O variabilă aleatorie bidimensională este prezentată ca. Variabile aleatorii bidimensionale discrete. Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii bidimensionale

Destul de des, atunci când studiați variabile aleatorii, trebuie să aveți de-a face cu două, trei sau chiar mai multe variabile aleatoare. De exemplu, o variabilă bidimensională aleatorie $ \\ left (X, \\ Y \\ right) $ va descrie punctul de lovire al proiectilului, unde variabilele aleatoare $ X, \\ Y $ sunt abscise și respectiv ordonate. Progresul unui student luat la întâmplare în timpul sesiunii este caracterizat de variabila $ n $ -dimensională aleatorie $ \\ left (X_1, \\ X_2, \\ \\ dots, \\ X_n \\ right) $, unde variabilele aleatoare sunt $ X_1, \\ X_2, \\ \\ dots, \\ X_n $ Este notele din cartea de evidență la diferite discipline.

Setul $ n $ al variabilelor aleatoare $ \\ left (X_1, \\ X_2, \\ \\ dots, \\ X_n \\ right) $ se numește vector aleatoriu... Ne restrângem la examinarea cazului $ \\ left (X, \\ Y \\ right) $.

Fie $ X $ o variabilă discretă aleatorie cu posibile valori $ x_1, x_2, \\ \\ dots, \\ x_n $ și $ Y $ - o variabilă discretă aleatorie cu valorile posibile $ y_1, y_2, \\ \\ dots, \\ y_n $.

Apoi, o variabilă discretă bidimensională aleatorie $ \\ left (X, \\ Y \\ right) $ poate lua valori $ \\ left (x_i, \\ y_j \\ right) $ cu probabilități $ p_ (ij) \u003d P \\ left (\\ left (X \u003d x_i \\ right) \\ left (Y \u003d y_j \\ right) \\ right) \u003d P \\ left (X \u003d x_i \\ right) P \\ left (Y \u003d y_j | X \u003d x_i \\ right) $. Aici $ P \\ left (Y \u003d y_j | X \u003d x_i \\ right) $ este probabilitatea condiționată ca variabila aleatoare $ Y $ să ia valoarea $ y_j $, cu condiția ca variabila aleatoare $ X $ să ia valoarea $ x_i $.

Probabilitatea ca variabila aleatoare $ X $ să ia valoarea $ x_i $ este $ p_i \u003d \\ sum_j (p_ (ij)) $. Probabilitatea ca variabila aleatoare $ Y $ să ia valoarea $ y_j $ este $ q_j \u003d \\ sum_i (p_ (ij)) $.

$$ P \\ left (X \u003d x_i | Y \u003d y_j \\ right) \u003d ((P \\ left (\\ left (X \u003d x_i \\ right) \\ left (Y \u003d y_j \\ right) \\ right)) \\ over (P \\ $$ P \\ left (Y \u003d y_j | X \u003d x_i \\ right) \u003d ((P \\ left (\\ left (X \u003d x_i \\ right) \\ left (Y \u003d y_j \\ right) \\ right)) \\ over (P \\ Exemplul 1

... Distribuția unei variabile aleatoare bidimensionale este dată:

$ \\ begin (array) (| c | c |) \\ hline

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
Să definim legile de distribuție pentru variabilele aleatoare $ X $ și $ Y $. Să găsim distribuțiile condiționate ale variabilei aleatoare $ X $ sub rezerva $ Y \u003d 2 $ și variabila aleatoare $ Y $ sub rezerva $ X \u003d 0 $.
\\ end (array) $
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\\ end (array) $
0 & 0,28 & 0,13 \\
\\ end (array) $
1 & 0,09 & 0,1 \\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

X \\ backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_ (ij) / q_1 \\\\

q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\\\

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $

\\ end (array) $
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\\ end (array) $
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\\ end (array) $
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\\ end (array) $
{!LANG-66fc6c7e7b88590eb72015474caa60dd!}
\\ end (array) $
{!LANG-ae68bb68fb7e1d479baac907cfe828bd!}
\\ end (array) $
1 & 0,09 & 0,1 \\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Să ne explicăm modul în care este completat tabelul. Valorile primelor trei coloane ale primelor patru rânduri sunt preluate din condiție. Suma numerelor din coloanele $ 2 $ -th și $ 3 $ -th din rândul $ 2 $ -th ($ 3 $ -th) este indicată în coloana $ 4 $ -th din rândul $ 2 $ -th ($ 3 $ -th). Suma numerelor coloanelor $ 2 $ -th și $ 3 $ -th din rândul $ 4 $ -th este indicată în coloana $ 4 $ -th din rândul $ 4 $ -th.

Scriem suma numerelor în rândurile $ 2 $ th, $ 3 $ th și $ 4 $ th din coloana $ 2 $ th ($ 3 $ th) în rândul $ 5 $ th din coloana $ 2 $ th ($ 3 $ th). Împărțiți fiecare număr din coloana $ 2 $ cu $ q_1 \u003d 0,52 $, rotunjiți rezultatul la două cifre după punctul zecimal și scrieți în coloana $ 5 $. Împarte numerele din coloanele $ 2 $ -th și $ 3 $ -th din rândul $ 3 $ -th cu $ p_2 \u003d 0,41 $, rotunjește rezultatul la două cifre după punctul zecimal și scrie în ultima linie.

Apoi, legea distribuției variabilei aleatoare $ X $ are următoarea formă.

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
X & -1 & 0 & 1 \\\\
\\ end (array) $
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\\\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Legea distribuției variabilei aleatoare $ Y $.

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
q_j & 0,52 & 0,48 \\\\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Distribuția condiționată a variabilei aleatoare $ X $ în condiția $ Y \u003d 2 $ are următoarea formă.

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
X & -1 & 0 & 1 \\\\
\\ end (array) $
p_ (ij) / q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\\\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Distribuția condiționată a variabilei aleatoare $ Y $ în condiția $ X \u003d 0 $ are următoarea formă.

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
p_ (ij) / p_2 & 0,68 & 0,32 \\\\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Exemplul 2 ... Avem șase creioane, inclusiv două roșii. Punem creioane în două cutii. Au pus 2 $ bucăți în prima și două în a doua. $ X $ este numărul de creioane roșii din prima casetă, iar $ Y $ este în a doua. Scrieți legea distribuției pentru sistemul variabilelor aleatorii $ (X, \\ Y) $.

Fie variabila discretă aleatorie $ X $ să fie numărul de creioane roșii din prima casetă, iar variabila discretă aleatorie $ Y $ numărul de creioane roșii din a doua casetă. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare $ X, \\ Y $, respectiv $ X: 0, \\ 1, \\ 2 $, $ Y: 0, \\ 1, \\ 2 $. Apoi, o variabilă discretă bidimensională aleatorie $ \\ left (X, \\ Y \\ right) $ poate lua valori $ \\ left (x, \\ y \\ right) $ cu probabilități $ P \u003d P \\ left (\\ left (X \u003d x \\ right) \\ times \\ left (Y \u003d y \\ right) \\ right) \u003d P \\ left (X \u003d x \\ right) \\ times P \\ left (Y \u003d y | X \u003d x \\ right) $, unde $ P \\ left (Y \u003d y | X \u003d x \\ right) $ este probabilitatea condiționată ca variabila aleatoare $ Y $ să ia valoarea $ y $, cu condiția ca variabila aleatoare $ X $ să ia valoarea $ x $. Reprezentăm corespondența dintre valorile $ \\ left (x, \\ y \\ right) $ și probabilitățile $ P \\ left (\\ left (X \u003d x \\ right) \\ times \\ left (Y \u003d y \\ right) \\ right) $ după cum urmează Mese.

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
X \\ backslash Y & 0 & 1 & 2 \\\\
\\ end (array) $
0 & ((1) \\ over (15)) & ((4) \\ over (15)) & ((1) \\ over (15)) \\\\
\\ end (array) $
1 & ((4) \\ over (15)) & ((4) \\ over (15)) & 0 \\\\
\\ end (array) $

\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Valorile $ X $ sunt indicate de rândurile unui astfel de tabel, iar valorile $ Y $ sunt indicate de coloane, apoi sunt indicate probabilitățile $ P \\ left (\\ left (X \u003d x \\ right) \\ times \\ left (Y \u003d y \\ right) \\ right) $ la intersecția rândului și coloanei corespunzătoare. Să calculăm probabilitățile folosind definiția clasică a probabilității și teorema produsului pentru probabilitățile evenimentelor dependente.

$$ P \\ left (\\ left (X \u003d 0 \\ right) \\ left (Y \u003d 0 \\ right) \\ right) \u003d ((C ^ 2_4) \\ over (C ^ 2_6)) \\ cdot ((C ^ 2_2) \\ over (C ^ 2_4)) \u003d ((6) \\ over (15)) \\ cdot ((1) \\ over (6)) \u003d ((1) \\ over (15)); $$

$$ P \\ left (\\ left (X \u003d 0 \\ right) \\ left (Y \u003d 1 \\ right) \\ right) \u003d ((C ^ 2_4) \\ over (C ^ 2_6)) \\ cdot ((C ^ 1_2 \\ ; $$

$$ P \\ left (\\ left (X \u003d 0 \\ right) \\ left (Y \u003d 2 \\ right) \\ right) \u003d ((C ^ 2_4) \\ over (C ^ 2_6)) \\ cdot ((C ^ 2_2) \\ over (C ^ 2_4)) \u003d ((6) \\ over (15)) \\ cdot ((1) \\ over (6)) \u003d ((1) \\ over (15)); $$

$$ P \\ left (\\ left (X \u003d 1 \\ right) \\ left (Y \u003d 0 \\ right) \\ right) \u003d ((C ^ 1_2 \\ cdot C ^ 1_4) \\ over (C ^ 2_6)) \\ cdot ( (C ^ 2_3) \\ over (C ^ 2_4)) \u003d ((2 \\ cdot 4) \\ over (15)) \\ cdot ((3) \\ over (6)) \u003d ((4) \\ over (15)) ; $$

$$ P \\ left (\\ left (X \u003d 1 \\ right) \\ left (Y \u003d 1 \\ right) \\ right) \u003d ((C ^ 1_2 \\ cdot C ^ 1_4) \\ over (C ^ 2_6)) \\ cdot ( (C ^ 1_1 \\ cdot C ^ 1_3) \\ over (C ^ 2_4)) \u003d ((2 \\ cdot 4) \\ over (15)) \\ cdot ((1 \\ cdot 3) \\ over (6)) \u003d (( 4) \\ over (15)); $$

$$ P \\ left (\\ left (X \u003d 2 \\ right) \\ left (Y \u003d 0 \\ right) \\ right) \u003d ((C ^ 2_2) \\ over (C ^ 2_6)) \\ cdot ((C ^ 2_4) \\ over (C ^ 2_4)) \u003d ((1) \\ over (15)) \\ cdot 1 \u003d ((1) \\ over (15)). $$

Deoarece în legea distribuției (tabelul rezultat) întregul set de evenimente formează un grup complet de evenimente, suma probabilităților ar trebui să fie egală cu 1. Să verificăm acest lucru:

$$ \\ sum_ (i, \\ j) (p_ (ij)) \u003d ((1) \\ over (15)) + ((4) \\ over (15)) + ((1) \\ over (15)) + ((4) \\ over (15)) + ((4) \\ over (15)) + ((1) \\ over (15)) \u003d 1. $$

Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii bidimensionale

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale $ \\ left (X, \\ Y \\ right) $ se numește funcția $ F \\ left (x, \\ y \\ right) $, care pentru orice numere reale $ x $ și $ y $ este egală cu probabilitatea executării simultane a două evenimente $ \\ left \\ (X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению

$$ F \\ left (x, \\ y \\ right) \u003d P \\ left \\ (X< x,\ Y < y\right\}.$$

Pentru o variabilă aleatorie bidimensională discretă, funcția de distribuție se găsește prin însumarea tuturor probabilităților $ p_ (ij) $ pentru care $ x_i< x,\ y_j < y$, то есть

$$ F \\ left (x, \\ y \\ right) \u003d \\ sum_ (x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$

Proprietățile funcției de distribuție a unei variabile aleatorii bidimensionale.

1 ... Funcția de distribuție $ F \\ left (x, \\ y \\ right) $ este delimitată, adică $ 0 \\ le F \\ left (x, \\ y \\ right) \\ le 1 $.

2 ... $ F \\ left (x, \\ y \\ right) $ nedescrescând pentru fiecare dintre argumentele sale cu un alt fix, adică $ F \\ left (x_2, \\ y \\ right) \\ ge F \\ left (x_1, \\ y \\ right ) $ pentru $ x_2\u003e x_1 $, $ F \\ left (x, \\ y_2 \\ right) \\ ge F \\ left (x, \\ y_1 \\ right) $ for $ y_2\u003e y_1 $.

3 ... Dacă cel puțin unul dintre argumente ia valoarea $ - \\ infty $, atunci funcția de distribuție va fi egală cu zero, adică $ F \\ left (- \\ infty, \\ y \\ right) \u003d F \\ left (x, \\ - \\ infty \\ right ), \\ F \\ left (- \\ infty, \\ - \\ infty \\ right) \u003d 0 $.

4 ... Dacă ambele argumente sunt $ + \\ infty $, atunci funcția de distribuție va fi $ 1 $, adică $ F \\ left (+ \\ infty, \\ + \\ infty \\ right) \u003d 1 $.

5 ... În cazul în care exact unul dintre argumente ia valoarea $ + \\ infty $, funcția de distribuție $ F \\ left (x, \\ y \\ right) $ devine funcția de distribuție a variabilei aleatorii corespunzătoare unui alt element, adică $ F \\ left (x \\ + \\ infty \\ right) \u003d F_1 \\ left (x \\ right) \u003d F_X \\ left (x \\ right), \\ F \\ left (+ \\ infty, \\ y \\ right) \u003d F_y \\ left (y \\ right) \u003d F_Y \\ left (y \\ right) $.

6 ... $ F \\ left (x, \\ y \\ right) $ este lăsat continuu pentru fiecare dintre argumentele sale, adică

$$ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to x_0-0) F \\ left (x, \\ y \\ right) \\) \u003d F \\ left (x_0, \\ y \\ right), \\ (\\ mathop (lim) _ (y \\ to y_0-0) F \\ left (x, \\ y \\ right) \\) \u003d F \\ left (x, \\ y_0 \\ right). $$

Exemplul 3 ... Permiteți unei variabile aleatoare bidimensionale discrete $ \\ left (X, \\ Y \\ right) $ să fie dată de o serie de distribuție.

X \\ backslash Y & 2 & 3 \\\\
\\ end (array) $
X \\ backslash Y & 0 & 1 \\\\
\\ end (array) $
0 & ((1) \\ over (6)) & ((2) \\ over (6)) \\\\
\\ end (array) $
1 & ((2) \\ over (6)) & ((1) \\ over (6)) \\\\
\\ end (array) $
Să completăm următorul tabel:

Apoi funcția de distribuție:

$ F (x, y) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ pentru \\ x \\ le 0, \\ y \\ le 0 \\\\
0, \\ for \\ x \\ le 0, \\ 0< y\le 1 \\
0, \\ for \\ x \\ le 0, \\ y\u003e 1 \\\\
0, \\ pentru \\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1) \\ over (6)), \\ for \\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1) \\ over (6)) + ((2) \\ over (6)) \u003d ((1) \\ over (2)), \\ for \\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0, \\ for \\ x\u003e 1, \\ y \\ le 0 \\\\
((1) \\ over (6)) + ((2) \\ over (6)) \u003d ((1) \\ over (2)), \\ for \\ x\u003e 1, \\ 0< y\le 1 \\
((1) \\ over (6)) + ((2) \\ over (6)) + ((2) \\ over (6)) + ((1) \\ over (6)) \u003d 1, \\ for \\ x \u003e 1, \\ y\u003e 1 \\\\
\\ end (matrice) \\ right. $

O variabilă aleatorie bidimensională se numește ( X, Da), ale căror valori posibile sunt perechi de numere ( x y). Componente X și Daconsiderat simultan forma sistem două variabile aleatorii.

O cantitate bidimensională poate fi interpretată geometric ca un punct aleatoriu M(X; Da) la suprafață xOy sau ca vector aleatoriu OM.

