Egalează planul tangent la suprafață. Planul tangent și suprafața normală. Linii geodezice, curbură geodezică

O suprafață este definită ca un set de puncte ale căror coordonate satisfac o anumită formă de ecuații:

Dacă funcția F (x, y, z) (\\ displaystyle F (x, \\, y, \\, z)) este continuu la un moment dat și are derivate parțiale continue la el, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața dată de ecuația (1) va fi suprafata corecta.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de setare, se poate defini suprafața clar, dacă una dintre variabile, de exemplu, z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

Mai strict, suprafață simplă se numește imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și continuă reciproc) a interiorului pătratului unitar. Această definiție poate fi exprimată analitic.

Fie un pătrat dat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v, ale cărui coordonate ale punctelor interioare satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Un exemplu suprafață simplă este o emisferă. Întreaga sferă nu este suprafață simplă... Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

Un subset de spațiu, fiecare punct al cărui vecinătate este suprafață simplăse numește suprafata corecta .

Suprafață în geometrie diferențială

Helicoid

Catenoid

Metrica nu definește în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metricele helicoidului și catenoidului, parametrizate corespunzător, coincid, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometrie). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice se numesc geometrie internă suprafaţă. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se schimbă atunci când se îndoaie fără tensiune și compresie (de exemplu, atunci când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienți metrici E, F, G (\\ displaystyle E, \\ F, \\ G) determinați nu numai lungimile tuturor curbelor, ci, în general, rezultatele tuturor măsurătorilor din interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde doar de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectorii normali la punctele de suprafață

Una dintre caracteristicile principale ale suprafeței este normal - vector unitate perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

Semnul normal depinde de alegerea coordonatelor.

Secțiunea unei suprafețe de către un plan care conține normalul suprafeței într-un punct dat formează o curbă, care se numește secțiune normală suprafaţă. Normalul principal pentru secțiunea normală coincide cu normalul la suprafață (până la un semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normalul său principal formează un anumit unghi cu suprafața normală θ (\\ displaystyle \\ theta)... Apoi curbura k (\\ displaystyle k) curba asociată cu curbura k n (\\ displaystyle k_ (n)) secțiune normală (cu aceeași tangentă) după formula lui Meunier:

Coordonatele ort ale normalului pentru diferite moduri de definire a suprafeței sunt date în tabel:

{!LANG-7e1dd0a637d5f10faacd6a90bd524e67!} D (y, z) D (u, v) \u003d | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z, x) D (u, v) \u003d | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) \u003d | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\\ displaystyle (\\ frac (D (y, z)) (D (u, v))) \u003d (\\ begin (vmatrix) y "_ (u) & y" _ (v) \\\\ z "_ (u) & z "_ (v) \\ end (vmatrix)), \\ quad (\\ frac (D (z, x)) (D (u, v))) \u003d (\\ begin (vmatrix) z" _ (u) & z " _ (v) \\\\ x "_ (u) & x" _ (v) \\ end (vmatrix)), \\ quad (\\ frac (D (x, y)) (D (u, v))) \u003d (\\ Toate derivatele sunt luate la punctul respectiv.

(x 0, y 0, z 0) (\\ displaystyle (x_ (0), y_ (0), z_ (0))) Curbură.

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește

curbură normală ; i se atribuie un semn plus dacă normalul principal al curbei merge în aceeași direcție ca normalul spre suprafață sau minus dacă direcțiile normale sunt opuse.În general, în fiecare punct al suprafeței există două direcții perpendiculare

e 1 (\\ displaystyle e_ (1)) și e 2 (\\ displaystyle e_ (2)) , în care curbura normală ia valorile minime și maxime; aceste direcții sunt numiteprincipalul ... O excepție este cazul în care curbura normală este aceeași în toate direcțiile (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile într-un punct sunt principale.Suprafețe cu curburi negative (stânga), zero (centru) și pozitive (dreapta).

Se apelează curburi normale în direcții principale

curburile principale ; denotați-leκ 1 (\\ displaystyle \\ kappa _ (1)) κ 2 (\\ displaystyle \\ kappa _ (2)) e 2 (\\ displaystyle e_ (2)) ... Cantitate:K \u003d κ 1 κ 2 (\\ displaystyle K \u003d \\ kappa _ (1) \\ kappa _ (2))

suprafața poate fi determinată suprafata corecta.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de setare dacă una dintre variabile, de exemplu z, poate fi exprimată în termenii celorlalte: clarExistă deasemenea

parametric mod de atribuire. În acest caz, suprafața este determinată de un sistem de ecuații: Conceptul unei suprafețe simple

Mai precis,

Metrica nu definește în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metricele helicoidului și catenoidului, parametrizate corespunzător, coincid, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometrie). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice se numesc suprafață simplă se numește imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și continuă reciproc) a interiorului pătratului unitar. Această definiție poate fi exprimată analitic.

Fie un pătrat dat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v, ale cărui coordonate ale punctelor interioare satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Un exemplu suprafață simplă este o emisferă. Întreaga sferă nu este suprafață simplă... Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

Un subset de spațiu, fiecare punct al cărui vecinătate este suprafață simplăse numește suprafata corecta .

Suprafață în geometrie diferențială

Helicoid

Catenoid

{!LANG-9424a37e47437cce5242625e4f3c7c4d!} geometrie internă suprafaţă. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se schimbă atunci când se îndoaie fără tensiune și compresie (de exemplu, atunci când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienții metrici determină nu numai lungimile tuturor curbelor, ci, în general, rezultatele tuturor măsurătorilor din interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde doar de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectorii normali la punctele de suprafață

Una dintre caracteristicile principale ale suprafeței este normal - vector unitate perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

Semnul normal depinde de alegerea coordonatelor.

Secțiunea unei suprafețe de către un plan care conține o normală (într-un punct dat) formează o curbă pe suprafață, care se numește secțiune normală suprafaţă. Normalul principal pentru secțiunea normală coincide cu normalul la suprafață (până la un semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normalul său principal formează un anumit unghi θ cu suprafața normală. Apoi curbura k curba asociată cu curbura k n secțiune normală (cu aceeași tangentă) după formula lui Meunier:

Coordonatele ort ale normalului pentru diferite moduri de definire a suprafeței sunt date în tabel:

	Coordonate normale la un punct de suprafață
atribuire implicită
atribuire explicită
(D (y, z) D (u, v); D (z, x) D (u, v); D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z, x) D (u, v)) 2 + (D (x, y) D (u, v)) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (\\ left ((\\ frac (D (y, z)) (D (u, v))); \\, (\\ frac (D (z, x)) (D (u, v))); \\, (\\ frac (D (x , y)) (D (u, v))) \\ right)) (\\ sqrt (\\ left ((\\ frac (D (y, z)) (D (u, v))) \\ right) ^ (2 ) + \\ left ((\\ frac (D (z, x)) (D (u, v))) \\ right) ^ (2) + \\ left ((\\ frac (D (x, y)) (D ( u, v))) \\ right) ^ (2)))))

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește

curbură normală ; i se atribuie un semn plus dacă normalul principal al curbei merge în aceeași direcție ca normalul spre suprafață sau minus dacă direcțiile normale sunt opuse.În general, în fiecare punct al suprafeței există două direcții perpendiculare

e 1 (\\ displaystyle e_ (1)) e 1 și e 2, în care curbura normală ia valorile minime și maxime; aceste direcții sunt numite ... O excepție este cazul în care curbura normală este aceeași în toate direcțiile (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile într-un punct sunt principale.Suprafețe cu curburi negative (stânga), zero (centru) și pozitive (dreapta).

Se apelează curburi normale în direcții principale

curburile principale ; denotați-le; le notăm cu κ 1 și κ 2. Cantitate:

numit curbură gaussiană, curbură completă sau pur și simplu curbură suprafaţă. Există și termenul curbură scalară, ceea ce implică rezultatul convoluției tensorului de curbură; în acest caz, curbura scalară este de două ori mai mare decât curbura Gaussiană.

Curbura Gaussiană poate fi calculată prin metrică și, prin urmare, este un obiect al geometriei intrinseci a suprafețelor (rețineți că curburile principale nu sunt legate de geometria intrinsecă). Semnul de curbură poate fi utilizat pentru clasificarea punctelor de suprafață (a se vedea figura). Curbura planului este zero. Curbura unei sfere de rază R este peste tot egală. Există, de asemenea, o suprafață de curbură negativă constantă - o pseudosferă.

Linii geodezice, curbură geodezică

Curba de la suprafață se numește linie geodezică, sau pur și simplu geodezicdacă în toate punctele sale normalul principal al curbei coincide cu normalul la suprafață. Exemplu: pe un plan, geodezice vor fi linii drepte și segmente de linie, pe o sferă - cercuri mari și segmentele lor.

Definiție echivalentă: pentru o linie geodezică, proiecția normalului său principal pe un plan adiacent are un vector zero. Dacă curba nu este geodezică, atunci proiecția indicată este diferită de zero; lungimea sa se numește curbură geodezică k g curbă la suprafață. Există un raport:

unde k - curbura acestei curbe, k n - curbura secțiunii sale normale cu aceeași tangentă.

Liniile geodezice se referă la geometria internă. Să enumerăm proprietățile lor principale.

• Un singur geodezic trece printr-un anumit punct de pe suprafață într-o direcție dată.
• Pe o suprafață suficient de mică a suprafeței, două puncte pot fi întotdeauna conectate printr-un geodezic și, în plus, doar unul. Explicație: pe sferă, polii opuși sunt conectați printr-un număr infinit de meridiane, iar două puncte apropiate pot fi conectate nu numai printr-un segment al unui cerc mare, ci și prin completarea acestuia cu un cerc complet, astfel încât unicitatea este observată doar într-un mic.
• Geodezica este cea mai scurtă. Mai strict: pe o bucată mică de suprafață, cea mai scurtă cale între punctele date se află de-a lungul geodeziei.

Pătrat

Un alt atribut important de suprafață este pătrat , care se calculează prin formula:

Definiție. Un punct situat pe o suprafață de ordinul doi, dat cu privire la GDSK prin ecuația generală (1), se numește non-singular dacă dintre cele trei numere: există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Astfel, un punct situat pe o suprafață de ordinul doi nu este singular dacă și numai dacă este centrul său, în caz contrar, când suprafața este conică, iar punctul este vârful acestei suprafețe.

Definiție. O linie tangentă la o suprafață de ordinul doi la un anumit punct non-singular de pe ea este o linie dreaptă care trece prin acest punct, intersectând suprafața de ordinul doi într-un punct dublu sau fiind o generatoare rectilinie a suprafeței.

Teorema 3. Liniile tangente la suprafața celui de-al doilea ordin la un anumit punct non-singular de pe acesta se află într-un singur plan, numit planul tangent la suprafață în punctul în cauză. Ecuația planului tangent are

Dovezi. Fie ,, ecuațiile parametrice ale liniei drepte care trece printr-un punct non-singular al suprafeței de ordinul doi, date de ecuația (1). Înlocuind în ecuația (1), în loc de ,,, obținem:

Deoarece punctul se află pe suprafața (1), găsim și din ecuația (3) (această valoare corespunde punctului). Pentru ca punctul de intersecție al liniei drepte cu suprafața (1) să fie dublu sau linia dreaptă să se așeze în întregime la suprafață, este necesar și suficient ca egalitatea să fie:

Dacă în același timp:

Punctul de intersecție a liniei drepte cu suprafața (1) este dublu. Ce-ar fi dacă:

Apoi întreaga linie se află la suprafață (1).

Din relațiile (4) și ,, rezultă că coordonatele ,, oricărui punct care se află pe orice tangentă la suprafața (1) satisfac ecuația:

În schimb, dacă coordonatele unui alt punct decât satisfac această ecuație, atunci coordonatele ,, vectorii, satisfac relația (4), ceea ce înseamnă că linia este tangentă la suprafața luată în considerare.

Deoarece un punct este un punct non-singular al suprafeței (1), atunci printre numere ,, există cel puțin unul care nu este egal cu zero; atunci ecuația (5) este o ecuație de primul grad față de. Aceasta este ecuația planului tangent la suprafața (1) într-un punct non-singular dat pe ea.

