a" Etapa de organizare a implementării planului de activități

Lecțiile 34-35. Ecuații trigonometrice

Ţintă: luați în considerare rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Comunicarea temei și a scopului lecțiilor

II. Repetarea și consolidarea materialului acoperit

1. Răspunsuri la întrebări despre teme (analiza problemelor nerezolvate).

2. Monitorizarea asimilării materialului (sondaj scris).

Opțiunea 1

arctg x.

2. Reprezentați grafic funcția:

3. Calculați

Opțiunea 2

1. Definiți și enumerați principalele proprietăți ale funcției y = arcctg x.

2. Reprezentați grafic funcția:

3. Calculați

III. Învățarea de materiale noi

Să luăm în considerare rezolvarea unor tipuri de ecuații trigonometrice. Pentru a face acest lucru, este necesar, folosind transformări, să reduceți această ecuație la una dintre cele mai simple ecuații - sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a , a cărui soluție poate fi scrisă.

1. Cele mai simple ecuații trigonometrice

Să ne amintim încă o dată soluțiile celor mai simple ecuații trigonometrice.

1. Rezolvari de ecuatii sin x = a (unde | a | ≤ 1) au forma:

2. Rezolvari de ecuatii cos x = a (unde |a| ≤ 1) au forma:

3. Rezolvari de ecuatii tg x = a are forma:

4. Rezolvari la ecuatii ctg x = a are forma:

La rezolvarea ecuaţiilor sin x = 0; ±1 și cos x = 0; ±1 (cazuri speciale) este mai convenabil să folosiți nu formule generale, ci să folosiți cercul numeric, atunci obținem:

Exemplul 1

Pentru ecuația sin x = 1 vom arăta preferința utilizării cercului numeric.

Mai întâi notăm soluțiile ecuației sin x = 1, folosind formula generalăPentru valori multiple n astfel de soluții sunt date în tabel.

Din datele din tabel este clar că atunci când se utilizează formulaFiecare soluție se repetă de două ori. Mai mult, expresiamai greoaie în comparație cu formulacare se obţine luând în considerare cercul numeric.

Exemplul 2

Să găsim soluții la ecuațieaparţinând segmentului.

Să rezolvăm această ecuație folosind cercul numeric. Primim:Să selectăm acele soluții care aparțin segmentului . Prin condiție obținem inegalitateaSă rezolvăm această inegalitate:Trei valori întregi se încadrează în acest interval n:n = 0, 1, 2. Pentru aceste valori n hai sa gasim solutiile corespunzatoare:

Exemplul 3

Să rezolvăm ecuația

Folosind formula generală, obținem:Apoi

2. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Pentru a rezolva ecuații mai complexe, folosiți metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să luăm în considerare mai întâi metoda de introducere a unei noi variabile.

Exemplul 4

Să rezolvăm ecuația:

a) Să introducem o nouă variabilă z = cos x ale căror rădăcini sunt z 1 = 1 și z 2 = 2/3. Să revenim la vechea necunoscută și să obținem cele mai simple ecuații cos x = 1 și cos x = 2/3. Soluții la prima ecuație x = 2π n , soluții la a doua ecuație

b) Folosind formulaîn ecuație să trecem la funcție sinx. Primim: sau În continuare procedăm în mod similar la punctul a. Să introducem o nouă variabilă z = sin x și obținem o ecuație pătraticăale căror rădăcini sunt z 1 = 2 și z 2 = 1/3. Să revenim la vechea necunoscută și să obținem cele mai simple ecuații păcat x = 2 (nu are soluții) și păcat x = 1/3 (soluția sa).

Acum să discutăm despre a doua metodă - metoda factorizării. Când se aplică, ecuația f(x ) = 0 se scrie sub forma, atunci fie f 1 (x) = 0, fie f 2 (x) = 0. Astfel, problema se reduce la rezolvarea unui set de ecuații

Exemplul 5

Să rezolvăm ecuația:

a) Partea stângă a ecuației a fost deja factorizată. Problema se rezumă la rezolvarea unui set de ecuații tg x - 1 = 0 (sau tg x = 1) și cos x + 1/2 = 0 (sau cos x = -1/2). Soluții la prima ecuațiesoluții pentru a doua ecuație

b) Să scoatem cos 3 x în afara parantezelor obținem:Acum trebuie să rezolvăm un set de ecuații cos 3 x = 0 și (sau ). Rezolvând prima ecuație, găsim:Şi Rezolvând a doua ecuație, obținem:

Să clarificăm metoda în cauză. Din Eq.rezultă că fie f 1 (x ) = 0 (în acest caz expresia f 2 (x) are sens), sau f 2 (x) = 0 (în acest caz expresia f 1 (x) are sens).

Exemplul 6

Să rezolvăm ecuația cot x (cos + 1) = 0.

Din ecuația cot x = 0 găsim: din ecuația cos x + 1 = 0 (sau cos x = -1) obținem: x = π + 2π n . Dar pentru astfel de valori ale lui x, expresia ctg x nu are sens. Prin urmare, soluțiile acestei ecuații x = π/2 + n n.

3. Ecuații trigonometrice omogene

Acum să discutăm despre un tip de ecuații frecvent întâlnit - ecuații omogene.