Discrete se numește mărime bidimensională, ale cărei componente sunt discrete.

Continuu se numește o mărime bidimensională ale cărei componente sunt continue.

Legea distribuției probabilitățile unei variabile aleatorii bidimensionale este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile lor.

Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale discrete poate fi specificată: a) sub forma unui tabel cu o intrare dublă, conținând valorile posibile și probabilitățile acestora; b) analitic, de exemplu, sub forma unei funcții de distribuție.

Funcția de distribuție a probabilităților unei variabile aleatoare bidimensionale se numește funcție F (x, y)definind pentru fiecare pereche de numere (X y) probabilitatea ca X va lua o valoare mai mică decât x și, în același timp Da va lua o valoare mai mică y:

F (x, y) \u003d P (X< x, Y < y).

Geometric, această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: F (x, y) există posibilitatea ca un punct aleatoriu ( X Y) cade într-un cadran infinit cu vârf ( x y)situat în stânga și sub acest vârf.

Uneori, în loc de termenul „funcție de distribuție”, se folosește termenul „funcție cumulativă”.

Funcția de distribuție are următoarele proprietăți:

Proprietatea 1. Valorile funcției de distribuție satisfac dubla inegalitate

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Proprietatea 2. Funcția de distribuție este o funcție care nu descrește pentru fiecare argument:

F (x 2, y) ≥ F (x 1, y), dacă x 2\u003e x 1,

F (x, y 2) ≥ F (x, y 1) dacă y 2\u003e y 1.

Proprietatea 3. Există relații limită:

1) F (–∞, y) \u003d 0,

3) F (–∞, –∞) \u003d 0,

2) F (x, –∞) \u003d 0,

4) F (∞, ∞) \u003d 1.

Proprietatea 4... A) Când Y=∞ funcția de distribuție a sistemului devine funcția de distribuție a componentei X:

F (x, ∞) \u003d F 1 (x).

b) Pentru x = ∞ funcția de distribuție a sistemului devine funcția de distribuție a componentei Y:

F (∞, y) \u003d F 2 (y).

Folosind funcția de distribuție, puteți găsi probabilitatea de a lovi un punct aleatoriu într-un dreptunghi x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Densitate de probabilitate comună (densitate de probabilitate bidimensională) o variabilă aleatorie bidimensională continuă se numește a doua derivată mixtă a funcției de distribuție:

Uneori, termenul „funcție diferențială a sistemului” este utilizat în locul termenului „densitate de probabilitate bidimensională”.

Densitatea distribuției articulației poate fi considerată ca fiind limita raportului probabilității ca un punct aleatoriu să cadă într-un dreptunghi cu laturile D x și D y la zona acestui dreptunghi atunci când ambele părți ale acestuia tind spre zero; geometric poate fi interpretat ca o suprafață care se numește suprafața de distribuție.

Cunoscând densitatea de distribuție, puteți găsi funcția de distribuție după formulă

Probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu (X, Y) în domeniul D este determinată de egalitate

O densitate de probabilitate bidimensională are următoarele proprietăți:

Proprietatea 1. Densitatea probabilității 2D este negativă:

f (x, y) ≥ 0.

Proprietatea 2. Integrala dublă necorespunzătoare cu limite infinite de densitate de probabilitate bidimensională este egală cu una:

În special, dacă toate valorile posibile (X, Y) aparțin unui domeniu finit D, atunci

226. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatorii bidimensionale discrete este dată:

Găsiți legile de distribuție ale componentelor.

228. Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii bidimensionale este dată

Găsiți probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y x = 0, x \u003d p / 4, y \u003d p / 6, y \u003d p / 3.

229. Găsiți probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un dreptunghi delimitat de linii drepte x = 1, x = 2, y = 3, y \u003d 5 dacă funcția de distribuție este cunoscută

230. Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii bidimensionale este dată

Găsiți densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului.

231. În cerc x 2 + y 2 ≤ R 2 densitatea de probabilitate bidimensională; în afara cercului f (x, y) \u003d0. Găsiți: a) constanta C; b) probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un cerc de rază r \u003d 1 centrat la origine dacă R = 2.

232. În primul cadran, este dată funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatorii F (x, y) \u003d 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y... Găsiți: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un triunghi cu vârfuri A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Legile de distribuție condiționate ale componentelor
variabilă aleatorie bidimensională discretă

Lăsați componentele X și Da discret și, prin urmare, au următoarele valori posibile: x 1, x 2, ..., x n; y 1, y 2, ..., y m.

Distribuția condiționată a componentei X la Y \u003d y j (j păstrează aceeași valoare pentru toate valorile posibile ale lui X) se numește set de probabilități condiționale

p (x 1 | y j), p (x 2 | y j),…, p (x n | y j).

Distribuția condițională Y este definită în mod similar.

Probabilitățile condiționale ale componentelor X și Y sunt calculate, respectiv, prin formule

Pentru a controla calculele, este recomandabil să vă asigurați că suma probabilităților distribuției condiționale este egală cu una.

233. O variabilă aleatorie bidimensională discretă ( X Y):

Găsiți: a) legea distribuției condiționate X cu conditia ca Da\u003d 10; b) legea distribuției condiționate Da cu conditia ca X=6.

8.3. Găsirea densităților și legilor de distribuție condiționată
componente ale unei variabile aleatoare bidimensionale continue

Densitatea de distribuție a uneia dintre componente este egală cu o integrală necorespunzătoare cu limite infinite ale densității de distribuție a sistemului, iar variabila de integrare corespunde celeilalte componente:

Aici se presupune că valorile posibile ale fiecărei componente aparțin întregii axe numerice; dacă valorile posibile aparțin unui interval finit, atunci numerele finite corespunzătoare sunt luate ca limite ale integrării.

Densitatea de distribuție condiționată a componentei X la o valoare dată Y \u003d y este raportul dintre densitatea de distribuție comună a sistemului și densitatea de distribuție a componentei Da:

Densitatea de distribuție condiționată a componentei este determinată în mod similar Da:

Dacă densitățile de distribuție condiționate ale variabilelor aleatorii X și Da sunt egale cu densitățile lor necondiționate, atunci astfel de valori sunt independente.

Uniformă se numește distribuția unei variabile aleatoare continue bidimensionale ( X Y), dacă se află în regiunea în care toate valorile posibile ( x y), densitatea distribuției comune a probabilității rămâne constantă.

235. Se dă densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y)

Găsiți: a) densitatea de distribuție a componentelor; b) densitatea de distribuție condiționată a constituentului.

236. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue ( X Y)

Găsiți: a) factorul constant C; b) densitatea de distribuție a componentelor; c) densitatea de distribuție condiționată a componentelor.

237. Variabilă continuă bidimensională aleatorie ( X Y) este distribuit uniform în interiorul unui dreptunghi cu un centru de simetrie la origine și laturile 2a și 2b paralele cu axele de coordonate. Găsiți: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) densitatea de distribuție a componentelor.

238. Variabilă aleatorie bidimensională continuă ( X Y) este distribuit uniform în interiorul unui triunghi unghiular cu vârfuri O(0; 0), A(0; 8), ÎN(8; 0). Găsiți: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) densitatea și densitatea distribuției condiționate a componentelor.

8.4. Caracteristicile numerice ale unui sistem continuu
două variabile aleatorii

Cunoscând densitatea de distribuție a componentelor X și Y ale unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y), se pot găsi așteptările și variațiile lor matematice:

Uneori este mai convenabil să se utilizeze formule care conțin o densitate de probabilitate bidimensională (integralele duble sunt preluate în intervalul valorilor posibile ale sistemului):

Inițială, momentul n k, s Ordin k + s sisteme ( X Y) este așteptarea matematică a produsului X k Y s:

n k, s \u003d M.

În special,

n 1,0 \u003d M (X), n 0,1 \u003d M (Y).

Momentul central m k, s Ordin k + s sisteme ( X Y) se numește așteptarea matematică a produsului abaterilor, respectiv ka și s-grada:

m k, s \u003d M (k ∙ s).

În special,

m 1,0 \u003d M \u003d 0, m 0,1 \u003d M \u003d 0;

m 2,0 \u003d M 2 \u003d D (X), m 0,2 \u003d M 2 \u003d D (Y);

Moment de corelație m xy sisteme ( X Y) se numește momentul central m 1.1 comanda 1 + 1:

m xу \u003d M (∙).

Coeficient de corelație cantitățile X și Y numesc raportul momentului de corelație cu produsul abaterilor standard ale acestor mărimi:

r xy \u003d m xy / (s x s y).

Coeficientul de corelație este o cantitate adimensională și | r xy| ≤ 1. Coeficientul de corelație este utilizat pentru a evalua etanșeitatea relației liniare dintre X și Da: cu cât valoarea absolută a coeficientului de corelație este mai aproape de una, cu atât relația este mai puternică; cu cât valoarea absolută a coeficientului de corelație este mai aproape de zero, cu atât relația este mai slabă.

Corelat se numesc două variabile aleatorii dacă momentul lor de corelație este diferit de zero.

Necorelat se numesc două variabile aleatorii dacă momentul lor de corelație este egal cu zero.

Cele două mărimi corelate sunt, de asemenea, dependente; dacă două mărimi sunt dependente, atunci ele pot fi atât corelate, cât și necorelate. Din independența celor două cantități rezultă necorelativitatea lor, dar din necorelare este încă imposibil să se concluzioneze că aceste cantități sunt independente (pentru cantități distribuite în mod normal, independența lor decurge din necorelarea acestor cantități).

Pentru cantitățile continue X și Y, momentul de corelație poate fi găsit prin formule:

239. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată:

Găsiți: a) așteptări matematice; b) varianțele componentelor X și Y.

240. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată:

Găsiți așteptările matematice și variațiile componentelor.

241. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue ( X, Y): f (x, y) \u003d 2 cosx confortabil pătrat 0 ≤ x ≤p / 4, 0 ≤ y ≤p / 4; inexact f (x, y) \u003d 0. Găsiți așteptările matematice ale componentelor.

242. Dovediți că dacă densitatea de probabilitate bidimensională a unui sistem de variabile aleatorii ( X Y) poate fi reprezentat ca un produs de două funcții, dintre care una depinde doar de xiar cealaltă este doar din y, apoi cantitățile X și Da independent.

243. Dovediți că dacă X și Da legat liniar Da = topor + b, atunci valoarea absolută a coeficientului de corelație este egală cu unu.

Decizie... Prin determinarea coeficientului de corelație,

r xy \u003d m xy / (s x s y).

m xу \u003d M (∙). (*)

Găsiți valoarea așteptată Da:

M (Y) \u003d M \u003d aM (X) + b. (**)

Înlocuind (**) în (*), după transformări elementare obținem

m xу \u003d aM 2 \u003d aD (X) \u003d ca 2 x.

Având în vedere că

Y - M (Y) \u003d (aX + b) - (aM (X) + b) \u003d a,

găsiți varianța Da:

D (Y) \u003d M 2 \u003d a 2 M 2 \u003d a 2 s 2 x.

De aici s y \u003d | a | s x... Prin urmare, coeficientul de corelație

Dacă a \u003e 0, apoi r xy \u003d 1; dacă a < 0, то r xy = –1.

Deci, | r xy| \u003d 1, după cum este necesar.

distribuție discretă bivariantă aleatorie

Adesea rezultatul unui experiment este descris de mai multe variabile aleatorii:. De exemplu, vremea într-un anumit loc la un anumit moment al zilei poate fi caracterizată prin următoarele variabile aleatorii: X 1 - temperatura, X 2 - presiune, X 3 - umiditatea aerului, X 4 - viteza vântului.

În acest caz, se vorbește despre o variabilă aleatorie multidimensională sau un sistem de variabile aleatoare.

Luați în considerare o variabilă aleatorie bidimensională ale cărei valori posibile sunt perechi de numere. Geometric, o variabilă aleatorie bidimensională poate fi interpretată ca un punct aleatoriu pe un plan.

Dacă componentele X și Da sunt variabile aleatorii discrete, atunci este o variabilă aleatorie discretă bidimensională și dacă X și Da - continuu, apoi - variabilă aleatorie bidimensională continuă.

Legea distribuției probabilității unei variabile aleatorii bidimensionale este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete bidimensionale poate fi specificată sub forma unui tabel cu o intrare dublă (vezi Tabelul 6.1), unde este probabilitatea ca componenta X a luat sensul x eu , și componenta Da - valoare y j .

Tabelul 6.1.1.

Deoarece evenimentele constituie un grup complet de evenimente incompatibile în perechi, suma probabilităților este 1, adică

Din tabelul 6.1 puteți găsi legile de distribuție ale componentelor unidimensionale X și Da.

Exemplu 6.1.1 ... Găsiți legile de distribuție ale componentelor X și Da,dacă distribuția unei variabile aleatorii bidimensionale este dată sub forma unui tabel 6.1.2.

Tabelul 6.1.2.

Dacă fixăm valoarea unuia dintre argumente, de exemplu, atunci distribuția obținută a cantității X numită distribuție condiționată. Distribuția condițională este definită în mod similar Da.

Exemplu 6.1.2 ... Conform distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale dată de tabel. 2, găsiți: a) legea distribuției condiționate a componentei X cu conditia; b) legea distribuției condiționate Da cu conditia ca.

Decizie. Probabilități componente componente X și Da calculat prin formule

Legea distribuției condiționate X sub condiția are forma

Controlul: .

Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale poate fi specificată în formular funcții de distribuție , care determină, pentru fiecare pereche de numere, probabilitatea ca X va lua o valoare mai mică x, și în care Da va lua o valoare mai mică y:

Geometric, funcția înseamnă probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu într-un pătrat infinit cu vârf într-un punct (Fig. 6.1.1).

Să notăm proprietățile.

• 1. Gama de valori a funcției -, adică ...
• 2. Funcție - funcție nedescrescătoare pentru fiecare argument.
• 3. Există rapoarte limitative:

La, funcția de distribuție a sistemului devine egală cu funcția de distribuție a componentei X, adică ...

În mod similar ,.

Știind, puteți găsi probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu în dreptunghiul ABCD.

Și anume,

Exemplul 6.1.3... Variabilă discretă aleatorie bidimensională dată de tabelul de distribuție

Găsiți funcția de distribuție.

Decizie. Valoare în cazul componentelor discrete X și Da se găsește prin însumarea tuturor probabilităților cu indicii eu și jpentru care,. Apoi, dacă și, atunci (evenimente și sunt imposibile). În mod similar, obținem:

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă u, atunci;

dacă tu, atunci.

Rezultatele obținute sunt prezentate sub forma unui tabel (6.1.3) de valori:

Pentru continuu bidimensional variabilă aleatorie, se introduce conceptul densității probabilității

Densitatea de probabilitate geometrică este o suprafață de distribuție în spațiu

O densitate de probabilitate bidimensională are următoarele proprietăți:

3. Funcția de distribuție poate fi exprimată în termeni de formulă

4. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatorie continuă în regiune este

5. În conformitate cu proprietatea (4) a funcției, au loc următoarele formule:

Exemplul 6.1.4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii bidimensionale este dată

Definiție.Dacă pe același spațiu al evenimentelor elementare două variabile aleatorii X și Da,apoi spun că se dă variabilă aleatorie bidimensională (X, Y) .

Exemplu. Mașina ștanțează plăci de oțel. Lungimea este controlată X și lățimea Da. - SV bidimensional.

SV X și Da au propriile funcții de distribuție și alte caracteristici.

Definiție. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale (X, Y) numită funcție.

Definiție. Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale discrete (X, Y) numit masa

Pentru SW discret bidimensional.

Proprietăți:

2) dacă, atunci ; daca atunci ;

4) - funcția de distribuție X;

- funcția de distribuție Y.

Probabilitatea ca valorile bidimensionale SV să cadă într-un dreptunghi:

Definiție. Variabilă aleatorie bidimensională (X Y) numit continuu dacă funcția de distribuție a acestuia este continuu pe și are peste tot (cu excepția, probabil, un număr finit de curbe) o derivată parțială mixtă continuă de ordinul doi .

Definiție. Densitatea distribuției probabilității comune a unui SW continuu bidimensional numită funcție.

Atunci evident .

Exemplul 1. RV continuu bidimensional este dat de funcția de distribuție

Atunci densitatea de distribuție are forma

Exemplul 2. RV continuu bidimensional este dat de densitatea distribuției

Să găsim funcția sa de distribuție:

Proprietăți:

3) pentru orice zonă.

Să se cunoască densitatea distribuției articulare. Atunci densitatea de distribuție a fiecăreia dintre componentele SW bidimensionale se găsește după cum urmează:

Exemplul 2 (continuare).

Densitățile de distribuție ale componentei SW bidimensionale sunt numite de unii autori marginaldistribuții de probabilitate .

Legile de distribuție condiționate ale componentelor unui sistem SW discret.

Probabilitatea condiționată, unde.

Legea distribuției condiționate a componentei X la:

În mod similar pentru, unde.

Să compunem o lege de distribuție condiționată X la Y \u003d2.

Apoi legea distribuției condiționate

Definiție. Densitatea de distribuție condiționată a componentei X la o valoare dată Y \u003d y numit.

În mod similar:.

Definiție. Condiţional matematic așteptând un SV Y discret at se numește, unde - vezi mai sus.

Prin urmare,.

Pentru continuuSV Da .

Evident, este o funcție a argumentului x... Această caracteristică se numește funcția de regresie Y pe X .

În mod similar, funcția de regresie X pe Y : .

Teorema 5. (Despre funcția de distribuție a RV-urilor independente)

SV Xși Da

Consecinţă. CB continuu Xși Da sunt independente dacă și numai dacă.

În exemplul 1 pentru. Prin urmare, SV Xși Daindependent.

Caracteristicile numerice ale componentelor unei variabile aleatorii bidimensionale

Pentru CB discrete:

Pentru CB continuu :.

Varianța și deviația standard pentru toate SV sunt determinate de aceleași formule cunoscute de noi:

Definiție.Ideea se numește centru de dispersie sV bidimensional.

Definiție. Covarianță (moment de corelație) SV se numește

Pentru CB discrete :.

Pentru CB continuu :.

Formula de calculat :.

Pentru SV independente.

Inconvenientul caracteristicii este dimensiunea sa (pătratul unității de măsură a componentelor). Următoarea valoare este liberă de acest dezavantaj.

Definiție. Coeficient de corelație SV X și Da numit

Pentru SV independente.

Pentru orice pereche de CB-uri ... Se știe că dacă și numai dacă când, unde.

Definiție. SV X și Da sunt numite necorelat , dacă .

Relația dintre corelație și dependența SV:

- dacă SV X și Da corelat, adică , atunci sunt dependenți; opusul nu este adevărat;

- dacă SV X și Da independent, atunci ; opusul nu este adevărat.

Observația 1. Dacă SV X și Da distribuite conform legii normale și atunci sunt independenți.

Observația 2. Valoare practică ca măsură a dependenței este justificată numai atunci când distribuția comună a unei perechi este normală sau aproximativ normală. Pentru SV arbitrar X și Da puteți ajunge la o concluzie eronată, adică poate chiar și când X și Da sunt conectate prin dependență funcțională strictă.

Observația 3. În statisticile matematice, corelația este o dependență probabilistică (statistică) între mărimi, care, în general vorbind, nu este strict funcțională. Dependența de corelație apare atunci când una dintre cantități depinde nu numai de secunda dată, ci și de un număr de factori aleatori, sau când dintre condițiile de care depinde una sau cealaltă cantitate, există condiții comune ambelor.

Exemplul 4.Pentru SV X și Da din exemplul 3 găsiți .

Decizie.

Exemplul 5.Se dă densitatea distribuției articulare a SW bidimensional.

O colecție de variabile aleatorii X 1 ,X 2 ,...,X ndefinite pe formele spațiului de probabilitate () p-variabila aleatorie dimensionala ( X 1 ,X 2 ,...,X n). Dacă procesul economic este descris folosind două variabile aleatorii X 1 și X 2, apoi o variabilă aleatorie bidimensională ( X 1 ,X 2) sau ( X,Da).

Funcția de distribuțiesisteme de două variabile aleatorii ( X,Da) considerat ca o funcție a variabilelor este probabilitatea apariției unui eveniment :

Valorile funcției de distribuție satisfac inegalitatea

Din punct de vedere geometric, funcția de distribuție F(x,y) determină probabilitatea ca un punct aleatoriu ( x,Da) cade într-un cadran infinit cu vârful în punctul ( x,la), deoarece punctul ( x,Da) va fi sub și în stânga vârfului specificat (Figura 9.1).

x,Da) într-o jumătate de bandă (Figura 9.2) sau într-o jumătate de bandă (Figura 9.3) este exprimată prin formulele:

respectiv. Probabilitatea de a atinge valori x,Da) într-un dreptunghi (Figura 9.4) poate fi găsit prin formula:

Fig.9.2 Fig.9.3 Fig.9.4

Discretese numește mărime bidimensională, ale cărei componente sunt discrete.

Legea distribuțieivariabilă aleatorie discretă bidimensională ( X,Da) este setul tuturor valorilor posibile ( x i, y j), , variabile aleatorii discrete X și Da și probabilitățile corespunzătoare caracterizând probabilitatea ca componenta X va prelua x i și în același timp componenta Da va prelua y j, și

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete bidimensionale ( X,Da) sunt stabilite sub forma unui tabel. 9.1.

Tabelul 9.1

Continuuse numește o variabilă aleatorie bidimensională ale cărei componente sunt continue. Funcţie r(x,la), egală cu limita raportului probabilității de a atinge o variabilă aleatorie bidimensională ( X,Da) într-un dreptunghi cu laturi și cu aria acestui dreptunghi, când ambele laturi ale dreptunghiului tind spre zero, se numește densitatea distribuției probabilității:

Cunoscând densitatea distribuției, puteți găsi funcția de distribuție după formula:

În toate punctele în care există o derivată mixtă de ordinul doi al funcției de distribuție , densitatea distribuției probabilității poate fi găsit prin formula:

Probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( x,la) către zonă Deste definit de egalitate:

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie Xa luat sensul X<х cu condiția ca variabila aleatorie Daa luat o valoare fixă Da=y, se calculează prin formula:

În mod similar,

Formule pentru calcularea densităților de distribuție condiționate ale componentelor X și Da :

Set de probabilități condiționate p(x 1 |y i), p(x 2 |y i), …, p(x i | y i), ... îndeplinind condiția Y \u003d y i, se numește distribuția condiționată a componentei X la Y \u003d y iX,Da), Unde

În mod similar, distribuția condiționată a componentei Da la X \u003d x i variabilă aleatorie bidimensională discretă ( x,Da) Este un set de probabilități condiționale care îndeplinesc condiția X \u003d x i Unde

Momentul inițial al comenziik + svariabilă aleatorie bidimensională ( X,Da și, adică .

Dacă Xși Y -variabile aleatorii discrete, atunci

Dacă Xși Y -variabile aleatorii continue, atunci

Punct centralordin k + svariabilă aleatorie bidimensională ( X,Da) este așteptarea matematică a produselor și ,acestea.

Dacă cantitățile constituente sunt discrete, atunci

Dacă cantitățile componente sunt continue, atunci

unde r(x,y) Este densitatea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale ( X,Da).

Așteptarea condiționatăDa(X) la X \u003d x(la Y \u003d y) se numește o expresie a formei:

- pentru o variabilă discretă aleatorie Da(X);

– pentru o variabilă continuă aleatorie Da(X).

Așteptări matematice ale componentelor Xși Da variabilele aleatorii bidimensionale sunt calculate prin formule:

Moment de corelațievariabile aleatorii independente Xși Dainclus într-o variabilă aleatorie bidimensională ( X,Da), se numește așteptarea matematică a produselor abaterilor acestor cantități:

Moment de corelație a două variabile aleatoare independente XX, Y) este egal cu zero.

Coeficient de corelațievariabile aleatoare Xși Y incluse într-o variabilă aleatorie bidimensională ( X,Da), este raportul momentului de corelație cu produsul abaterilor standard ale acestor valori:

Coeficientul de corelație caracterizează gradul (etanșeitatea) corelației liniare dintre Xși DaValorile aleatoare, pentru care, sunt numite necorelate.

Coeficientul de corelație satisface proprietățile:

1. Coeficientul de corelație nu depinde de unitățile de măsură ale variabilelor aleatorii.

2. Valoarea absolută a coeficientului de corelație nu depășește unul:

3. Dacă atunci între componente Xși Da variabilă aleatorie ( X,Y) există o relație funcțională liniară:

4. Dacă atunci componentele Xși Da variabilă aleatorie bidimensională necorelată.

5. Dacă atunci componentele Xși Da variabilă aleatorie bidimensională dependentă.

Ecuații M(X | Y \u003d y)=φ( la)și M(Y | X \u003d x)=ψ( x) se numesc ecuații de regresie, iar liniile definite de acestea sunt linii de regresie.

Sarcini

9.1. Variabilă aleatorie discretă bidimensională (X Y) dată de legea distribuției:

Tabelul 9.2

Găsiți: a) legile de distribuție ale componentelor Xși Da;

b) legea distribuției condiționate a cantității Da la X =1;

c) funcția de distribuție.

Aflați dacă cantitățile sunt independente Xși Da... Calculați probabilitatea și caracteristicile numerice de bază M(X), M(Da), D(X), D(Da), R(X,Da), .

Decizie.a) Variabile aleatorii Xși Y sunt definite pe setul format din rezultate elementare, care are forma:

Eveniment ( X \u003d1) corespunde un set de astfel de rezultate în care prima componentă este egală cu 1: (1; 0), (1; 1), (1; 2). Aceste rezultate sunt incompatibile. Probabilitatea ca. X va prelua x i, conform axiomei 3 a lui Kolmogorov, este egal cu:

În mod similar

Prin urmare, distribuția marginală a componentei X, poate fi setat sub forma unui tabel. 9.3.

Tabelul 9.3

b) Un set de probabilități condiționate r(1;0), r(1;1), r(1; 2) satisfacerea condiției X\u003d 1 se numește distribuția condiționată a componentei Da la X\u003d 1. Probabilitatea valorilor cantității Da la X\u003d 1 găsim folosind formula:

Deoarece, atunci, înlocuind valorile probabilităților corespunzătoare, obținem

Deci, distribuția condiționată a componentei Da la X\u003d 1 are forma:

Tabelul 9.5

y j
	0,48	0,30	0,22

Deoarece legile de distribuție condiționată și necondiționată nu coincid (a se vedea tabelele 9.4 și 9.5), cantitățile Xși Da dependent. Această concluzie este confirmată de faptul că egalitatea

pentru orice pereche de valori posibile Xși Da.

De exemplu,

c) Funcția de distribuție F(x,y) o variabilă aleatorie bidimensională (X Y) se pare ca:

unde însumarea se efectuează pe toate punctele () pentru care inegalitățile sunt simultan satisfăcute x i și y j ... Apoi, pentru o lege de distribuție dată, obținem: