Cum să aflați sistemul numeric. Mică facultate de matematică. Sarcini pentru determinarea valorilor în diferite sisteme numerice și bazele acestora

Sarcini pe tema „Sisteme numerice”

Exemple de soluții

Sarcina numărul 1. Câte cifre semnificative există în baza 3 zecimală 357?Soluţie:Să traducem numărul 35710 în sistemul numeric ternar:Deci, 35710 = 1110203. Numărul 1110203 conține 6 cifre semnificative.Răspuns: 6.

Sarcina numărul 2. Dat fiind A = A715, B = 2518. Care dintre numerele C scrise în sistemul binar îndeplinește condiția A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Soluţie:Să traducem numerele A = A715 și B = 2518 în sistemul de numere binare, înlocuind fiecare cifră a primului număr cu tetradul corespunzător și fiecare cifră a celui de-al doilea număr cu triada corespunzătoare: A715 = 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Starea a

Sarcina numărul 3. În ce cifră se termină numărul zecimal 123 de bază?Soluţie:Să traducem numărul 12310 în sistemul numeric de bază 6:12310 = 3236. Răspuns: Numărul de înregistrare 12310 în sistemul de bază 6 se termină cu cifra 3.Sarcini pentru efectuarea operațiilor aritmetice pe numere reprezentate în diferite sisteme numerice

Sarcina numărul 4. Calculați suma numerelor X și Y dacă X = 1101112, Y = 1358. Prezentați rezultatul sub formă binară.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Soluţie:Să traducem numărul Y = 1358 în sistemul de numere binare, înlocuind fiecare dintre cifrele sale cu triada corespunzătoare: 001 011 1012. Să adăugăm:Răspuns: 100101002 (opțiunea 2).

Sarcina numărul 5. Găsiți media aritmetică a numerelor 2368, 6C16 și 1110102. Prezentați-vă răspunsul în notație zecimală.Soluţie:Să traducem numerele 2368, 6С16 și 1110102 în sistemul numeric zecimal:
Să calculăm media aritmetică a numerelor: (158 + 108 + 58) / 3 = 10810.Răspuns: media aritmetică a numerelor 2368, 6C16 și 1110102 este 10810.

Sarcina numărul 6. Evaluați valoarea expresiei 2068 + AF16? 110010102. Calculați în sistem de număr octal. Convertiți răspunsul în zecimal.Soluţie:Să traducem toate numerele în sistemul numeric octal:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Să adăugăm numerele:Să traducem răspunsul în sistemul zecimal:Răspuns: 51110.

Sarcini pentru găsirea bazei sistemului numeric

Sarcina numărul 7. Grădina are 100q de pomi fructiferi: 33q de meri, 22q de pere, 16q de prune și 17q de cireșe. Găsiți radioul în care sunt numărați copacii.Soluţie:Există 100q copaci în grădină: 100q = 33q + 22q + 16q + 17q.Să numerotăm cifrele și să prezentăm aceste numere în formă extinsă:
Răspuns: Copacii sunt numărați în baza 9.

Sarcina numărul 8. Găsiți baza x a sistemului numeral dacă știți că 2002x = 13010.Soluţie:Răspuns: 4.

Sarcina numărul 9. În sistemul numeric cu o bază, numărul zecimal 18 este scris ca 30. Indicați această bază.Soluţie:Luăm baza sistemului numeric necunoscut ca x și alcătuim următoarea egalitate:1810 = 30x;Să numerotăm cifrele și să scriem aceste numere în formă extinsă:Răspuns: Zecimalul 18 este scris ca 30 în baza 6.

Puteți introduce atât numere întregi, de exemplu 34, cât și numere fracționare, de exemplu, 637.333. Pentru numerele fracționate, precizia traducerii este indicată după punctul zecimal.

Următoarele sunt utilizate și cu acest calculator:

Modalități de reprezentare a numerelor

Algoritm pentru traducerea numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Exemplul nr. 1.



Traducere de la 2 la 8 la 16 sistem numeric.
Aceste sisteme sunt multipli de doi, prin urmare, traducerea se efectuează folosind tabelul de corespondență (a se vedea mai jos).

Pentru a converti un număr din sistem binar luând în calcul octal (hexazecimal), este necesar să împărțiți numărul binar de la virgulă la dreapta și la stânga în grupuri de trei cifre (patru - pentru hexazecimale), completând grupurile extreme cu zerouri, dacă este necesar. Fiecare grup este înlocuit cu cifra octală sau hexazecimală corespunzătoare.

Exemplul nr. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272,51 8
aici 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1

La convertirea într-un sistem hexazecimal, este necesar să împărțiți numărul în părți, câte patru cifre fiecare, respectând aceleași reguli.
Exemplul nr. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
aici 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13

Conversia numerelor de la 2, 8 și 16 la sistemul numeric zecimal se realizează prin împărțirea numărului în numere separate și înmulțirea acestuia cu baza sistemului (din care se traduce numărul) ridicat la puterea corespunzătoare numărului său ordinal în numărul de tradus. În acest caz, numerele sunt numerotate la stânga punctului zecimal (primul număr are numărul 0) cu număr crescător, și în partea dreapta descendent (adică cu semn negativ). Rezultatele sunt adunate.

Exemplul nr. 4.
Un exemplu de conversie de la sistemul numeric binar la cel zecimal.

1010010.101 2 = 1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 82,625 10 Exemplu de conversie de la sistemul numeric octal la zecimal. 108,5 8 = 1 * 8 2 + 0 8 1 + 8 8 0 + 5 8 -1 = 64 + 0 + 8 + 0,625 = 72,625 10 Exemplu de conversie din sistem de număr hexazecimal în zecimal. 108,5 16 = 1 16 2 + 0 16 1 + 8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10

Încă o dată, repetăm ​​algoritmul pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în alt PSS

1. Din sistemul numeric zecimal:
   • împărțiți numărul la baza sistemului numeric de tradus;
   • găsiți restul împărțirii părții întregi a numărului;
   • scrieți toate resturile divizării în ordine inversă;
2. Sistem de numere binare
   • Pentru a converti la sistemul numeric zecimal, trebuie să găsiți suma produselor bazei 2 la gradul corespunzător al cifrei;
   • Pentru a converti un număr în octal, trebuie să împărțiți numărul în triade.
     De exemplu, 1000 110 = 1000 110 = 106 8
   • Pentru a converti un număr de la binar la hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în grupuri de 4 cifre.
     De exemplu, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabel de conversie octal

Exemplul nr. 2. Convertiți 100.12 din zecimal în octal și invers. Explicați motivele discrepanței.
Soluţie.
Etapa 1. ...

Scriem restul împărțirii în ordine inversă. Obținem numărul în al 8-lea sistem numeric: 144
100 = 144 8

Pentru a traduce partea fracționată a unui număr, înmulțim succesiv partea fracționată cu baza 8. Ca rezultat, de fiecare dată notăm întreaga parte a produsului.
0.12*8 = 0.96 (întreaga parte 0 )
0,96 * 8 = 7,68 (parte întreagă 7 )
0,68 * 8 = 5,44 (parte întreagă 5 )
0,44 * 8 = 3,52 (parte întreagă 3 )
Obținem numărul în al 8-lea sistem numeric: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Etapa 2. Conversia zecimalului în octal.
Traducere inversă din sistemul numeric octal în zecimal.

Pentru a traduce partea întreagă, este necesar să multiplicați cifra numărului cu gradul corespunzător al cifrei.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Pentru a traduce partea fracționată, este necesar să împărțiți cifra numărului la gradul corespunzător al cifrei
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Diferența de 0.0001 (100.12 - 100.1199) se explică prin eroarea de rotunjire la conversia la sistemul de numere octale. Această eroare poate fi redusă luând un număr mai mare de cifre (de exemplu, nu 4, ci 8).

În cursul informaticii, indiferent de școală sau universitate, se acordă un loc special unui astfel de concept ca sistemul numeric. De regulă, pentru aceasta sunt alocate mai multe lecții sau sesiuni practice. Scopul principal nu este doar de a stăpâni conceptele de bază ale subiectului, de a studia tipurile de sisteme numerice, ci și de a vă familiariza cu aritmetica binară, octală și hexadecimală.

Ce înseamnă?

Să începem prin a defini conceptul de bază. După cum notează manualul „Informatică”, sistemul numeric este o notație a numerelor în care se folosește un alfabet special sau un anumit set de numere.

În funcție de faptul dacă valoarea cifrei se schimbă de la poziția sa în număr, se disting două: sistemele numerice poziționale și non-poziționale.

În sistemele de poziție, semnificația unei cifre se modifică odată cu poziția sa în număr. Deci, dacă luăm numărul 234, atunci numărul 4 din acesta înseamnă unități, dar dacă luăm în considerare numărul 243, atunci aici va însemna deja zeci, nu unități.

În sistemele non-poziționale, semnificația unei cifre este statică, indiferent de poziția sa în număr. Cel mai exemplu viu- sistem de tije, unde fiecare unitate este indicată printr-o liniuță. Nu contează unde ați pus bățul, valoarea numărului se schimbă doar cu unul.

Sisteme non-poziționale

Sistemele de numere non-poziționale includ:

1. Un sistem unitar care este considerat unul dintre primele. A folosit bastoane în loc de numere. Cu cât erau mai multe, cu atât era mai mare valoarea numărului. Puteți găsi un exemplu de cifre scrise în acest fel în filme despre oameni pierduți pe mare, prizonieri care marchează în fiecare zi cu crestături pe o piatră sau copac.
2. Roman, în care se foloseau litere latine în loc de cifre. Folosindu-le, puteți nota orice număr. Mai mult, valoarea sa a fost determinată folosind suma și diferența cifrelor care alcătuiau numărul. Dacă a existat un număr mai mic la stânga cifrei, atunci cifra din stânga a fost scăzută din dreapta și dacă cifra din dreapta a fost mai mică sau egală cu cifra din stânga, atunci valorile lor au fost însumate sus. De exemplu, numărul 11 ​​a fost scris ca XI, iar 9 ca IX.
3. Alfabetic, în care numerele au fost indicate folosind alfabetul unei anumite limbi. Una dintre ele este sistemul slav, în care un număr de litere au avut nu doar semnificație fonetică, ci și numerică.
4. care folosea doar două notații pentru scriere - pene și săgeți.
5. Egiptul a folosit și simboluri speciale pentru a reprezenta numerele. Când scrieți un număr, fiecare caracter ar putea fi folosit de cel mult nouă ori.

Sisteme poziționale

În informatică se acordă multă atenție sistemelor de număr pozițional. Acestea includ următoarele:

• binar;
• octal;
• zecimal;
• hexazecimal;
• sexagesimal, utilizat la numărarea timpului (de exemplu, într-un minut - 60 secunde, într-o oră - 60 minute).

Fiecare dintre ele are propriul alfabet pentru scriere, reguli de traducere și efectuarea operațiilor aritmetice.

Sistem zecimal

Acest sistem ne este cel mai familiar. Folosește numere de la 0 la 9 pentru a scrie numere. Sunt numite și arabe. În funcție de poziția cifrei în număr, poate denota diferite categorii - unități, zeci, sute, mii sau milioane. Îl folosim peste tot, cunoaștem regulile de bază prin care se efectuează operațiile aritmetice asupra numerelor.

Sistem binar

Unul dintre principalele sisteme numerice din informatică este binar. Simplitatea sa permite computerului să efectueze calcule greoaie de câteva ori mai repede decât în ​​sistemul zecimal.

Pentru a scrie numere, se folosesc doar două cifre - 0 și 1. În acest caz, în funcție de poziția 0 sau 1 în număr, valoarea acestuia se va schimba.

Inițial, cu ajutorul computerelor au primit toate informațiile necesare. În același timp, unul însemna prezența unui semnal transmis folosind tensiunea, iar zero însemna absența acestuia.

Sistem octal

Un alt sistem binecunoscut de numere computerizate, care utilizează numere de la 0 la 7. A fost utilizat în principal în acele domenii de cunoaștere care sunt asociate cu dispozitivele digitale. Dar recent a fost folosit mult mai rar, deoarece a fost înlocuit cu sistemul de numere hexazecimale.

Sistem zecimal binar

Reprezentarea unui număr mare în sistemul binar pentru oameni este un proces destul de complicat. Pentru a-l simplifica, a fost dezvoltat. Este de obicei folosit în ceasuri electronice, calculatoare. În acest sistem, nu întregul număr este convertit din sistemul zecimal în sistemul binar, ci fiecare cifră este tradusă în setul corespunzător de zerouri și unele din sistemul binar. Conversia de la binar la zecimal se face într-un mod similar. Fiecare cifră, reprezentată ca un set de patru cifre de zerouri și unii, este convertită într-un număr zecimal. Practic, nu este nimic dificil.

Pentru a lucra cu cifre, în acest caz, este util un tabel de sisteme numerice, în care va fi indicată corespondența dintre numere și codul lor binar.

Sistem hexazecimal

Recent, sistemul de numere hexazecimale a devenit din ce în ce mai popular în programare și informatică. Folosește nu numai cifre de la 0 la 9, ci și un număr de litere latine - A, B, C, D, E, F.

Mai mult, fiecare dintre litere are propriul sens, deci A = 10, B = 11, C = 12 și așa mai departe. Fiecare număr este reprezentat ca un set de patru caractere: 001F.

Conversia numerelor: de la zecimal la binar

Traducerea în sistemele de numerotare are loc în conformitate cu anumite reguli. Cea mai comună conversie este de la binar la zecimal și invers.

Pentru a converti un număr din sistemul zecimal în binar, este necesar să îl împărțim secvențial la baza sistemului numeric, adică numărul doi. În acest caz, trebuie înregistrat restul fiecărei divizii. Aceasta va continua până când restul diviziunii este mai mic sau egal cu unul. Cel mai bine este să efectuați calcule într-o coloană. Apoi, resturile rezultate din împărțire sunt scrise în șir în ordine inversă.

De exemplu, să convertim numărul 9 în binar:

Împărțim 9, deoarece numărul nu este divizibil complet, atunci luăm numărul 8, restul va fi 9 - 1 = 1.

După împărțirea 8 la 2, obținem 4. Împarte din nou, deoarece numărul este divizibil în mod egal - obținem restul 4 - 4 = 0.

Efectuăm aceeași operație cu 2. În rest obținem 0.

Ca rezultat al divizării, obținem 1.

Indiferent de sistemul numeric final, conversia numerelor de la zecimal la oricare altul va avea loc conform principiului împărțirii numărului la baza sistemului pozițional.

Conversia numerelor: de la binar la zecimal

Este destul de ușor să convertiți numerele în sistemul numeric zecimal din binar. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți regulile pentru creșterea numărului la o putere. În acest caz, la puterea a doi.

Algoritmul de traducere este după cum urmează: fiecare cifră din codul unui număr binar trebuie să fie înmulțită cu două, în plus, primele două vor fi în puterea m-1, a doua - m-2 și așa mai departe, unde m este numărul de cifre din cod. Apoi adăugați rezultatele adunării pentru a obține un număr întreg.

Pentru școlari, acest algoritm poate fi explicat într-un mod mai simplu:

Pentru început, luăm și notăm fiecare cifră înmulțită cu două, apoi punem puterea a două de la sfârșit, începând de la zero. Apoi adăugăm numărul rezultat.

De exemplu, să analizăm cu dvs. numărul primit anterior 1001, convertindu-l în sistemul zecimal și, în același timp, să verificăm corectitudinea calculelor noastre.

Va arăta astfel:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Când studiați acest subiect, este convenabil să utilizați un tabel cu puteri de două. Acest lucru va reduce semnificativ timpul necesar pentru efectuarea calculelor.

Alte opțiuni de traducere

În unele cazuri, traducerea se poate face între binar și octal, binar și hexadecimal. În acest caz, puteți utiliza tabele speciale sau puteți rula aplicația calculatorului de pe computer selectând opțiunea „Programator” din fila vizualizare.

Operatii aritmetice

Indiferent de forma în care este prezentat numărul, putem efectua calculele obișnuite cu acesta. Poate fi divizare și multiplicare, scădere și adunare în sistemul numeric la alegere. Desigur, fiecare dintre ele are propriile reguli.

Deci, pentru sistemul binar, tabelele lor au fost dezvoltate pentru fiecare dintre operații. Aceleași tabele sunt utilizate în alte sisteme de poziție.

Nu este necesar să le memorați - trebuie doar să le imprimați și să le aveți la îndemână. De asemenea, puteți utiliza un calculator pe computer.

Unul dintre cele mai importante subiecte din domeniul informaticii este sistemul numeric. Cunoașterea acestui subiect, înțelegerea algoritmilor pentru traducerea numerelor dintr-un sistem în altul este o garanție că veți putea înțelege subiecte mai complexe, cum ar fi algoritmizarea și programarea, și veți putea scrie primul dvs. program pe cont propriu.

Notaţie este o metodă de scriere a unui număr folosind un set specificat de caractere speciale (numere).

Notaţie:

• oferă o reprezentare a unui set de numere (întregi și / sau reale);

• dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

• afișează structura algebrică și aritmetică a unui număr.

Scrierea unui număr într-un anumit sistem numeric se numește codul numeric.

Se afișează o poziție separată în afișarea unui număr descărcare, ceea ce înseamnă că numărul poziției este numărul de rang.

Numărul de biți dintr-un număr este numit amărăciuneși se potrivește cu lungimea acestuia.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționalși non-pozițional. Sistemele de numere poziționale sunt împărțite

pe omogenși amestecat.

sistemul numeric octal, sistemul numeric hexazecimal și alte sisteme numerice.

Traducerea sistemelor numerice. Numerele pot fi traduse de la un sistem numeric la altul.

Tabel de corespondență a numerelor din diferite sisteme numerice.