Definiţie. Ecuația formei(unde a ≠ 0, b ≠ 0) se numește ecuație trigonometrică omogenă de gradul I. Ecuația formei(unde a ≠ 0) se numește ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi.

Să considerăm mai întâi soluția ecuațiilor trigonometrice omogene de gradul I Să ne asigurăm că cos x ≠ 0. Să presupunem că cos x = 0 și înlocuiți această valoare în această ecuație. Primim: un păcat x = 0. Deoarece a ≠ 0, atunci sin x = 0. Evident, egalitățile cos x = 0 și sin x = 0 nu poate fi executat simultan, deoarece egalitatea sin 2 x + cos 2 x = 1 nu este executat.

Deoarece cos x ≠ 0, atunci cos x . Primim: sau de unde şi

Exemplul 7

Să rezolvăm ecuația

Să împărțim toți termenii ecuației cuși obținem: Vom găsi și

Exemplul 8

Să rezolvăm ecuația

Să luăm în considerare paritatea funcției cosinus și formula de reducere. Primim:sau Să împărțim ambele părți ale ecuației cu cos 3 x . Avem: 2 tg 3 x = -1, de unde tg 3 x = -1/2,

Să considerăm acum soluția unei ecuații trigonometrice omogene de gradul doi Să ne asigurăm că cos x ≠ 0. Înlocuiți valoarea cos x = 0 în această ecuație și obținem: un păcat 2 x = 0. Deoarece a ≠ 0, avem: păcat x = 0. Dar egalităţi cos x = 0 și sin x = 0 nu poate fi executat simultan.

Din moment ce cos x ≠ 0, apoi împărțiți toți termenii ecuației la cos 2 x și obținem: or Să introducem o nouă variabilă z = tan x și ajungem la ecuația pătratică az 2 + bz + c = 0. Rezolvați această ecuație. Apoi revenim la vechea variabilă, obținem cele mai simple ecuații trigonometrice și găsim soluțiile acestora.

Exemplul 9

Să rezolvăm ecuația

Să împărțim toți termenii ecuației cu cos 2 x și obținem: tg 2 x – tg x - 2 = 0. Să introducem o nouă variabilă z = tan x și obținem o ecuație pătratică z 2 - z - 2 = 0, ale cărui rădăcini z 1 = -1 și z 2 = 2. Să revenim la vechea variabilă. Avem cele mai simple ecuații trigonometrice tg x = -1 (soluțiile sale) și tan x = 2 (soluțiile sale ).

Exemplul 10

Să rezolvăm ecuația

Această ecuație nu este omogenă, deoarece partea dreaptă conține numărul 1, și nu numărul 0. Dacă luăm în considerare egalitatea sin 2 x + cos 2 x = 1, atunci ecuația poate fi ușor redusă la una omogenă. Primim: sau Să împărțim toți termenii ecuației cu cos 2 x . Avem: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Să introducem o nouă variabilă z = tan x și obținem o ecuație pătratică z 2 + 5 z + 4 = 0, ale cărui rădăcini z 1 = -1 și z 2 = -4. Să revenim la vechea variabilă. Să obținem cele mai simple ecuații trigonometrice tg x = -1 (soluțiile sale) și tg x = -4 (soluțiile sale).

Lăsați o ecuație trigonometrică omogenă coeficient a = 0. Atunci ecuația arată astfel:În acest caz, împărțiți cu cos 2 x nu este posibil, deoarece cos x poate fi zero. Prin urmare, este necesar să se folosească metoda factorizării. PrimimAvem cea mai simplă ecuație trigonometrică cos x = 0 și o ecuație trigonometrică omogenă de gradul IȘtim deja cum să rezolvăm astfel de ecuații.

Exemplul 11

Să rezolvăm ecuația

Să factorizăm partea stângă a ecuației:Produsul a doi factori este egal cu zero. Prin urmare, unul dintre factori este zero. Obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică cos x = 0 (soluțiile sale ) și o ecuație trigonometrică omogenă de ordinul întâisau (soluțiile sale).

Metoda factorizării este folosită și în cazul în care coeficientul c = 0. Atunci ecuația arată astfel: sau Încă o dată obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică păcat x = 0 și o ecuație trigonometrică omogenă de ordinul întâicare sunt rezolvate în mod similar cu exemplul 11.

Luarea în considerare a exemplelor 9-11 ne permite să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuației

1. Dacă coeficientul a nu este zero, atunci toți termenii ecuației sunt împărțiți la cos 2 x . Introduceți o nouă variabilă z = bronz x și obțineți o ecuație pătratică. Găsiți rădăcinile acestei ecuații și reveniți la vechea necunoscută. Obține cele mai simple ecuații trigonometrice și rezolvă-le.

2. Dacă coeficienții a și c sunt egali cu zero, atunci utilizați metoda factorizării. La o = 0 este scos din paranteze cos x, când c = 0 se scot sin x . Obțineți cea mai simplă ecuație trigonometrică și o ecuație trigonometrică omogenă de ordinul întâi și rezolvați-le.

IV. Întrebări de securitate

1. Rezolvari ale celor mai simple ecuatii trigonometrice.

2. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

3. Definirea unei ecuații trigonometrice omogene de gradul I și II.

4. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

5. Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații trigonometrice omogene de gradul II.

