Rădăcină pătrată. Teorie detaliată cu exemple. Rădăcina de gradul al n-lea și principalele sale proprietăți Cum să aduceți rădăcinile la un grad

Materialul din acest articol ar trebui considerat ca parte a subiectului transformării expresiilor iraționale. Aici vom folosi exemple pentru a analiza toate subtilitățile și nuanțele (dintre care sunt multe) care apar atunci când se efectuează transformări bazate pe proprietățile rădăcinilor.

Navigare în pagină.

Amintiți-vă proprietățile rădăcinilor

De îndată ce ne vom ocupa de transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor, nu strică să le amintim pe cele principale, sau chiar mai bine, să le notăm pe hârtie și să le punem în fața noastră.

Mai întâi, studiem rădăcinile pătrate și următoarele proprietăți ale acestora (a, b, a 1, a 2, ..., a k sunt numere reale):

Și mai târziu se extinde conceptul de rădăcină, se introduce definiția rădăcinii a n-a și se iau în considerare astfel de proprietăți (a, b, a 1, a 2, ..., ak sunt numere reale, m, n, n 1, n 2, ... , nk sunt numere naturale):

Conversia expresiilor cu numere sub semne rădăcină

Ca de obicei, ei învață mai întâi să lucreze cu expresii numerice și abia după aceea trec la expresii cu variabile. Deci vom proceda la fel și mai întâi ne vom ocupa de transformarea expresiilor iraționale care conțin numai expresii numerice sub semnele rădăcinilor, iar deja în paragraful următor vom introduce variabile sub semnele rădăcinilor.

Cum poate fi folosit pentru a transforma expresii? Este foarte simplu: de exemplu, putem înlocui o expresie irațională cu o expresie sau invers. Adică, dacă expresia de convertit conține o expresie care se potrivește cu forma expresiei din partea stângă (dreapta) a oricăreia dintre proprietățile enumerate ale rădăcinilor, atunci poate fi înlocuită cu expresia corespunzătoare din dreapta (stânga). ) latură. Aceasta este transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor.

Iată mai multe exemple.

Să simplificăm expresia ... Numerele 3, 5 și 7 sunt pozitive, așa că putem aplica în siguranță proprietățile rădăcinilor. Aici puteți acționa în moduri diferite. De exemplu, o rădăcină bazată pe o proprietate poate fi reprezentată ca și o rădăcină folosind o proprietate cu k = 3 - cum, cu această abordare, soluția va arăta astfel:

S-ar fi putut acționa diferit, înlocuind cu și mai departe cu, în acest caz, soluția ar arăta astfel:

Alte soluții sunt posibile, de exemplu, aceasta:

Să ne uităm la soluția unui alt exemplu. Să transformăm expresia. După ce ne uităm la lista de proprietăți ale rădăcinilor, selectăm din aceasta proprietățile de care avem nevoie pentru a rezolva exemplul, este clar că două dintre ele sunt utile aici și care sunt valabile pentru orice a. Avem:

Alternativ, la început a fost posibilă convertirea expresiilor sub semnele rădăcinilor folosind

iar apoi aplicați proprietățile rădăcinilor

Până în acest moment, am transformat expresii care conțin doar rădăcini pătrate. Este timpul să lucrăm cu rădăcini care au indicatori diferiți.

Exemplu.

Convertiți o expresie irațională .

Soluţie.

După proprietate primul factor al produsului dat poate fi înlocuit cu numărul −2:

Mergi mai departe. În virtutea proprietății, al doilea factor poate fi reprezentat ca și nu strică să înlocuiești 81 cu o putere cvadruplă a unui triplu, deoarece în factorii rămași sub semnele rădăcinilor, apare numărul 3:

Este oportun să înlocuiți rădăcina fracției cu relația dintre rădăcinile formei, care poate fi transformată în continuare: ... Avem

Expresia rezultată după efectuarea acțiunilor cu doi va lua forma și rămâne să transformăm produsul rădăcinilor.

Pentru a transforma produsele rădăcinilor, acestea sunt de obicei reduse la un singur indicator, pentru care este recomandabil să luați indicatori pentru toate rădăcinile. În cazul nostru, LCM (12, 6, 12) = 12 și doar rădăcina va trebui redusă la acest indicator, deoarece celelalte două rădăcini au deja un astfel de indicator. Pentru a face față acestei sarcini permite egalitatea, care se aplică de la dreapta la stânga. Asa de ... Ținând cont de acest rezultat, avem

Acum produsul rădăcinilor poate fi înlocuit cu rădăcina produsului, iar restul, deja evident, pot fi efectuate transformări:

Să elaborăm o scurtă soluție:

Răspuns:

.

Separat, subliniem că pentru a aplica proprietățile rădăcinilor este necesar să se țină seama de restricțiile impuse numerelor sub semnele rădăcinilor (a≥0 etc.). Ignorarea acestora poate provoca rezultate incorecte. De exemplu, știm că proprietatea este valabilă pentru a nenegativ. Pe baza acestuia, putem merge în siguranță, de exemplu, de la la, deoarece 8 este un număr pozitiv. Dar dacă luăm o rădăcină semnificativă a unui număr negativ, de exemplu, și, pe baza proprietății de mai sus, o înlocuim cu, atunci înlocuim de fapt −2 cu 2. Într-adevăr, a. Adică, pentru negativul a, egalitatea poate fi incorectă, la fel cum alte proprietăți ale rădăcinilor pot fi incorecte fără a ține cont de condițiile specificate pentru ele.

Dar ceea ce s-a spus în paragraful anterior nu înseamnă deloc că expresiile cu numere negative sub semnele rădăcinilor nu pot fi transformate folosind proprietățile rădăcinilor. Trebuie doar să fie „pregătiți” mai întâi prin aplicarea regulilor acțiunilor cu numere sau folosind definiția unei rădăcini impare a unui număr negativ, care corespunde egalității, unde −a este un număr negativ (cu a fi pozitiv). De exemplu, nu puteți înlocui imediat cu, deoarece −2 și −3 sunt numere negative, dar ne permite să mergem de la rădăcină la și apoi să aplicăm proprietatea rădăcinii din produs: ... Și într-unul dintre exemplele anterioare, nu a fost necesar să trecem de la rădăcină la rădăcină a gradului al XVIII-lea. Așadar .

Deci, pentru a transforma expresii folosind proprietățile rădăcinilor, aveți nevoie

• selectați o proprietate potrivită din listă,
• asigurați-vă că numerele de sub rădăcină îndeplinesc condițiile pentru proprietatea selectată (în caz contrar, trebuie să efectuați conversii preliminare),
• și să efectueze transformarea intenționată.

Conversia expresiilor cu variabile sub semne rădăcină

Pentru a transforma expresii iraționale care conțin nu numai numere, ci și variabile sub semnul rădăcinii, proprietățile rădăcinilor enumerate în primul paragraf al acestui articol trebuie aplicate cu atenție. Acest lucru se datorează în principal condițiilor pe care trebuie să le îndeplinească numerele care participă la formule. De exemplu, pe baza formulei, expresia poate fi înlocuită cu o expresie numai pentru acele valori ale lui x care îndeplinesc condițiile x≥0 și x + 1≥0, deoarece formula specificată este specificată pentru a≥0 și b ≥0.

De ce este periculos să ignorăm aceste condiții? Următorul exemplu ilustrează răspunsul la această întrebare. Să presupunem că trebuie să calculăm valoarea unei expresii la x = −2. Dacă înlocuim imediat numărul −2 în loc de variabila x, atunci obținem valoarea de care avem nevoie ... Acum să ne imaginăm că, din anumite motive, am convertit expresia dată în formă și abia după aceea am decis să calculăm valoarea. Înlocuiți −2 cu x și ajungeți la expresia ceea ce nu are sens.

Să vedem ce se întâmplă cu intervalul de valori valide (ADV) ale variabilei x pe măsură ce trecem de la o expresie la alta. Nu am menționat ODZ întâmplător, deoarece este un instrument serios de control al admisibilității transformărilor efectuate, iar schimbarea ODZ după transformarea expresiei ar trebui cel puțin să alerteze. Nu este greu de găsit ODZ pentru expresiile specificate. Pentru exprimarea ODV este determinată din inegalitatea x · (x + 1) ≥0, soluția acesteia dă mulțimea numerică (−∞, −1] ∪∪∪

Nu se impun restricții suplimentare asupra numerelor din dreapta sau din stânga: dacă există factori-rădăcini, atunci există și produsul.

Exemple. Să ne uităm la patru exemple cu numere simultan:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27) )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

După cum puteți vedea, scopul principal al acestei reguli este simplificarea expresiilor iraționale. Și dacă în primul exemplu noi înșine am fi extras rădăcinile din 25 și 4 fără alte reguli noi, atunci staniul începe mai departe: $ \ sqrt (32) $ și $ \ sqrt (2) $ înșiși nu sunt numărați, dar produsul lor se dovedește a fi un pătrat exact, deci rădăcina acestuia este egală cu numărul rațional.

Aș dori să notez și ultima linie. Acolo, ambele expresii radicale sunt fracții. Datorită produsului, mulți factori sunt anulați, iar întreaga expresie se transformă într-un număr adecvat.

Desigur, nu întotdeauna totul va fi atât de frumos. Uneori va exista o mizerie completă sub rădăcini - nu este clar ce să faci cu ea și cum să se transforme după înmulțire. Puțin mai târziu, când începeți să studiați ecuațiile și inegalitățile iraționale, vor exista în general tot felul de variabile și funcții. Și foarte des, compilatorii de sarcini se așteaptă doar să găsiți niște termeni sau factori de anulare, după care sarcina va fi mult simplificată.

În plus, nu este deloc necesar să înmulțim exact două rădăcini. Puteți înmulți trei deodată, patru - dar cel puțin zece! Acest lucru nu va schimba regula. Aruncă o privire:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0,001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0,001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

Și din nou, un mic comentariu la al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea factor de sub rădăcină există o fracție zecimală - în procesul de calcule o înlocuim cu cea obișnuită, după care totul este ușor anulat. Deci: vă recomand cu căldură să scăpați de fracțiile zecimale din orice expresii iraționale (adică care conțin cel puțin un semn radical). Acest lucru vă va economisi mult timp și bătăi de cap în viitor.

Dar aceasta a fost o digresiune lirică. Acum să luăm în considerare un caz mai general - când exponentul rădăcinii conține un număr arbitrar $ n $, și nu doar cei doi „clasici”.

Cazul exponent arbitrar

Deci, ne-am dat seama de rădăcinile pătrate. Și ce să faci cu cele cubice? Sau, în general, cu rădăcini de grad arbitrar $ n $? Da, totul este la fel. Regula rămâne aceeași:

Pentru a înmulți două rădăcini de grad $ n $, este suficient să înmulțiți expresiile lor radicale și apoi să scrieți rezultatul sub un radical.

In general, nimic complicat. Cu excepția faptului că cantitatea de calcul se poate dovedi a fi mai mare. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemple. Calculați produsele:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0,16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )) )) = \ sqrt (((\ stânga (\ frac (4) (25) \ dreapta)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

Și din nou, atenție la a doua expresie. Înmulțim rădăcinile cubice, scăpăm de fracția zecimală și, ca rezultat, obținem produsul numerelor 625 și 25 la numitor. Acesta este un număr destul de mare - eu personal nu voi calcula cu ce este egal. .

Prin urmare, am selectat pur și simplu cubul exact în numărător și numitor și apoi am folosit una dintre proprietățile cheie (sau, dacă preferați, definiția) ale rădăcinii $ n $ --a:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ stânga | a \ dreapta |. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

Astfel de „prelucrari” vă pot economisi mult timp la examen sau munca de testare asa ca tine minte:

Nu vă grăbiți să înmulțiți numerele din expresia radicală. În primul rând, verificați: ce se întâmplă dacă gradul exact al unei expresii este „criptat” acolo?

Cu toată evidența acestei remarci, trebuie să recunosc că majoritatea studenților nepregătiți nu văd gradele exacte la o distanță directă. În schimb, înmulțesc totul până la capăt și apoi se întreabă: de ce au primit numere atât de brutale? :)

Totuși, toate acestea sunt copilărești în comparație cu ceea ce vom studia acum.

Înmulțirea rădăcinilor cu diferiți indicatori

Bine, acum suntem capabili să înmulțim rădăcini cu aceiași indicatori. Ce se întâmplă dacă indicatorii sunt diferiți? Spuneți cum să înmulțiți obișnuitul $ \ sqrt (2) $ cu niște prostii ca $ \ sqrt (23) $? Este posibil să faci asta deloc?

Da, sigur că poți. Totul se face după această formulă:

Regula înmulțirii rădăcinilor. Pentru a înmulți $ \ sqrt [n] (a) $ cu $ \ sqrt [p] (b) $, trebuie doar să efectuați următoarea transformare:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Cu toate acestea, această formulă funcționează numai dacă expresiile radicale sunt nenegative... Acesta este un punct foarte important asupra căruia vom reveni puțin mai târziu.

Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81) \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum să ne dăm seama de unde provine cerința de nonnegativitate și ce se întâmplă dacă o încălcăm. :)

De ce ar trebui expresiile radicale să fie nenegative?

Desigur, cineva poate deveni ca profesori de școalăși să citez inteligent tutorialul:

Cerința de non-negativitate este asociată cu diferite definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (respectiv, domeniile lor de definiție sunt și ele diferite).

Ei bine, a devenit mai clar? Personal, când citeam această prostie în clasa a VIII-a, mi-am dat seama de așa ceva: „Cerința de non-negativitate este legată de * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%” - pe scurt, nu am nu inteleg rahat de data aia. :)

Așa că acum voi explica totul într-un mod normal.

Mai întâi, să aflăm de unde provine formula de înmulțire dată mai sus. Pentru a face acest lucru, permiteți-mi să vă reamintesc o proprietate importantă a rădăcinii:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Cu alte cuvinte, putem ridica în siguranță expresia radicală la orice putere naturală de $ k $ - în acest caz, exponentul rădăcinii va trebui să fie înmulțit cu aceeași putere. Prin urmare, putem reduce cu ușurință orice rădăcină la un indicator comun și apoi să ne înmulțim. Prin urmare, formula de înmulțire este luată:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Dar există o problemă care limitează sever aplicarea tuturor acestor formule. Luați în considerare acest număr:

Conform formulei tocmai oferite, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugăm $ k = 2 $:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ stânga (-5 \ dreapta)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

Am eliminat minusul doar pentru că pătratul arde minusul (ca orice altă putere uniformă). Și acum vom efectua transformarea inversă: le vom „reduce” pe cele două în exponent și grad. La urma urmei, orice egalitate poate fi citită atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Săgeată la dreapta \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (A); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Săgeată la dreapta \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

Dar apoi se dovedește un fel de prostie:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

Acest lucru nu poate fi, deoarece $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ și $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Aceasta înseamnă că pentru puteri par și numere negative, formula noastră nu mai funcționează. Atunci avem două opțiuni:

1. Loviți-vă de perete pentru a afirma că matematica este o știință stupidă, unde „există niște reguli, dar acest lucru este inexact”;
2. Introduceți restricții suplimentare în baza cărora formula va deveni 100% funcțională.

În prima opțiune, va trebui să prindem în mod constant cazuri „nefuncționale” - este dificil, lung și în general fu. Prin urmare, matematicienii au preferat a doua opțiune. :)

Dar nu-ți face griji! În practică, această limitare nu afectează în niciun fel calculele, deoarece toate problemele descrise se referă doar la rădăcini de grad impar, iar din ele puteți scoate minusurile.

Prin urmare, vom formula o altă regulă care se aplică în general tuturor acțiunilor cu rădăcini:

Faceți ca expresiile radicale să nu fie negative înainte de a înmulți rădăcinile.

Exemplu. În numărul $ \ sqrt (-5) $, puteți scoate minusul de sub semnul rădăcinii - atunci totul va fi bine:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Săgeată la dreapta \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]

Simți diferența? Dacă lăsați minusul sub rădăcină, atunci când expresia radicală este pătrată, dispare și începe prostiile. Și dacă mai întâi scoateți minusul, atunci puteți ridica / elimina pătratul chiar înainte de a deveni albastru - numărul va rămâne negativ. :)

Astfel, cea mai corectă și mai fiabilă modalitate de a înmulți rădăcinile este următoarea:

1. Eliminați toate minusurile de sub radicali. Există doar dezavantaje în rădăcinile de multiplicitate impară - pot fi plasate în fața rădăcinii și, dacă este necesar, scurtate (de exemplu, dacă există două dintre aceste dezavantaje).
2. Efectuați înmulțirea conform regulilor discutate mai sus în lecția de astăzi. Dacă indicii rădăcinilor sunt aceiași, pur și simplu înmulțim expresiile radicale. Și dacă sunt diferite, folosim formula rea ​​\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n) )) \].
3. 3. Ne bucurăm de rezultat și de notele bune. :)

Bine? Sa exersam?

Exemplul 1. Simplificați expresia:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ stânga (- \ sqrt (\ frac (4) (3) )) \ dreapta) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ sqrt (64) = - 4; \ end (aliniere) \]

Aceasta este cea mai simplă opțiune: indicii rădăcinilor sunt aceiași și impari, problema este doar în minusul celui de-al doilea factor. Scoatem acest minus nafig, după care totul este ușor de luat în considerare.

Exemplul 2. Simplificați expresia:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ stânga (((2) ^ (5)) \ dreapta)) ^ (3)) \ cdot ((\ stânga (((2) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( aliniază) \]

Aici, mulți ar fi confuzi de faptul că rezultatul a fost un număr irațional. Da, se întâmplă: nu am reușit să scăpăm complet de rădăcină, dar cel puțin am simplificat expresia semnificativ.

Exemplul 3. Simplificați expresia:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left ((() a) ^ (4)) \ dreapta)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

Aș dori să vă atrag atenția asupra acestei sarcini. Sunt două puncte deodată:

1. Rădăcina nu este un anumit număr sau grad, ci variabila $ a $. La prima vedere, acest lucru este puțin neobișnuit, dar în realitate, atunci când rezolvați probleme matematice, cel mai adesea trebuie să vă ocupați de variabile.
2. În final, am reușit să „reducem” exponentul rădăcină și gradul în expresia radicală. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și asta înseamnă că a fost posibil să simplificați semnificativ calculele dacă nu ați folosit formula de bază.

De exemplu, puteți face acest lucru:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a)) ^ ( 4)) \ dreapta)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ sfârşitul (alinierea) \]

De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu descrieți în detaliu toți pașii intermediari, atunci în cele din urmă cantitatea de calcule va scădea semnificativ.

De fapt, am întâlnit deja o sarcină similară mai sus când am rezolvat exemplul $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Acum poate fi descris într-un mod mult mai simplu:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ stânga (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ dreapta)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ stânga (75 \ dreapta)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ end (aliniere) \]

Ei bine, ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor. Acum să luăm în considerare operația inversă: ce să faceți când produsul este sub rădăcină?

M-am uitat din nou la semn... Și să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:

Am înțeles? Iată următorul pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu contează - iată câteva exemple:

Dar dacă factorii nu sunt doi, ci mai mulți? La fel! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet pe cont propriu:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Împărțirea rădăcinilor

Ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula generală arată astfel:

Aceasta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, hai să ne dăm seama cu exemple:

Asta e toată știința. Iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Dar dacă apare o expresie ca aceasta:

Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:

Și iată un exemplu:

Puteți întâlni și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, priviți subiectul și reveniți!). Amintit? Acum decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, cu totul, acum hai să încercăm să construim rădăcini în grad.

Exponentiatie

Dar ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, să ne amintim semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă ridicăm un număr, a cărui rădăcină pătrată este egală, cu pătratul, atunci ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

E simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria despre subiectul „” și totul vă va deveni foarte clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Cu aceasta, totul pare să fie clar, dar cum să extragi rădăcina unui număr la o putere? De exemplu, acesta este:

Destul de simplu, nu? Și dacă gradul este mai mult de două? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradului:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvați singur exemplele:

Și iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcină

Ce nu am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersăm introducerea numărului sub semnul rădăcinii!

Este ușor!

Să presupunem că am notat numărul

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde cele trei sub rădăcină, amintindu-ți că trei este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, asa este! Numai trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Rezolvați singur acest exemplu -
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la unul la fel de important - să ne uităm la cum să comparăm numerele care conțin rădăcina pătrată!

Comparația rădăcinilor

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (ți amintești ce este? Tu și cu mine am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe o linie de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare o problemă: nu există un calculator la examen și, fără el, cum să ne imaginăm ce număr este mai mare și care este mai mic? Doar atât!

De exemplu, definiți care este mai mare: sau?

Nu poți da seama imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?

Apoi merge mai departe:

Și, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. daca atunci,.

De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de asta, am introdus factorul sub semnul rădăcină, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți ce vi se potrivește cel mai bine.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați sarcini non-standard precum aceasta:

Nu ne este frică, dar acționăm! Să descompunăm fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu te opri la jumătatea drumului!

Asta e tot, nu atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, asa e!

Acum încearcă să rezolvi acest exemplu:

Și un exemplu este o nucă greu de spart, așa că pur și simplu nu vă puteți da seama cum să o abordați. Dar, bineînțeles, putem reuși.

Ei bine, să începem factorizarea? Rețineți imediat că puteți împărți un număr la (rețineți criteriile de divizibilitate):

Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, ce sa întâmplat? Bravo, asa e!

Să rezumam

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu.
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile rădăcinii aritmetice:
4. La comparare rădăcini pătrate trebuie amintit că cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examenul de rădăcină pătrată.

Acum e rândul tău. Scrie-ne dacă este un subiect dificil pentru tine sau nu.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja clar.

Scrieți în comentarii și mult succes la examene!