Proprietățile integralelor formulei. Integrale pentru manechine: Cum se rezolvă, reguli de calcul, explicație. Reguli de calcul integrale pentru manechine

Funcție antiderivativă și integrală nedeterminată

Fapt 1. Integrarea este o acțiune inversă diferențierii, și anume restaurarea unei funcții dintr-un derivat cunoscut al acestei funcții. Funcția astfel restabilită F(x) se numește antiderivativ pentru funcție f(x).

Definiție 1. Funcție F(x f(x) pe un anumit interval Xdacă pentru toate valorile x din acest interval, egalitatea F "(x)=f(x), adică această funcție f(x) este derivatul funcției antiderivative F(x). .

De exemplu, funcția F(x) \u003d păcat x este antiderivativul funcției f(x) \u003d cos x pe linia numerelor întregi, deoarece pentru orice valoare de x (păcat x) "\u003d (cos x) .

Definiție 2. Integrala nedefinită a unei funcții f(x) este ansamblul tuturor antiderivativelor sale... În acest caz, se folosește înregistrarea

∫

f(x)dx

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcția f(x) Este integrandul și f(x)dx - un integrand.

Astfel, dacă F(x) Este ceva antiderivant pentru f(x), atunci

∫

f(x)dx = F(x) +C

unde C - o constantă arbitrară (constantă).

Pentru a înțelege semnificația setului de antiderivative ale unei funcții ca o integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să existe o ușă (ușa tradițională din lemn). Funcția sa este „a fi ușa”. Și din ce este făcută ușa? Facut din lemn. Aceasta înseamnă că setul de antiderivative ale integrandului „a fi o ușă”, adică integralul său nedefinit, este funcția „a fi un copac + C”, unde C este o constantă, ceea ce în acest context poate însemna, de exemplu, o specie de copac. La fel ca o ușă din lemn cu unele unelte, derivatul unei funcții este „fabricat” dintr-o funcție antiderivativă folosind formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi, tabelul funcțiilor obiectelor obișnuite și antiderivativele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal” etc.) este similar cu tabelul integralelor de bază nedeterminate, care va fi dat mai jos. Tabelul integralelor nedeterminate listează funcții comune cu o indicație a antiderivatelor din care sunt „făcute” aceste funcții. În partea problemelor pentru găsirea unei integrale nedeterminate, se dau astfel de integranzi care, fără considerații speciale, pot fi integrați direct, adică în conformitate cu tabelul integralelor nedeterminate. În probleme mai complicate, integrandul trebuie mai întâi transformat astfel încât să poată fi utilizate integrale tabulare.

Fapt 2. Când restabilim o funcție ca antiderivativ, trebuie să ținem cont de o constantă arbitrară (constantă) C, și pentru a nu scrie o listă de antiderivative cu diferite constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivative cu o constantă arbitrară Cașa: 5 x³ + С. Deci, o constantă arbitrară (constantă) este inclusă în expresia antiderivativă, deoarece antiderivativa poate fi o funcție, de exemplu, 5 x³ + 4 sau 5 x³ + 3 și diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Să punem problema integrării: pentru această funcție f(x) găsiți o astfel de funcție F(x), a cărui derivată egal f(x).

Exemplul 1.Găsiți setul de antiderivați ai unei funcții

Decizie. Pentru această funcție, antideriva este funcția

Funcţie F(x) se numește antiderivativ pentru funcție f(x) dacă derivatul F(x) este egal cu f(x), sau, care este același lucru, diferențialul F(x) este egal cu f(x) dx, adică

(2)

Prin urmare, o funcție este un antiderivativ pentru o funcție. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivativ pentru. Ele servesc și ca funcții

unde DIN Este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există un antiderivativ pentru o funcție, atunci pentru acesta există un număr infinit de antiderivative care diferă cu un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teorema (enunț formal 2).Dacă F(x) Este antiderivativ pentru funcție f(x) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivativ pentru f(x) pe același interval poate fi reprezentat ca F(x) + CUnde DINEste o constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne referim deja la tabelul integralelor, care va fi dat în secțiunea 3, după proprietățile integralei nedeterminate. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în integrare în întregime.

Exemplul 2.Găsiți seturi de antiderivative:

Decizie. Găsim seturi de funcții antiderivative din care sunt „făcute” aceste funcții. Când menționați formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia întregul tabel al integralelor nedeterminate puțin mai departe.

1) Aplicarea formulei (7) din tabelul integralelor pentru n \u003d 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul integralelor pentru n \u003d 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi prin formula (7) la n \u003d -1/4 găsiți

Integrala nu este funcția în sine f , și produsul său prin diferențial dx ... Acest lucru se face în primul rând pentru a indica care variabilă este căutată pentru antiderivativ. De exemplu,

, ;

aici, în ambele cazuri, integrandul este egal, dar integralele sale nedeterminate în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei x , iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedeterminate a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Semnificația geometrică a integralei nedeterminate

Să se solicite găsirea unei curbe y \u003d F (x) și știm deja că tangenta unghiului de înclinare a tangentei la fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f (x) abscisa acestui punct.

Conform semnificației geometrice a derivatei, tangenta unghiului de înclinare a tangentei la un punct dat al curbei y \u003d F (x) este egală cu valoarea derivatului F "(x)... Prin urmare, trebuie să găsim o astfel de funcție F (x), pentru care F "(x) \u003d f (x)... Funcția necesară în sarcină F (x) este antiderivativul f (x)... Starea problemei este satisfăcută nu de o singură curbă, ci de o familie de curbe. y \u003d F (x) este una dintre aceste curbe și orice altă curbă poate fi obținută de la aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oy.

Să numim graficul funcției antiderivative a lui f (x) curba integrala. Dacă F "(x) \u003d f (x), apoi graficul funcției y \u003d F (x) există o curbă integrală.

Fapt 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric de familia tuturor curbelor integrale ca în imaginea de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă arbitrară (constantă) de integrare C.

Proprietăți integrale nedeterminate

Fapt 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedeterminate este egală cu integrandul, iar diferențialul său este egal cu integrandul.

Fapt 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferențialului unei funcții f(x) este egal cu funcția f(x) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproce.

Fapt 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi luat în afara semnului integral nedefinit , adică

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este destinat celor care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral ... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedeterminate?

Dacă singura utilizare a unei integrale pe care o cunoașteți este să croșetați ceva util din locuri greu accesibile, sub forma unei icoane integrale, atunci sunteți binevenit! Aflați cum să rezolvați integrale elementare și alte integrale și de ce nu puteți face fără ea în matematică.

Explorarea conceptului « integral »

Integrarea este cunoscută încă din Egiptul antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. Mai ales s-au distins Newton și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, aveți în continuare nevoie de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre, necesare pentru înțelegerea integralelor, în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să presupunem că avem un fel de funcție f (x) .

Funcție integrală nedefinită f (x) o astfel de funcție se numește F (x) a cărei derivată este egală cu funcția f (x) .

Cu alte cuvinte, integralul este derivatul invers sau antiderivativ. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivativul există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, semnul unei constante este adesea adăugat la antiderivativ, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderativele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru studenți

Integrala definita

Când ne ocupăm de conceptul unei integrale, avem de-a face cu cantități infinitesimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, masa unui corp neomogen, calea parcursă cu mișcare neuniformă și multe altele. Trebuie amintit că integralul este suma unui număr infinit de mulți termeni infinit de mici.

De exemplu, să ne imaginăm un grafic al unei funcții.

Cum găsesc aria unei forme mărginită de un grafic funcțional? Folosind integralul! Împărțim trapezul curbat, delimitat de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Amintiți-vă însă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem într-o asemenea măsură încât lungimea tinde la zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde spre aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b sunt numite limitele integrării.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri acum există o reducere de 10%

Reguli de calcul integrale pentru manechine

Proprietăți integrale nedeterminate

Cum se rezolvă integralul nedefinit? Aici vom analiza proprietățile integralei nedeterminate, care vor fi utile la rezolvarea exemplelor.

Derivata integralei este egală cu integrandul:

Constanta poate fi extrasă de sub semnul integral:

Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Este valabil și pentru diferență:

Proprietăți integrale definite

Liniaritate:

Semnul integral se modifică dacă limitele de integrare sunt inversate:

Cand orice puncte a, b și din:

Am aflat deja că integralul definit este limita sumei. Dar cum obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de soluții integrate

Mai jos vom considera integralul nedefinit și exemple cu o soluție. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți videoclipul despre modul în care sunt rezolvate integralele în practică. Nu vă descurajați dacă integralul nu este dat imediat. Contactați serviciul profesional pentru studenți și puteți gestiona orice integrală triplă sau curbiliniară pe o suprafață închisă.

Integrală antiderivativă și nedeterminată.

Antiderivativa unei funcții f (x) pe intervalul (a; b) este o funcție F (x) astfel încât egalitatea se menține pentru orice x dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea ... Astfel, funcția f (x) are un set de antiderivative F (x) + C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivative diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Întregul set de antiderivative ale unei funcții f (x) se numește integral nedefinit al acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrand, iar f (x) se numește integrand. Integrandul este diferențialul funcției f (x).

Acțiunea de a găsi o funcție necunoscută prin diferențialul său dat se numește integrare nedeterminată, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F (x), ci setul antiderivativelor sale F (x) + C.

Integrale de masă

Cele mai simple proprietăți ale integralelor

1. Derivata rezultatului integrării este egală cu integrandul.

2. Integrala nedefinită a diferențialului unei funcții este egală cu suma funcției în sine și o constantă arbitrară.

3. Coeficientul poate fi luat în afara semnului integralului nedefinit.

4. Integrala nedeterminată a sumei / diferenței de funcții este egală cu suma / diferența integralelor nedeterminate ale funcțiilor.

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți a integralei nedeterminate sunt date pentru clarificare.

Pentru a dovedi a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsiți derivatele laturilor drepte ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranzii, ceea ce este dovada în virtutea primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este inversa problemei de diferențiere și există o relație foarte strânsă între aceste probleme:

prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrării efectuate, este suficient să calculați derivata rezultatului obținut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, atunci acest lucru va însemna că integrarea a fost efectuată corect;

a doua proprietate a integralei nedeterminate ne permite să găsim antiderivarea ei din diferențialul cunoscut al funcției. Calculul direct al integralelor nedeterminate se bazează pe această proprietate.

1.4 Invarianța formelor de integrare.

Integrarea invariantă este un tip de integrare pentru funcții ale căror argumente sunt elemente ale unui grup sau puncte ale unui spațiu omogen (orice punct al unui astfel de spațiu poate fi transferat la altul printr-o acțiune de grup dată).

funcției f (x) se reduce la calcularea integralei formei diferențiale f.w, unde

Un f-la explicit pentru r (x) este dat mai jos. Condiția de potrivire este .

aici Tg înseamnă operatorul de deplasare pe X prin intermediul gОG: Tgf (x) \u003d f (g-1x). Fie X \u003d G o topologie, un grup care acționează asupra sa prin deplasări la stânga. Eu si. există dacă și numai dacă G este compact local (în special, pe grupe cu dimensiuni infinite I. și. nu există). Pentru un subset de I. și. a funcției caracteristice cA (egală cu 1 pe A și 0 în afara lui A) definește măsura Xaara stângă m (A). Proprietatea definitorie a acestei măsuri este invarianța acesteia sub deplasările la stânga: m (g-1A) \u003d m (A) pentru toate gОG. Măsura Haar din stânga pe un grup este determinată în mod unic până la un factor scalar. Dacă se cunoaște măsura Haar m, atunci I. și. funcția f este dată de formula ... Măsura corectă Haar are proprietăți similare. Există un homomorfism continuu (mapare care păstrează proprietatea grupului) DG al grupului G într-un grup (în ceea ce privește multiplicarea) pune. numere pentru care

unde dmr și dmi sunt dreapta și stânga măsurile Haar. Funcția DG (g) se numește modulul grupului G. Dacă, atunci se numește grupul G. unimodular; în acest caz, măsurile Haar din dreapta și din stânga coincid. Grupurile compacte, semisimple și nilpotente (în special, comutative) sunt unimodulare. Dacă G este un grup Lie n-dimensional și q1, ..., qn este o bază în spațiul formelor 1 invariante la stânga pe G, atunci măsura Haar stângă pe G este dată de o formă n. În coordonate locale de calculat

formează qi, se poate utiliza orice realizare matricială a grupului G: matricea 1-forma g-1dg este invariant la stânga și coeficientul său. sunt 1-forme scalare invariante la stânga, din care este selectată baza cerută. De exemplu, grupul complet matricial GL (n, R) este unimodular, iar măsura Haar de pe acesta este dată de formă. Lăsa X \u003d G / H este un spațiu omogen pentru care un grup local compact G este un grup de transformare, iar un subgrup închis H este un stabilizator de un anumit punct. Pentru ca un I. și. Pentru a exista pe X, este necesar și suficient ca pentru toate hOH să se mențină egalitatea DG (h) \u003d DH (h). În special, acest lucru este adevărat în cazul în care H este compact sau semisimplu. Teoria completă I. și. nu există pe varietăți cu dimensiuni infinite.

Schimbarea variabilelor.

Aceste proprietăți sunt folosite pentru a efectua transformări ale integralei cu scopul de a o reduce la una dintre integrale elementare și de a calcula în continuare.

1. Derivata integralei nedeterminate este egală cu integrandul:

2. Diferențialul integralului nedefinit este egal cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferențialului unei funcții este egală cu suma acestei funcții și o constantă arbitrară:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, un ≠ 0

5. Integrala sumei (diferenței) este egală cu suma (diferenței) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea invarianței integralei nedeterminate:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare utilizând metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să luăm în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul antiderivativ și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și poate găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integralul dvs.

În acest articol, vom enumera principalele proprietăți ale integralei definite. Majoritatea acestor proprietăți sunt dovedite pe baza conceptelor integralei definite a lui Riemann și Darboux.

Definiția unei integrale definite se face foarte des folosind primele cinci proprietăți, așa că ne vom referi la ele atunci când este necesar. Restul proprietăților unei integrale definite sunt utilizate în principal pentru a evalua diferite expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale integralei definite, să fim de acord că a nu depășește b.

Pentru funcția y \u003d f (x), definită la x \u003d a, egalitatea este adevărată.

Adică, valoarea unei integrale definite cu limite de integrare coincidente este zero. Această proprietate este o consecință a definiției integralei Riemann, deoarece în acest caz fiecare sumă integrală pentru orice partiție a intervalului și orice alegere de puncte este egală cu zero, deoarece, prin urmare, limita sumelor integrale este zero.

Pentru o funcție integrabilă pe un segment, .

Cu alte cuvinte, la schimbarea limitelor superioare și inferioare ale integrării în locuri, valoarea integralei definite se schimbă în opus. Această proprietate a unei integrale definite rezultă și din conceptul integralei Riemann, numai numerotarea partiției unui segment ar trebui să înceapă din punctul x \u003d b.

pentru funcțiile y \u003d f (x) și y \u003d g (x) integrabile pe un interval.

Dovezi.

Scriem suma integrală a funcției pentru o diviziune dată a unui segment și o alegere dată de puncte:

unde și sunt sumele integrale ale funcțiilor y \u003d f (x) și y \u003d g (x) pentru partiția dată a segmentului, respectiv.

Trecând la limită la obținem că, prin definiția integralei Riemann, este echivalent cu afirmarea proprietății dovedite.

Un factor constant poate fi luat în afara semnului unei integrale definite. Adică, pentru o funcție y \u003d f (x) integrabilă pe un interval și un număr arbitrar k, egalitatea .

Dovada acestei proprietăți a unei integrale definite este absolut similară celei anterioare:

Fie funcția y \u003d f (x) integrabilă pe intervalul X și și apoi .

Această proprietate este adevărată atât pentru, cât și pentru sau.

Dovada poate fi efectuată folosind proprietățile anterioare ale integralei definite.

Dacă o funcție este integrabilă pe un segment, atunci este integrabilă și pe orice segment interior.

Dovada se bazează pe proprietatea sumelor Darboux: dacă se adaugă puncte noi la partiția existentă a segmentului, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Dacă funcția y \u003d f (x) este integrabilă pe un interval și pentru orice valoare a argumentului, atunci .

Această proprietate este dovedită prin definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere a punctelor de partiție a unui interval și a punctelor la va fi negativă (nu pozitivă).

Consecinţă.

Pentru funcțiile y \u003d f (x) și y \u003d g (x) integrabile pe un interval, sunt valabile următoarele inegalități:

Această afirmație înseamnă că integrarea inegalităților este admisibilă. Vom folosi acest corolar pentru a dovedi următoarele proprietăți.

Fie funcția y \u003d f (x) integrabilă pe un interval; apoi inegalitatea .

Dovezi.

Este evident că ... În proprietatea anterioară, am aflat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen; prin urmare, este adevărat ... Această dublă inegalitate poate fi scrisă ca .

Fie funcțiile y \u003d f (x) și y \u003d g (x) să fie integrabile pe un interval și pentru orice valoare a argumentului, atunci Unde și.

Dovada este similară. Deoarece m și M sunt cele mai mici și mai mari valori ale funcției y \u003d f (x) pe segment, atunci ... Înmulțirea inegalității duble cu funcția non-negativă y \u003d g (x) ne conduce la următoarea inegalitate dublă. Integrându-l pe un segment, ajungem la afirmația demonstrată.

Consecinţă.

Dacă luăm g (x) \u003d 1, atunci inegalitatea ia forma .

Prima formulă a valorii medii.

Fie funcția y \u003d f (x) integrabilă pe un interval, și apoi există un număr astfel încât .

Consecinţă.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe un interval, atunci există un număr astfel încât .

Prima formulă pentru medie în formă generalizată.

Fie funcțiile y \u003d f (x) și y \u003d g (x) să fie integrabile pe un interval, și, și g (x)\u003e 0 pentru orice valoare a argumentului. Apoi, există un număr astfel încât .

A doua formulă pentru medie.

Dacă funcția y \u003d f (x) este integrabilă pe un interval și y \u003d g (x) este monotonă, atunci există un număr astfel încât egalitatea .