V. Atribuirea lecției

§ 18, nr. 3 (a, c); 5 (a, b); 6 (b); 8 (g); 10 (a, b); 11 (c); 12(a); 13 (c); 16; 18; 20(a); 21 (a, b); 23(a); 27 (a, b); 30(a); 31; 33(a); 34(b); 35 litera (a).

VI. Temă pentru acasă

§ 18, nr. 3 (b, d); 5 (c, d); 6 (g); 8 (b); 10 (c, d); 11(a); 12 (b); 13 (g); 17; 19; 20 (b); 21 (c, d); 23(b); 27 (c, d); 30(b); 32; 33(b); 34(a); 35(b).

VII. Rezumând lecțiile

• Rezumatul lecției 1 (Shelest S.V.)

  Numele subiectului: Algebra și începuturile analizei matematice Clasa 10 UMK: Algebra și începuturile analizei matematice A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, 2015 Nivel de învățare (de bază) Tema lecției: Conceptul de arc cosinus și rezolvarea ecuației cost = a Număr total de ore alocate studierii temei: 2 Locul lecției în sistemul de lecții pe tema: 1 Scop a lecției: introduceți conceptul de arc cosinus, deduceți o formulă pentru găsirea rădăcinilor ecuației cos t = a Obiectivele lecției 1. Predare: a) să dezvolte capacitatea de a calcula arccosinus b) să învețe cum să folosească formula atunci când rezolvarea de ecuații trigonometrice simple; 2. Dezvoltare: a) dezvoltă capacitatea de a exprima pe scurt, logic, consecvent gânduri și judecăți; b) dezvoltați capacitatea de a vă argumenta afirmațiile; Prin urmare, a fost introdus spre considerare un nou simbol arccos a, care spune: arccosin a. t = ± arccos a + 2πk, k. Răspuns: t = ± arccos a + 2πk, k. Notați în caiet modelul de rezolvare a ecuației pentru profesor 6. Întărirea materialului studiat (13 min) Nr. 15.5 (b, d), 15.6 (a, b).

  Descărcați: Algebra 10kl - Note lecția 1 (Shelest S.V.).docx

• Lecția 2 (Shelest S.V.)

  Numele subiectului: Algebra și începuturile analizei matematice Clasa 10 UMK: Algebra și începuturile analizei matematice A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, 2015 Nivel de învățare (de bază) Tema lecției: Rezolvarea ecuației cost = a Număr total de ore alocate studierii temei: 2 Locul lecției în sistemul de lecții pe tema: 2 Scopul lecției: consolidarea capacitatea de a calcula arc cosinus; dezvolta capacitatea de a rezolva ecuații de forma cos t = a. Obiectivele lecției 1. Educațional: a) învață cum să folosești formula la rezolvarea unor ecuații trigonometrice simple; luați în considerare cazuri speciale ale unor astfel de ecuații. 2. Dezvoltare: a) dezvoltă capacitatea de a exprima pe scurt, logic, consecvent gânduri și judecăți; b) dezvoltați capacitatea de a vă argumenta afirmațiile;< –1. г) cos t = 2,04. нет решений, так как 2,04 >1. 3. Nr. 15.12 (a). Rezolvare: cos t = 1 Răspuns: 4. Nu 15.4 (a; b). Soluție: a) dacă k = 0, atunci (neinclus) (neinclus) dacă k = 1, atunci (neinclus) (inclus) Răspuns: b) dacă k = 0, atunci (neinclus) (neinclus) dacă k = 1, atunci (inclus) (neinclus) dacă k = 2, atunci (neinclus) (inclus) Răspuns: 5. Nu. 15.15 (d). Rezolvare: dacă k = 0, atunci (intră) (intră) dacă k = 1, atunci (nu intră) (nu intră) dacă k = –1, atunci (intră) (nu intră) Răspuns: 6. Nu 15.17. Puteți invita studenții să îndeplinească sarcini suplimentare cu un nivel crescut de complexitate. 7.* Nr. 15.18 (a; b). Rezolvare: Aceste inegalități sunt rezolvate folosind cercul numeric. Principala dificultate este de a determina corect unghiurile cărora le corespund numerele și 8.* Nr. 15.19 (a). Rezolvare: Să facem înlocuirea cos t = x și să rezolvăm inegalitatea: Obținem: Ținând cont de intervalul de valori al funcției cos t, obținem inegalitatea: Răspuns: 5. Rezumatul lecției. Întrebări pentru elevi: – Cum se numește arccosinus al numărului a? – Cum se calculează arccos (–a)? – Numiți formula pentru rădăcinile ecuației cos t = a. – Formularea unui algoritm de rezolvare a inegalităților trigonometrice simple. Tema pentru acasă: nr. 15.5 (b; d), nr. 15.6 (a; c), nr. 15.12 (b), nr. 15.15 (b; c). În plus: nr. 15.18 (c; d), nr. 15.19 (g).

  Descarcă: Algebra 10kl - lecția 2 (Shelest S.V.).docx

• lecția 1 (Bakeeva I.R.)

