Ecuația generală a liniei. Ecuația unei linii drepte în segmente. Găsirea ecuației unei drepte pentru un segment Scrieți ecuația unei drepte dacă se întrerupe

Și vom analiza în detaliu un tip special de ecuație a unei linii drepte -. Să începem cu forma ecuației unei linii în segmente și să dăm un exemplu. După aceea ne vom concentra asupra construcției unei linii drepte, care este dată de ecuația unei linii drepte în segmente. În concluzie, arătăm cum se efectuează tranziția de la ecuația generală completă a unei drepte la ecuația unei drepte în segmente.

Navigare în pagină.

Ecuația liniei drepte în segmente de linie - descriere și exemplu.

Să se fixeze Oxy pe plan.

Ecuația unei linii drepte în segmente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy are forma, unde a și b sunt niște numere reale nenule.

Nu întâmplător ecuația unei linii drepte în segmente a primit acest nume - valorile absolute ale numerelor a și b sunt egale cu lungimile segmentelor care sunt tăiate de linia dreaptă pe axele de coordonate Ox și Oy, numărând de la origine.

Să explicăm acest punct. Știm că coordonatele oricărui punct de pe o linie dreaptă satisfac ecuația acestei linii drepte. Apoi se vede clar că linia dreaptă dată de ecuația liniei drepte din segmente trece prin puncte și, din moment ce și ... Iar punctele și sunt doar situate pe axele de coordonate Ox și respectiv Oy și sunt îndepărtate de la origine de către unități a și b. Semnele numerelor a și b indică direcția în care trebuie așezate segmentele de linie. Semnul „+” înseamnă că segmentul este așezat în direcția pozitivă a axei de coordonate, semnul „-” înseamnă opusul.

Să desenăm un desen schematic care să explice toate cele de mai sus. Arată locația liniilor drepte în raport cu sistemul fix de coordonate dreptunghiulare Oxy, în funcție de valorile numerelor a și b din ecuația unei linii drepte în segmente.

Acum a devenit clar că ecuația unei linii drepte în segmente facilitează construirea acestei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxy. Pentru a construi o linie dreaptă, care este dată de ecuația unei linii drepte în segmente de vedere, ar trebui să marcați punctele într-un sistem dreptunghiular de coordonate pe plan și apoi să le conectați cu o linie dreaptă folosind o riglă.

Să dăm un exemplu.

Exemplu.

Desenați o linie dreaptă definită de ecuația liniei drepte în segmentele de vizualizare.

Decizie.

Din ecuația dată a liniei drepte din segmente, se poate vedea că linia dreaptă trece prin puncte ... Le marcăm și le conectăm cu o linie dreaptă.

Reducerea ecuației generale a unei linii drepte la ecuația unei linii drepte în segmente.

Când rezolvați unele probleme legate de o dreaptă pe un plan, este convenabil să lucrați cu ecuația unei drepte în segmente. Cu toate acestea, există și alte tipuri de ecuații care definesc o linie dreaptă pe un plan. Prin urmare, este necesar să se efectueze tranziția de la o ecuație dată a unei linii drepte la o ecuație a acestei linii drepte în segmente.

În această subsecțiune, vom arăta cum să obțineți ecuația unei linii în segmente, dacă este dată o ecuație generală completă a unei linii.

Spuneți-ne ecuația generală completă a unei drepte în plan ... Deoarece A, B și C nu sunt egale cu zero, puteți transfera numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțiți ambele părți ale egalității rezultate cu -C și trimiteți coeficienții pentru x și y la numitori:
.

(În ultima tranziție, am folosit egalitatea ).

Deci suntem din ecuația generală a liniei drepte trecut la ecuația unei linii drepte în segmente, unde .

Exemplu.

O linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxy este dată de ecuație ... Scrieți ecuația acestei linii în segmente de linie.

Decizie.

Să transferăm o secundă în partea dreaptă a egalității date: ... Acum să împărțim egalitatea rezultată în ambele părți: ... Rămâne să transformăm egalitatea rezultată în forma dorită: ... Deci am obținut ecuația necesară a unei linii în segmente.

Răspuns:

Dacă se determină linia dreaptă

Sarcina este de a construi o linie dreaptă care trece prin ea folosind coordonatele date de la sfârșitul segmentului.

Presupunem că segmentul este nedegenerat, adică are o lungime mai mare decât zero (altfel, desigur, trec prin ea infinit de multe linii drepte).

Caz bidimensional

Să se dea un segment, adică se cunosc coordonatele capetelor sale ,,,.

Necesar pentru a construi ecuația unei drepte pe un plantrecând prin acest segment, adică găsiți coeficienții ,, în ecuația liniei drepte:

Rețineți că triplele necesare trec printr-un anumit segment infinit de mulți: puteți înmulți toți cei trei coeficienți cu un număr arbitrar diferit de zero și puteți obține aceeași linie dreaptă. Prin urmare, sarcina noastră este să găsim unul dintre aceste triplete.

Este ușor de verificat (prin înlocuirea acestor expresii și a coordonatelor punctelor din ecuația liniei) că următorul set de coeficienți este potrivit:

Caz întreg

Un avantaj important al acestei metode de a construi o linie dreaptă este că, dacă coordonatele capetelor au fost întregi, atunci și coeficienții obținuți vor fi întreg... În unele cazuri, acest lucru permite efectuarea operațiilor geometrice fără a recurge deloc la numere reale.

Cu toate acestea, există și un mic dezavantaj: pentru aceeași linie dreaptă, se pot obține tripluri diferite ale coeficienților. Pentru a evita acest lucru, dar pentru a nu trece de coeficienții întregi, puteți aplica următoarea tehnică, adesea numită raționarea... Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor ,,, împărțiți toți cei trei coeficienți la acesta, apoi normalizați semnul: dacă sau, apoi înmulțiți toți cei trei coeficienți cu. Ca rezultat, vom ajunge la concluzia că pentru aceleași linii drepte se vor obține aceleași tripluri de coeficienți, ceea ce va face mai ușoară verificarea liniilor drepte pentru egalitate.

Caz real

Când lucrați cu numere reale, trebuie să vă amintiți întotdeauna despre erori.

Coeficienții și se obțin de la noi de ordinul coordonatelor inițiale, coeficientul este deja de ordinul pătratului lor. Acestea pot fi deja numere destul de mari și, de exemplu, atunci când liniile drepte se intersectează, acestea vor deveni și mai mari, ceea ce poate duce la erori mari de rotunjire chiar și cu coordonatele comenzii inițiale.

Prin urmare, atunci când se lucrează cu numere reale, este de dorit să se producă așa-numitul normalizare linie dreaptă: și anume, pentru a face coeficienții astfel încât ... Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați numărul:

și împarte toți cei trei coeficienți ,, la el.

Astfel, ordinea coeficienților și nu va mai depinde de ordinea coordonatelor de intrare, iar coeficientul va fi de același ordin cu coordonatele de intrare. În practică, acest lucru duce la o îmbunătățire semnificativă a preciziei calculelor.

În cele din urmă, menționăm comparaţie linii drepte - la urma urmei, după o astfel de normalizare pentru aceeași linie dreaptă, se pot obține doar două triple de coeficienți: până la înmulțirea cu. În consecință, dacă realizăm o normalizare suplimentară luând în considerare semnul (dacă sau, apoi se înmulțește cu), atunci coeficienții rezultați vor fi unici.

Ecuația unei linii drepte, unde a și b - unele numere reale, altele decât zero, numite ecuația liniei din segmente... Acest nume nu este întâmplător, deoarece valorile absolute ale numerelor a și b sunt egale cu lungimile segmentelor pe care linia dreaptă o taie pe axele de coordonate Bou și Oy respectiv (segmentele sunt numărate de la origine). Astfel, ecuația unei linii în segmente facilitează construirea acestei linii în desen. Pentru a face acest lucru, marcați punctele cu coordonate și într-un sistem dreptunghiular de coordonate pe plan și utilizați o riglă pentru a le conecta cu o linie dreaptă.

De exemplu, să construim o linie dreaptă dată de o ecuație în segmente ale formei. Marcăm punctele și le conectăm.

Puteți obține informații detaliate despre acest tip de ecuație a unei linii drepte pe un plan în articolul despre ecuația unei linii drepte în segmente.

Înapoi la începutul paginii

Sfârșitul lucrărilor -

Acest subiect aparține secțiunii:

Algebră și geometrie analitică. Conceptul matricei, operațiile pe matrice și proprietățile acestora

Conceptul unei operații matriciale pe matrice și proprietățile lor .. o matrice este un tabel dreptunghiular compus din numere care nu pot fi .. și adăugarea matricilor este o operație elementară.

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe acest subiect sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de lucru:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele de socializare:

Toate subiectele din această secțiune:

Definiția differentiability
Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere funcțională. O funcție se numește diferențiată la un moment dat dacă are o derivată finită în acest moment și

Regula diferențierii
Corolar 1. Factorul constant poate fi mutat în afara semnului derivatei:

Semnificația geometrică a derivatului. Ecuația tangentă
Unghiul de înclinare al dreptei y \u003d kx + b se numește unghiul măsurat din poziție

Semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct
Se consideră o secantă AB a graficului funcției y \u003d f (x) astfel încât punctele A și B să aibă coordonate

Decizie
Funcția este definită pentru toate numerele reale. Deoarece (-1; -3) este punctul de contact, atunci

Condiții necesare pentru un extrem și condiții suficiente pentru un extrem
Determinarea unei funcții în creștere. Funcția y \u003d f (x) crește pe intervalul X dacă există

Criterii suficiente pentru extremul unei funcții
Pentru a găsi maximele și valorile minime ale funcției, puteți utiliza oricare dintre cei trei indicatori de extremum suficienți. Deși cel mai comun și mai convenabil este primul.

Formula Newton-Leibniz (cu dovadă)
Formula Newton-Leibniz. Fie funcția y \u003d f (x) să fie continuă pe un interval și F (x) să fie una dintre antiderivativele funcției pe acest interval, atunci este adevărat că

Să se dea un sistem de coordonate afin OXY.

Teorema 2.1. Orice drept l sistemul de coordonate ОX este dat de o ecuație liniară a formei

A x+ B y+ C \u003d O, (1)

unde А, В, С R și А 2 + В 2 0. În schimb, orice ecuație a formei (1) definește o linie dreaptă.

Ecuația formei (1) - ecuația generală a liniei .

Fie în ecuația (1) toți coeficienții A, B și C sunt diferiți de zero. Atunci

Ax-By \u003d -C și.

Să notăm -C / A \u003d a, -C / B \u003d b. Primim

-ecuația segmentului de linie .

Într-adevăr, numerele | a | și | b | indicați valorile segmentelor tăiate de linia dreaptă l pe axele OX și, respectiv, OY.

Lasă dreapta l este dat de ecuația generală (1) într-un sistem de coordonate dreptunghiular și lăsați punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) să aparțină l... Atunci

A x 1 + B la 1 + C \u003d A x 2 + B la 2 + C, adică A ( x 1 -x 2) + B ( la 1 -la 2) = 0.

Ultima egalitate înseamnă că vectorul \u003d (A, B) este ortogonal față de vectorul \u003d (x 1 -x 2, y 1 -y 2). acestea. Se numește vectorul (A, B) vector normal al liniei l.

Se consideră un vector \u003d (- B, A). Atunci

A (-B) + BA \u003d 0. acestea. ^.

Prin urmare, vectorul \u003d (- B, A) este vectorul director al picantului l.

Ecuații parametrice și canonice ale liniei

Ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date

Să se dea o linie dreaptă în sistemul de coordonate afine (0, X, Y) l, vectorul său de direcție \u003d (m, n) și punctul M 0 ( x 0 ,y 0) deținut l... Apoi pentru un punct arbitrar M ( x,la) din această linie pe care o avem

și așa cum .

Dacă denotăm și

Vectorii de rază ai punctelor M și, respectiv, M 0, atunci

- ecuația unei linii drepte în formă vectorială.

Deoarece \u003d ( x,la), =(x 0 ,la 0), apoi

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- ecuația parametrică a liniei .

De aici rezultă că

- ecuația canonică a liniei .

În cele din urmă, dacă este pe o linie dreaptă ldouă puncte M 1 ( x 1 ,la 1) și

M 2 ( x 2 ,la 2), apoi vector \u003d ( x 2 -x 1 ,y 2 -la 1) este îndrumător vector drept l... Atunci

- ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date.

Poziția relativă a două linii drepte.

Să liniile drepte l 1 și l 2 sunt date de ecuațiile lor generale

l 1: A 1 x+ B 1 la+ С 1 \u003d 0, (1)

l 2: A 2 x+ B 2 la+ C 2 \u003d 0.

Teorema... Să liniile drepte l 1 și l 2 sunt date de ecuațiile (1). Apoi și numai atunci:

1) liniile drepte se intersectează atunci când nu există un număr λ astfel încât

A 1 \u003d λA 2, B 1 \u003d λB 2;

2) liniile coincid atunci când există un număr λ astfel încât

А 1 \u003d λA 2, B 1 \u003d λB 2, С 1 \u003d λС 2;

3) liniile sunt distincte și paralele atunci când există un număr λ astfel încât

А 1 \u003d λA 2, В 1 \u003d λВ 2, С 1 λС 2.

Un pachet de linii drepte

O grămadă de linii drepte se numește colecția tuturor liniilor din planul care trece printr-un punct, numit centru fascicul.

Pentru a seta ecuația fasciculului, este suficient să cunoașteți două linii drepte l 1 și l 2 trecând prin centrul fasciculului.

Lăsați în sistemul de coordonate afine liniile l 1 și l 2 sunt date de ecuații

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 \u003d 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 \u003d 0.

Ecuația:

A 1 x + B 1 y + C + λ (A 2 x + B 2 y + C) \u003d 0

- ecuația creionului de linii drepte definită de ecuațiile l 1 și l 2.

În cele ce urmează, prin sistem de coordonate înțelegem un sistem de coordonate dreptunghiular .

Condiții pentru paralelism și perpendicularitate a două linii

Să liniile drepte l 1 și l 2. ecuațiile lor generale; \u003d (A 1, B 1), \u003d (A 2, B 2) - vectori normali ai acestor linii; k 1 \u003d tgα 1, k 2 \u003d tgα 2 - pante; \u003d ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - vectori de direcție. Apoi, drept l 1 și l 2 sunt paralele dacă și numai dacă una dintre următoarele condiții este îndeplinită:

sau oricare k 1 =k 2 sau.

Lăsați acum drept l 1 și l 2 sunt perpendiculare. Apoi, evident, adică A 1 A 2 + B 1 B 2 \u003d 0.

Dacă este drept l 1 și l 2 sunt date de ecuații

l 1: la=k 1 x+ b 1 ,

l 2: la=k 2 x+ b 2 ,

atunci tgα 2 \u003d tg (90º + α) \u003d .

De aici rezultă că

În cele din urmă, dacă și vectorii de direcție ai liniilor drepte, atunci ^, adică

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Ultimele relații exprimă condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a două planuri.

Unghi între două linii drepte

La un unghi φ între două linii drepte l 1 și l 2 vom înțelege cel mai mic unghi prin care trebuie rotită o linie dreaptă, astfel încât să devină paralelă cu o altă linie dreaptă sau să coincidă cu aceasta, adică 0 £ φ £

Liniile drepte să fie date prin ecuații generale. Este evident că

cosφ \u003d

Lăsați acum drept l 1 și l 2 este dat de ecuații cu pante k 1 in k 2 respectiv. Atunci

Este evident că, adică ( x-x 0) + B ( la-la 0) + C ( z-z 0) = 0

Să extindem parantezele și să notăm D \u003d -A x 0 - B la 0 - C z 0. Primim

A x + B y + C z + D \u003d 0 (*)

- ecuația generală a planului sau ecuația generală a planului.

Teorema 3.1 Ecuația liniară (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) este ecuația planului și invers, orice ecuație a planului este liniară.

1) D \u003d 0, apoi planul trece prin origine.

2) A \u003d 0, atunci planul este paralel cu axa OX

3) A \u003d 0, B \u003d 0, atunci planul este paralel cu planul OXY.

Fie ca toți coeficienții din ecuație să fie diferiți de zero.

- ecuația plană în segmente de linie... Numerele | a |, | b |, | c | indicați valorile segmentelor de linie tăiate de plan pe axele de coordonate.

Continuăm să studiem secțiunea „Ecuația unei linii drepte pe un plan” și în acest articol vom analiza tema „Ecuația unei linii drepte în segmente”. Să luăm în considerare secvențial forma ecuației unei drepte în segmente, construcția unei drepte, care este dată de această ecuație, tranziția de la ecuația generală a unei drepte la ecuația unei drepte în segmente. Toate acestea vor fi însoțite de exemple și analize de rezolvare a problemelor.

Să se afle un plan dreptunghiular de coordonate O x y pe plan.

O linie dreaptă pe un plan în sistemul de coordonate cartezian O x y este dată de o ecuație de forma x a + y b \u003d 1, unde a și b sunt câteva numere reale, altele decât zero, ale căror valori sunt egale cu lungimile segmentelor tăiate de o linie dreaptă pe axele O x și O y. Lungimile segmentelor de linie sunt numărate de la origine.

După cum știm, coordonatele oricăruia dintre punctele aparținând unei linii drepte date de ecuația unei linii drepte satisfac ecuația acestei linii drepte. Punctele a, 0 și 0, b aparțin acestei linii drepte, deoarece a a + 0 b \u003d 1 ⇔ 1 ≡ 1 și 0 a + b b \u003d 1 ⇔ 1 ≡ 1. Punctele a, 0 și b, 0 sunt situate pe axele coordonatelor O x și O y și sunt îndepărtate de la origine cu unități a și b. Direcția în care doriți să amânați lungimea segmentului este determinată de semnul care se află în fața numerelor a și b. Semnul „-” indică faptul că lungimea segmentului de linie trebuie pusă deoparte în direcția negativă a axei de coordonate.

Să explicăm toate cele de mai sus prin plasarea de linii drepte în raport cu un sistem de coordonate carteziene fix O x y în desenul schematic. Ecuația unei linii drepte în segmente x a + y b \u003d 1 este utilizată pentru a construi o linie dreaptă în sistemul de coordonate carteziene O x y. Pentru a face acest lucru, trebuie să marcăm punctele a, 0 și b, 0 pe axe și apoi conectăm aceste puncte cu o linie folosind o riglă.

Desenul arată cazurile în care numerele a și b au semne diferite și, prin urmare, lungimile segmentelor sunt reprezentate în direcții diferite ale axelor de coordonate.

Să vedem un exemplu.

Exemplul 1

O dreaptă este dată de ecuația unei drepte în segmente de forma x 3 + y - 5 2 \u003d 1. Este necesar să construim această linie dreaptă pe un plan în sistemul de coordonate cartezian O x y.

Decizie

Folosind ecuația unei linii drepte în segmente, determinăm punctele prin care trece linia dreaptă. Este 3, 0, 0, - 5 2. Să le marcăm și să trasăm o linie.

Reducerea ecuației generale a unei linii drepte la ecuația unei linii drepte în segmente

Trecerea de la o ecuație dată a unei linii drepte la o ecuație a unei linii drepte în segmente ne facilitează rezolvarea diferitelor probleme. Având ecuația generală completă a liniei, putem obține ecuația liniei în segmente.

Ecuația generală completă a unei drepte într-un plan este A x + B y + C \u003d 0, unde A, B și C nu sunt zero. Transferăm numărul C pe partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate cu - С. În acest caz, trimitem coeficienții lui x și y la numitorii:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Pentru a efectua ultima tranziție, am folosit egalitatea p q \u003d 1 q p, p ≠ 0, q ≠ 0.

Ca rezultat, am făcut tranziția de la ecuația generală a dreptei A x + B y + C \u003d 0 la ecuația dreptei din segmentele x a + y b \u003d 1, unde a \u003d - C A, b \u003d - C B.

Să ne uităm la următorul exemplu.

Exemplul 2

Să facem tranziția la ecuația unei drepte în segmente, având ecuația generală a unei drepte x - 7 y + 1 2 \u003d 0.

Decizie

Mutați o secundă în dreapta egalității x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Împărțiți ambele părți ale egalității cu - 1 2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Convertiți egalitatea rezultată în forma necesară: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Am obținut ecuația unei linii drepte în segmente.

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1

În cazurile în care o linie dreaptă este dată de ecuația canonică sau parametrică a unei linii drepte pe un plan, atunci mergem mai întâi la ecuația generală a unei linii drepte și apoi la ecuația unei linii drepte în segmente.

Pentru a trece de la ecuația unei drepte în segmente și ecuația generală a unei drepte este simplă: transferăm unitatea din partea dreaptă a ecuației unei drepte în segmente de forma x a + y b \u003d 1 în partea stângă cu semnul opus, selectăm coeficienții din fața necunoscutelor x și y.

x a + y b \u003d 1 ⇔ x a + y b - 1 \u003d 0 ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0

Obținem ecuația generală a unei linii drepte, din care puteți merge la orice alt tip de ecuație a unei linii drepte pe un plan. Am analizat în detaliu procesul de tranziție în subiectul „Reducerea ecuației generale a unei linii drepte la alte tipuri de ecuații ale unei linii drepte”.

Exemplul 3

Ecuația unei linii drepte în segmente are forma x 2 3 + y - 12 \u003d 1. Este necesar să scrieți ecuația generală a unei drepte pe un plan.

Decizie

Acționează conform algoritmului descris anterior:

x 2 3 + y - 12 \u003d 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 \u003d 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 \u003d 0

Răspuns: 3 2 x - 1 12 y - 1 \u003d 0

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter