„Aplicarea unei derivate la rezolvarea problemelor. "Aplicarea unei derivate la rezolvarea problemelor" Aplicarea unei derivate la rezolvarea problemelor "

Exemplul 1 ... Un dreptunghi cu cea mai mare suprafață ar trebui să fie făcut dintr-un fir de 20 cm lungime. Găsiți dimensiunile sale.

Decizie:Să notăm o parte a dreptunghiului prin x cm, apoi a doua va fi (10-x) cm, aria S (x) \u003d (10-x) * x \u003d 10x-x 2;

S / (x) \u003d 10-2x; S / (x) \u003d 0; x \u003d 5;

Prin starea problemei x (0; 10)

Găsiți semnul derivatei pe interval (0; 5) și pe interval (5; 10). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare: х \u003d 5 punct maxim, S (5) \u003d 25cm 2 - cea mai mare valoare. Prin urmare, o parte a dreptunghiului are 5cm, a doua este 10-x \u003d 10-5 \u003d 5cm;

Exemplul 2. Un teren cu o suprafață de 2400 m2 trebuie împărțit în două secțiuni dreptunghiulare, astfel încât lungimea gardului să fie cea mai mică. Găsiți dimensiunile coletelor.

Decizie:Să desemnăm o parte a site-ului prin x m, apoi a doua va fi m, lungimea gardului P (x) \u003d 3x +;

P / (x) \u003d 3-; P / (x) \u003d 0; 3x 2 \u003d 4800; x 2 \u003d 1600; x \u003d 40. Luăm doar o valoare pozitivă conform afirmației problemei.

Prin starea problemei x (0;)

Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 40) și pe interval (40 ;?). Derivatul schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x \u003d 40 este punctul minim, prin urmare, P (40) \u003d 240m este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o parte este 40m, cealaltă \u003d 60m.

Exemplul 3. Terenul este dreptunghiular, cu o parte adiacentă clădirii. Cu o dimensiune perimetrală dată de 1 m, este necesar să se închidă amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Decizie:

Să desemnăm o parte a secțiunii dreptunghiulare prin x m, apoi a doua va fi (-2x) m, aria S (x) \u003d (-2x) x \u003d x -2x 2;

S / (x) \u003d -4x; S / (x) \u003d 0; -4x; x \u003d;

Prin starea problemei x (0;)

Să găsim semnul derivatei pe interval (0;) și pe interval (;). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare x \u003d punctul maxim. Prin urmare, o parte a parcelei \u003d m, a doua -2x \u003d m;

Exemplul 4. Dintr-o foaie dreptunghiulară de carton cu laturile de 80cm și 50cm, trebuie să faceți o cutie dreptunghiulară tăind pătrate de-a lungul marginilor și îndoind marginile rezultate. Cât de mare ar trebui să fie cutia pentru cel mai mare volum?

Decizie:Notăm înălțimea cutiei (aceasta este partea pătratului tăiat) prin x m, apoi o parte a bazei va fi (80-2x) cm, a doua (50-2x) cm, volumul V (x) \u003d x (80-2x) (50-2x) \u003d 4x \u200b\u200b3 -260x 2 + 4000x;

V / (x) \u003d 12x 2 -520x + 4000; V / (x) \u003d 0; 12x 2 -520x + 4000 \u003d 0; x 1 \u003d 10; x 2 \u003d

Prin starea problemei x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25)

Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 10) și pe interval (10; 25). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x \u003d 10 punct maxim. Prin urmare, înălțimea cutiei \u003d 10cm.

Exemplul 5. Terenul este dreptunghiular, cu o parte adiacentă clădirii. Cu o dimensiune perimetrală de 20 m, este necesar să se îngrădească de pe amplasament, astfel încât zona să fie cât mai mare posibil.

Decizie:

Să desemnăm o parte a dreptunghiului prin x m, apoi a doua va fi (20 -2x) m, aria S (x) \u003d (20-2x) x \u003d 20x -2x 2;

S / (x) \u003d 20 -4x; S / (x) \u003d 0; 20 -4x \u003d 0; x \u003d \u003d 5;

Prin starea problemei x (0; 10)

Găsiți semnul derivatei pe interval (0; 5) și pe interval (5; 10). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x \u003d 5 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a parcelei \u003d 5m, a doua 20 -2x \u003d 10m;

Exemplul 6 . Pentru a reduce frecarea lichidului împotriva pereților și fundului canalului, zona udată de acesta ar trebui să fie cât mai mică posibil. Este necesar să se găsească dimensiunile unui canal dreptunghiular deschis cu o suprafață a secțiunii transversale de 4,5 m2, la care zona umedă va fi cea mai mică.

Decizie:

Să desemnăm adâncimea șanțului prin x m, atunci lățimea va fi m, P (x) \u003d 2x +;

P / (x) \u003d 2-; P / (x) \u003d 0; 2x 2 \u003d 4,5; x \u003d 1,5. Luăm doar o valoare pozitivă conform afirmației problemei.

Prin starea problemei x (0;)

Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 1,5) și pe interval (1,5 ;?). Derivatul schimbă semnul din „-” în „+”. Prin urmare, x \u003d 1,5 este punctul minim, prin urmare, P (1,5) \u003d 6m este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o parte a șanțului este de 1,5m, cealaltă \u003d 3m.

Exemplul 7. Terenul este dreptunghiular, cu o parte adiacentă clădirii. Cu o dimensiune perimetrală de 200m, este necesar să se închidă amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Pagina 6 din 8

Capitolul cinci.

DISPARITIA FIGURILOR. SECȚIUNEA I

În acest capitol și în capitolele următoare, vom urmări dezvoltarea multor paradoxuri geometrice remarcabile. Toate încep cu tăierea formei în bucăți și se încheie cu compilarea acestor piese într-o formă nouă. În același timp, se pare că o parte din figura originală (aceasta poate face parte din zona figurii sau una din mai multe imagini afișate pe ea) a dispărut fără urmă. Când piesele se întorc la locurile lor inițiale, partea dispărută a pătratului sau desenul reapare misterios.

Natura geometrică a acestor dispariții și reapariții curioase justifică clasificarea acestor paradoxuri ca enigme matematice.

Paradoxul cu linii

Toate numeroasele paradoxuri pe care le vom lua în considerare aici se bazează pe același principiu, pe care îl vom numi „principiul redistribuirii latente”. Iată un paradox foarte vechi și foarte elementar, care explică imediat esența acestui principiu.

Desenați zece linii verticale de lungime egală pe o foaie dreptunghiulară de hârtie și trageți o diagonală cu o linie punctată, așa cum se arată în fig. cincizeci.

Să ne uităm la segmentele acestor linii deasupra și sub diagonală; este ușor de văzut că lungimea primei scade și a doua crește în consecință.

Tăiați dreptunghiul de-a lungul liniei punctate și mutați partea inferioară spre stânga și în jos, așa cum se arată în Fig. 51.

Dacă numărați numărul de linii verticale, veți descoperi că acum sunt nouă. Care linie a dispărut și unde? Mutați partea stângă în poziția inițială și linia dispărută va apărea din nou.

Dar care linie a căzut în loc și de unde a venit?

La început aceste întrebări par misterioase, dar după o mică reflecție, devine clar că nici o singură linie nu dispare sau nu apare. Ceea ce se întâmplă este următorul: aceste opt trepte sunt exact egale cu lungimea fiecărei linii originale.

Poate că esența paradoxului va ieși și mai clar dacă este ilustrată pe pietricele.

Să luăm cinci grămezi de pietre, patru pietre într-o grămadă. Mutați o pietricică de la a doua grămadă la prima, două pietricele de la a treia la a doua, trei de la a patra la a treia și, în cele din urmă, toate cele patru pietricele de la a cincea la a patra. Figura: 52 explică acțiunile noastre.

După o astfel de schimbare, se dovedește că au existat doar patru grămezi. Este imposibil să răspundem la întrebarea care grămadă a dispărut, deoarece pietricelele au fost redistribuite astfel încât în \u200b\u200bfiecare dintre cele patru grămezi a fost adăugată o pietricică. Exact același lucru se întâmplă în paradoxul liniei. Când părțile foii sunt deplasate în diagonală, segmentele liniei tăiate sunt redistribuite și fiecare linie rezultată devine puțin mai lungă decât cea originală.

Dispariția feței

Să trecem la descrierea modurilor în care paradoxul liniei poate fi făcut mai interesant și mai distractiv. Acest lucru poate fi realizat, de exemplu, prin înlocuirea dispariției și aspectului liniilor cu aceeași dispariție și aspect al figurilor plate. Imaginile cu creioane, țigări, cărămizi, pălării încoronate, pahare cu apă și alte obiecte extinse vertical, a căror natură rămâne aceeași înainte și după schimbare, sunt potrivite în mod special aici. Cu o anumită ingeniozitate artistică, puteți lua obiecte mai complexe. Vezi, de exemplu, fața care dispare în fig. 53.
Când glisați banda de jos din partea de sus a imaginii spre stânga, toate pălăriile rămân neafectate, dar o față dispare complet! (vezi partea de jos a figurii). Nu are sens să ne întrebăm exact care față, deoarece schimbarea împarte patru fețe în două părți. Aceste părți sunt apoi redistribuite, fiecare față capătă mai multe caracteristici suplimentare: una, de exemplu, un nas mai lung, cealaltă o bărbie mai alungită, etc. Cu toate acestea, aceste redistribuții mici sunt inteligent ascunse, iar dispariția întregii fețe, desigur, este mult mai izbitoare decât dispariția unei bucăți de linie.

Războinicul dispare

În acest puzzle, paradoxul liniei primește o formă circulară și segmentele de linie dreaptă sunt înlocuite cu cifre de 13 războinici (Fig. 54).
În același timp, săgeata mare indică spre nord-estul S.V. Dacă desenul este tăiat într-un cerc și apoi partea interioară începe să se rotească în sens invers acelor de ceasornic, atunci figurile vor fi mai întâi împărțite în părți, apoi vor fi conectate din nou, dar într-un mod diferit, și când săgeata va indica spre nord-vest nord-vest; vor exista 12 războinici în desen (Fig. 55).
Când cercul este rotit în direcția opusă poziției în care săgeata mare stă din nou pe NE, va apărea din nou războinicul dispărut.

Dacă fig. 54 aruncați o privire mai atentă, puteți vedea că cei doi războinici din partea din stânga jos a imaginii sunt localizați într-un mod special: sunt opuse unul față de celălalt, în timp ce restul sunt așezați într-un lanț. Aceste două cifre corespund liniilor extreme din paradoxul segmentului de linie. Pe baza cerințelor desenului, fiecare dintre aceste figuri ar trebui să aibă o parte a piciorului lipsă și astfel încât în \u200b\u200bpoziția rotită a roții această deficiență să fie mai puțin vizibilă, ar fi mai bine să le descrie una lângă alta.

Rețineți, de asemenea, că războinicii sunt descriși în figură cu mult mai multă ingeniozitate decât ar putea părea la prima vedere. De exemplu, pentru ca figurile să rămână în poziție verticală în toate locurile globului, este necesar într-un caz să aveți piciorul drept în loc de piciorul stâng, iar în celălalt, dimpotrivă, piciorul stâng în locul piciorului drept.

Iepurele pierdut

Paradoxul liniilor verticale poate fi evident prezentat pe obiecte mai complexe, de exemplu, fețe umane, figuri de animale etc. În fig. 56 arată o opțiune.
Când dreptunghiurile A și B sunt schimbate după tăierea de-a lungul liniei groase, un iepure dispare, lăsând în urmă un ou de Paște. Dacă, în loc să rearanjați dreptunghiurile A și B, tăiați jumătatea dreaptă a desenului de-a lungul liniei punctate și schimbați părțile potrivite, numărul de iepuri va crește la 12, dar un iepure va pierde urechile și vor apărea alte detalii amuzante.

Capitolul șase.

DISPARITIA FIGURILOR. SECȚIUNEA IEu

Paradoxul tabelului de șah

În strânsă legătură cu paradoxurile discutate în capitolul anterior, există o altă clasă de paradoxuri, în care „principiul redistribuirii ascunse” explică dispariția misterioasă sau apariția zonelor. Unul dintre cele mai vechi și mai simple exemple ale acestui tip de paradox este prezentat în Fig. 57.
Tabla de șah este tăiată oblic, așa cum se arată în jumătatea stângă a figurii, iar apoi partea B se deplasează spre stânga și în jos, așa cum se arată în jumătatea dreaptă a figurii. Dacă triunghiul care iese în colțul din dreapta sus este tăiat cu foarfeca și plasat într-un spațiu gol care arată ca un triunghi în colțul din stânga jos al figurii, atunci obțineți un dreptunghi de 7x9 unități pătrate.

Suprafața inițială era de 64 de unități pătrate, dar acum este de 63. Unde a dispărut o unitate pătrată lipsă?

Răspunsul este că linia noastră diagonală este puțin sub colțul din stânga jos al pătratului din colțul din dreapta sus al plăcii.

Datorită acestui fapt, triunghiul tăiat are o înălțime care nu este 1, ci 1 1/7. Astfel, înălțimea nu este de 9, ci de 9 1/7 unități. O creștere de 1/7 unitate în înălțime este aproape imperceptibilă, dar atunci când este luată în considerare, rezultă o zonă dreptunghiulară necesară de 64 de unități pătrate.

Paradoxul devine și mai izbitor dacă, în loc de tablă de șah, luăm doar o foaie pătrată de hârtie fără celule, întrucât în \u200b\u200bcazul nostru, la o examinare atentă, se relevă o închidere inexactă a celulelor de-a lungul liniei tăiate.

Conexiunea dintre paradoxul nostru și paradoxul liniei verticale discutate în capitolul anterior devine clară dacă urmărim celulele la linia tăiată. Când vă deplasați de-a lungul liniei tăiate, se constată că deasupra liniei, părți ale celulelor tăiate (în figură sunt întunecate) scad treptat, iar sub linie cresc treptat. Pe tabloul de șah erau cincisprezece celule întunecate și erau doar paisprezece dintre ele pe dreptunghiul obținut după rearanjarea părților. Dispariția aparentă a unei celule întunecate este pur și simplu o altă formă a paradoxului discutat mai sus. Când tăiem și apoi amestecăm micul triunghi, tăiem efectiv partea A a tablei de șah în două bucăți, care sunt apoi schimbate de-a lungul diagonalei.

Pentru puzzle, doar celulele adiacente liniei tăiate sunt importante, restul nu contează, jucând rolul de decor. Cu toate acestea, prezența lor schimbă natura paradoxului. În loc de dispariția uneia dintre mai multe celule mici (sau a unei figuri ceva mai complexe, să zicem, o carte de joc, o față umană etc., care ar putea fi desenată în interiorul fiecărei celule), ne confruntăm aici cu o schimbare a zonei unei mari figuri geometrice.

Paradoxul pătratului

Iată un alt paradox cu zona. Prin schimbarea poziției părților A și C, așa cum se arată în fig. 58, este posibil să se transforme un dreptunghi de 30 de unități pătrate în două dreptunghiuri mai mici cu o suprafață totală de 32 de unități pătrate, obținându-se astfel o „plată” de două unități pătrate. Ca și în paradoxul anterior, doar celulele adiacente liniei tăiate joacă un rol aici. Restul sunt necesare doar pentru decorare.
În acest paradox, există două moduri esențial diferite de a tăia o figură în bucăți.

Puteți începe cu un dreptunghi mare de 3x10 unități (partea de sus a figurii 58) trasând cu atenție o diagonală, apoi cele două dreptunghiuri mai mici (partea de jos a figurii 58) vor fi cu 1/5 unități mai scurte decât dimensiunea lor aparentă.

Dar puteți începe, de asemenea, cu o formă formată din două dreptunghiuri mai mici, bine desenate, de 2x6 și 4x5 unități; atunci segmentele care leagă punctul X de punctul Y și punctul Y de punctul Z nu vor forma o linie dreaptă. Și numai pentru că unghiul obtuz format de ei cu vârful în punctul Y este foarte aproape de cel desfășurat, linia întreruptă XYZ pare a fi o linie dreaptă. Prin urmare, o formă formată din părți ale dreptunghiurilor mici nu va fi cu adevărat un dreptunghi, deoarece aceste părți se vor suprapune ușor de-a lungul diagonalei. Paradoxul tablei de șah, precum și majoritatea celorlalte paradoxuri pe care le vom lua în considerare în acest capitol, pot fi, de asemenea, prezentate în două moduri. Într-una dintre ele, paradoxul se obține datorită unei ușoare scăderi sau creșteri a înălțimii (sau lățimii) figurilor, în cealaltă, datorită creșterii sau pierderii suprafeței de-a lungul diagonalei, cauzată fie de suprapunerea figurilor, ca în cazul tocmai luat în considerare, fie de apariția spațiilor goale, cu care ne vom întâlni în curând.

Prin schimbarea dimensiunii figurilor și a pantei diagonalei, acestui paradox i se poate da cel mai diferit design. Puteți obține o pierdere sau câștig în suprafață de 1 unitate pătrată sau 2, 3, 4, 5 unități etc.

Varianta pătrată

Într-o variantă minunată, dreptunghiurile originale 3x8 și 5x8, atunci când sunt juxtapuse, formează o tablă de șah obișnuită de 8x8. Aceste dreptunghiuri sunt tăiate în bucăți, care, după redistribuire, formează un nou dreptunghi mare cu o creștere aparentă a ariei unei unități pătrate (Fig. 59).
Esența paradoxului este următoarea. Cu o construcție atentă a unui desen pătrat, o diagonală strictă a unui dreptunghi mare nu funcționează. În schimb, apare o figură în formă de diamant, atât de alungită încât părțile sale par să se contopească aproape. Pe de altă parte, dacă desenați cu atenție diagonala unui dreptunghi mare; partea de sus a celor două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul va fi puțin mai mare decât ar trebui să fie, iar dreptunghiul de jos va fi puțin mai lat. Rețineți că închiderea inexactă a părților figurii în a doua metodă de tăiere este mai izbitoare decât inexactitățile de-a lungul diagonalei în prima; de aceea este preferabilă prima metodă. La fel ca în exemplele întâlnite anterior, cercurile, fizionomiile sau unele figuri pot fi desenate în interiorul celulelor tăiate printr-o diagonală; atunci când se rearanjează părțile constitutive ale dreptunghiurilor, aceste cifre vor deveni una mai mult sau mai puțin.

Numere Fibonacci

Se pare că lungimile laturilor celor patru părți care alcătuiesc figurile (figurile 59 și 60) sunt membre ale seriei Fibonacci, adică o serie de numere începând cu două unități: 1, 1, fiecare dintre ele, începând cu a treia, este suma a două precedent. Rândul nostru arată ca 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
Aranjamentul părților care au fost tăiate într-un pătrat, sub formă de dreptunghi, ilustrează una dintre proprietățile seriei Fibonacci, și anume următoarele: la pătratarea oricărui membru al acestei serii, se obține produsul a doi membri adiacenți ai seriei plus sau minus unul. În exemplul nostru, latura pătratului este 8 și aria este 64. Cele opt din rândul Fibonacci sunt situate între 5 și 13. Deoarece numerele 5 și 13 devin lungimile laturilor dreptunghiului, aria acestuia ar trebui să fie egală cu 65, ceea ce dă o creștere a ariei cu o unitate.

Datorită acestei proprietăți a seriei, puteți construi un pătrat, a cărui latură este orice număr Fibonacci mai mare decât unul și apoi îl puteți tăia în conformitate cu cele două numere anterioare ale acestei serii.

Dacă, de exemplu, luăm un pătrat de 13x13 unități, atunci cele trei laturi ale acestuia ar trebui împărțite în segmente de 5 și 8 unități de lungime și apoi tăiate, așa cum se arată în Fig. 60. Suprafața acestui pătrat este de 169 de unități pătrate. Laturile dreptunghiului format din părțile pătratelor vor fi 21 și 8, ceea ce dă o suprafață de 168 unități pătrate. Aici, datorită suprapunerii părților de-a lungul diagonalei, o unitate pătrată nu este adăugată, ci pierdută.

Dacă luați un pătrat cu latura de 5, atunci veți pierde și o unitate pătrată. Se poate formula și o regulă generală: luând ca latură a pătratului orice număr din „prima” subsecvență a numerelor Fibonacci (3, 8 ...) dispuse unul după altul și compunând un dreptunghi din părțile acestui pătrat, obținem o degajare de-a lungul diagonalei sale și, în consecință, o creștere aparentă a ariei cu o unitate. Luând ca latură a pătratului orice număr din „a doua” subsecvență (2, 5, 13 ...), obținem zone suprapuse de-a lungul diagonalei dreptunghiului și pierderea unei unități pătrate de suprafață.

Puteți construi un paradox chiar și pe un pătrat cu o latură de două unități. Dar atunci există o suprapunere atât de evidentă în dreptunghiul 3x1 încât efectul paradoxului este complet pierdut.

Folosind alte serii Fibonacci pentru paradox, puteți obține nenumărate opțiuni. De exemplu, pătratele bazate pe seria 2, 4, 6, 10, 16, 26 etc. duc la pierderi sau câștiguri în suprafață de 4 unități pătrate. Mărimea acestor pierderi sau câștiguri poate fi aflată calculând pentru o serie dată diferența dintre pătratul oricăruia dintre membrii săi și produsul celor doi termeni învecinați din stânga și din dreapta. Rândurile 3, 4, 7, 11, 18, 29 etc. dau o creștere sau o pierdere de cinci unități pătrate. T. de Moulidar a dat un desen al unui pătrat bazat pe seria 1, 4, 5, 9, 14 etc. Partea acestui pătrat este luată egal cu 9 și, după transformarea acestuia într-un dreptunghi, se pierd 11 unități pătrate. Rândurile 2, 5, 7, 12, 19 ... dau, de asemenea, o pierdere sau câștig de 11 unități pătrate. În ambele cazuri, suprapunerile (sau golurile) de-a lungul diagonalei sunt atât de mari încât pot fi văzute imediat.

Notând trei numere consecutive ale lui Fibonacci prin A, B și C și prin X - pierderea sau câștigul în zonă, obținem următoarele două formule:

A + B \u003d C

B 2 \u003d AC ± X

Dacă înlocuiți cu X câștigul sau pierderea dorită și, în loc de B, numărul care este luat ca lungimea laturii pătratului, atunci puteți construi o ecuație pătratică din care există alte două numere Fibonacci, deși acestea, desigur, nu vor fi neapărat numere raționale. Se pare, de exemplu, că împărțind un pătrat în figuri cu lungimi raționale ale laturilor, nu se poate obține un câștig sau o pierdere de două sau trei unități pătrate. Cu cifre iraționale, acest lucru poate fi desigur realizat. Deci, seria Fibonacci 2 1/2, 2 2 1/2, 3 2 1/2, 5 2 1/2 oferă o creștere sau o pierdere de două unități pătrate, iar seria 3 1/2, 2 3 1 / 2, 3 · 3 1/2, 5 · 3 1/2 are ca rezultat o creștere sau o pierdere de trei unități pătrate.

Opțiune cu un dreptunghi

Există multe moduri în care un dreptunghi poate fi tăiat într-un număr mic de bucăți și apoi pliat într-un alt dreptunghi de suprafață mai mare sau mai mică. În fig. 61 descrie un paradox, bazat tot pe seria Fibonacci.
Similar cu cazul considerat doar cu un pătrat, alegerea unui număr Fibonacci din „a doua” subsecvență ca lățimea primului dreptunghi (în acest caz 13) crește aria celui de-al doilea dreptunghi cu o unitate pătrată.

Dacă luăm un număr Fibonacci din subsecvența „suplimentară” ca lățimea primului dreptunghi, atunci aria din al doilea dreptunghi va scădea cu o unitate. Pierderile și câștigurile de suprafață se datorează suprapunerilor mici sau golurilor de-a lungul tăieturii diagonale a celui de-al doilea dreptunghi. O altă versiune a unui astfel de dreptunghi, prezentată în Fig. 62, la construirea celui de-al doilea dreptunghi, mărește aria cu două unități pătrate.

Dacă așezați partea umbrită a zonei celui de-al doilea dreptunghi deasupra părții nesombrite, cele două tăieturi diagonale se vor îmbina într-o diagonală mare. Acum rearanjând părțile A și B (ca în Fig. 61), obținem un al doilea dreptunghi cu o zonă mai mare.

O altă versiune a paradoxului

La însumarea suprafețelor părților, permutarea triunghiurilor B și C în partea superioară a Fig. 63 are ca rezultat o pierdere aparentă a unei unități pătrate.
După cum va observa cititorul, acest lucru se datorează zonelor părților umbrite: există 15 pătrate umbrite în partea de sus a figurii, 16 pătrate umbrite în partea de jos. Înlocuind părțile umbrite cu două forme speciale care le acoperă, ajungem la o nouă formă uimitoare de paradox. Acum avem un dreptunghi în față, care poate fi tăiat în 5 părți și apoi, schimbându-le, faceți un nou dreptunghi și, în ciuda faptului că dimensiunile sale liniare rămân aceleași, în interior apare o gaură cu o suprafață de o unitate pătrată (Fig. 64).
Abilitatea de a transforma o formă în alta, cu aceleași dimensiuni externe, dar cu o gaură în interiorul perimetrului, se bazează pe următoarele. Dacă luați punctul X exact trei unități de la bază și cinci unități din partea dreptunghiului, atunci diagonala nu va trece prin el. Cu toate acestea, punctul de conectare polilinie X la vârfurile opuse ale dreptunghiului se va abate atât de puțin de diagonală încât va fi aproape invizibil.

După rearanjarea triunghiurilor B și C în jumătatea inferioară a figurii, părțile figurii se vor suprapune ușor de-a lungul diagonalei.

Pe de altă parte, dacă linia care leagă vârfurile opuse ale dreptunghiului este privită ca o diagonală perfect desenată în partea de sus a figurii, atunci linia XW va fi puțin mai lungă de trei unități. Și ca o consecință a acestuia, al doilea dreptunghi va fi puțin mai mare decât pare. În primul caz, unitatea de suprafață lipsă poate fi considerată distribuită de la unghi la altul și formând o suprapunere de-a lungul diagonalelor. În al doilea caz, pătratul lipsă este distribuit pe lățimea dreptunghiului. După cum știm deja din precedent, toate paradoxurile de acest fel pot fi atribuite uneia dintre aceste două opțiuni de construcție. În ambele cazuri, inexactitățile figurilor sunt atât de nesemnificative încât sunt complet invizibile.

Cea mai elegantă formă a acestui paradox este pătratele, care rămân pătrate după redistribuirea părților și formarea unei găuri.

Astfel de pătrate sunt cunoscute în nenumărate variații și cu găuri în orice număr de unități pătrate. Unele dintre cele mai interesante dintre ele sunt prezentate în Fig. 65 și 66.

Puteți indica o formulă simplă care leagă dimensiunea găurii de proporțiile triunghiului mare. Cele trei dimensiuni care vor fi discutate, le vom desemna prin A, B până la C (Fig. 67).
Aria găurii în unități pătrate este egală cu diferența dintre produsul lui A și C și cel mai apropiat multiplu de dimensiunea B. Deci, în ultimul exemplu, produsul lui A și C este 25. Cel mai apropiat multiplu de dimensiunea B la 25 este 24, deci gaura este o unitate pătrată. Această regulă se aplică indiferent dacă diagonala reală este trasată sau punctul X din Fig. 67 este desenat îngrijit la intersecția liniilor de rețea pătrate.

Dacă diagonala, așa cum ar trebui să fie, este trasată ca o linie strict dreaptă sau dacă punctul X este luat exact la unul din vârfurile grilei pătrate, atunci nu se obține nici un paradox. În aceste cazuri, formula oferă o gaură de zero unități pătrate, ceea ce înseamnă, desigur, că nu există deloc gaură.

Opțiunea triunghi

Să ne întoarcem la primul exemplu de paradox (vezi Fig. 64). Rețineți că triunghiul mare A nu își schimbă poziția, în timp ce restul părților se mișcă. Deoarece acest triunghi nu joacă un rol semnificativ în paradox, acesta poate fi abandonat cu totul, lăsând doar triunghiul dreptunghiular tăiat în patru părți. Aceste părți pot fi apoi redistribuite, obținându-se astfel un triunghi unghiular cu o gaură (Fig. 68), ca și cum ar fi egal cu originalul.
Compunând două astfel de triunghiuri unghiulare cu picioare, puteți construi multe opțiuni pentru triunghiuri isoscele, similare cu cele prezentate în Fig. 69.
La fel ca în paradoxurile luate în considerare anterior, aceste triunghiuri pot fi construite în două moduri: fie își desenează laturile strict rectiliniu, atunci punctul X nu va cădea pe intersecția liniilor grilei pătrate, nici nu așează punctul X exact la intersecție, atunci laturile vor fi ușor convexe sau concav. Cea din urmă metodă pare să fie mai bună la mascarea inexactităților din desen. Paradoxul va părea și mai surprinzător dacă liniile unei rețele pătrate sunt trasate pe părțile care alcătuiesc triunghiul, subliniind astfel că părțile au fost realizate cu precizia necesară.

Oferind triunghiurilor noastre isoscele dimensiuni diferite, putem câștiga sau pierde orice număr par de unități pătrate.

Mai multe exemple tipice sunt date în Fig. 70, 71 și 72.

Compunând două triunghiuri isoscele din oricare dintre aceste tipuri cu baze, puteți construi o varietate de opțiuni pentru un tip rombic; cu toate acestea, ele nu adaugă nimic esențial nou paradoxului nostru.

Patratele din patru piese

Toate tipurile de paradoxuri cu o schimbare de zonă pe care le-am considerat până acum sunt strâns legate în ceea ce privește metoda de construcție. Cu toate acestea, există paradoxuri obținute prin metode complet diferite. Puteți, de exemplu, să tăiați un pătrat în patru părți de aceeași formă și dimensiune (fig. 73) și apoi să le compuneți într-un mod nou, așa cum se arată în fig. 74. Rezultă astfel un pătrat, ale cărui dimensiuni nu par să se fi schimbat și în același timp cu o gaură în mijloc.
În același mod, puteți tăia un dreptunghi cu orice raport de aspect. Este curios faptul că punctul A, la care se intersectează două, pare a fi neschimbat și în același timp cu o gaură în mijloc.

În același mod, puteți tăia un dreptunghi cu orice raport de aspect. Este curios faptul că punctul A, la care se intersectează două linii tăiate reciproc perpendiculare, poate fi situat oriunde în interiorul dreptunghiului. În fiecare caz, când părțile sunt redistribuite, apare o gaură, iar dimensiunea sa depinde de valoarea unghiului format de liniile tăiate cu laturile dreptunghiului.

Acest paradox este relativ simplu, dar pierde foarte mult datorită faptului că chiar și un studiu superficial arată că laturile celui de-al doilea dreptunghi ar trebui să fie puțin mai mari decât laturile primului.

Un mod mai complex de a tăia un pătrat în patru bucăți, care produce o gaură interioară, este prezentat în Fig. 75.

Se bazează pe paradoxul tabloului de șah care deschide acest capitol. Rețineți că la redistribuirea pieselor, două dintre ele trebuie întoarse cu susul în jos. Rețineți, de asemenea, că, aruncând partea A, obținem un triunghi unghiular compus din trei părți, în interiorul cărora se poate forma o gaură.

Pătrate din trei piese

Există o modalitate de a tăia un pătrat în trei bucăți care pot fi reconstruite pentru a face un pătrat cu o gaură în interior? Raspunsul este da. O soluție îngrijită se bazează pe aplicarea paradoxului discutat în capitolul anterior.

În loc să plasați imaginile într-un mod special și să faceți tăietura în linie dreaptă (orizontal), imaginile sunt așezate pe o linie dreaptă, iar tăietura se face în trepte. Rezultatul este uimitor: nu numai că imaginea dispare, dar apare o gaură în punctul în care dispare.

Pătrate din două piese

Puteți face același lucru cu două părți?

Nu cred că în acest caz este posibil prin orice metodă să se obțină o gaură interioară într-un pătrat din cauza unei creșteri imperceptibile a înălțimii sau lățimii sale. Cu toate acestea, s-a demonstrat că paradoxul cu o gaură într-un pătrat tăiat în două poate fi construit pe principiul care se aplică paradoxului războinicului care dispare. În acest caz, în loc să așeze figurile într-o spirală sau într-o treaptă, acestea sunt așezate strict de-a lungul circumferinței, în timp ce tăietura este făcută spirală sau în trepte; în acest din urmă caz, are forma unei roți dințate cu dinți de diferite dimensiuni. Când această roată se rotește, o figură dispare și apare o gaură în locul ei.

Părțile staționare și rotative se potrivesc perfect numai atunci când apare gaura. În poziția inițială, mici goluri sunt vizibile la fiecare dinte, dacă incizia a fost treptată sau un lumen circular continuu cu o tăietură în spirală.

Dacă dreptunghiul original nu este un pătrat, îl puteți tăia în două, apoi puteți obține o gaură în interior, cu o schimbare foarte mică în dimensiunile sale externe. În fig. 76 arată o opțiune.

Ambele părți sunt identice atât ca formă, cât și ca dimensiune. Cel mai simplu mod de a demonstra acest paradox este următorul: decupați bucăți de carton, pliați-le sub forma unui dreptunghi fără gaură, puneți-le pe o bucată de hârtie și urmăriți perimetrul cu un creion. Acum pliați piesele într-un mod diferit, puteți vedea că acestea încă nu depășesc linia trasată, deși s-a format o gaură în mijlocul dreptunghiului.

La cele două părți ale noastre, puteți, desigur, să adăugați o a treia, realizată sub forma unei benzi, care, atunci când este aplicată pe una dintre laturile dreptunghiului, o transformă într-un pătrat; astfel obținem un alt mod de a tăia pătratul în trei părți, oferind o gaură interioară.

Opțiuni curbilinee și 3D

Exemplele pe care le-am dat arată clar că zona paradoxurilor cu o schimbare de zonă abia începe să fie dezvoltată. Există forme curbate, cum ar fi cercurile sau elipsele, care pot fi tăiate în bucăți și apoi rearanjate astfel încât găurile interioare să fie obținute fără o denaturare notabilă a formei?

Există figuri tridimensionale care sunt specifice a trei dimensiuni, adică nu sunt o consecință banală a figurilor bidimensionale? La urma urmei, este clar că oricărei figuri plate cu care ne-am întâlnit în acest capitol, puteți „adăuga o dimensiune” pur și simplu tăind-o dintr-un carton destul de gros, a cărui înălțime este egală cu „lungimea celei de-a treia dimensiuni”).

Este posibil să tăiați un cub sau, să zicem, o piramidă într-un mod nu foarte complicat în părți, astfel încât, compunându-le într-un mod nou, să obțineți goluri vizibile în interior?

Răspunsul va fi acesta: dacă nu limitați numărul de părți, atunci nu este deloc dificil să indicați astfel de figuri spațiale. Acest lucru este suficient de clar în cazul unui cub.

Aici se poate obține goliciunea interioară, dar întrebarea cu privire la cel mai mic număr de părți cu care se poate realiza acest lucru este mai dificilă. Cu siguranță poate fi realizat din șase părți; este posibil ca acest lucru să poată fi realizat cu un număr mai mic.

Un astfel de cub poate fi demonstrat în mod eficient după cum urmează: scoateți-l dintr-o cutie, realizat exact conform cubului, dezasamblați-l în părți, în timp ce găsiți o bilă în interior, puneți piesele înapoi într-un cub solid și arătați că acesta (fără minge) încă umple bine cutia. Vom presupune că ar trebui să existe multe astfel de figuri, atât plate, cât și spațiale, care, în plus, se disting prin simplitate și grație de formă. Viitorii exploratori ai acestei zone curioase vor avea plăcerea de a le descoperi.

Khrestina Nadezhda Mihailovna, profesor pentru munca de dezvoltare cu copiii, NOU DOD „DRTs„ Wonderland ”, Ryazan [e-mail protejat]

Aplicarea elementelor TRIZ în lecțiile de matematică

Adnotare. Articolul discută despre utilizarea elementelor structurii unei lecții creative în sistemul pedagogic inovator NFTMTRIZ în lecțiile de matematică. Autorul propune o dezvoltare metodologică a unei lecții de matematică în clasa a 5-a, care demonstrează modul în care puteți dezvolta abilitățile creative ale elevilor în cadrul curriculumului școlar. Cuvinte cheie: acțiuni educaționale universale, gândire creativă, abordare sistem-activitate, lecție creativă, reflecție.

Matematica este o știință vitală pentru toată lumea. Încă de la o vârstă fragedă, un copil este înconjurat de o lume a numerelor, a formelor etc. Și, în același timp, această lume este foarte complexă și multifacetică. Mulți copii, care se confruntă cu dificultăți în studierea materialului, își pierd interesul pentru subiect și „ignoranța” se acumulează ca un bulgăre de zăpadă. Prin urmare, profesorul se confruntă cu o problemă: nu numai să predea, ci și să insufle interes și, prin urmare, să ofere copilului instrumentele pentru stăpânirea independentă a noilor cunoștințe (acțiuni universale de învățare). Sarcina profesorului este de a face lecția interesantă, interesantă, folosind o varietate de metode de predare, pentru a dezvolta în mod sistematic abilități creative la copil. gândirea, capacitatea de a lucra cu o problemă și de a o rezolva, de a trage concluzii, de a căuta noi abordări originale, de a vedea frumusețea rezultatelor obținute. Premisa pentru aceasta este Standardul Educațional de Stat Federal (FSES) al învățământului general de bază din 17 decembrie 2010. Se bazează pe o abordare sistematică a activității, cu valoarea personalitatea responsabilă a elevului. Standardul dictează faptul că ne îndepărtăm de sistemul de clasă al lui Jan Amos Komensky, în care profesorul este „povestitorul”, iar elevii sunt „reluarea”. Noi tipuri de lecții, precum: „brainstorming”, dispută, activități de proiect, îl vor ajuta pe copil într-o lume în continuă schimbare. Ce rezultate ar trebui să primească un profesor ca rezultat al muncii sale? Profesorul trebuie să cultive în patriotismul elevilor, dragostea pentru patria mamă, istoria, limba și cultura poporului său; să formeze o atitudine responsabilă față de învățare, să fie capabil de auto-dezvoltare și autoeducare bazată pe motivația pentru învățare și cunoaștere, alegerea conștientă a profesiei; formează competență comunicativă; abilitatea de a-și stabili obiective, de a căuta modalități de a le atinge, de a stăpâni elementele de bază ale autocontrolului etc. De asemenea, elevul trebuie să aibă cunoștințe și competențe suficiente, să fie capabil să își asume responsabilitatea pentru acțiunile sale și consecințele acestora, să respecte legea, să fie un cetățean liber și responsabil, tolerant. o creștere a numărului de invenții și profesii noi, elevul trebuie să fie pregătit pentru cerințele în continuă schimbare ale pieței muncii. Cele de mai sus ne permit să concluzionăm că, pentru a obține toate aceste rezultate, un profesor nu trebuie doar să transfere cunoștințe, el trebuie să „învețe să învețe” pentru a înțelege că rezultatele obiective nu mai sunt singurele principale, el trebuie să formeze și rezultate personale și metasubiecte. Însăși formularea rezultatelor s-a schimbat, deoarece copilul trebuie să stăpânească acum metodele de acțiune, adică activități educaționale universale, care sunt rezultate metasubiecte. Doar un set de acțiuni universale va face posibilă formarea capacității unui elev de a învăța ca sistem. Permite trasarea vizuală a modului și în ce etapă se formează anumite acțiuni educaționale universale. Pentru a atinge obiectivele, profesorul poate fi ajutat de utilizarea elementelor sistemului pedagogic creativ pentru formarea continuă a gândirii creative (NFTM), în care există instrumente ale teoriei rezolvării inventive a problemelor (TRIZ). Acest lucru permite elevilor să dezvolte imaginația și imaginația creativă, gândirea sistemică și dialectică. Aplicarea structurii unei lecții creative la școală. , vă permite să faceți lecția mai strălucitoare, mai puțin stresantă pentru copil, să țineți copilul concentrat pe parcursul întregii lecții și, cel mai important, să nu-i oferiți cunoștințe gata făcute, ci să îi oferiți posibilitatea de a le obține singur. De asemenea, o problemă importantă este trecerea parțială de la probleme de tip închis la probleme de tip deschis. tipul, care afectează experiența de zi cu zi a elevilor, îi face pe elevi să se gândească deja atunci când citesc afecțiunea, deoarece aceasta este insuficientă, „vagă”, poate conține un exces de informații. O varietate de metode de soluție duce la distrugerea inerției psihologice - obiceiul acțiunilor standard într-o situație familiară sau dorința de a gândi și de a acționa în conformitate cu experiența acumulată. Un set de răspunsuri posibile ajută la învățarea copilului reflecție și stima de sine. Este imposibil să vorbim despre o respingere completă a sarcinilor închise. Sunt bune în cantități mici, când trebuie doar să puneți mâna pe o anumită formulă sau proprietate. Dar explicația noului material nu poate fi fără probleme. La urma urmei, prima întrebare după citirea subiectului din lecția din capul copiilor: „De ce am nevoie de asta?” sau „Unde îmi va fi de folos?” Toate cele de mai sus ni le oferă sistemul NFTM - formarea continuă a gândirii creative și dezvoltarea abilităților creative ale copiilor. Prezent o lecție de matematică de clasa a V-a, cu elemente ale structurii unei lecții creative în sistemul pedagogic inovator NFTMTRIZ. Harta tehnologică a unei lecții de matematică în 5 clasă pe tema „Zona unui dreptunghi. Unități de zonă "Tipul lecției: Lecție în studierea materialului nou. Obiectivele lecției: 1. Subiect: să formeze ideea elevilor despre aria unei figuri, să stabilească legături între unitățile de măsură a ariei, să familiarizeze elevii cu formulele pentru aria unui dreptunghi și a unui pătrat. 2. Personal: pentru a forma capacitatea de a determina metodele de acțiune în condițiile și cerințele propuse, de a-și ajusta acțiunile în funcție de situația în schimbare. Metasubiect: formarea abilității de a vedea o problemă matematică în contextul unei situații problematice, în viața din jur. Rezultate planificate:

elevii își vor face o idee despre aria figurilor și proprietățile acesteia, vor învăța să stabilească conexiuni între unitățile de măsură ale ariei, să aplice formulele pentru aria unui dreptunghi și a unui pătrat; să câștige capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii; elevii vor dezvolta interes cognitiv prin momentele de joc ale „micului miracol”; vor dobândi abilități de comunicare lucrați în grup și în perechi. Manual: A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir.Matematica clasei 5. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ. 2014.

Etape ale lecției Sarcini parțiale Profesori Activități ale elevilor Apar 8 mici. –Cum s-a întâmplat? –Ce am făcut în ultima lecție? –Astăzi vom continua să lucrăm cu dreptunghiuri. Sunt incluse în ritmul de afaceri al lecției.

Băieții încearcă să descopere trucul și activează cunoștințele lecției anterioare.

Personal: autodeterminare. Regulator: autoorganizare. Comunicativ: planificarea cooperării educaționale cu profesorul și colegii. Cognitiv: abilități de activitate de cercetare. 2. Partea substantivă. Furnizarea percepției, înțelegerii și memorării primare a subiectului studiat de către copii: zona unui dreptunghi. Imaginile sunt afișate pe un proiector multimedia. Problemă. Vecinii au discordie. Proprietarul secțiunii albastre, pentru a ajunge la grădina sa, trebuie să treacă prin secțiunea roșie a vecinului. Ce trebuie făcut? Intrarea pe site-uri

Fig.1 Știm din experiență că terenuri egale au suprafețe egale - Ce concluzie putem trage? Problemă: Omul a decis să picteze podeaua în casa sa de la țară. Dar podeaua are o formă neobișnuită. Dar nu știe câtă vopsea este necesară, pe cutia de vopsea scrie 100g pe 1m2. Aria figurii mai mici este de 12m2, aria figurii mai mari este de 20m 2. Ce să faci?

Au propus versiuni ale soluționării litigiilor. Împreună cu profesorul, îl aleg pe cel potrivit: albastrul trebuie să ia o bucată de pământ roșu și, în schimb, să-i dea o dimensiune egală.

Ei concluzionează: cifrele egale au suprafețe egale. Băieții propun versiuni, împreună alegem cea corectă: este necesar să adăugăm suprafețele a două figuri și să găsim consumul de vopsea. Elevii înșiși deduc a doua proprietate: aria unei figuri este egală cu suma ariilor figurilor din care constă. Personal: autodeterminare. Regulator: dezvoltarea reglementării activității educaționale Comunicativ: capacitatea de a lucra în echipă, de a auzi și respecta opiniile altora, capacitatea de a-și apăra poziția. Cognitiv: abilități de cercetare. Dezvoltarea gândirii creative.

Fig. 2 Conversație euristică cu elemente ale metodei de încercare și eroare. Există o riglă, busole, raportor pe masa profesorului. Am vorbit despre zonă, dar cum o putem măsura? Să măsurăm aria planșei noastre. –Ce trebuie să măsurăm segmente? –– Ce este să măsurăm unghiurile? ”Încheiem: pentru unitatea de măsură a ariei, alegem un pătrat a cărui latură este egală cu un segment de unitate. Cum numim un astfel de pătrat? Pentru a măsura o zonă, trebuie să calculați câte pătrate unitare se potrivesc în ea?

Băieții trec prin toate instrumentele posibile, ajung la concluzia că nu sunt suficiente.

–Regula, segmentul unității –Protractor, unghiul unității. –Individual. Unul dintre elevi merge la tablă, numără, folosind un pătrat de unitate pregătit anterior cu o latură de 1 m, suprafața plăcii. Două unități se potrivesc unui pătrat unitate, ceea ce înseamnă că suprafața plăcii este de 2 m 2. În caiet notăm tema lecției: „Zona unui dreptunghi”. 3. Relieful psihologic. Pentru a oferi elevilor posibilitatea de a schimba tipul de activitate. Probleme pentru dezvoltarea creativității.Orientarea în spațiu 1. O pereche de cai a alergat 20 km. Câți kilometri a alergat fiecare cal? (20 km) 2. În cușcă erau 4 iepuri. Patru tipi au cumpărat fiecare unul dintre acești iepuri și un iepure a rămas în cușcă. Cum s-ar fi putut întâmpla asta? (Un iepure a fost cumpărat cu cușca) 3. Două portofele conțin două monede, iar un portofel conține de două ori mai multe monede decât celălalt. Cum poate fi aceasta? (Un portofel se află în celălalt) Clasa este împărțită în grupuri de câte 6 persoane, în grupuri profesorul îl selectează pe căpitan, care, după discutarea problemei, alege răspunsul corect. Se acordă 1 minut pentru discuție.

Personal: autodeterminare; Regulator: dezvoltarea reglementării activității educaționale; Comunicativ: interacțiunea cu partenerii în activități comune; Cognitiv: abilități ale activității de cercetare. Dezvoltarea gândirii creative.

4. Doi fii și doi tați au mâncat 3 ouă. Câte ouă a mâncat fiecare? (Un ou fiecare). Joacă: „Atinge urechea dreaptă a vecinului din stânga cu cotul mâinii stângi” 4.Puzzle.

Introduceți un sistem de puzzle-uri din ce în ce mai complexe, întruchipate în obiecte reale. Autosoluția sarcinilor. 1. Câți centimetri în: 1 dm, 5m 3dm, 12dm 5cm; 2. Câți metri în: 1 km, 4 km 16 m, 800 cm. 3. Barca a trecut în 5 ore. 40 km. Câte ore va dura la aceeași viteză de 24 km? 4. Ce număr trebuie pus în loc de asteriscuri 1 * + 3 * + 5 * \u003d 111 pentru a obține egalitatea corectă? 5. Completați pătratul magic10

Răspunsuri corecte.

Fig. 3 Într-un caiet, sunt înregistrate doar răspunsurile, apoi schimbă caietele cu un vecin de pe un birou și se verifică unul cu celălalt. La sfârșit, pe ecran apar răspunsurile corecte.Personal: are sens.Regulator: autoreglarea stărilor emoționale și funcționale, autoorganizare.Comunicativ: capacitatea de a lucra în perechi.Cognitiv: abilități de a găsi soluții la probleme. Dezvoltarea gândirii creative.

5. Încălzirea intelectuală. Pentru a dezvolta gândirea logică și creativitatea 1. Partea unei coli dreptunghiulare de hârtie are o lungime întreagă (în centimetri), iar aria colii este de 12 cm2. Câte pătrate cu o suprafață de 4 cm2 pot fi tăiate din acest dreptunghi? 2. Următoarea figură este afișată pe tablă prin proiector Fig. 4 O gaură dreptunghiulară a fost tăiată în interiorul dreptunghiului ABCD. Cum să împărțiți cifra rezultată în două figuri cu zone egale într-o singură linie dreaptă. Un elev este la tablă, restul lucrează de la locul lor. Personal: formarea sensurilor, capacitatea de a finaliza munca. Regulator: autoorganizare. Comunicativ: abilități de cooperare cu profesorul și colegii. Cognitiv: abilități. activitatea de cercetare 6. Partea substanțială.

Conține materialul curricular și asigură formarea gândirii sistemelor și dezvoltarea creativității. Ne-a fost dificil să calculăm aria folosind un pătrat? Dacă trebuie să calculăm aria stadionului, să încercăm? Atunci să revenim la problema cu tabloul. Dacă o parte a plăcii este de 2 m și cealaltă parte este de 1 m, placa este dreptunghiulară, atunci poate fi împărțită în pătrate 2 × 1 unitate. Deci, care este aria planșei? Dacă a și b sunt laturile adiacente ale dreptunghiului, exprimate în aceleași unități. Cum găsești aria unui astfel de dreptunghi?

Problemă - Cum să găsim aria unui patrulater regulat în care toate laturile și unghiurile sunt egale?

Se introduc noi unități de măsură a suprafeței: ar (țesut), hectar 1 a \u003d 10 m * 10 m \u003d 100 m2

1ha \u003d 100 m * 100 m \u003d 10000 m2

Ce măsurători sunt necesare pentru unități de suprafață atât de mari?

S \u003d a b Formula este scrisă într-un caiet. Elevii discută problema în grupuri care s-au format anterior într-o încălzire psihologică, singurul grup devenind experți (după ce ascultă versiunile prezentate, se ocupă de ele și oferă una care este corectă în opinia lor). Există o discuție cu privire la soluția problemei, apoi în caiete notăm formula obținută pentru aria unui pătrat S \u003d a 2

–Pentru a măsura suprafața terenurilor, a satelor, a stadioanelor etc. Personal: autodeterminare. Regulator: dezvoltarea reglementării activităților educaționale. Comunicativ: capacitatea de a lucra în echipă, de a asculta și respecta opiniile altora, capacitatea de a-și apăra poziția. Cognitiv: abilități în activitățile de cercetare. Dezvoltarea gândirii creative.

7. Încălzirea intelectuală a computerului. Oferă motivație și dezvoltare a gândirii. Stabilirea corectitudinii și conștientizării studiului subiectului.

Testați pe computer. Profesorul controlează numărul de erori. Figura 5 (Figura este sub tabel)

Elevii lucrează pe un computer în perechi, promovează testul. Personal: autodeterminare. Regulator: dezvoltarea reglementării activității de învățare. Comunicativ: capacitatea de a lucra în perechi, de a auzi și de a respecta opiniile celorlalți, capacitatea de a-și apăra poziția. Cognitiv: căutarea unei soluții la problemă. 8. Rezumat. Teme pentru acasă. Rezumatul lecției. Oferiți feedback în timpul lecției. Profesorul vă invită să bateți din palme cu cei cărora le-a plăcut lecția și să călcați în picioare dacă le pare lecția plictisitoare. - Ce lucruri noi ați învățat în lecție?

Temă. Având în vedere un pătrat cu latura de 8 cm. Găsiți suprafața acestuia. Folosind piese colorate, explicați și apoi respingeți ipoteza mea: 8 * 8 \u003d 65 Figura 6 Elevii evaluează lecția, acțiunile lor din lecție, acțiunile colegilor lor.

–Formula pentru aria unui dreptunghi, pătrat, unități de măsură a ariei. Acasă, elevii efectuează un experiment cu părți ale unui pătrat. Soluție de control. Skv \u003d 8 * 8 \u003d 64 cm2. Să facem un dreptunghi din piese. Fig. 7Spr \u003d (8 + 5) * 5 \u003d 65 cm2

Astfel de calcule se obțin deoarece se formează un decalaj între părți în timpul asamblării unui dreptunghi. Personal: auto-dezvoltare a conștiinței morale și orientarea elevilor în relații sferice și etice. Regulator: dezvoltarea reglementării activității educaționale. Comunicativ: capacitatea de a-și exprima gândurile cu suficientă completitudine și acuratețe. Cognitiv: reflexie.

Referințe la surse 1. Standardul educațional de stat federal al învățământului general de bază. Legea federală a Federației Ruse din 17 decembrie 2010 Nr. Nr. 1897FZ.2.M.Zinovkina. NFTMTRIZ: educație creativă a secolului XXI. Moscova, 2007. –313s.

"Aplicarea unei derivate la rezolvarea problemelor"

(Gradul 10)

Sistemul metodologic al activității profesorului în această lecție implică formarea abilității elevilor de a planifica și desfășura independent lucrările de cercetare în etape. Elevul are dreptul să se consulte cu profesorul, să discute, să primească sfaturi sau sugestii de la profesor pentru a-l ajuta pe copil să înțeleagă varietatea soluțiilor și să o determine pe cea potrivită.

În lecție, se discută material teoretic, clasa este împărțită în grupuri pentru a asigura o varietate de metode de raționament pe care le oferă, urmată de selectarea celor mai acceptabile dintre ele.

Împreună cu activitatea independentă, este recomandabil să utilizați sarcini diferențiate de diferite niveluri în lecție și să le evaluați în consecință.

Analiza rezultatelor realizării acestor sarcini de către elevi, pe lângă informațiile despre asimilarea lor, oferă profesorului o imagine a principalelor dificultăți ale elevilor, principalele lacune ale acestora, care ajută la conturarea principalelor modalități de rezolvare a problemelor.

Scopul lecției: stăpânirea abilităților în mod independent într-un complex pentru a aplica cunoștințe, abilități și abilități, pentru a efectua transferul acestora în condiții noi, folosind metoda de cercetare.

Sarcini:

Educațional și cognitiv: consolidarea, sistematizarea și generalizarea cunoștințelor și abilităților asociate stăpânirii conceptului de „cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții”; aplicarea practică a abilităților și abilităților care se formează.

În curs de dezvoltare: dezvoltarea abilităților de a lucra independent, de a exprima clar ideile, de a desfășura o autoevaluare a activităților educaționale în clasă.

Comunicativ: capacitatea de a participa la discuții, de a asculta și de a auzi.

În timpul orelor

Organizarea timpului

1. Fiecare persoană se găsește din când în când într-o situație în care este necesar să găsească cel mai bun mod de a rezolva o problemă, iar matematica devine un mijloc de rezolvare a problemelor de organizare a producției, căutând soluții optime. O condiție importantă pentru creșterea eficienței producției și îmbunătățirea calității produsului este introducerea pe scară largă a metodelor matematice în tehnologie.

Reiterare

Printre problemele matematicii, un rol important este atribuit problemelor pentru extremum, adică sarcinile de a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare, cea mai bună, cea mai profitabilă, cea mai economică. Reprezentanții diferitelor specialități trebuie să se ocupe de astfel de sarcini: inginerii de proces încearcă să organizeze producția în așa fel încât să obțină cât mai multă producție posibilă, proiectanții vor să planifice dispozitivul pe o navă spațială în așa fel încât masa dispozitivului să fie cât mai mică posibil, economiștii încearcă să planifice atașarea fabricilor la sursele de materii prime într-un astfel de mod astfel încât costurile de transport să fie minime. Putem spune că sarcinile de a găsi cea mai mică și cea mai mare valoare au o mare aplicație practică. Astăzi, în lecție, vom aborda astfel de probleme.

Consolidarea materialului studiat

2. Doi elevi „puternici” sunt chemați la bord pentru a rezolva sarcinile (10 min.).

Primul student: Având în vedere un rezervor fără capac sub forma unui paralelipiped dreptunghiular, la baza căruia se află un pătrat și al cărui volum este de 108 cm 3. La ce dimensiune a rezervorului va fi utilizată cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea acestuia?

Decizie: Să desemnăm latura bazei prin x cm, să exprimăm înălțimea paralelipipedului. Să găsim semnul derivatei pe intervale. Derivatul își schimbă semnul din "-" în "+". Prin urmare, x \u003d 6 este punctul minim, prin urmare, S (6) \u003d 108 cm 2 este cea mai mică valoare. Aceasta înseamnă că latura bazei este de 6 cm, înălțimea de 12 cm.

Al doilea student: Un dreptunghi cu cea mai mare suprafață este înscris într-un cerc cu o rază de 30 cm. Găsiți dimensiunile sale.

Decizie: Să notăm o parte a dreptunghiului prin x cm, apoi exprimăm aria dreptunghiului. Găsiți semnul derivatei pe interval (0; 30) și pe interval (30; 60). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x \u003d 30 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a dreptunghiului este 30, cealaltă este 30.

3. În acest moment,se face o verificare reciprocă la tema „Aplicație derivată” (se acordă 1 punct pentru fiecare răspuns corect). Fiecare elev răspunde și pentru verificare îi transmite răspunsul vecinului său de pe birou.

Întrebările sunt scrise pe o placă portabilă, doar răspunsul este dat:

O funcție se numește creșterea într-un anumit interval dacă ...

O funcție se numește descrescătoare pe un interval dat dacă ...

Un punct x 0 se numește punct minim dacă ...

Un punct x 0 se numește punct maxim dacă ...

Punctele staționare ale unei funcții se numesc puncte ...

Scrieți forma generală a ecuației tangentei

Sensul fizic al derivatului

Tragerea concluziilor

4. Clasa este împărțită în grupuri. Grupurile efectuează sarcini pentru a găsi minimul și maximul unei funcții.

5. Cuvântul este dat elevilor „puternici”. Membrii clasei își verifică soluțiile (10 minute).

6. Probleme cu sarcini opționale pentru fiecare grup (10 min.).

1 grup.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x 2 * (6-x) găsiți cea mai mică valoare din segment.

Soluție: f (x) \u003d x 2 * (6-x) \u003d 6x 2 + x 3; f / (x) \u003d 12x-3x 2; f / (x) \u003d 0; 12x-3x 2 \u003d 0; x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 4;

f (0) \u003d 0; f (6) \u003d 0; f (4) \u003d 32-max.

Pentru „4”

Un dreptunghi cu cea mai mare suprafață ar trebui să fie făcut dintr-un fir de 20 cm lungime. Găsiți dimensiunile sale.

Soluție: Să desemnăm o parte a dreptunghiului prin x cm, apoi a doua va fi (10-x) cm, aria S (x) \u003d (10-x) * x \u003d 10x-x 2; S / (x) \u003d 10-2x; S / (x) \u003d 0; x \u003d 5. După starea problemei, x (0; 10). Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 5) și pe interval (5; 10). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare: x \u003d 5 este punctul maxim, S (5) \u003d 25 cm 2 este cea mai mare valoare. Prin urmare, o parte a dreptunghiului are 5 cm, a doua este 10-x \u003d 10-5 \u003d 5 cm.

Pentru a marca „5”

Parcela cu o suprafață de 2400 m 2 trebuie împărțită în două secțiuni dreptunghiulare, astfel încât lungimea gardului să fie cea mai scurtă. Găsiți dimensiunile coletelor.

Soluție: Să desemnăm o parte a site-ului prin x m, să notăm lungimea gardului și să găsim derivata P / (x) \u003d 0; 3x 2 \u003d 4800; x 2 \u003d 1600; x \u003d 40. Luăm doar o valoare pozitivă conform afirmației problemei.

Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 40) și pe interval (40;?). Derivatul își schimbă semnul din "-" în "+". Prin urmare, x \u003d 40 este punctul minim, prin urmare, P (40) \u003d 240 este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o parte are 40 m, cealaltă este 60 m.

Grupa 2.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x 2 + (16-x) 2 găsiți cea mai mică valoare din segment.

Soluție: f / (x) \u003d 2x-2 (16-x) x \u003d 4x-32; f / (x) \u003d 0; 4x-32 \u003d 0; x \u003d 8; f (0) \u003d 256; f (16) \u003d 256; f (8) \u003d 128-min.

Pentru „4”

Un teren dreptunghiular se alătură clădirii pe o parte. Cu dimensiunile date ale perimetrului în m, este necesar să se închidă amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Pentru a marca „5”

Dintr-o foaie dreptunghiulară de carton cu laturile de 80 cm și 50 cm, trebuie să faceți o cutie dreptunghiulară tăind pătrate de-a lungul marginilor și îndoind marginile rezultate. Cât de mare ar trebui să fie cutia pentru cel mai mare volum?

Să denotăm înălțimea cutiei (aceasta este partea pătratului decupat) prin x m, apoi o parte a bazei va fi (80-2x) cm, a doua - (50-2x) cm, volumul V (x) \u003d x (80-2x) (50-2x ) \u003d 4x 3, 260x 2 + 4000x; V / (x) \u003d 12x 2 -520x + 4000; V / (x) \u003d 0; 12x 2 -520x + 4000 \u003d 0.

Prin starea problemei x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25).

Găsiți semnul derivatei pe interval (0; 10) și pe interval (10; 25). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x \u003d 10 este punctul maxim. Prin urmare, înălțimea cutiei \u003d 10 cm.

Grupa 3.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x * (60s) găsiți cea mai mare valoare pe segment.

Soluție: f (x) \u003d x * (60s) \u003d 60x-x 2; f / (x) \u003d 60-2x; f / (x) \u003d 0; 60-2x \u003d 0; x \u003d 30; f (0) \u003d 0; f (60) \u003d 0; f (30) \u003d 900-max.

Pentru „4”

Un teren dreptunghiular se alătură clădirii pe o parte. Cu o dimensiune perimetrală dată de 20 m, este necesar să se închidă amplasamentul, astfel încât zona să fie cea mai mare.

Să notăm o parte a dreptunghiului prin x m, apoi a doua va fi (20-2x) m, aria S (x) \u003d (20-2x) x \u003d 20x-2x 2; S / (x) \u003d 20-4x; S / (x) \u003d 0; 20-4x \u003d 0; x \u003d 5. În funcție de starea problemei, х € (0; 10). Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 5) și pe interval (5; 10). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x \u003d 5 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a sitului \u003d 5 m, a doua - 20-2 * 5 \u003d 10 m.

Pentru a marca „5”

Pentru a reduce frecarea lichidului împotriva pereților și fundului canalului, zona udată de acesta ar trebui să fie cât mai mică posibil. Este necesar să se găsească dimensiunile unui canal dreptunghiular deschis cu o suprafață a secțiunii transversale de 4,5 m2, la care zona umedă va fi cea mai mică.

Să desemnăm adâncimea șanțului prin x m, P / (x) \u003d 0; 2x 2 \u003d 4,5; x \u003d 1,5. Luăm doar o valoare pozitivă conform afirmației problemei. Să găsim semnul derivatei pe intervalul (0; 1,5) și pe intervalul (1,5;?). Derivatul își schimbă semnul din "-" în "+". Prin urmare, x \u003d 1,5 este punctul minim, prin urmare, P (1,5) \u003d 6 m este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că o parte a șanțului este de 1,5 m, cealaltă este de 3 m.

4 grup.

Pentru a marca „3”

Pentru funcția f (x) \u003d x 2 (18-x) găsiți cea mai mare valoare pe segment.

f (x) \u003d x 2 (18-x) \u003d 18x 2 -x 3; f / (x) \u003d (18x 2 -x 3) /; f / (x) \u003d 0; 36x-3x 2 \u003d 0; x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 12 f (0) \u003d 0; f (18) \u003d 0; f (12) \u003d 864-max.

Până la semnul „4”.

Un teren dreptunghiular se alătură clădirii pe o parte. Cu o dimensiune perimetrală de 200 m, este necesar să se îngrădească de pe amplasament, astfel încât zona să fie cât mai mare posibil.

Să desemnăm o parte a secțiunii dreptunghiulare prin x m, apoi a doua va fi (200-2x) m, aria S (x) \u003d (200-2x) x \u003d 200x-2x 2; S / (x) \u003d 200-4x; S / (x) \u003d 0; 200-4x \u003d 0; x \u003d 200/4 \u003d 50. Prin starea problemei, x (0; 100). Găsiți semnul derivatei pe interval (0; 50) și pe interval (50; 100). Derivatul își schimbă semnul din „+” în „-”. Prin urmare, x \u003d 50 este punctul maxim. Prin urmare, o parte a sitului \u003d 50 m, a doua - 200-2x \u003d 100 m.

Pentru a marca „5”

Este necesar să se realizeze o cutie deschisă sub forma unui paralelipiped dreptunghiular cu o bază pătrată, cu cel mai mic volum, dacă se pot cheltui 300 cm 2 pentru fabricarea sa.

Să desemnăm o parte a bazei prin x cm și să exprimăm volumul, apoi V / (x) \u003d 0 300-3x 2 \u003d 0; x 2 \u003d 100; x \u003d 10. Luăm doar o valoare pozitivă conform afirmației problemei.

Să găsim semnul derivatei pe interval (0; 10) și pe interval (10; 0). Derivatul își schimbă semnul din "-" în "+". Prin urmare, x \u003d 10 este punctul minim, prin urmare, V (10) \u003d 500 cm 3 este cea mai mică valoare, ceea ce înseamnă că latura bazei este de 10 cm, înălțimea de 50 cm.

Întrebări pentru clasă

7. Delegații din grupuri explică soluția problemelor selectate (10 min.).

8. Luând în considerare punctele de încălzire și de lucru în grup, se stabilesc notele pentru lecție.

Rezumatul lecției

Teme pentru acasă

Soluția problemei este cu un punct mai mare; studenții care finalizează sarcina la „5” sunt scutiți de teme.

Analiza rezultatelor realizării acestor sarcini de către elevi, pe lângă informații despre asimilarea lor, oferă profesorului o imagine a principalelor dificultăți ale elevilor, principalele lor lacune, care ajută la conturarea principalelor modalități de eliminare a acestora.

	FOMKINA TATIANA FEDOROVNA
CARTE DE VIZITĂ
Poziţie	Profesor de limba și literatura rusă
Loc de munca	Instituția de învățământ municipală „Școala secundară nr. 9” a orașului Orenburg
Experiență de muncă în poziție

Scorul competitiv
Tema experienței didactice	Formarea competenței lingvistice a elevilor pe baza abordării sistem-activitate în predarea limbii ruse conform S.I. Lvov
Esența sistemului metodologic al profesorului, reflectând ideile de conducere ale experienței	Esența sistemului metodologic al profesorului se află în organizarea activității educaționale ca o mișcare de la o întrebare lingvistică (permițând elevilor să atragă atenția elevilor asupra esenței lingvistice semnificative a unei anumite ortografii) la o metodă de acțiune (bazată pe o regulă, referindu-se la un dicționar), și apoi la un rezultat (gratuit operarea regulilor în timp ce scrieți sau utilizați un dicționar de ortografie).
Lucrați la diseminarea experienței personale, prezentarea sistemului metodologic la diferite niveluri (forme, produse intelectuale)	Experiență profesională Fomkina T.F. rezumat în 2009 la nivelul MOU „Școala Gimnazială nr. 9” și aprobat de consiliul metodologic. În 2009 și 2010. reprezentat printre profesorii orașului Orenburg la nivel municipal. Tatyana Fedorovna a vorbit la asociațiile metodologice raionale despre următoarele aspecte: „Utilizarea TIC în lecțiile de limbă și literatură rusă ca mijloc de formare a competenței lingvistice”, „O abordare de activitate pentru construirea standardelor educaționale”.
Eficacitatea implementării sistemului metodologic	Formarea unei motivații pozitive durabile și creșterea interesului elevilor în materie; Dinamică pozitivă în atitudinea elevilor față de profesor, lecțiile de limbă și literatură rusă, dezvoltarea capacității elevilor de a face activitate predictivă și activarea proceselor cognitive; O creștere semnificativă a calității lucrărilor creative, eseurilor, care este confirmată de rezultatele examenelor finale: în 2007, conform rezultatelor SIA, performanța academică a fost de 100%, numărul celor care au făcut față sarcinilor pentru „4” și „5” a fost de 87%; în 2008, conform rezultatelor USE, performanța academică a fost de 100%, numărul celor care au făcut față sarcinilor pentru „4” și „5” a fost de 92%, cel mai mare scor fiind 87; în 2009, conform rezultatelor USE, performanța academică a fost de 100%, numărul celor care au făcut față sarcinilor pentru „4” și „5” a fost de 58%, cel mai mare scor fiind 96; O creștere a numărului de studenți care participă la conferințe științifice și practice, concursuri, olimpiade: Conferința științifică și practică din districtul X a studenților „Ești un Orenburzhets” (locul III), Conferința orașului XV al studenților „Intelectualii secolului XXI” (diplomă pentru „Studiu cuprinzător al familiei”), Concurs de corespondență în toată Rusia „Cunoaștere și creativitate”, 2010 (locul III, laureat), concurs regional de corespondență intramurală „Patria”, 2009 (locul III), VI Olimpiada Internațională în Fundamentele Științelor, 2010 (diplome de gradele I și II), Concurs internațional de jocuri „Ursul rus”, 2010 (locul 15 în regiune). Monitorizarea activităților educaționale arată un nivel ridicat de învățare a elevilor de către Tatiana Fedorovna Fomkina: rusă - 69% (2009), literatură - 77% (2009).

MATERIALE DE EXPERIENȚĂ

Lecție de asimilare a noilor cunoștințe

cu diferențierea pe mai multe niveluri a învățării

„NU cu substantive”

(Gradul 5)

Rezumatul prezentat al lecției este compilat în conformitate cu „Programul în limba rusă pentru clasele 5-6” S.I. Lvova (Moscova; Mnemosina, 2008). Lecția vizează formarea competențelor lingvistice, lingvistice și de vorbire ale elevilor. Materialul inclus în lecție este predarea, dezvoltarea, educația.

Obiectivele lecției:

1) dezvolta abilități de comunicare: formulează o întrebare și dă un răspuns la un subiect gramatical; efectuați interacțiuni de vorbire într-un grup mobil; creați-vă propriile texte pe un subiect dat;

2) formează competența lingvistică și lingvistică: cunoașteți regula ortografică NU cu un substantiv să fie capabil să utilizeze algoritmul pentru a aplica această regulă în practică; repetați ortografia « NU cu un verb " , regula substantivala;

3) încurajează o atitudine atentă față de cuvânt ca valoare spirituală a oamenilor.

Echipament:echipamente multimedia, prezentare video, carduri de asistență, test, fișiere cu o sarcină de cercetare.

În timpul orelor

Organizarea timpului

Dragi colegi! Da, colegi. Eu, băieți, nu v-am sunat așa din întâmplare. Astăzi vom fi implicați într-o cauză comună: rezolvarea problemelor lingvistice, descoperirea secretelor scrierii cuvintelor. Într-adevăr, potrivit lui Leo Nikolaevich Tolstoi, „Cuvântul este o faptă grozavă ... Cuvântul poate servi dragostei, dar cuvântul poate servi dușmăniei și urii” (epigraf la lecție).

Încălzirea lingvistică "Da - nu"

Iată o abilitate de cuvânt și vă va ajuta să faceți față antrenamentului lingvistic numit „Da - nu”. Regulile acestei încălziri sunt după cum urmează: am făcut o regulă și veți încerca să o ghiciți punând întrebări de bază, care ar trebui formulate în așa fel încât să pot răspunde cu cuvintele „da” sau „nu”. Vă voi evalua răspunsurile astăzi cu jetoane. Pune-mi intrebari.

Elevii pun întrebări profesorului. De exemplu:

1. Am predat această regulă în clasa a V-a? (Da)

2. Este aceasta o regulă despre ortografia cuvintelor? (Nu)

3. Este aceasta o regulă despre părțile vorbirii? (Da)

4. Este aceasta o regulă despre un substantiv? (Da)

- Foarte bine! Ai ghicit!

Actualizarea cunoștințelor

Acum să ne amintim ce este un substantiv. Dar să vorbim despre asta într-un lanț, trecându-ne ștafeta unii altora, ca sportivii într-o competiție. Oricine dorește poate folosi răspunsul cărți de ajutor... Voi evalua răspunsurile dvs. cu jetoane ( răspunsurile elevilor).

Am făcut o treabă grozavă! Trebuie să cunoaștem regula despre substantiv pentru a putea distinge substantivele de alte părți ale vorbirii.

Vom testa această abilitate prin performanță dictarea distribuției orale.

Citiți cu atenție cuvintele (imaginea se estompează când faceți clic pe ecranul proiectorului).

Dar ce este? Ce s-a întâmplat cu imaginea? Băieți, există o greșeală!

Prinde-o! (Tehnica „Prinde greșeala”)

„Resent” trebuie scris într-o singură bucată.De ce?

Acesta este un verb care nu este folosit fără NU.

(Clic pe mouse)

Sarcina: Împărțiți cuvintele în două grupe după părți de vorbire. (Elevii finalizează sarcina)

1. Ce părți de vorbire întâlnești? (Substantive și verbe)

2. Numiți substantivele.

3. Numiți verbele.

4. Cum să scrii NU cu un verb?

Stabilirea obiectivelor

Deci, cunoașterea regulii despre substantiv și ortografie NU cu un verb ne va ajuta să abordăm un subiect nou care suna astfel: „NU cu substantive”Notează-l în caietul tău.

Am notat trenul gândurilor noastre în "Gândirefoaie", care constă din trei coloane: „Știu”, „Vreau să știu”, „Am învățat (a)”.

În grafic "Stiu" dată fiind regula pe care ne vom baza astăzi. Aceasta este regula despre scrierea NU cu un verb .

În grafic "Vreau sa stiu" întrebarea zilei este formulată: „Aflați când NU se scrie împreună cu un substantiv și când - separat”.

În grafic "Am aflat" vom scrie răspunsul la această întrebare.

Dar mai întâi să facem munca de vocabular.

Băieți, cine sunt ignorantși ignorant?Ce fel de oameni numim așa? (Răspunsurile elevilor)

Notați aceste cuvinte și semnificațiile lor lexicale într-un caiet. Acum alcătuiește fraze sau propoziții cu ele (opțional).

Învățarea de materiale noi

De ce credeți că cuvintele „ignorant” și „ignorant” sunt scrise împreună? (Pentru că nu sunt utilizate fără NU)Raport

Câștigători prioritatenaţionalproiectul « Educaţie"... Experiența dobândită din introspecție, comparând propriile realizări cu realizările colegilor aduse noupedagogic ...

Experiența de a crea resurse de internet de către profesori din regiunea Orenburg

Rezumat disertație

Sisteme educaţie într-o instituție de învățământ; identificarea domeniului de aplicare avansatpedagogicexperienţă ... educatie generala şcoală" a devenit câștigătorul selecției competitive din cadrul Prioritateanaţionalproiectul « Educaţie"... ÎN...

Secțiuni: Matematica

Scopul lecției:

Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite.
Extinderea ideilor elevilor despre rezolvarea problemelor pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori.

În timpul orelor

Etapa 1 a lecției

Introducerea profesorului: fiecare persoană din când în când se află într-o situație în care este necesar să se găsească cel mai bun mod de a rezolva o problemă.

De exemplu: inginerii de proces încearcă să organizeze producția în așa fel încât să obțină cât mai multă producție posibil, proiectanții doresc să planifice dispozitive pe o navă spațială în așa fel încât masa dispozitivului să fie cât mai mică etc.

Se poate spune că sarcinile de a găsi cel mai mare și cel mai puțin important au aplicații practice.

În dovada cuvintelor mele, vreau să citez din povestea lui L.N. „Câtă pământ are nevoie un om” al lui Tolstoi despre țăranul Pakhom, care a cumpărat pământ de la bashkiri.

- Și care va fi prețul? - spune Pakhom.
- Avem un singur preț: 1000 de ruble. pe zi.
Pakhom nu a înțeles.
- Ce este această măsură - o zi? Câte zecimi vor fi?
- Nu știm cum să numărăm acest lucru, - spune el. Și vindem într-o zi; cât obțineți într-o zi, la fel este și a dvs., iar prețul este de 1000 de ruble.
Pakhom a fost surprins.
„De ce”, spune el, „vor fi multe runde pe teren pe zi.
Maistrul râse.
„Toată a ta”, spune el. - Un singur acord: dacă nu te întorci o zi la locul de unde pleci, banii tăi au dispărut.
- Și cum, - spune Pakhom, - să marchez pe unde voi trece?
- Și vom sta la locul unde iubești; vom sta, iar tu te duci, faci un cerc și iei cu tine o răzuitoare și, acolo unde este necesar, observi, la colțurile găurii, un roi de gazon; apoi vom merge din gaură în gaură cu un plug. Luați orice cerc doriți, doar înainte de apusul soarelui, ajungeți în locul din care ați luat. Ceea ce obții în jur este al tău.

Cifra obținută de Pakhom este prezentată în figură. Ce este această figură? (Trapez dreptunghiular)

Întrebare: Crezi că Pakhom are cea mai mare suprafață? (ținând cont că parcelele sunt de obicei sub formă de patrulater)? Astăzi în lecție vom afla.

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să ne amintim ce etape sunt conținute în rezolvarea problemelor extreme?

Sarcina este tradusă în limba funcției.
Instrumentele de analiză sunt utilizate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare.
Aflați ce semnificație practică are rezultatul obținut.

Problema numărul 1 (O vom rezolva cu toată clasa)

Perimetrul dreptunghiului este de 120 cm. Cât de lung ar trebui să aibă laturile dreptunghiului pentru ca aria să fie cea mai mare.

Revenim la problema cu care a început lecția. A obținut Pakhom cea mai mare suprafață (având în vedere că parcelele sunt de obicei sub forma unui patrulater)? Discutăm cu studenții despre cea mai mare suprafață pe care ar putea-o obține Pakhom.

2 Etapa lecției

În prealabil, sarcinile scrise sunt explicate pe tablă (sunt două).

Problema numărul 1

Găsiți în ce condiții consumul de tablă pentru fabricarea cutiilor de formă cilindrică cu o capacitate dată va fi cel mai mic.
Atrag atenția băieților că sute de milioane de conserve sunt produse în țara noastră, iar consumul salvat de staniu cu cel puțin 1% ne va permite să producem suplimentar milioane de conserve.

Problema numărul 2

Barcile sunt situate la o distanță de 3 km de cel mai apropiat punct A de pe coastă. În punctul B, situat la o distanță de 5 km de A, există un incendiu. Barcagiul vrea să vină în ajutor, așa că trebuie să ajungă acolo în cel mai scurt timp posibil. Barca se deplasează cu o viteză de 4 km / h, iar pasagerul este de 5 km / h. În ce punct de pe mal trebuie să acosteze barcagiul?

Etapa 3 a lecției

Lucrați în grupuri cu protecția ulterioară a sarcinilor.

Problema numărul 1

Una dintre fețele unui paralelipiped dreptunghiular este un pătrat. Suma lungimilor marginilor care ies dintr-un vârf al paralelipipedului este 12. Găsiți cel mai mare volum posibil.

Problema numărul 2

Pentru montarea echipamentului este necesar un suport cu un volum de 240 dm 3 sub forma unui paralelipiped dreptunghiular. Baza standului, care va fi instalată în podea, este un dreptunghi. Lungimea dreptunghiului este de trei ori lățimea sa. Peretele posterior mai lung al standului va fi încorporat în peretele atelierului. La instalarea suportului, pereții acestuia, care nu sunt instalați în podea sau în perete, sunt conectați între ei prin sudare. Determinați dimensiunile suportului care vor da cea mai scurtă lungime totală de sudură.

Problema numărul 3

O grindă cu o secțiune dreptunghiulară a celei mai mari zone este decupată dintr-un bușten rotund. Găsiți dimensiunile secțiunii fasciculului dacă raza secțiunii jurnalului este de 30 cm.

Problema numărul 4

Etapa 4 a lecției

Rezolvarea problemelor pentru evaluare prin alegere.

Problema numărul 1

Un dreptunghi cu cea mai mare suprafață trebuie să fie format dintr-un fir de 80 cm lungime. Găsiți dimensiunile sale.

Problema numărul 2

Suma lungimilor marginilor unei prisme triunghiulare regulate este de 18√3. Găsiți cel mai mare volum posibil al unei astfel de prisme.

Problema numărul 3

Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular, a cărui față laterală este un pătrat, este egală cu 2√3. Găsiți cel mai mare volum posibil al unui astfel de paralelipiped.

5 etape ale lecției