Împărțirea unei fracții. Înmulțirea fracțiilor simple și mixte cu numitori diferiți. Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment în acele acțiuni a fost reducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să descoperim înmulțirea și împărțirea. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușor de efectuat decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz când există două fracții pozitive fără o parte întreagă dedicată.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să înmulți separat numărătorii și numitorii acestora. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, este suficient să schimbați pozițiile numărătorului și numitorului. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, o fracție anulabilă poate apărea (și adesea apare) - ea, desigur, trebuie anulată. Dacă, după toate contracțiile, fracția sa dovedit a fi incorectă, întreaga parte ar trebui să fie selectată în ea. Dar ceea ce nu se va întâmpla exact cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.

Prin definiție, avem:

Înmulțirea fracțiilor întregi și a fracțiilor negative

Dacă există o parte întreagă în fracții, acestea trebuie convertite în unele incorecte - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din intervalul de înmulțire sau chiar eliminat conform următoarelor reguli:

1. Plus și minus dă un minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli se întâlneau doar la adăugarea și scăderea fracțiilor negative, când se cerea să scăpăm de întreaga parte. Pentru producție, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:

1. Tăiați minusurile în perechi până când dispar complet. Într-un caz extrem, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
2. Dacă nu au mai rămas minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl mutăm în afara limitelor de înmulțire. Obțineți o fracție negativă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Traducem toate fracțiile în fracții incorecte și apoi mutăm minusurile din intervalul de înmulțire. Ce a mai rămas, înmulțim după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care stă în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la partea sa întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt cuprinse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operațiune care necesită foarte mult timp. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția înainte de înmulțire... Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, pot fi anulați folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Prin definiție, avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ce a mai rămas din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii au fost reduse complet. În locul lor, sunt doar câteva care, în general, pot fi omise. În al doilea exemplu, reducerea completă nu a fost realizată, dar cantitatea totală de calcul a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare acolo, pe care doriți doar să le reduceți. Iată, aruncați o privire:

Nu poți face asta!

Eroarea apare din cauza faptului că la adunarea, o sumă apare în numărătorul unei fracții, și nu un produs de numere. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă tocmai de înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alt motiv pentru reducerea fracțiilor, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

Numerele fracționale obișnuite îi întâlnesc mai întâi pe școlari în clasa a 5-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să folosească un obiect nu în întregime, ci în bucăți separate. Începutul studiului acestui subiect este acțiunile. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte cutare sau cutare subiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs ca un număr întreg, ar trebui să se țină cont de părți sau fracțiuni ale unei anumite măsuri. Format din verbul „despărțire” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, în secolul al VIII-lea cuvântul „fracție” însuși a apărut în rusă.

In contact cu

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cel mai dificil domeniu al matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, acestea au fost numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de afișat în înțelegerea oamenilor.

Forma modernă a reziduurilor simple fracționate, dintre care părți sunt separate printr-o linie orizontală, a fost promovată pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate în 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum are loc înmulțirea. fracții mixte cu numitori diferiti.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial, merită determinat varietăți de fracții:

• corect;
• gresit;
• amestecat.

În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces este ușor de formulat pe cont propriu: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu aceiași numitori este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor lui. aceste fracții. Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori, regula nu se schimbă:

A /b * c/d = a * c / b * d.

Singura diferență este că numărul format sub linia fracțională va fi produsul unor numere diferite și, desigur, este imposibil să-l numim pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți cu exemple:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc metode pentru a reduce expresiile fracționale. Puteți anula doar numerele numărătorului cu numerele numitorului, factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracțională nu pot fi anulați.

Alături de numerele fracționale simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Mai multe exemple sunt sugerate pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracționară obișnuită, puteți nota regula pentru această acțiune prin formula:

A * b/c = a * b /c.

De fapt, un astfel de produs este suma acelorași resturi fracționale, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Un caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă opțiune pentru a rezolva înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d * e/f = e/f:d.

Este util să folosiți această tehnică atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, complet.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă într-una incorectă, poate fi reprezentată și ca o formulă generală:

A bc = a * b + c / c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea părții întregi cu numitorul și adăugarea acesteia la numărătorul restului fracțional inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și invers. Pentru a selecta întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul fracției improprie la numitorul său „colț”.

Înmulțirea fracțiilor improprie produs în mod convențional. Când înregistrarea trece sub o singură linie fracțională, după caz, este necesar să se reducă fracțiile pentru a reduce numerele prin această metodă și este mai ușor să se calculeze rezultatul.

Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe în diferite variante de programe. Un număr suficient de astfel de servicii își oferă ajutorul în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferite în numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrezi cu el, câmpurile corespunzătoare sunt completate pe pagina site-ului, se selectează semnul acțiunii matematice și se apasă „calculează”. Programul calculează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu numere fracționale este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de mijloc și de liceu. În liceu nu mai sunt considerate cele mai simple tipuri, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule, obținută anterior, se aplică în forma sa inițială. O cunoștințe de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în buna decizie cele mai dificile sarcini.

În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea omului să-și mărească numărătorul - demnitatea - dar fiecare își poate micșora numitorul - părerea sa despre sine, iar prin această scădere se poate apropia de perfecțiunea sa".

O fracție este una sau mai multe fracții ale unui întreg, care este de obicei luată ca una (1). Ca și în cazul numerelor naturale, puteți efectua toate operațiile aritmetice de bază cu fracții (adunare, scădere, împărțire, înmulțire), pentru aceasta trebuie să cunoașteți caracteristicile lucrului cu fracții și să distingeți între tipurile acestora. Există mai multe tipuri de fracții: zecimală și ordinară sau simple. Fiecare tip de fracții are propriile sale specificități, dar după ce v-ați dat seama bine cum să le gestionați o dată, veți putea rezolva orice exemple cu fracții, deoarece veți cunoaște principiile de bază ale efectuării calculelor aritmetice cu fracții. Să ne uităm la exemple de împărțire a unei fracții la un număr întreg folosind diferite tipuri de fracții.

Cum împart o zecimală la un număr întreg?
O fracție zecimală este o fracție care se obține prin împărțirea unuia în zece, o mie și așa mai departe. Aritmetica zecimală este destul de simplă.

Să ne uităm la un exemplu de împărțire a unei fracții la un număr întreg. Să presupunem că trebuie să împărțim fracția zecimală 0,925 la numărul natural 5.

• pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, se folosește împărțirea pe coloană;
  
• virgula este plasată în coeficient atunci când împărțirea părții întregi a dividendului este finalizată.
  

) și numitorul după numitor (se obține numitorul produsului).

Formula de înmulțire a fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați posibilitatea reducerii fracției. Dacă puteți reduce fracția, atunci vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.

Împărțirea unei fracții obișnuite într-o fracție.

Împărțirea fracțiilor cu participarea unui număr natural.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertiți un număr întreg într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• conversia fracțiilor mixte în fracții neregulate;
• înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor;
• reducem fracția;
• dacă ai o fracție incorectă, atunci transformă fracția incorectă într-una mixtă.

Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub formă de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii înmulțirii fracții comune.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul fracției este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, se găsesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, se utilizează împărțirea prin 2 puncte:

Notă!În împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Notă, de exemplu:

Când împărțiți unul cu orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționate este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și exactitate, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrii câteva rânduri în plus în ciornă decât să te încurci în calculele din cap.

2. În sarcini cu tipuri diferite fracții - mergi la forma fracțiilor obișnuite.

3. Reduceți toate fracțiile până când devine imposibil de redus.

4. Expresiile fracționale cu mai multe etaje sunt convertite în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți mental unitatea într-o fracție, pur și simplu răsturnând fracția.

Toate acțiunile pot fi efectuate cu fracții, inclusiv cu diviziunea. Acest articol arată împărțirea fracțiilor comune. Se vor da definiții, se vor lua în considerare exemple. Să ne oprim în detaliu asupra împărțirii fracțiilor după numere naturale și invers. Se va lua în considerare împărțirea unei fracții obișnuite la un număr mixt.

Împărțirea fracțiilor ordinare

Împărțirea este inversul înmulțirii. La împărțire, factorul necunoscut se găsește la un produs cunoscut și un alt factor, unde se păstrează sensul său dat cu fracțiile obișnuite.

Dacă este necesar să împărțiți fracția obișnuită a b la c d, atunci pentru a determina un astfel de număr, trebuie să înmulțiți cu divizorul c d, aceasta va avea ca rezultat dividendul a b. Obține un număr și scrie-l a b d c, unde d c este inversul numărului c d. Egalitățile se pot scrie folosind proprietățile înmulțirii și anume: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, unde expresia a b d c este câtul împărțirii a b la c d.

Din aceasta obținem și formulăm regula de împărțire a fracțiilor ordinare:

Definiția 1

Pentru a împărți o fracție obișnuită a b la c d, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.

Să scriem regula sub formă de expresie: a b: c d = a b d c

Regulile de împărțire sunt reduse la înmulțire. Pentru a rămâne la el, trebuie să fii bine versat în efectuarea înmulțirii fracțiilor obișnuite.

Să trecem la considerarea împărțirii fracțiilor ordinare.

Exemplul 1

Împărțiți 9 7 la 5 3. Scrieți rezultatul ca fracție.

Soluţie

Numărul 5 3 este reciproca lui 3 5. Este necesar să folosiți regula pentru împărțirea fracțiilor obișnuite. Scriem această expresie după cum urmează: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.

Răspuns: 9 7: 5 3 = 27 35 .

La reducerea fracțiilor, întreaga parte ar trebui să fie selectată dacă numărătorul este mai mare decât numitorul.

Exemplul 2

Împărțiți 8 15: 24 65. Scrieți răspunsul sub formă de fracție.

Soluţie

Pentru a rezolva, trebuie să treci de la împărțire la înmulțire. Să o scriem în această formă: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Este necesar să se facă o reducere, iar aceasta se face după cum urmează: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Selectați întreaga parte și obțineți 13 9 = 1 4 9.

Răspuns: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Împărțirea unei fracții extraordinare cu un număr natural

Folosim regula împărțirii unei fracții la un număr natural: pentru a împărți a b la un număr natural n, trebuie doar să înmulțiți numitorul cu n. De aici obținem expresia: a b: n = a b · n.

Regula împărțirii este o consecință a regulii înmulțirii. Prin urmare, prezentarea numar natural sub forma unei fracții va da o egalitate de acest tip: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Luați în considerare această împărțire a unei fracții cu un număr.

Exemplul 3

Împărțiți fracția 16 45 la numărul 12.

Soluţie

Să aplicăm regula împărțirii unei fracții la un număr. Obținem o expresie de forma 16 45: 12 = 16 45 12.

Să reducem fracția. Se obține 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135.

Răspuns: 16 45: 12 = 4 135 .

Împărțirea unui număr natural cu o fracție obișnuită

Regula împărțirii este similară O regula de împărțire a unui număr natural la o fracție obișnuită: pentru a împărți un număr natural n la un număr obișnuit a b, este necesar să se înmulțească numărul n cu reciproca fracției a b.

Pe baza regulii, avem n: a b = n · b a, iar datorită regulii înmulțirii unui număr natural cu o fracție obișnuită, obținem expresia noastră sub forma n: a b = n · b a. Este necesar să luăm în considerare această împărțire printr-un exemplu.

Exemplul 4

Împărțiți 25 la 15 28.

Soluţie

Trebuie să trecem de la împărțire la înmulțire. Scriem sub forma unei expresii 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Reduceți fracția și obțineți rezultatul ca o fracție 46 2 3.

Răspuns: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Împărțirea unei fracții ordinare cu un număr mixt

Când împărțiți o fracție obișnuită la un număr mixt, puteți împărți cu ușurință fracțiile obișnuite. Este necesar să traduceți numărul mixt într-o fracție improprie.

Exemplul 5

Împărțiți 35 16 la 3 1 8.

Soluţie

Deoarece 3 1 8 este un număr mixt, reprezentați-l ca o fracție improprie. Atunci obținem 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Acum să împărțim fracțiile. Se obține 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Răspuns: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Împărțirea unui număr mixt se face în același mod ca și pentru numerele obișnuite.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter