3 De la care depinde valoarea probabilității geometrice. Probabilitate geometrică. Definiția geometrică a probabilității. Sarcini cu soluții

televizor Fenomenul aleator

1. Clasic

2. Stocalist factori de bază secundar

Eveniment

Distinge de încredere imposibil aleatoriu

Proprietăți Probabilitate:

<Р(С)<1.

Sunt numite două evenimente A și B non-paturi comun

singurul posibil

grupul complet

opus.

Sub negare

frecvență Acest evenimente

Bernoulli Teorem prin probabilitate

Demnitate

Dezavantaje

Probabilitatea unui eveniment

combinatorică.

Combinații De la n Conform M, compușii constând din elemente n și diferă unul de celălalt cu compoziția elementelor. Numărul de combinații de la N prin m este egal cu numărul de modalități de selectare a elementelor M de la N:, unde n\u003e m.

combinații cu repetiții: .

Cazare

cazare cu repetare: .

Permutări

Concepte de bază Mat.Startistry.

Analogul SV din teoria probabilității este un semn X într-o mată.

Multe dintre toate tipurile de semne ale semnului X, permițând estimarea parametrilor de distribuție, precum și distribuția caracteristica X cu precizie exhaustivă, se numește agregat general.

Eșantionul semnului X se numește volumul limitat de static. Datorită populației generale:; - Elemente ale eșantionului, n - eșantionare

Selectarea datelor de eșantionare din Geneza - un act de accident ⇒ eșantionul poate fi considerat ca SV multidimensional. Deci, fiecare element al eșantionului este Sf.

Legea distribuției eșantionului și elementele sale coincide cu legea distribuției genelor din care se extrage.

Eșantionul principal este randomitatea sa. Aceasta oferă reprezentativitate (prezentare) a eșantionului. În caz contrar, vorbesc despre eroare - prezentare.

Punctul de estimare a parametrilor de distribuție. Cerințe pentru funcțiile de eșantionare.

Funcția de probă se numește NE-I F-│, care traduce elementele eșantionului într-o valoare numerică. Funcția de eșantion este utilizată pentru a estima parametrii distribuției, limitele intervalului de încredere și evaluarea statisticilor criteriului. Deoarece celulele de eșantionare aleatoriu, atunci numărul primit de funcția de eșantion este, de asemenea, o valoare aleatorie. Estimarea punctului QN (cu Tilde în partea de sus) a parametrului de distribuție Q este o valoare care caracterizează valoarea reală a parametrului Q. Pentru a estima același parametru de distribuție, pot fi făcute mai multe funcții de probă diferite. Cerințe: 1. Valoarea valorii parametrului cu N aparent preocupat de convergența infinității în probabilitate la valoarea reală a acestui parametru. Scrisă astfel asa de . 2. Mature - Mat. Evaluarea estimărilor parametrilor de distribuție \u003d adevărata valoare a acestui parametru. Dacă această egalitate este satisfăcută cu orice n, atunci aceasta este o loialitate absolută; Și dacă cu n, asimptotic, căutarea infinității. 3. Efectuați o valoare eficientă a funcției de eșantionare (estimare), k-am cea mai mică dispersie. unde în numerele-perisistajarea evaluării studiate, în denominatorul-impertion a unei evaluări eficiente. Cu cât este mai apropiat coeficientul de eficiență e.k 1, cu atât mai eficient testul de evaluare. Dacă această condiție se efectuează cu n stricte la infinit, aceasta este eficiența asimetrică.

Distribuția histogramei.

Primul lucru care poate fi obținut din orice probă particulară x \u003d (x 1, x 2, ..., x n) este ideea inițială a legii închisorii. Acest lucru se face prin construirea așa-numitei histograme a imprimantei. Pentru aceasta, gama ODR-XIA de modificări ale valorilor posibile ale caracteristicilor studiate (analogul SV în televizor), conform eșantionului existent X \u003d (x 1, x 2, ..., xn) - de la x '\u003d min (xi) la x "\u003d max (xi). Această gamă este împărțită convențional în intervale M - așa-numitele descărcări sau "buzunare" de histograme. Numărul M este selectat de către cercetător. Conform formulei sturigale, numărul recomandat M a intervalelor de despicare m. Dacă alegeți toate evacuările sunt aceleași în lățime, atunci lățimea de evacuare va fi egală cu: H \u003d.

Apoi, pentru evacuarea i (I \u003d 1.2, ..., m), numărul m am intrat în ea valorile CV-ului. Valorile obținute ale m i sau sunt amânate pe o scară verticală în raport cu fiecare categorie. Histograma astfel obținută a fost apelată distribuția histogramelor sign X:

Pe baza histogramei, obținem o idee primară despre forma legii imprimantei caracteristicilor studiate. Condițiile sunt îndeplinite:; .

Subiectul teoriei probabilității. Noțiuni de bază.

televizor - secțiunea de matematică angajată în studiul modelelor din fenomenele aleatorii în masă. Fenomenul aleator Apelați un fenomen cu o urmă. Proprietăți: Rezultatul incertitudinilor, capacitățile de redare, capacitatea de a măsura rezultatul fiecărui eveniment.

2 abordări sunt utilizate pentru a studia fenomene aleatorii:

1. Clasic (Determinky): modelele de fenomene aleatoare sunt determinate de principalii factori, cel mai adesea aplicate în studiile științifice naturale. Neglijarea factorilor secundari duce la apariția unui element de șansă în fenomenele studiate.

2. Stocalist: Folosit în studiile socio-economice, modelele fenomenelor aleatorii sunt definite atât de factori principali cât și de cei secundari. Contabilitatea completă a factorilor secundari este practic imposibilă, prin urmare rezultatele studiilor sunt probabiliste. LA factori de bază Cred că factorii care au un impact asupra rezultatului testului. LA secundar Factorii sunt fabrici. Influența asupra rezultatului testului.

Elementul de șansă în fenomene este redus: atunci când reproduce un număr mai mare de factori secundari, cu fenomene de masă crescânde.

Eveniment Se numește orice fapt care poate apărea (nu) atunci când efectuează un anumit set de condiții (A, B, ..., A 1, A 2).

Distinge de încredere(un eveniment care apare neapărat atunci când efectuează un complex de condiții), imposibil(un eveniment care nu poate apărea la efectuarea unui anumit set de condiții) și aleatoriu(Toate celelalte evenimente) eveniment.

Probabilitatea evenimentului se numește o măsură numerică a posibilității obiective a debutului acestui eveniment (P (a), P 1, ...).

Proprietăți Probabilitate:

probabilitatea unui eveniment fiabil este de 1: P (a) \u003d 1;

probabilitatea unui eveniment imposibil este 0: P (B) \u003d 0;

probabilitatea unui eveniment aleator este determinată: 0<Р(С)<1.

Sunt numite două evenimente A și B non-paturi(sau), dacă ofensiva unuia dintre ele elimină debutul celuilalt. Evenimentele sunt numite comun(și) dacă acestea pot apărea simultan într-un singur test.

Evenimentele A 1, și 2, ... și N sunt numite singurul posibilDacă cel puțin unul dintre aceste evenimente are loc ca urmare a testului.

Evenimente A 1, și 2, ... și n formă grupul completevenimente, dacă este posibil, non-proeminent și numai posibil.

Două evenimente care formează un grup complet sunt numite opus.

Sub negare Evenimente înțeleg debutul evenimentului opus: a ,.
2. Frecvența evenimentului relativ. Teorema Bernoulli.

Probabilitățile evenimentelor, experimentele privind reproducerea cărora nu au proprietatea simetriei rezultatelor, sunt determinate de frecvență Acest evenimente sau probabilitatea statistică a acestui eveniment.

Probabilitatea statistică a evenimentului Și se numește raportul dintre numărul de experimente în care evenimentul a ajuns la numărul total de experimente: W (a) \u003d p * (a) \u003d m / n, în cazul în care numărul n-total de experimente, m- Numărul în care a fost evenimentul a avut loc de către A.

Probabilitatea statistică a unui eveniment este doar o evaluare a valorii reale a probabilității acestui eveniment. Utilizarea sa este posibilă atunci când se efectuează traseul. Condiții:

(1) Trebuie să existe posibilitățile de reproducere multiplă a experimentelor asupra apariției evenimentelor A în anumite condiții.

2 Evenimente trebuie să aibă rezistență statistică sau rezistență la frecvențele relative.

3. Numărul experimentelor ar trebui să fie suficient de mare.

Bernoulli Teorem: Cu o creștere a numărului de experimente, adică Cu N → ¥, frecvența relativă a convergentelor evenimentului prin probabilitatela valoarea reală a probabilității acestui eveniment :.

Demnitate Schema de frecvență de determinare a probabilității este o clasă largă de sarcini rezolvate.

Dezavantaje sunt: \u200b\u200bvaloarea aproximativă a probabilității unui eveniment; Costuri morale, materiale și temporare mari pentru această evaluare.
3. Definirea clasică a probabilității unui eveniment. Formule combinate.

Probabilitatea unui eveniment - un experiment, pe care a cărei reproducere poate fi descompus pe rezultatele echilibrului, este egal cu: P (a) \u003d m / n, în cazul în care numărul total de rezultate posibile, numărul de rezultate, evenimentele conduce A.

Pentru a găsi formulele de utilizare a valorii M și N combinatorică.

Dacă elementele combinate pot fi repetate, atunci sunt numite combinații cu repetiții: .

Cazare De la N conform M sunt compuși constând din elemente M și diferă unul de celălalt sau compoziție de elemente sau prin procedura pentru următoarele :.

Dacă elementele pot fi repetate în plasare, acestea sunt numite cazare cu repetare: .

Permutări Din elementele N sunt numite compuși constând din elemente n și diferă unul de celălalt prin ordinea elementelor :.

Definirea geometrică a probabilității unui eveniment.

În cazurile în care rezultatele testului sunt egale cu echilibrul, iar numărul acestora este un set infinit, probabilitatea unor evenimente poate fi definită ca relația dintre regiunea favorabilă la măsura regiunii, adică P (a) \u003d m (g) / n (s).

Ca măsură a zonelor, lungimea segmentului, poate apărea suprafața figurii plane sau volumul corpului.

Întreaga zonă și zona favorabilă G trebuie să fie închisă și măsurabilă.

Luați în considerare o figură plat S, în interiorul căreia apare un punct aleatoriu. Subliniem subdomeniul S 1 și S 2. Evenimentul A - Punctul selectat aleatoriu va fi în interiorul regiunilor umbrite S 1 și S 2. P (a) \u003d (s 1 + s 2) / s.
5. Evenimente comune și incomplete. Probabilitate Teorema de adăugare.

Dacă se poate produce unul dintre evenimente, astfel de evenimente grupul complet evenimente.

Sumă2 Evenimente A și B se numesc un eveniment C, constând în apariția unui eveniment A, fie evenimente în: c \u003d a + c.

Muncă 2 Evenimente A și B se numesc un eveniment C, constând într-o apariție comună a ambelor evenimente A și în: C \u003d A × b.

Sub negare Evenimente și înțelegeți evenimentele opuse acestuia :.

Teorema de adăugare a evenimentelor comune: Probabilitatea sumei a 2 evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea ofensivei lor comune: P (A + B) \u003d P (a) + P (b) -p (a × B).

□ Lăsați numărul total de rezultate posibile, din care M contribuie la evenimentul A, K favorizează evenimentul B, numărul L de rezultate care contribuie la ofensiva comună A și B:

P (a) \u003d m / n, p (c) \u003d k / n, p (a × b) \u003d l / n, a + în → m + k-l.

P (A + C) \u003d (M + KL) / N \u003d M / N + K / N-L / N \u003d P (A + B) \u003d P (a) + P (B) -P (A × B) ■.

Care implică teorema evenimentelor incomplete: Probabilitatea sumei a 2 evenimente inconsistente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P (A + B) \u003d P (a) + P (B).

□ pentru că A și B-Evenimente incomplete, apoi un eveniment × B-imposibil:

P (A + B) \u003d P (a) + P (B) -0 \u003d P (A) + P (B) ■.

Corolar 1.: Suma probabilității de evenimente formate dintr-un grup complet de evenimente \u003d 1: P (A 1, A 2, ..., A N) \u003d 1.

□ pentru că A 1, 2, ... și n formează un grup complet de evenimente, atunci sunt în perechi sunt inconspicuoase și sunt singurele posibile, de atunci și 1 și 2, ... și n -t.

P (A 1, A 2, ..., A N) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A N) \u003d 1 ■.

Corolarul 2.: Probabilitatea sumei evenimentelor opuse \u003d 1: P (A +) \u003d P (A) + P () \u003d 1.
6. Evenimente dependente și independente. Teorema multiplicării probabilității.

Sunt numite două evenimente A și B dependentDacă probabilitatea apariției unuia dintre ele depinde de debutul unui alt eveniment, altfel evenimentul independent (Dacă apariția unuia dintre evenimente nu afectează probabilitatea celuilalt).

Sub probabilitate condiționalăevenimente Înțelegerea probabilității acestui eveniment calculată, cu condiția ca evenimentul să vină: P (A / B), P din (A).

Teorema (dependența evenimentului) Multiplicare: Probabilitatea unui produs de 2 evenimente dependente este egală cu produsul dintre probabilitatea uneia dintre ele pe probabilitatea condiționată a unui alt eveniment: P (A × B) \u003d P (A) × P (IN / A) \u003d P (c) × P (A / C).

□ Lăsați numărul total de rezultate posibile, dintre care M favorizează evenimentul A, K-eveniment în, L-în același timp un eveniment A și B:

P (în / a) \u003d l / m \u003d (L / N) / (m / n) \u003d P (A × B) / P (A) \u003d\u003e P (A × B) \u003d P (A) × P ( În / a).

1 Din rezultatele M pasul 1 / m (eveniment și a venit), din aceste rezultate M contribuind la eveniment la apariția:

P (A / C) \u003d l / k \u003d (L / N) / (K / N) \u003d P (A × B) / P (B) \u003d\u003e P (A × B) \u003d P (C) × P ( A / c) ■.

Pentru N. evenimente dependente Teorema de multiplicare a probabilității ia forma:

P (A 1 × A 2 × ... × A N) \u003d P (A 1) × P (A 2 / A 1) × P (A 3 / A 1 × A 2) × ... × P (A N / a 1 × A 2 × × A -1).

P (a) \u003d P (A / C) \u003d\u003e Evenimente dependente de 1 × in-A, P (A) ≠ P (A / C) \u003d\u003e și 1 × evenimente de încredere.

7. Grupul complet de evenimente. Formula Probabilitate completă:

Set de evenimente H1, H2, ..., HN se numește grup complet în perechi de evenimente incomplete dacă:

Să avem un grup complet de evenimente incompatibile H1, H2, ..., HN, definind opțiunile pentru condițiile în care experiența poate fi efectuată pe reproducerea unui anumit eveniment A. Fiecare ipoteză va corespunde probabilității sale condiționate A: P (A / hi), i \u003d 1, 2, ..., n.

Teorema: Dacă H1, H2, ..., HN este un grup complet în perechi de evenimente incomplete, cu P (hi) 0, i \u003d 1.2, ..., N, atunci pentru orice eveniment și există egalitate:

- Formula Probabilitate completă.

8. Bayes Formula Reevaluarea ipotezelor probabilităților. Valoarea sa practică.

Una dintre cele mai importante consecințe ale formulei de probabilitate complete este formula Bayes.

, i \u003d 1,2, ..., n.

Folosind formula Bayeys, estimăm probabilitatea căreia dintre motivele posibile au fost oferite în realitate ca evenimentul să se întâmple.

Probabilitate pentru - Probabilități. -Aprackero Probabilități. Procesul de rezolvare a problemelor în funcție de formula de probabilitate completă și formula Bayes poate fi trimisă sub forma unui tip de coloană de lemn, pisica are o singură rădăcină și mai multe vârfuri rădăcină conectate prin unitățile M / ACT.

9. Bernoulli și Poisson Formula:

Teorema Bernoulli: În cazul în care probabilitatea P apariția unui eveniment a în fiecare test este constantă, atunci probabilitatea de PM, N din aceasta, atunci evenimentul și va veni M ori în N Teste independente de Bernoulli, este egal cu:

unde q \u003d 1-p.

Formula Bernoulli este aplicată cu M și N relativ mici.

Poisson Teorem: Dacă probabilitatea P a apariției unui eveniment a în fiecare încercare să se străduiască la 0 (P-\u003e 0) cu o creștere nelimitată a numărului N de teste (N-\u003e) /. Și produsul NP este angajat într-un număr constant ( ), probabilitatea ca evenimentul să apară M Times N Teste independente satisface egalitatea maximă.

Definiția clasică a probabilității este eficientă pentru rezolvarea unei game întregi de sarcini, dar pe de altă parte are o serie de restricții. Una dintre aceste limitări este faptul că nu este aplicabilă testarea cu rezultate infinite. Prin urmare, la rezolvarea sarcinilor în care sunt luate în considerare astfel de teste, se aplică o altă abordare în locul formulei, numită definiția geometrică a probabilității. În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de probabilitate geometrică: introducem o definiție, aflați că este similară definiției clasice a probabilității. De asemenea, vom analiza câteva exemple privind diferite măsuri utilizate în definirea probabilității geometrice (lungime, zonă și volum).

2) Minele antitanc sunt puse pe o linie dreaptă după 15 m. Rezervorul de 3 m lățime este perpendicular pe această linie dreaptă. Care este probabilitatea ca el să submineze?

3) Triunghiul se potrivește în circumferință. Care este probabilitatea ca aceasta: 1) dreptunghiulară; 2) un echilibru; 3) Stupid?

1) Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S. al-GEB-RA și MA-TE-THI-SKY ANA LI pentru 11 CI. Studii. Adresa pentru studenți. și cl. cu cărbune. Cercetare. Matematică - M.: Iluminare, 1998.

2) Muravin G.K., Muravina O.V. Algebră și începutul analizei matematice. - M.: Drop.

3) M. I. Shabunin, A. A. Prokofiev, T. A. Oleinik, T. V. Sokolova. Algebră. Începutul analizei matematice. Nivelul profilului: sarcină pentru 10-11 clase. - M.: Binom. Laboratorul de cunoștințe, 2009.

Formula P (a) \u003d m / n pierde semnificația dacă numărul de cazuri de echilibru incomplet este nelimitat (formează un set infinit). Cu toate acestea, uneori, întregul set de cazuri incomplete de echilibru infinit este posibilă pentru a da caracteristice cantitative în unele lungimi de lungime, zonă, volum, timp și așa mai departe și părți ale acestui set, conducând la debutul evenimentului în cauză - caracteristică S B în aceleași măsuri. Apoi probabilitatea unui eveniment A este determinată de relația:

Exemplul nr. 1. Două numere x și y au fost alese din decalaj. Găsiți probabilitatea ca aceste numere să satisfacă inegalitățile x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
Decizie. Testul constă într-o alegere aleatorie a unei perechi de numere x și y. Vom interpreta acest lucru ca la o alegere a punctului pompei m (x; y) dintr-o multitudine de toate punctele din pătrat, partea din care este egală cu două. Luați în considerare figura F, care este un set de toate punctele din Piața, ale căror coordonate satisfac sistemul de inegalități x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Un eveniment important are loc atunci și numai dacă punctul M (x; Y) selectat aparține FIG.

Prin formula (8), probabilitatea dorită este egală cu raportul dintre zona figurii F până la pătratul pătratului:

Exemplul nr. 2. Două au convenit asupra unei întâlniri într-un anumit loc. Fiecare dintre ele vine la locul convenit independent unul de celălalt într-un moment aleatoriu de la și se așteaptă ca nu mai mult de un timp. Care este probabilitatea unei întâlniri în astfel de condiții?

Decizie. Denotă de x ora sosirii primului la locul convenit și prin Y - timpul a doua persoană de acolo. Rezultă din condiția ca X și Y, independent unul de celălalt să conceapă o perioadă de timp. Testul constă în stabilirea momentului sosirii acestor persoane la locul de întâlnire. Apoi, spațiul rezultatelor elementare ale acestui test este interpretat ca un set de toate punctele M (x; y) ale pătratului ω \u003d (x; y): 0 ≤ x ≤ t, 0 ≤ y ≤ t). Evenimentul A - "Întâlnirea a avut loc" apare în cazul în care punctul M (X; Y) selectat se dovedește în figura F, care este un set de toate punctele pătrate ale căror coordonate satisface inegalitatea X - Y | ≤ t. Cu formula (8) probabilitatea dorită
reprezintă raportul dintre zona figurii F până la pătratul pătratului Ω:

Analizând rezultatul obținut în această sarcină, vedem că probabilitatea reuniunii crește cu o creștere. Lăsați, de exemplu, t \u003d 1 oră, t \u003d 20 min, atunci

, Adică mai des decât în \u200b\u200bjumătate de cazuri de întâlnire vor apărea dacă este negociat în mod repetat cu privire la condițiile de mai sus.

Exemplu numărul 3. Două puncte alese pe segmentul L la tăietură.
P (0. -? probabilitatea ca distanța dintre ele să fie mai mică decât k-l

Exemplu numărul 4. În cercul razei r Random rupt punct astfel încât oricare dintre locațiile sale din cerc este echilibru. Găsiți probabilitatea ca ea să fie în interiorul pătratului pătratului cu partea A.
Decizie. Probabilitatea ca punctul să fie în partea laterală a pătratului în cerc dar Acesta va fi egal cu raportul dintre pătratul pătrat în zona cercului.
Zona pătrată: SQV \u003d A 2.
Suprafața cercului: S \u003d πr 2
Apoi probabilitatea va fi: p \u003d sqv / s \u003d a 2 / πr 2

Exemplu numărul 5. Cu decalajul alege la întâmplare două numere reale. Găsiți probabilitatea ca suma lor să fie mai mare de 4, iar lucrarea este mai mică de 4.
Decizie.
Numerele totale 5: 0,1,2,3,4. Probabilitatea aspectului lor p \u003d 1/5 \u003d 0,2
a) probabilitatea ca suma lor să fie mai mare de 4
Doar numărul de astfel de rezultate este de 8:
1 + 4, 2 + 3, 2 + 4, 3 + 4 și 4 + 1, 3 + 2, 4 + 2, 4 + 3
P \u003d 0,2 * 0,2 * 8 \u003d 0,32
b) Lucrarea este mai mică de 4.
Doar numărul acestor rezultate este de 13:
0 * 1, 0 * 2, 0 * 3, 0 * 4, 1 * 1, 1 * 2.1 * 3 și 1 * 0, 2 * 0, 3 * 0, 4 * 0, 2 * 1, 3 * unu
P \u003d 0,2 * 0,2 * 13 \u003d 0,52

Sarcini pentru soluții de sine
4.3. După furtunile de pe site-ul dintre cei 40 și 70 kilometri ai liniei telefonice, a avut loc o defalcare a firului. Care este probabilitatea ca decalajul să aibă loc între 45 și 50 kilometru al liniei? (Probabilitatea de a rupe firele în orice loc este egală cu aceeași).
Răspuns: 1/6.

4.4. În cercul razei r la întâmplare, punctul este aruncat. Găsiți probabilitatea ca acest punct să fie înscris în inscripționat în acest cerc al triunghiului drept.
Răspuns:

4.5. Găsiți probabilitatea ca suma a două numere selectate aleatoriu din intervalul [-1; 1] Mai mult zero, iar munca lor este negativă.
Răspuns: 0; 25.

4.6. În timpul studiilor de luptă, Bombarderii N-Squadron au primit o sarcină pentru a ataca "inamicul" nefistemazei. Pe teritoriul fermei de rezervor având o formă de dreptunghi cu părțile 30 și 50 m, există patru rotunde Teldbak cu un diametru de 10 m fiecare. Găsiți probabilitatea de leziune directă a bomba Teldbakov care a căzut pe teritoriul aprovizionării cu ulei în cazul în care bomba lovită oriunde în această bază este în egală măsură.
Răspuns: π / 15.

4.7. Două numere valide X și Y sunt alese pentru mortar, astfel încât suma pătratelor lor să fie mai mică de 100. Care este probabilitatea ca suma pătratelor acestor numere să fie mai mare de 64?
Răspuns: 0; 36.

4.8. Doi prieteni au fost de acord să se întâlnească între 13 și 14 ore. Primul vine în așteptare pentru a doua oară pentru 20 de minute, după care merge. Determinați probabilitatea întâlnirii prietenilor în cazul în care momentele de sosire la perioada specificată sunt egale.
Răspuns: 5/9.

4.9. Două aburi trebuie să ajungă la același dig. Timpul de sosire al ambelor vapoare este egal în aceste zile. Determinați probabilitatea ca unul dintre vapoare să se aștepte la eliberarea digului dacă timpul primului vapor este de o oră, iar al doilea este de două ore.
Răspuns: ≈ 0; 121.

4.10. Emitența a luat două numere pozitive x și y, fiecare dintre care nu depășește două. Găsiți probabilitatea ca imaginea X · Y să nu fie mai mare de una, dar Y / X privat nu mai mult de două.
Răspuns: ≈ 0; 38.

4.11. În regiunea G, limitată de elipsoid Mintea fixă \u200b\u200bun punct. Care este probabilitatea ca coordonatele (x; y; z) din acest punct să satisfacă inegalitatea x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
Răspuns: 1/3.

4.12. Într-un dreptunghi cu vârfuri R (-2; 0), L (-2; 9), M (4; 9), N (4; 0), punctul este aruncat. Găsiți probabilitatea ca coordonatele săi să satisfacă inegalitățile 0 ≤ y ≤ 2x - x 2 +8.
Răspuns: 2/3.

4.13. Regiunea G este limitată la cercul X2 + Y 2 \u003d 25, iar regiunea G este acest cerc și parabola 16x - 3Y 2\u003e 0. Găsiți șansa de a lovi g.
Răspuns: ≈ 0; 346.

4.14. Mindurile au luat două numere pozitive x și y, fiecare dintre care nu depășește unitatea. Găsiți probabilitatea ca suma x + y să nu depășească unitatea, iar produsul X · Y nu este mai mic de 0,09.
Răspuns: ≈ 0; 198.

Definiția de probabilitate clasică are o limită a utilizării sale. Se presupune că setul de evenimente elementare Ω este, desigur, sau numărați, adică. Ω \u003d ( ω 1 , ω 2 , … , ω n, ...), și toate ω I - Evenimente elementare de echilibru. Cu toate acestea, în practică există teste pentru care multe rezultate elementare sunt infinite. De exemplu, în fabricarea unor detalii despre mașină, trebuie să reziste la o anumită dimensiune. Aici acuratețea de fabricare a părții depinde de abilitatea lucrătorului, de calitatea instrumentului de tăiere, perfecțiunea mașinii etc. Dacă se află sub testul pentru a înțelege fabricarea părții, atunci ca urmare a unui astfel de test, este posibil un set infinit de rezultate, în acest caz obținerea unor părți ale dimensiunii dorite.

Pentru a depăși lipsa determinării de probabilitate clasică, utilizați uneori câteva concepte de geometrie (cu excepția cazului în care, desigur, circumstanțele testului). În toate aceste cazuri, se presupune că se desfășoară (cel puțin teoretic) de orice număr de teste și conceptul oportunitate egala De asemenea, rolul principal este dat.

Lăsați testul cu spațiul evenimentelor, ale căror rezultate elementare sunt reprezentate sub formă de puncte care umple unele regiuni ω (în spațiul tridimensional R. 3). Lăsați evenimentul DARconstă în lovirea punctelor abandonate aleatoriu D. Zone ω. Eveniment DAR evenimente elementare favorabile în care punctul intră într-o anumită subsecțiune D.. Atunci prin probabilitateevenimente DAR Vom înțelege raportul dintre volumul ulterior D. (zona selectată în figura 1.11) la volumul regiunii Ω, R.(DAR) = V.(D.) / V.(Ω).

Smochin.1. 11

Aici, prin analogie cu conceptul de rezultate favorabile, zona D. Vom numi aspectul benefic al unui eveniment. DAR. În mod similar, este determinată probabilitatea unui eveniment DAR,când setul Ω este o zonă pe plan sau segment pe o linie dreaptă. În aceste cazuri, volumul volumului sunt înlocuite de pătrate sau lungimi ale segmentelor.

Astfel, ajungem la o nouă definiție - probabilitate geometrică Pentru testarea cu un set infinit incompatibil de evenimente elementare, care este formulat după cum urmează.

Probabilitatea geometrică a evenimentului A se numește raportul dintre măsurile ulterioare, favorizând apariția acestui eveniment, ca întreaga regiune, adică.

p (a) \u003dmesd. / mES.Ω,

unde mES. - măsurarea regiunilor D. și Ω. , D. Ì Ω.

Probabilitatea geometrică a evenimentului are toate proprietățile inerente definiției de probabilitate clasică. De exemplu, cea de-a patra proprietate va fi ca aceasta: r.(DAR+ ÎN) = r.(DAR) + r.(ÎN).

IV. Teoria probabilității și a matematicii

STATISTICI

Materiale de referință și principii pentru rezolvarea problemelor

Definiția de probabilitate clasică

În cadrul experienței sau experimentului, vom înțelege orice implementare a unui complex de anumite condiții, ca urmare a fenomenului care ne interesează SUA.

Exemplul 1. Experiență σ: Fotografiere țintă. Evenimentul A - Lovirea țintei. Eveniment în Promach.

Exemplul 2.Experienta Σ: Selectarea produselor de la partid gata. Evenimentul A - Produsul este căsătorit. Standard de eveniment în produs.

Un eveniment elementar (sau un rezultat elementar) este numit orice cel mai simplu, care este indivizibil în cadrul acestui experiment, rezultatul experienței. Multe dintre toate rezultatele elementare vor fi numite spațiul evenimentelor elementare și denotă ω. Adică multe rezultate ale experimentelor formează spațiul evenimentelor elementare, dacă:

Ca urmare a experienței, apare în mod necesar unul dintre rezultate;

Apariția unuia dintre rezultatele experienței elimină apariția restului;

Ca parte a acestei experiențe, este imposibil să se împartă rezultatul elementar în componente mai mici.

Înregistrați-o astfel:

Ω \u003d (W 1, W2, ... W N, ...) \u003d (W K, K \u003d 1 ... N, ...).

Exemplul 3. Experiență: Resetarea monedei 1 timp.

Aici Ω \u003d (WG, WC), unde WG este apariția stema, W C este figura cifrei.

Experiență: Moneda este scăpată de 2 ori. În acest caz, spațiul evenimentelor elementare ω \u003d (W g, W g C, W C G, W C).

Experiența este de a determina numărul de apeluri primite pe stația de telefon pentru momentul T. AICI Ω \u003d (0,1.2. ... N, ...).

Orice set de rezultate elementare sau un subset arbitrar A este numit eveniment aleatoriu.

Fie ω spațiul evenimentelor elementare, S este un mic subset de evenimente aleatorii care satisfac următoarele condiții:

Setarea S este închisă în raport cu operațiunile de adăugare, multiplicare și negare.

Evenimentul fiabil și evenimentul imposibil aparține S.

Uneori necesită mai mult: pentru orice succesiune nesfârșită de evenimente

Subsetul S, care satisfac aceste condiții este numit Σ - Algebra. .

Lăsați un set de funcții, care la fiecare eveniment aleatoriu de la S. pune un număr din interval; P: S. → Iar următoarele axiome sunt efectuate:

,

P (E) \u003d 1, P (Ø) \u003d 0,

Pentru orice secvență A 1, ... și n ... Evenimente parțial neasforme A I ÎS,

"Eu, j, I ≠ ј,

.

Funcția P satisface aceste axioms este numită probabilitate, iar valoarea lui P (a) se numește probabilitatea unui eveniment DAR.

Definiție. Obiectele troicii (Ω, S, P)Unde Ω - spațiu de evenimente elementare, S. - Σ-algebra, P - probabilitate numită spațiu probabilist.

Definiția clasică a probabilității este un bun model matematic al acelor fenomene aleatoare, pentru care sfârșitul experimentului, numărul final N și toate rezultatele sunt egale. În definiția clasică a probabilității, se crede:

;

Probabilitatea evenimentelor este egală

Cu alte cuvinte, probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de evenimente elementare incluse în numărul total de evenimente elementare din.

Următoarea formulă a definiției clasice a probabilității este general acceptată: probabilitatea unui eveniment se numește raportul dintre numărul de rezultate de experiență, favorizând apariția unui eveniment, la numărul total de rezultate de echilibru de experiență.

Adică, probabilitatea unui eveniment este definită ca.

Exemplul 4. Care este probabilitatea apariției stemei, cel puțin o dată cu o aruncare dublă a monedei?

Decizie. Spațiul evenimentelor elementare egale din acest experiment constă în următoarele evenimente: Event \u003d (cu o dublă aruncare a monedei, stema va apărea cel puțin o dată) constă din evenimente elementare incomplete . Prin urmare,.

În acest fel, .

Exemplul 5. Care este probabilitatea ca un număr de două cifre aleatoriu să fie împărțit în unsprezece fără un reziduu?

Decizie. Deoarece toate numerele din două cifre 90, numărul de rezultate de echilibru ale acestei experiențe. Din aceste numere 11, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 55, 66, 77, 88, 99. Prin urmare, numărul de rezultate favorizate de eveniment (numărul de două cifre va fi împărțit în unsprezece fără un reziduu). Probabilitatea dorită va fi egală .

Exemplul 6. Care este probabilitatea ca, în septembrie, la întâmplare, anul ales va fi 5 Învierea?

Decizie. În luna septembrie a oricărui an 30 de zile. Numărul de înviere în septembrie depinde de ce zi a săptămânii va fi 1 septembrie. 1 septembrie poate fi în orice zi a săptămânii. Din săptămână este de 7 zile, numărul tuturor rezultatelor posibile. Dacă septembrie începe de luni, marți, miercuri, joi sau vineri, duminica va fi 4. Dacă septembrie va începe de sâmbătă sau duminică, duminica vor fi 50 de evenimente vor fi favorabile (în septembrie, la începutul anului ales , 5 duminici vor fi, prin urmare,. Spunând probabilitatea .

Exemplul 7. Există cinci segmente de lungime 3, 5, 6, 9 și 11 cm. Determinați probabilitatea ca a celor trei numere luate de segmente (ale acestor cinci) să puteți construi un triunghi.

Decizie. Există rezultate de echilibru ale acestei experiențe :,,,,,,,,,,,

Pentru ca trei segmente să construiască un triunghi, este necesar ca un segment mai mare să fie mai mic decât suma celorlalte două segmente. Această condiție satisface următoarele rezultate ,,,, Numărul acestor rezultate. Prin urmare,

.

În cazurile în care bustul direct în toate rezultatele posibile devine voluminos, este recomandabil să utilizați combinatoricii.

Elemente de combinatoare

Să li se adreseze un set constând din elemente. Există două modalități fundamentale diferite de a selecta elemente din set: selectarea elementelor fără a se întoarce și a selecta elemente cu o întoarcere.

Prima modalitate de a alege elementele duce la conceptele de permutări, cazare și combinații fără repetări sau pur și simplu permutări, cazare și combinații; Al doilea este la conceptele de permutări, cazare și combinații cu repetiții.

Permutare Din elementele se numește orice set comandat de aceste elemente. Fiecare permutare conține elemente. Permutațiile diferă între ele numai prin ordinea elementelor. Numărul de permutări diferite din elemente se calculează prin formula

.

Cazare Din elementele software-ului se numește orice set comandat de diferite elemente selectate din totalul agregatelor din elemente. Cazarea diferă una de cealaltă sau de ordinea elementelor sau cel puțin un element.

Numărul de cazare este calculat prin formula .

Combinaţie Din elementele software-ului numit orice set neordonat de diferite elemente selectate din totalul agregatelor din elemente. Combinațiile diferă unul de celălalt cel puțin un element.

Numărul de combinații este calculat prin formula

.

Proprietăți combinate:

Exemplul 8. Să fie mulți Din cele trei elemente. Apoi, toate destinațiile de plasare a celor două elemente ale celor trei sunt după cum urmează: toate rearanjările seturilor sunt: \u200b\u200bși toate combinațiile a două elemente din set:

Cazarea și combinațiile cu repetiții diferă de cazare și combinații fără repetări sunt doar faptul că elementele repetate pot fi prezente în acești compuși.

Numărul de cazare din elementele de repetare se calculează cu formula.

Numărul de combinații din elementele de repetare se calculează prin formula .

Deoarece toate elementele setului sunt implicate în această formă de compuși ca rearanjamente cu repetări, repetarea elementelor ar trebui așezată în elementele setului. Deci, dacă conține elemente de primul tip, elementele de al doilea tip, ..., elemente de tip, numărul de permutări cu repetiții se calculează prin formula .

La rezolvarea sarcinilor combinatoriale, următoarele două reguli pot fi utile:

Regulamentul cantității: dacă obiectul poate fi selectat prin metode, iar obiectul poate fi selectat prin metode, alegerea "fie sau" poate fi efectuată în metode.

Regula de lucru: Dacă obiectul poate fi selectat prin metode și după fiecare dintre aceste alegeri, obiectul, la rândul său, poate fi selectat prin metode, alegerea "și" în ordinea specificată poate fi efectuată în metode.

Exemplul 9. Să fie grupuri de elemente, iar grupul este alcătuit din elemente. Selectați un element din fiecare grup, apoi numărul total de metode care pot fi făcute prin această alegere prin regulă

. (1)

În cazul în care un Puteți presupune că alegerea este făcută din același grup, iar elementul după selectarea este returnată din nou la grup. Atunci.

Exemplul 10. Profesorul oferă fiecăruia dintre cei trei studenți să gândească orice număr de la 1 la 10. Având în vedere că alegerea fiecărui elev al oricărui număr de la cele specificate este egală cu, găsind probabilitatea ca cineva din trei numere intenționate să coincidă.

Decizie. În primul rând, luați în considerare numărul total de rezultate. Primul dintre elevi alege unul dintre cele 10 numere, al doilea și al treilea face același lucru Conform formulei (1), numărul total de metode va calcula în mod egal numărul de rezultate favorabile. Pentru a face acest lucru, vom găsi mai întâi numărul total de combinații de numere intenționate în care nu există coincidențe. Primul student poate alege oricare dintre cele 10 numere, al doilea din oricare dintre numerele 9, iar al treilea elev este oricare dintre celelalte 8 numere. Prin urmare, numărul total de combinații de numere concepute în care nu există coincidențe, conform formulei (1), cazurile rămase (1000 - 720 \u003d 280) se caracterizează prin prezența a cel puțin unei coincidență. Prin urmare, probabilitatea dorită este egală

Exemplul 11. Toate literele alfabetului rus sunt transmise peste legătura în ordine aleatorie. Găsiți șansa ca banda să apară secvența de litere, care începe cuvântul "lume".

Decizie. Alfabetul rus conține 33 de litere. Deoarece toate literele sunt transmise datorită liniei de comunicare, numărul de experiență egală de exod . Din aceste rezultate, apare un aspect favorabil al unui eveniment (apare o serie de litere, care începe cu cuvântul "lume") toate rezultatele în care cuvântul "lume" va sta în primele trei poziții (un rezultat corespunde acestei alegeri) , iar pozițiile rămase vor fi completate în orice mod (numărul acestor opțiuni). Prin regulă, numărul de rezultate favorabile .

Prin urmare,

Exemplul 12. Din urna care conține 3 bile, este nevoie de trei ori o singură minge cu întoarcerea de fiecare dată înapoi. Găsiți șansa ca toate bilele să se miște în mână.

Decizie. Prin intermediul stării de sarcină, bilele sunt returnate în Urn, prin urmare, avem o diagramă de selectare a elementelor cu o întoarcere.

Numărul tuturor rezultatelor posibile ale acestei experiențe este numărul de cazare a trei elemente de trei cu repetiții, adică

.

Eveniment favorabil A.\u003d () Vor fi acele rezultate în care elementele (bile) nu vor fi repetate. Numărul acestor rezultate este numărul de cazare din trei elemente de trei elemente sau numărul de permutări de trei elemente, adică . Deoarece toate rezultatele experienței sunt echilibrul, atunci

.

Exemplul 13. Controlul tehnic de control de la petrecere în 500 părți din 20 părți realizate de o ipotecă. Partidul conține 15 detalii non-standard. Care este probabilitatea ca să existe exact două non-standard printre detalii?

Decizie. Deoarece, în funcție de starea problemei, 20 de părți de 500 sunt extrase de o slabă, atunci toate opțiunile posibile pentru extragerea a 20 de părți de 500 sunt în mod natural considerate egale și pentru a găsi probabilitatea necesară de a utiliza schema clasică (probabilitate clasică determinare).

Ordinea pieselor standard și non-standard în 20 de recuperabile 20 nu redă roluri. Numai numărul de părți standard și non-standard este important. În consecință, numărul tuturor căilor posibile care se pot face este egală, adică.

Event \u003d (printre părțile de testare vor exista exact două non-standard) (prin urmare, restul 18 trebuie să fie standard), va corespunde (regulii lucrării) rezultatelor rezultatelor, adică . În acest fel,

.

Exemplul 14.Numărul de trei cifre este întocmit după cum urmează: Trei oase de joc sunt aruncate: alb, albastru și roșu; Numărul de ochelari care coboară pe osul albă este numărul de sute, numărul de puncte care au scăzut pe osul albastru este numărul de zeci, iar numărul de ochelari aruncat pe osul roșu este numărul de numere de trei cifre. Care este probabilitatea ca numărul astfel obținut să fie mai mare de 456?

Decizie. Numărul tuturor numerelor care pot fi obținute prin metoda specificată, în conformitate cu regula lucrării, va fi egală .

Luați în considerare numărul de rezultate ale experienței, aspectul favorabil al unui eveniment A. Numerele, mari 456, vor fi obținute dacă numărul de sute va fi mai mare de 4, adică 5 sau 6 sau numărul de sute vor fi 4, iar numărul de zeci va fi mai mare de 5, adică numărul de sute de sute să fie egal cu 5 experimente, deoarece numărul de zeci și unități poate schimba arbitrar de la 1 la 6. Același raționament este valabil dacă numărul numărului din sute este egal cu 6. Experții că primele două cifre 45 vor fi 6. Folosind regulile muncii și suma vom găsi numărul de astfel de numere . Deoarece toate rezultatele experienței sunt echilibrul, atunci probabilitatea dorită .

Exemplul 15.Trei posturi de radio au dreptul să lucreze la șase frecvențe diferite. Determinați probabilitatea ca cel puțin două posturi de radio să funcționeze la aceleași frecvențe dacă selecția de frecvență este făcută la întâmplare.

Decizie. Numărul tuturor rezultatelor de experiență a echilibrului este numărul de cazare din șase elemente (frecvențe) de trei cu repetiții, adică . Eveniment favorabil A.\u003d (cel puțin două posturi de radio vor funcționa la aceleași frecvențe) vor fi rezultatele în care vor fi repetate elemente (frecvențe). Numărul acestor rezultate este o cantitate de rezultate în care funcționează două posturi de radio la o singură frecvență - și trei posturi de radio funcționează la o singură frecvență. Numărul de rezultate în care două dintre cele trei posturi de radio pot lucra la una dintre cele șase frecvențe. Numărul de frecvențe diferite este 6. A treia stație de radio poate funcționa pe una dintre cele cinci frecvențe "neocupate". În conformitate cu regulile lucrării . Evident, numărul de rezultate (trei posturi de radio va funcționa la o singură frecvență) egal cu 6.

În acest fel, .

Prin urmare, .

Definirea geometrică a probabilității

Definiția geometrică rezumă definiția clasică a probabilității în cazul în care spațiul evenimentelor elementare este un subset al spațiului.