  Numele subiectului: Algebra și începuturile analizei Clasa: 10 UMK: Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei matematice. 10-11 clase. La ora 2 Manual și carte de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază). -M.: Mnemosyne, 2011. Nivel de pregătire: de bază. Subiectul lecției: Conceptul de arc cosinus. Numărul total de ore alocate studierii temei: 10 ore. Locul lecției în sistemul de lecții pe tema: 1 lecție. Obiectivele lecției: introducerea conceptului de arc cosinus, dezvoltarea capacității de a calcula arc cosinus; deduceți o formulă pentru găsirea rădăcinilor ecuației cos t = a. 1) Obiectivele educaționale ale lecției: crearea condițiilor organizatorice și de conținut pentru formarea abilităților elevilor de a găsi arccosinusul unui număr, arccosinusul unui număr negativ, compararea valorilor arccosinusului 2) Dezvoltare obiectivele lecției: promovarea formării capacității de a aplica cunoștințele dobândite într-o situație nouă, dezvoltarea gândirii logice, vorbirea matematică. crearea condițiilor pentru dezvoltarea activității cognitive a elevilor și a interesului cognitiv pentru materie; dezvoltarea unei culturi intelectuale, reflexive; dezvoltarea abilităților de activitate independentă ale elevilor; dezvoltarea abilităților de autocontrol; 3) Obiectivele educaționale ale lecției: dezvoltarea mobilității, a abilităților de comunicare. promovarea unei culturi a muncii mentale; dezvoltarea capacității de a analiza rezultatele propriilor activități; asigura caracterul umanist al învăţării. Rezultate planificate: 1. Să fie capabil să găsească arccosinusul unui număr, arccosinusul unui număr negativ. 2. Să fie capabil să compare valorile arccosinus. Echipament pentru lecție: computer, proiector, ecran. Suport metodologic și didactic suplimentar pentru lecție: prezentare în PowerPoint Planul lecției: I. Punct organizatoric. Autodeterminare pentru activități, stabilirea de scopuri și obiective pentru lecție. II. Lucrări orale. 1. Calculați. 2. Numiți mai multe unghiuri al căror cosinus este egal cu: a) 0; b) c) d) –1. III. Explicarea noului material. Explicația se realizează conform paragrafului din manual în mai multe etape. 1. Actualizarea cunoștințelor. Ar trebui să repetați metoda de rezolvare a ecuațiilor de forma cos t = a folosind cercul numeric. Luați în considerare un exemplu dintr-un manual care arată soluția ecuației cos t =. 2. Enunțarea problemei problemei. După ce elevii își amintesc principiul rezolvării ecuațiilor de forma cos t = a, cereți-le să rezolve o ecuație de forma cos t =. Apoi, conform punctului din manual, introduceți conceptul de arc cosinus. La determinarea arcului cosinus, elevii ar trebui să acorde atenție faptului că unghiul este luat din interval. Explicați: dacă acest fapt nu este luat în considerare, atunci arccosinusul va lua infinit de valori. 3. Rezolvarea ecuaţiei cos t = a. Deduceți o formulă pentru rezolvarea ecuației cos t = a și puneți-o pe tablă. 4. Găsirea arccos(–а). Foarte des, elevii greșesc atunci când calculează arccosinusul unui număr negativ. Aceste erori sunt de două tipuri. De exemplu, atunci când calculează arcos, elevii obțin (mai târziu confundați cu arcsinus) sau (amintiți-vă de paritatea funcției y = cos x). Referirea la definiția arcului cosinus și a cercului numeric vă va ajuta să evitați aceste erori. Conform definiției, arccosinusul este în interval și, prin urmare, nu poate fi negativ. Pe cercul numeric puteți vedea că arcos După găsirea valorilor mai multor arc cosinus de numere negative, pe tablă este scrisă următoarea înregistrare: IV. Formarea deprinderilor și abilităților. Această lecție se concentrează pe găsirea cosinusurilor arcului. Rezolvarea ecuațiilor cos t = a poate fi amânată până la următoarea lecție. 1. Nr. 15.1, Nr. 15.2, Nr. 15.3 (b, d). 2. Calculați. 3. Nr. 15.8 (a). Hotărâre: 4. Nr 15.10. Este foarte important ca elevii să înțeleagă intervalul de valori acceptabile pentru expresia arccos a. Abia după aceasta puteți trece la următorul număr. 5. Nr. 15.9 (a, d). Rezolvare: a) arccos x Este evident că b) arccos (3 – 2x) 1 ≤ x ≤ 2 Răspuns: . 6. Nr 15.11. Rezolvare: tg (arccos 0,1 + arccos (- 0,1) + x) = tg x. Folosind formula arccos a + arccos (- a) = π, transformăm partea stângă a egalității: tg (arccos 0,1 + arccos (- 0,1) + x) = tg(π + x) = tan x. Dovedit. Într-o clasă cu un nivel ridicat de pregătire, puteți oferi suplimentar mai multe sarcini de un nivel crescut de complexitate. 7.* Nr. 15.16. Rezolvare: a) y = arccos x + arccos (- x). Elevii transformă destul de des pur și simplu această expresie, uitând de domeniul de definiție și gama de valori ale funcției. Avem: arccos x + arccos (- x) = π, cu D (y): și E (y): . Apoi graficul va arăta astfel: b) y = cos(arccos x). Este evident că cos(arccos x) = x, dar din nou nu trebuie să uităm de domeniul de definiție și domeniul de valori al funcției originale. 8.* Nr. 15.21 (a), Nr. 15.22 (a). Decizie: nr. 15.21(a). Sarcinile de acest tip provoacă adesea dificultăți elevilor. Pentru a le completa, aveți nevoie de o înțelegere conștientă a definiției arccosinusului. Pentru a-i ajuta pe elevi să găsească o modalitate de a rezolva această sarcină, putem raționa astfel: – arccos este un anumit unghi și trebuie să găsim sinusul acestui unghi; – fie arccos= α, conform definiției, este un unghi din interval astfel încât cosα = – deoarece ˃ 0, atunci α se află în primul sfert; – știm că cos α = și 0 ˂ α ˂ , dar trebuie să găsim sin α; – problema s-a redus la găsirea sinusului unui anumit unghi dacă se cunoaște cosinusul acestui unghi. Pentru claritate, soluția la această sarcină poate fi prezentată după cum urmează: – ? Avem: Deci sin α = . Raspuns: . Nr. 15.22(a). Raționăm în același mod ca în sarcina anterioară.

  Descarcă: Algebră 10kl - lecția 1 (Bakeeva I.R.).docx

• lecția 2 (Bakeeva I.R.)

  Numele subiectului: Algebra și începuturile analizei Clasa: 10 UMK: Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei matematice. 10-11 clase. La ora 2 Manual și carte de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază). -M.: Mnemosyne, 2011. Nivel de pregătire: de bază. Tema lecției: Rezolvarea ecuației cos t = a. Numărul total de ore alocate studierii temei: 10 ore. Locul lecției în sistemul de lecții

Lecție pentru secțiunea: „Ecuații trigonometrice”, nota 10

Subiectul lecției: „Ecuația cos x = a.”

Tip de activitate : formarea de noi cunoștințe, abilități și abilități

Obiectivele lecției:

educativ

luați în considerare soluțiile celor mai simple ecuații trigonometrice de tipcosx=a.

educativ

dezvoltarea abilităților de cultura muncii;

în curs de dezvoltare

dezvoltarea simțului responsabilității și abilităților de muncă independentă și autocontrol;

dezvoltarea gândirii logice;

dezvoltarea capacităţii de clasificare şi generalizare;

dezvolta capacitatea de a pune întrebări.

Echipamente :

tablă interactivă cu proiector multimedia și computer,tabele cu formule, prezentare.

Obiectivele lecției:

1). Elevii revizuiesc conceptele de bază ale subiectului.

2). Elevii rezolvă ecuații precum cos x = a.

Tehnici metodologice: tehnica cluster (“buchete”), tehnica „crezi?”. (la etapa de provocare), „prelegere avansată” (etapa de înțelegere), rezolvarea comentată a ecuațiilor, munca independentă a elevilor (etapa de reflecție).

Lecția a fost susținută folosind elemente ale tehnologiei gândirii critice.

O lecție de tehnologie a gândirii critice are o structură în trei faze:

Apel;

Înțelegerea (implementarea);

Reflecţie.

Progresul lecției :

Etapa de apel

eu. Lecția începe cu o întrebare adresată clasei: „Tema lecției noastre este scrisă pe tablă. La ce întrebări ați dori să vi se răspundă astăzi?

În timpul discuției, pe tablă apare o diagramă (cluster):

cos x = a.

ecuații

moduri

solutii

aplicatii

general

formula

privat

cazuri

P. Lucrând cu tabelul „Crezi că...?”, („Este adevărat că...?”):

1). Ecuaţiecos x = a are infinit de rădăcini;

2). cos x – abscisa unui punct de pe cercul unitar;

3). Pe intervalul [o;π] ecuațiacos x = ½ are 1 rădăcină;

4). arccos a - unghi din intervalul [-π /2; π/2], al cărui cosinus este egal cuO (| O |≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos а;

6). Ecuațiicos x = 1; cos x = -1; cos x = 0 are o serie de rădăcini?

Întrebările au inclus în special o formulare incorectă.

Înţelegere

III. „Prelegere avansată”.

Temă: studenții care stau la opțiunea I, urmați clusterul (schema), studenții care stau la opțiunea II scriu un scurt rezumat al cursului.

o)cos x - abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinuta prin rotirea punctului P 0 (1;0) după unghiX în jurul originii.

Adică cândO mai puțin decât-1 și mai mult decât1 , ecuaţie cos x = a nu are rădăcini. Să rezolvăm ecuațiacos x = 3/2. ( Răspuns: fără rădăcini).

b). Să rezolvăm ecuațiacos x = 1/2.

π /3 + 2 π k , k є Z.

-π /3 + 2 π k , k є Z.

Răspuns: ± π/3 + 2 π k , k є Z .

Ecuaţiecos x =1/2 are infinit de rădăcini, dar pe segment această ecuație are 1 rădăcinăπ /3, care se numeștearccos 1/2 .

Scrieți:arccos 1/2 = π /3.

c) rezolvați în mod similar ecuațiile:

cos x = a , Unde | O|≤1:

arccos a

- arccos a

Răspuns: x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.

Să vă reamintim, Ce arccos(-a) = π - arccos a.

arccos(- O ) arccos (- O )

G). cazuri speciale:

Răspuns:

x = 2π k , k є Z .

2). cos x = - 1

Răspuns:

x = π + 2π k , k є Z .

3). cos x = 0

Răspuns:

x = π/2 + π k , k є Z .

IV. Lucrați în perechi cu un grup și un tabel „Este adevărat că...?” Patru perechi lucrează cu clusterul, restul cu tabelul (completați coloana 2).

Aveți la dispoziție 2 minute pentru a lucra, alte 5 minute pentru a verifica, discuta și scrie pe tablă. La verificarea tabelului (este desenat pe tablă), cunoștințele dobândite sunt comparate cu cunoștințele inițiale și răspunsurile corecte sunt evidențiate în culori strălucitoare.

Reflecţie

V . Acum că am obținut formulele pentru rădăcinile ecuației trigonometricecos x = a , elevii comentează și rezolvă ecuații pe tablă:

1). Cuos 5x = 1

2). 3cosX/3 = 2

3). cos 7x = 5

Munca independentă a elevilor:

1). 2 cos 3 x = -1,

2). 2cos(x+π / 3) = -1,

3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). Cuos 2 x(2 cosx + 2) = 0.

ALGEBRĂ ȘI ÎNCEPUTURI DE ANALIZĂ

LECŢIE

- "atac de creier"

Subiect.Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Ecuații de formă cos x = o .

clasa a X-a

Gimnaziul nr 3

profesor

Momot

Lyudmila

Alexandrovna

Berdiansk

Rezultate așteptate: dupa aceasta lectie copii:

obține o înțelegere a celor mai simple ecuații trigonometrice;

invata sa rezolvi ecuatii de forma: păcat x = o

vor începe să înțeleagă că acest subiect este o extensie a cunoștințelor lor din domeniul trigonometriei;

va învăța să aplice conceptele matematice cunoscute de ei: rădăcinile unei ecuații, gama de valori admisibile ale unei variabile, simplificarea expresiilor etc. la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice;

Echipament pentru lecție:

lecție scurtă OK;

diapozitiv cu dictare matematică;

algoritm pentru rezolvarea unei ecuații trigonometrice;

diapozitive pentru lucrul în grup.

Progresul lecției.

Etapa de orientare.

Copii, continuăm să studiem subiectul „Ecuații trigonometrice”, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de ecuații trigonometrice, și anume, ecuații de forma: cosx = o .

Văd obiectivul principal al lecției noastre după cum urmează:

continuați compilarea unui algoritm pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice;

dezvoltarea capacității de a reduce orice ecuație trigonometrică la cea mai simplă formă;

Am lăsat un gol pe diapozitiv, vrei să-l completezi?...

Este exact ceea ce vom face cu tine în lecția de astăzi.

În timp ce studiem acest subiect, vom continua să lucrăm în grupuri, nimeni nu are vreo dorință de a schimba componența grupului.

Ei bine, echipele sunt complete, să trecem la treabă.

Îmi propun să luăm ca motto al lecției noastre cuvintele marelui profesor A.S. Makarenko:

„Dacă nu poți face ceva singur,

nu interfera cu oricine face asta.”

Etapa stabilirii obiectivului lecției.

Lucrarea pe care o vom face astăzi vă va permite să navigați mai pe larg „labirinturile ecuațiilor trigonometrice” și să aplicați cu acuratețe materialul teoretic studiat în practică.

Etapa de proiectare.

Mi-ar plăcea foarte mult asta în lecția de astăzi, tu și cu mine:

Ne-am amintit și ne-am consolidat cunoștințele despre ecuația trigonometrică.

Am continuat să creăm OK pe subiect.

Am putut să rezolvăm un alt bloc de ecuații trigonometrice.

Și-au demonstrat cunoștințele prin transformarea condițiilor ecuațiilor.

A dat dovadă de individualitate creativă.

Am putut aplica sistemul de cunoștințe atunci când efectuăm PSR.

Au primit, demonstrat și evaluat cunoștințele și abilitățile lor.

Acum că știți ce vom face în clasă, gândiți-vă și spuneți:

Doriți să participați la lecția noastră?

De ce ai nevoie de asta?

Ce așteptări ai de la lecția de azi?

Ce parte a lecției te sperie sau te îngrijorează?

Care etapa prezinta cel mai mare interes?

Etapa de organizare a implementării planului de activitate.

1.Utilizarea tehnicii « Lu atac zag" la verificarea temelor.

Răspunsuri la întrebările care au apărut în timpul temelor.

Finalizarea sarcinii: „Dictare matematică” conform programului „Molniya” (care durează mai mult în 6 minute):

1. sin x = 0; 2. sin x = 1 3. sin x = -1

4. sin x = 5. sin x = 6. sin x =

7. sin x = - 8. sin x = - 9. sin x = -

10. sin x = 11. sin x = -
12. sin x = 0,5

Rezumarea rezultatelor muncii independente.

2. Studierea materialelor noi.

2.1.Lucrați în perechi cu OK la subiectul „Cele mai simple ecuații trigonometrice” folosind tehnica „Toată lumea învață pe toată lumea”.

2.2 Interpretarea practică a cunoştinţelor dobândite despre cele mai simple ecuaţii trigonometrice de forma:cos x = o :

Rezolvați ecuația:

cos x =

Rezolvați ecuația:

cos x =

cos x = -

cos x = -

cos x =

cos x =

cos x =

cos x =

2.3. Aplicarea cunoștințelor dobândite sub forma jocului „Cursa pentru lider”:

2cosx – 1 = 0 cos 2x – 1 = 0

/2 puncte/ cos 2 x - sin 2 x = 0,5 2 sin 2 x = 1 /4 puncte/

6cos 2 x + cosx – 1 = 0 cos 2 x + 3cosx = 0

4cos 2 x –3 =0 cos 2 2x = 1 + sin 2 2x / 6 punct ov/

Etapa de control și evaluare.

Reflecţie.

1.1. - Cred că astăzi ne-am atins scopul. Tot ce rămâne este să aflați în ce măsură fiecare dintre voi a stăpânit sistemul de cunoștințe pe tema „Rezolvarea unei ecuații de forma: cos x = o ” și este gata să facă față temelor. Îți ofer temele nivelate pe care tovarășii tăi le-au pregătit cu amabilitate.

- Teme pe mai multe niveluri.

Nivelul 1: Trecerea testelor pregătite de un elev puternic.

Nivelul II: Rezolvarea ecuațiilor.

1.2. Elevii citesc o hartă reflectorizantă pe computer.

Apreciere.

Crezi că am îndeplinit obiectivele lecției?

Au fost finalizate toate punctele planului?

Sunt foarte mulțumit de munca ta, mi-a plăcut în special felul în care te-ai descurcat cu pricepere la pregătirea OK, am fost mulțumit de răspunsurile tale corecte și rapide la „Fulger”, sper că ai făcut o treabă excelentă.

Evaluare.

- Ești deja suficient de mare și îți poți evalua în mod obiectiv munca. Acordați-vă un rating în prima casetă.

Distribuiți punctele câștigate la lecție proporțional cu participarea dvs. în grup. Și indicați numărul lor în al doilea pătrat.

Voi completa a treia căsuță când îți verific temele și am o mare plăcere să iau deciziile corecte.

S A S I B O Z A U R O K!

Îți doresc SUCCES LA LECȚIA URMĂTOARE!

Lecția a avut loc într-un laborator de informatică. În această lecție, elevii au lucrat cu computerul individual și în grup.

Tema și obiectivele lecției au fost afișate pe ecran, iar copiii au putut merge la computerul central și pot face modificări în planul lecției.

Rezolvarea ecuațiilor folosind programul „Fulger” a arătat capacitatea lor de a selecta rapid răspunsul dorit și de a nota cât mai multe puncte posibil, ceea ce a alcătuit „capitalul de pornire” - 1-6 puncte.

Având în vedere soluții gata făcute pentru cele mai simple tipuri de ecuații cos x = o , Copiii, explicându-se unul altuia din notițe gata făcute, și-au spus și în perechi au alcătuit un algoritm de soluție, prima pereche l-a afișat pe ecran. După discuții generale, versiunea sa finală a fost aprobată.

Copiii au câștigat a doua jumătate a clasei prin finalizarea muncii independente pe trei niveluri (opțional).

Rezultatele primei și celei de-a doua lucrări independente au fost introduse în computer, adică evaluarea a fost alcătuită din rezultatele a două lucrări.

Copiii l-au transferat pe foaia lor de evaluare.

Utilizarea calculatorului în această lecție a introdus forme și metode noi și variate în procesul educațional, ceea ce a trezit un interes real în rândul copiilor și a făcut mai ușoară predarea unui curs de trigonometrie care nu era cea mai ușoară temă.

Arccosinus al unui număr O . Rezolvarea ecuațiilor cos x = o .

Articol: algebră și începuturile analizei

Clasă: 10.

Tema lecției: Arccosinus al unui număr O. Rezolvarea ecuațiilor cos x = o .

Tip de lecție: o lectie de invatare a materialelor noi si de consolidare initiala a cunostintelor.

Echipament: computer, tablă interactivă, fișe, cartonașe pentru reflectarea activităților de învățare (pentru fiecare elev), poster cu un cerc unitar.

Obiective:

Educativ : introducerea conceptului de arc cosinus al unui număr; dezvoltarea abilității de a calcula arcsinusul unui număr O; deduceți formula pentru rădăcinile celor mai simple ecuații trigonometrice: formula cos x = o ; învață cum să folosești formula atunci când rezolvi ecuații trigonometrice simple; studiază cazuri speciale de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice cu O egal cu 0, – 1, 1.

De dezvoltare : dezvoltarea capacității de a exprima pe scurt, logic și consecvent gânduri și judecăți; dezvoltați capacitatea de a vă argumenta afirmațiile; dezvoltarea abilităților de a clasifica, compara, analiza și trage concluzii.

Educativ : predați abilitățile de planificare a activităților și de lucru într-un ritm optim; să cultive capacitatea de a-și evalua corect capacitățile, rezultatele activităților educaționale și de a dezvolta abilități de comunicare; cultivați munca grea și determinarea.

Progresul lecției.

1. Moment organizatoric , 2 min.

Profesor. Salut baieti. Astăzi la clasă vom studia. (Diapozitivul 1)

a) exprimă pe scurt, logic, consecvent gânduri și judecăți;

b) motivarea declarațiilor;

c) compara, analizează și trage concluzii;

d) evaluează rezultatele activităţilor lor educaţionale.

Ne amintim că fiecare student, ca întotdeauna, are dreptul (scrieți pe tablă):

exprimă-ți părerea și fii ascultat;

planificați în mod independent auto-studiul acasă;

știi mai multe decât profesorul și apără-ți ipotezele.

2. Actualizarea cunoștințelor , 3-4 min.

Numărarea orală.

Sarcinile sunt proiectate pe un ecran interactiv. (Slide 2 )

1. Calculați valorile:cos ; cos ; cos .

Puncte cerc unitare ,, aparțin unui sfert?

Cosinusul cărui unghi este o mărime pozitivă?

Dacă unghiul aparține de 1 sfert.

Concluzie. Cosinusul unui unghi ascuțit este o mărime pozitivă.

2. Calculați valori:cos ; cos ; cos .

Puncte cerc unitare ,, aparțin a 2 sferturi.

Cosinusul cărui unghi este o mărime negativă?

Dacă colțul aparține sfertului 2.

Concluzie. Cosinusul unui unghi obtuz este negativ.

3. Cosinusul căruia este egal cu unghiul; 0; ; 1; ; –; –, Dacă
?

3. Verificarea temelor , 3-4 min.

3 elevi pregătesc în prealabil soluțiile ecuațiilor de pe tablă. Explicația se bazează pe cercul unității.

1 student

cos t = ,

t =
+ 2πk , Undek Z .

Răspuns: t =
+ 2πk , Undek Z .

2 elev

cos t = 1,5,

nu are solutie pentru ca – 1≤ а ≤1.

Răspuns: fara solutii .

cos t = 1,

t = 2 π k , Undek Z .

Răspuns : t = 2πk , Undek Z .

3 elev

cos t = 0,

t = + π k , Undek Z .

Răspuns: t = + π k , k Z .

cos t = – 1,

t = π + 2πk , Undek Z .

Răspuns: t = π + 2πk , Undek Z .

4. Învățarea de materiale noi , 13-15 min.

Pe tablă, scrie pe tabla principală lângă exemplu.cos t = , toți ceilalți studenți ascultă. Exemplul și cercul unității sunt scrise în avans.

Recitând algoritmul de rezolvare a celei mai simple ecuații trigonometrice, elevul rezolvă ecuația folosind cercul unitar.

t = t 1 +2πk ,

t = t 2 +2πk , Undek Z .

Deoarecet 1= – t 2, Căt = ± t 1 +2πk , Undek Z .

Este aceasta intrare răspuns solutii la ecuatie?

Această intrare nu este răspunsul la rezolvarea ecuației, deoarece valorile nu sunt definite t 1 .

Profesor. Care este acest număr t 1 , este încă necunoscut, tot ce este clar este că t 1
. În fața acestei situații, matematicienii și-au dat seama că trebuie să găsească o modalitate de a o descrie în limbaj matematic. Prin urmare, a fost introdus un nou simbol arc Cuos O, care scrie: arc cosinus O.

Să scriem subiectul lecției de astăzi: „Arc cosinus al unui numărO . Rezolvarea ecuațiilorcos t = o ».

(Diapozitive 3, 4)

Profesor. Astăzi, în lecție, vom studia conceptul de arc cosinus al unui număr, vom învăța cum să-l calculăm și să-l aplicăm atunci când rezolvăm ecuații trigonometrice simple. (Diapozitivul 3)

Arcus tradus din latină înseamnă arc, compara cu cuvântul arc. Simbol arc cos O, introdus de matematicieni, conține semnul (arc ) , Cuos O– un memento al funcției originale. (Diapozitivul 4)

Deschideți manualul de la pagina 89 și citiți definiția arccosinusului.

Elevii deschid manualul și citesc definiția din carte, subliniind principalul lucru.

Consolidarea și exersarea conceptului de arc cosinus al unui număr și a algoritmului de calcul al acestuia.

Lucru frontal cu clasa.

Cu ce ​​număr este egal cosinusul O?

Folosind definiția învățată, găsiți sensul expresiei:

arccos ( ); arc Cuos ( ); arc Cuos ( ).

(Diapozitivul 5)

arccos ( ) = ;

arc Cuos ( ) = ;

Orc Cuos ( ) =

Toate valorile lui a aparțin segmentului de la – 1 la 0. Cărui sfert aparțin valorile arc-cosinus? O?

Valori arcos O aparțin segmentului de la 0 la .

Cum se calculează valoarea arccos (- A)? Să ne întoarcem la manual și să găsim formula prin care se calculează valoarea arcos (–a) (Citiți și evidențiați formula).

Calcula: arccos (– ); arc Cuos (– );

Orc Cuos (– ). (Diapozitivul 6)

arccos (– )= ;

Or Cucos (– ) = ;

Or Cucos (– ) =

Toate semnificațiile (- A) aparțin segmentului de la – 1 la 0. Cărui trimestru aparțin valorile? arccos (-O)?

Notați materialul de referință. (Diapozitivul 6)

Valori arc Cuos (-O) aparțin segmentului de la la π .

Elevii scriu formula în caiet.

Calculăm dintr-un slide pe tabla interactivă.

Exercita. Găsiți sensul expresiei:

O) arccos ( ) – arccos (– ) + + arcos 1; ( Slide 7)

b) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arccos (– ) ( Slide 8)

5. Munca independentă (urmată de autotestare). (Diapozitivul 9)

2 persoane lucrează independent la bord, restul lucrează în caiete, apoi verifică corectitudinea execuției. Cei care au lucrat la tema pentru acasă scriu pe tablă bucăți de hârtie, apoi trimiteți-le spre inspecție.

cos t = .