Pe baza ecuațiilor canonice ale suprafețelor de ordinul doi, este ușor să compui ecuațiile planelor tangente la un elipsoid, hiperboloid etc. la un moment dat de pe ele.

unu). Planul tangent la elipsoid:

2). Planul tangent la hiperboloizi cu una și două foi:

3). Planul tangent la paraboloizi eliptici și hiperbolici:

§ 161. Intersecția unui plan tangent cu o suprafață de ordinul doi.

Vom lua un punct non-singular al suprafeței de ordinul doi ca origine a coordonatelor ODSK, axa și îl vom poziționa în planul tangent la suprafață în punctul respectiv. Apoi, în ecuația generală a suprafeței (1), termenul liber este egal cu zero: și ecuația planului care atinge suprafața la origine ar trebui să aibă forma:.

Dar ecuația planului care trece prin origine are forma:.

Și, deoarece această ecuație trebuie să fie echivalentă cu ecuația, atunci ,,.

Deci, în sistemul de coordonate selectat, ecuația suprafeței (1) ar trebui să aibă forma:

În schimb, dacă, atunci ecuația (6) este ecuația suprafeței care trece prin origine, iar planul este planul tangent la această suprafață într-un punct. Ecuația liniei de-a lungul căreia planul tangent la suprafață într-un punct intersectează suprafața (6) are forma:

Dacă . Acesta este un invariant în teoria invarianților pentru liniile de ordinul doi. Ecuația (7)

Aceasta este a doua linie de comandă. Prin forma acestei linii, este invariant, prin urmare:

Când, aici sunt două linii drepte imaginare care se intersectează.

La - două linii reale care se intersectează.

Dacă, dar cel puțin unul dintre coeficienți ,, nu este egal cu zero, atunci linia de intersecție (7) este două linii drepte coincidente.

În cele din urmă, dacă, atunci avionul

face parte din această suprafață, iar suprafața însăși se împarte, prin urmare, într-o pereche de planuri

§ 162. Punctele eliptice, hiperbolice sau parabolice ale unei suprafețe de ordinul doi.

1. Lăsați planul tangent la suprafața ordinului doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două linii de intersecție imaginare. În acest caz, punctul se numește punctul eliptic al suprafeței.

2. Lăsați planul tangent la suprafața ordinului doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două linii reale care se intersectează în punctul de tangență. În acest caz, punctul se numește punct hiperbolic al suprafeței.

3. Lăsați planul tangent la suprafața ordinului doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două linii drepte coincidente. În acest caz, punctul se numește punct parabolic al suprafeței.

Teorema 4. Fie ca suprafața celui de-al doilea ordin în raport cu ODSK să fie dată de ecuația (1) și această ecuație (1) este ecuația unei suprafețe reale care nu se descompune de ordinul doi. Atunci dacă; atunci toate punctele suprafeței sunt eliptice.

Dovezi. Să introducem un nou sistem de coordonate, alegând ca origine a coordonatelor orice punct non-singular al suprafeței date și plasând axele și în planul tangent la suprafață în acest punct. Ecuația (1) din noul sistem de coordonate este transformată în forma:

Unde. Să calculăm invariantul pentru această ecuație.

Deoarece în timpul tranziției de la un ODSK la alt ODSK semnul nu se schimbă, atunci semnele sunt opuse, prin urmare, dacă, atunci; și, după cum urmează din clasificare (a se vedea § 161), planul tangent la suprafață într-un punct intersectează suprafața de-a lungul a două linii imaginare intersectate, adică este un punct eliptic.

2) Un hiperboloid cu o singură foaie și un paraboloid hiperbolic constau în puncte hiperbolice.

3) Un con real de ordinul doi (vârful este exclus), cilindrii eliptici (reali), hiperbolici și parabolici constau din puncte parabolice.

Cilindru parabolic.

Pentru a determina locația cilindrului parabolic, este suficient să știți:

1) un plan de simetrie paralel cu generatoarea cilindrului;

2) planul tangent la cilindru, perpendicular pe acest plan de simetrie;

3) un vector perpendicular pe acest plan tangent și îndreptat spre concavitatea cilindrului.

Dacă ecuația generală definește un cilindru parabolic, acesta poate fi rescris ca:

Vom selecta m astfel încât avionul

ar fi reciproc perpendiculare:

Cu această valoare m avion

va fi planul de simetrie paralel cu generatoarea cilindrului.

Avion

va fi planul tangent la cilindru, perpendicular pe planul de simetrie specificat și vectorul

va fi perpendicular pe planul tangent găsit și direcționat spre concavitatea cilindrului.

Și anume, ceea ce vedeți în titlu. În esență, este un „analog spațial” problema găsirii unei tangente e 2 (\\ displaystyle e_ (2)) normale la graficul unei funcții a unei variabile și, prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți.

Să începem cu câteva întrebări de bază: CE ESTE un plan tangent și CE ESTE un normal? Mulți sunt conștienți de aceste concepte la nivel de intuiție. Cel mai simplu model care îmi vine în minte este o minge cu o bucată subțire de carton pe ea. Cartonul este situat cât mai aproape de sferă și îl atinge într-un singur punct. În plus, la punctul de contact, este fixat de un ac care se lipeste drept în sus.

În teorie, există o definiție destul de ingenioasă a unui plan tangent. Imaginați-vă un arbitrar suprafaţă și punctul care îi aparține. Evident, o mulțime de liniile spațialecare aparțin acestei suprafețe. Cine are ce asociații? \u003d) ... Am introdus personal caracatița. Să presupunem că fiecare astfel de linie are tangenta spatiala la punct.

Definiția 1: plan tangent la suprafață într-un punct este avionconținând tangente la toate curbele care aparțin acestei suprafețe și trec prin punct.

Definiția 2: normal la suprafață într-un punct este drepttrecând printr-un punct dat perpendicular pe planul tangent.

Simplu și elegant. Apropo, pentru a nu muri de plictiseală din simplitatea materialului, puțin mai târziu vă voi împărtăși un secret elegant care permite O dată și pentru totdeauna să uite de înghesuit diferite definiții.

Vom face cunoștință cu formulele de lucru și algoritmul soluției direct pe un exemplu specific. În majoritatea covârșitoare a problemelor, este necesar să se compună atât ecuația planului tangent, cât și ecuațiile normalului:

Exemplul 1

Decizie: dacă suprafața este dată de ecuație (adică implicit), atunci ecuația planului tangent la o suprafață dată într-un punct poate fi găsită prin următoarea formulă:

Acord o atenție specială derivatelor parțiale neobișnuite - lor nu trebuie confundat din derivate parțiale ale unei funcții definite implicit (deși suprafața este implicit specificată)... Când găsiți aceste derivate, trebuie să vă ghidați după regulile de diferențiere a unei funcții de trei variabile, adică la diferențierea față de orice variabilă, celelalte două litere sunt considerate constante:

Fără a părăsi plata, găsim derivata parțială la punctul:

În mod similar:

Acesta a fost cel mai neplăcut moment al deciziei, în care apare în mod constant o greșeală, dacă nu este permisă. Cu toate acestea, există aici o tehnică de verificare eficientă, despre care am vorbit în lecție Derivată direcțională și gradient.

Au fost găsite toate „ingredientele”, iar acum depinde de o înlocuire îngrijită cu simplificări suplimentare:

– ecuație generală planul tangent dorit.

Vă recomandăm să verificați și această etapă a soluției. Mai întâi, trebuie să vă asigurați că coordonatele punctului de atingere satisfac într-adevăr ecuația găsită:

- adevărata egalitate.

Acum „eliminăm” coeficienții ecuației generale a planului și le verificăm pentru coincidență sau proporționalitate cu valorile corespunzătoare. În acest caz, acestea sunt proporționale. Îți amintești de la curs de geometrie analitică, - acest vector normal plan tangent, și este - vectorul de direcție linia dreaptă normală. Să compunem ecuații canonice normale prin punct și vector de direcție:

În principiu, numitorii pot fi reduși cu „doi”, dar nu este nevoie specială de acest lucru

Răspuns:

Nu este interzis să desemnați ecuațiile cu unele litere, totuși, din nou - de ce? Aici, și așa este extrem de clar ce este ce.

Următoarele două exemple sunt pentru auto-ajutor. Un mic „zdrobitor matematic”:

Exemplul 2

Găsiți ecuațiile planului tangent și a normalului la suprafață într-un punct.

Și o sarcină interesantă din punct de vedere tehnic:

Exemplul 3

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normalul la suprafață într-un punct

La momentul respectiv.

Există toate șansele nu numai să vă confundați, ci și să vă confruntați cu dificultăți la înregistrare ecuații canonice ale liniei... Și ecuațiile normalului, după cum probabil ați înțeles, sunt de obicei scrise în această formă. Deși, datorită uitării sau ignoranței unor nuanțe, forma parametrică este mai mult decât acceptabilă.

Exemple de exemple de soluții de finisare la sfârșitul lecției.

Există un plan tangent în orice punct de pe suprafață? În general, desigur că nu. Un exemplu clasic este suprafață conică și punct - tangente în acest punct formează direct o suprafață conică și, bineînțeles, nu se află în același plan. Este ușor să fii convins de problemele analitice :.

O altă sursă de probleme este faptul inexistenta orice derivată parțială la un punct. Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă că în acest moment nu există un singur plan tangent.

Dar a fost, mai degrabă, știință populară decât informații practic semnificative și ne întoarcem la problemele noastre zilnice:

Cum se scrie ecuații pentru planul tangent și normalul într-un punct,
dacă suprafața este dată de o funcție explicită?

Să o rescriem implicit:

Și după aceleași principii, vom găsi derivatele parțiale:

Astfel, formula pentru planul tangent este transformată în următoarea ecuație:

În consecință, ecuațiile canonice normale:

După cum ați putea ghici, - acestea sunt deja „reale” derivate parțiale ale unei funcții a două variabile în momentul în care obișnuiam să îl desemnăm cu litera „z” și să-l găsim de 100.500 de ori.

Rețineți că în acest articol este suficient să ne amintim chiar prima formulă, din care, dacă este necesar, este ușor să derivăm orice altceva. (de înțeles, având un nivel de bază de formare)... Aceasta este abordarea care ar trebui utilizată în studiul științelor exacte, adică dintr-un minim de informații, ar trebui să ne străduim să „scoatem” maximum de concluzii și consecințe. „Soobrazhalovka” și cunoștințe deja existente pentru a ajuta! Acest principiu este, de asemenea, util, deoarece este cel mai probabil să economisiți într-o situație critică atunci când știți foarte puțin.

Să elaborăm formulele „modificate” cu câteva exemple:

Exemplul 4

Scrieți ecuații pentru planul tangent și normal pentru suprafață la punct.

O mică suprapunere aici s-a dovedit cu desemnări - acum scrisoarea denotă un punct din avion, dar ce să faci - o scrisoare atât de populară ...

Decizie: ecuația planului tangent necesar este compilată prin formula:

Să calculăm valoarea funcției la punctul:

Calculăm derivate parțiale de ordinul 1 in acest punct:

În acest fel:

cu grijă, fără grabă:

Scriem ecuațiile canonice ale normalului la un moment dat:

Răspuns:

Și un ultim exemplu pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normalul la suprafață într-un punct.

Ultimul - pentru că de fapt am explicat toate punctele tehnice și nu este nimic special de adăugat. Chiar și funcțiile în sine, oferite în această sarcină, sunt plictisitoare și monotone - este aproape garantat în practică că veți întâlni un „polinom”, iar în acest sens Exemplul nr. 2 cu un exponent arată ca o „oaie neagră”. Apropo, este mult mai probabil să îndeplinească suprafața dată de ecuație și acesta este un alt motiv pentru care funcția a fost inclusă în articolul „al doilea număr”.

Și, în sfârșit, secretul promis: deci cum să eviți definițiile? (Bineînțeles, nu mă refer la o situație în care un student înghesui ceva frenetic înainte de examen)

Definiția oricărui concept / fenomen / obiect, în primul rând, oferă un răspuns la următoarea întrebare: CE ESTE? (cine / așa / așa / așa). Conştient răspunzând la această întrebare, ar trebui să încercați să reflectați esenţialsemne, fără echivoc identificând unul sau altul concept / fenomen / obiect. Da, la început, acest lucru se dovedește a fi oarecum legat de limbă, inexact și redundant (profesorul va corecta \u003d)), dar în timp, se dezvoltă un discurs științific complet demn.

Exersați pe cele mai abstracte obiecte, de exemplu, răspundeți la întrebarea: cine este Cheburashka? Nu este atât de simplu ;-) Este acesta un „personaj de basm cu urechi mari, ochi și păr șaten”? Departe și foarte departe de definiție - nu știi niciodată că există personaje cu astfel de caracteristici .... Dar acest lucru este deja mult mai aproape de definiție: „Cheburashka este un personaj inventat de scriitorul Eduard Uspensky în 1966, care ... (enumerarea principalelor trăsături distinctive)”... Fii atent la cât de bine a început

1 °. Ecuații ale planului tangent și normal pentru cazul unei definiții explicite a suprafeței.

Luați în considerare una dintre aplicațiile geometrice ale derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile. Să funcția z = f (x;y) diferențiat la punct (x 0; la 0) o anumită zonă DÎ R 2... Tăiați suprafața S,funcția imagistică z, avioane x \u003d x 0 e 2 (\\ displaystyle e_ (2)) y \u003d y 0 (fig. 11).

Avion x = x 0 traversează suprafața S de-a lungul unei linii z 0 (y), a cărui ecuație se obține prin substituirea funcției originale în expresie z \u003d=f (x;y) in schimb x numere x 0. Punct M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))aparține curbei z 0 (y). În virtutea funcției diferențiabile z la punct M 0 funcţie z 0 (y) este, de asemenea, diferențiat la acest punct y \u003d y 0. Prin urmare, în acest moment al planului x \u003d x 0 la curbă z 0 (y) se poate desena o tangentă l 1.

Realizarea unui raționament similar pentru secțiune la = la 0, construiește o tangentă l 2 la curbă z 0 (x) la punct x = x 0 - Direct 1 1 și 1 2 definește un plan numit plan tangent la suprafață S la punct M 0.

Să-i facem ecuația. Deoarece avionul trece prin punct Mo (x 0;y 0;z 0), atunci ecuația sa poate fi scrisă ca

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,

care poate fi rescris astfel:

z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(împărțind ecuația la -C și indicând ).

Găsi A 1 și B 1.

Ecuații tangente 1 1 e 2 (\\ displaystyle e_ (2)) 1 2 au forma

respectiv.

Tangentă l 1 se află în planul a , prin urmare, coordonatele tuturor punctelor l 1 satisface ecuația (1). Acest fapt poate fi scris ca un sistem

Rezolvând acest sistem față de B 1, obținem acest lucru.Realizarea unui raționament similar pentru tangentă l 3, este ușor să stabilim asta.

Înlocuind valorile A 1 și B 1 în ecuația (1), obținem ecuația necesară a planului tangent:

Punct de linie M 0 și perpendicular pe planul tangent construit în acest punct al suprafeței se numește a lui normal.

Folosind condiția perpendicularității unei drepte și a unui plan, este ușor să se obțină ecuațiile canonice ale normalului:

Cometariu. Formulele pentru planul tangent și normal pentru suprafață sunt obținute pentru punctele obișnuite, adică nu singulare ale suprafeței. Punct M 0 suprafata se numeste special, dacă în acest moment toate derivatele parțiale sunt zero sau cel puțin una dintre ele nu există. Nu luăm în considerare astfel de puncte.

Exemplu. Scrieți ecuațiile planului tangent și normalului la suprafață în punctul său M (2; -1; 1).

Decizie. Găsiți derivatele parțiale ale acestei funcții și valorile lor în punctul M

Prin urmare, aplicând formulele (2) și (3), vom avea: z-1 \u003d 2 (x-2) +2 (y + 1) sau 2x + 2y-z-1 \u003d 0 - ecuația planului tangent și - ecuații normale.

2 °. Ecuații ale planului tangent și normal pentru cazul definiției implicite a suprafeței.

Dacă suprafața S dată de ecuație F (x; y;z) \u003d 0, apoi ecuațiile (2) și (3), ținând cont de faptul că derivatele parțiale pot fi găsite ca derivate ale unei funcții implicite.