Proprietăți de diviziune a fracțiilor. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Împărțirea fracțiilor cu număr natural

) și numitorul de către numitor (obținem numitorul produsului).

Formula pentru multiplicarea fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe să înmulțiți numeratorii și numitorii, trebuie să verificați posibilitatea reducerii fracției. Dacă puteți reduce fracția, atunci vă va fi mai ușor să faceți alte calcule.

Împărțirea unei fracții obișnuite într-o fracție.

Împărțirea fracțiilor cu participarea unui număr natural.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertiți un număr întreg într-o fracție cu una în numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Regulile pentru multiplicarea fracțiilor (mixte):

• convertirea fracțiilor mixte în neregulate;
• înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor;
• reducem fracția;
• dacă ați obținut o fracție incorectă, atunci convertiți fracția incorectă într-una mixtă.

Notă! A inmulti împușcat mixt cu o altă fracție mixtă, trebuie, mai întâi, să le aduceți sub forma unor fracții necorespunzătoare, apoi să vă înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a multiplica o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să se utilizeze a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției cu acest număr și să lăsați numeratorul neschimbat.

Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul fracției este împărțit fără rest cu un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, se găsesc adesea fracțiuni cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:

Notă!În împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Aveți grijă, este ușor să vă confundați aici.

Notă, de exemplu:

Când se împarte una la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, numai inversată:

Sfaturi practice pentru multiplicarea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționate este acuratețea și grija. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrieți câteva rânduri suplimentare în schiță decât să vă confundați cu calculele din cap.

2. În sarcini cu tipuri diferite fracțiuni - mergeți la forma fracțiilor obișnuite.

3. Reduceți toate fracțiile până devine imposibil de redus.

4. Expresiile fracționate cu mai multe etaje sunt convertite în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți unitatea într-o fracție mental, prin simpla răsucire a fracției.

1. Pentru a împărți o fracție cu a doua, trebuie să înmulțiți dividendul cu numărul, care este invers cu divizorul.

Pentru fracțiile corecte și necorespunzătoare, regula divizării este următoarea:

A împărtăși fracție comună, numeratorul dividendului trebuie înmulțit cu numitorul divizorului, iar numitorul dividendului trebuie înmulțit cu numărătorul divizorului. Luăm primul produs ca numărător, iar al doilea ca numitor.

Împărțirea unei fracții într-o fracție.

Pentru a împărți o fracție ordinară cu 1 godeu la a doua, care nu este egală cu zero, trebuie:

• înmulțiți numeratorul primei fracții cu numitorul celei de-a 2-a fracții și scrieți produsul în numeratorul fracției rezultate;
• numitorul fracției 1, înmulțiți cu numeratorul fracției a 2-a și scrieți produsul în numitorul fracției rezultate.

Cu alte cuvinte, divizarea fracțiilor merge la multiplicare.

Pentru a împărți 1 fracție cu a doua, trebuie să înmulțiți dividendul (1 fracție) cu reciprocul divizorului.

Împărțirea unei fracții la un număr.

Schematic, împărțirea unei fracții la un număr natural arată astfel:

Pentru a împărți o fracție la un număr natural, utilizați următoarea metodă:

Exprimăm un număr natural ca o fracție necorespunzătoare cu numărătorul, care este egal cu numărul în sine și numitorul egal cu 1-tse.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Există și alte
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte ...”
Și pentru cei care „foarte mult ...”)

Această operațiune este mult mai plăcută decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numeratorii (acesta va fi numeratorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Acesta este:

De exemplu:

Totul este extrem de simplu... Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu am nevoie de el aici ...

Pentru a împărți o fracție într-o fracție, trebuie să răsturnați al doilea(aceasta este importantă!) fracțiune și înmulțiți-le, adică:

De exemplu:

Dacă întâlnești înmulțirea sau împărțirea cu numere întregi și fracții - este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracțiune cu unul în numitor dintr-un număr întreg - și plecăm! De exemplu:

În liceu, trebuie să vă confruntați adesea cu fracțiuni cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum se aduce această fracțiune la aspect decent? E foarte simplu! Utilizați împărțirea în două puncte:

Dar nu uitați ordinea divizării! Spre deosebire de multiplicare, aici este foarte important! Desigur, 4: 2 sau 2: 4, nu vom confunda. Dar într-o fracțiune cu trei etaje este ușor să greșești. Rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresia din stânga):

În al doilea (expresia din dreapta):

Simți diferența? 4 și 1/9!

Și ce determină ordinea divizării? Sau paranteze sau (ca aici) lungimea barelor orizontale. Dezvoltați un ochi. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțim-înmulțim în ordine, de la stânga la dreapta!

Și încă un truc foarte simplu și important. În acțiunile cu grade, oh, cât de util îți va fi! Împărțiți unitatea cu orice fracțiune, de exemplu, cu 13/15:

Fracțiunea sa transformat! Și întotdeauna. Când se împarte 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, numai inversată.

Asta este tot pentru fracțiuni. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Notă sfaturi practice, și vor fi mai puține (erori)!

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționate este acuratețea și grija! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu urări de bine! Aceasta este o necesitate cumplită! Faceți toate calculele la examen ca o sarcină deplină, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrieți două rânduri suplimentare într-o schiță decât să le încurcați atunci când calculați în cap.

2. În exemple cu diferite tipuri de fracții - mergeți la fracțiile obișnuite.

3. Toate fracțiile sunt reduse pentru a opri.

4. Expresiile fracționate cu mai multe etaje sunt reduse la cele obișnuite, folosind împărțirea prin două puncte (urmăriți ordinea divizării!).

5. Împărțiți unitatea într-o fracție mental, prin simpla răsucire a fracției.

Iată sarcinile pe care trebuie să le rezolvați cu siguranță. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Luați în considerare câte exemple ați putut rezolva corect. Prima dată! Fără calculator! Și faceți concluziile corecte ...

Nu uitați - răspunsul corect este primit de la al doilea (cu atât mai mult - al treilea) timp - nu contează! Aceasta este o viață dură.

Asa de, rezolvăm în modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examen. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la primul la ultimul. Doar daca după uită-te la răspunsuri.

Calculati:

Ai rezolvat-o?

Căutăm răspunsuri care să se potrivească cu ale tale. Le-am notat în mod deliberat într-o mizerie, departe de tentație, ca să zic așa ... Iată-le, răspunsurile, separate prin punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Și acum tragem concluzii. Dacă totul a funcționat, mă bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracțiuni nu sunt problema ta! Puteți face lucruri mai serioase. Dacă nu...

Deci aveți una dintre cele două probleme. Sau ambele simultan.) Lipsa cunoștințelor și / sau neatenția. Dar asta rezolvabil Probleme.

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru dvs.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățare - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Adăugarea de fracții cu același numitor

Există două tipuri de adăugare de fracții:

1. Adăugarea de fracții cu aceiași numitori;
2. Adăugarea de fracții cu diferiți numitori.

În primul rând, învățați să adăugați fracții cu același numitor. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, adăugați numeratorii lor și lăsați numitorul neschimbat.

De exemplu, să lucrăm cu fracțiile și. Adăugați numeratorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți pizza:

Exemplul 2. Adăugați fracții și.

Răspunsul este o fracțiune incorectă. Dacă vine sfârșitul problemei, atunci este obișnuit să scăpați de fracțiile incorecte. Pentru a scăpa de fracțiunea incorectă, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, întreaga parte se distinge ușor - două împărțite în două vor fi una:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în două părți. Dacă adăugați pizza la pizza, veți obține o pizza întreagă:

Exemplul 3... Adăugați fracții și.

Din nou, adăugați numeratorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți pizza:

Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat în același mod ca și cele precedente. Numeratorii trebuie adăugați și numitorul trebuie lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la pizza și adăugați pizza la pizza, primiți 1 pizza întreagă și mai multă.

După cum puteți vedea, nu este nimic dificil în adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să le adăugați numeratorii și să lăsați numitorul neschimbat;

Adăugarea de fracții cu diferiți numitori

Acum să învățăm cum să adăugăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții ar trebui să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile și pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au diferiți numitori... În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a aduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea dificile pentru un începător.

Esența acestei metode este că mai întâi (LCM) este căutat pentru numitorii ambelor fracții. Atunci LCM este împărțit la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Faceți același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.

Apoi, numeratorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile cu numitori diferiți sunt transformate în fracții cu aceiași numitori. Și știm deja cum să adăugăm astfel de fracții.

Exemplul 1... Adăugați fracțiile și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum ne întoarcem la fracțiuni și. În primul rând, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împarte 6 la 3, obținem 2.

Numărul 2 rezultat este primul factor suplimentar. Îl scriem la prima fracțiune. Pentru a face acest lucru, faceți o mică linie oblică deasupra fracției și scrieți factorul suplimentar găsit deasupra ei:

La fel facem cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împarte 6 la 2, obținem 3.

Numărul 3 rezultat este al doilea factor suplimentar. Îl notăm la a doua fracție. Din nou, trasăm o mică linie oblică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să multiplicați numeratorii și numitorii fracțiilor cu factorii dvs. suplimentari:

Uită-te atent la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori. Și știm deja cum să adăugăm astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu până la capăt:

Astfel, exemplul se termină. Se pare că adaugă.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți o pizza întreagă și încă o a șasea pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și cu ajutorul unei imagini. Reducând fracțiile și la un numitor comun, avem fracții și. Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență este că de data aceasta vor fi împărțite în acțiuni egale (reduse la același numitor).

Prima imagine ilustrează o fracție (patru din șase piese), iar a doua imagine înfățișează o fracție (trei din șase piese). Punând aceste bucăți împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracțiune este incorectă, așa că am selectat întreaga parte din ea. Drept urmare, am obținut (o pizza întreagă și încă o a șasea pizza).

Rețineți că am descris acest exemplu în prea multe detalii. V institutii de invatamant nu se obișnuiește să scrii atât de extensiv. Trebuie să puteți găsi rapid MCM atât al numitorilor, cât și al factorilor suplimentari pentru aceștia, precum și să multiplicați rapid factorii suplimentari găsiți cu numeratorii și numitorii dvs. În timpul școlii, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și un dezavantaj al monedei. Dacă la primele etape ale studierii matematicii nu faceți note detaliate, atunci întrebări de acest gen încep să apară „De unde este acea cifră?” „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu diferiți numitori, puteți utiliza următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Găsiți LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împarte LCM la numitorul fiecărei fracții și obține un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor cu factorii dvs. suplimentari;
4. Adăugați fracții care au același numitor;
5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Găsiți MCM al numitorilor fracțiilor

Găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4.

Pasul 2. Împarte LCM la numitorul fiecărei fracții și obține un factor suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împarte 12 la 2, obținem 6. Primim primul factor suplimentar 6. Îl scriem peste prima fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împarte 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împarte 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:

Pasul 3. Înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor cu factorii dvs. suplimentari

Înmulțim numeratorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:

Pasul 4. Adăugați fracții cu același numitor

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori (comuni). Rămâne să adăugați aceste fracții. Adaugam:

Adăugarea nu se potrivea pe o linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis în matematică. Când o expresie nu se potrivește pe o linie, este transferată pe linia următoare și este necesar să puneți un semn egal (=) la sfârșitul primei linii și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, atunci selectați întreaga parte din el

Am primit o fracțiune greșită în răspunsul nostru. Trebuie să selectăm întreaga parte din ea. Pune in evidenta:

Am primit un răspuns

Scăderea fracțiilor cu același numitor

Există două tipuri de scădere a fracțiilor:

1. Scăderea fracțiilor cu același numitor
2. Scăderea fracțiilor cu diferiți numitori

În primul rând, să studiem scăderea fracțiilor cu același numitor.

Pentru a scădea alta dintr-o fracție, trebuie să scăpați numeratorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat.

De exemplu, să găsim valoarea unei expresii. Pentru a rezolva acest exemplu, scădeți numeratorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat. Deci hai sa o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza din pizza, primiți pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, scade numeratorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lasă numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza din pizza, primiți pizza:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat în același mod ca și cele precedente. Din numeratorul primei fracții, trebuie să scădem numeratorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic dificil în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegem următoarele reguli:

1. Pentru a scădea alta dintr-o fracție, trebuie să scăpați numeratorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.

Scăderea fracțiilor cu diferiți numitori

De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au același numitor. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește în conformitate cu același principiu pe care l-am folosit atunci când adăugăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Atunci LCM este împărțit la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care este scris peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris peste a doua fracție.

Apoi fracțiile se înmulțesc cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor operații, fracțiile cu numitori diferiți sunt transformate în fracții cu aceiași numitori. Știm deja să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1. Găsiți valoarea unei expresii:

Aceste fracții au numitori diferiți, deci trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum înapoi la fracțiuni și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împarte 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:

La fel facem cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împarte 12 la 4, obținem 3. Scrieți cele trei peste a doua fracție:

Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să multiplicați fracțiile cu factorii dvs. suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori. Știm deja să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu până la capăt:

Am primit un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza din pizza, primiți pizza

Aceasta este o versiune detaliată a soluției. În școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi reprezentată, de asemenea, folosind figura. Aducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracții și. Aceste fracțiuni vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):

Primul desen ilustrează o fracțiune (opt din douăsprezece piese), iar al doilea desen reprezintă o fracțiune (trei din douăsprezece piese). Decupând trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracționează și descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, deci mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

Găsiți LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împarte 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împarte LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împarte 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împarte LCM la numitorul fracției a treia. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împarte 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:

Acum totul este pregătit pentru scădere. Rămâne să multiplicați fracțiile cu factorii dvs. suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori (comuni). Știm deja să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o singură linie, așa că transferăm continuarea pe linia următoare. Nu uitați de semnul egal (=) pe o nouă linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi fracția corectă și totul pare să ne convină, dar este prea greoi și urât. Ar fi trebuit să o facem mai ușoară. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numeratorul și numitorul acesteia la (GCD) numerele 20 și 30.

Deci, găsim GCD cu numerele 20 și 30:

Acum ne întoarcem la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10

Am primit un răspuns

Înmulțind o fracție cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numeratorul acestei fracții cu acest număr și să lăsați numitorul neschimbat.

Exemplul 1... Înmulțiți fracția cu 1.

Înmulțiți numeratorul fracției cu 1

Înregistrarea poate fi înțeleasă ca luând o jumătate de timp. De exemplu, dacă luați pizza de 1 dată, primiți pizza

Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicatorul și multiplicatorul sunt inversate, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca, atunci produsul va fi în continuare egal. Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracțiuni funcționează:

Această înregistrare poate fi înțeleasă ca luând jumătate din una. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2... Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numeratorul fracției cu 4

Răspunsul este o fracțiune incorectă. Să selectăm întreaga parte din el:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.

Și dacă schimbăm multiplicatorul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Un număr care este înmulțit cu o fracție și numitorul unei fracții este permis dacă au divizor comun, mai mare decât una.

De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.

Prima cale... Înmulțiți 4 cu numeratorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:

A doua cale... Multiplicatul patru și patru în numitorul fracției poate fi anulat. Puteți reduce aceste patru cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru două patru este același patru:

Același rezultat a fost obținut 3. După reducerea celor patru, se formează numere noi în locul lor: două. Dar înmulțirea unuia cu trei și apoi împărțirea la unul nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă mai scurt:

Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar la etapa multiplicării numărului 4 și a numărătorului 3 am decis să folosim reducerea:

Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:

Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun, mai mare decât unul și, în consecință, nu anulează.

Unii studenți prescurtează greșit numărul înmulțit și numerotatorul fracției. Acest lucru nu se poate face. De exemplu, următoarele nu sunt corecte:

Reducerea fracțiunii implică acest lucru și numeratorul și numitorul va fi împărțit la același număr. Într-o situație cu o expresie, împărțirea se efectuează numai în numărător, deoarece scrierea ei este aceeași cu scrierea ei. Vedem că împărțirea se realizează numai în numărător și nu are loc divizarea în numitor.

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a multiplica fracțiile, trebuie să le multiplicați numeratorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, trebuie să selectați întreaga parte din el.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.

Am primit un răspuns. Este de dorit să scurtați această fracțiune. Fracția poate fi redusă cu 2. Decizia finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând pizza din jumătate din pizza. Să presupunem că avem o jumătate de pizza:

Cum să obțineți două treimi din această jumătate? Mai întâi, trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei piese:

Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza când este împărțită în trei părți:

O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim despre aceeași dimensiune de pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2... Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțim numărătorul primei fracții cu numeratorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracțiune incorectă. Să selectăm întreaga parte din el:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțim numărătorul primei fracții cu numeratorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracție corectă, dar va fi bine dacă îl reduceți. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (GCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD, pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea fracțiunii unui număr întreg

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca. Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba valoarea, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unul”, iar acest lucru, după cum știți, este egal cu cinci:

Numere inversate

Acum vom cunoaște o foarte subiect interesantîn matematică. Se numește „numere din spate”.

Definiție. Inversul număruluiA este un număr care, atunci când este înmulțit cuA dă una.

Să înlocuim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversul numărului 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă una.

Puteți găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 5, dă unul? Se pare că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar locurile numărătorului și numitorului. Cu alte cuvinte, înmulțim fracția cu ea însăși, numai inversată:

Care va fi rezultatul? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul lui 5 este un număr, deoarece 5 este înmulțit cu unul.

Reciprocitatea poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproc pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.

Împărțirea unei fracții la un număr

Să presupunem că avem o jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal în două. Câtă pizza va primi fiecare?

Se poate observa că, după împărțirea a jumătate din pizza, există două felii egale, fiecare dintre acestea alcătuind o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Pentru a înțelege cum să împărțim fracțiile, să studiem regula și să folosim exemple pentru a vedea cum să o aplicăm.

Regula diviziunii pentru fracțiile comune

Pentru a împărți două fracții, primul număr trebuie înmulțit cu al doilea (adică prima fracție se înmulțește cu secunda inversată).

Exemple de împărțire a fracțiilor obișnuite:

Pentru a separa aceste fracții, rescrieți prima fracție și inversă a doua (dividendul este înmulțit cu reciprocul divizorului). Nimic nu poate fi tăiat aici.

Pentru a împărți aceste fracții, rescrieți primul număr fără modificări și multiplicați cu inversul celui de-al doilea.6 și 9 cu 3, 20 și 25 - cu 5. Fracția rezultată 8/15 este regulată și ireductibilă. Deci acesta este răspunsul final.

Lăsați prima fracție neschimbată și înmulțiți cu inversul celei de-a doua fracții. Reduceți 45 și 36 cu 9, 65 și 52 - cu 13. Ca rezultat, am obținut o fracțiune incorectă, din care.

Când împărțim două numere egale, obținem unul, astfel încât să putem scrie imediat răspunsul.

Pentru a împărți fracțiile, prima este înmulțită cu inversul celei de-a doua. Reduceți 23 și 23 cu 23, 14 și 7 cu 7. Deoarece numitorul este unul, răspunsul este un număr întreg.

Data viitoare, să vedem cum să împărțim un număr întreg la o fracție.