Vedere generală a matricelor triunghiulare:

Rețineți că printre elementele diagonale Pot exista elemente egale zero. Matricea Se numește trapezoidală superioară, dacă sunt îndeplinite următoarele trei condiții:

1. la i\u003e j;

2. Există astfel de numar natural R satisfacerea inegalităților , ce .

3. Dacă există un element diagonal, apoi toate i-th elemente Linii și toate rândurile ulterioare sunt zero.

Vedere generală a matricelor trapezoidale superioare:

pentru .

la.

la r \u003d n

la r \u003d m \u003d n.

Rețineți că la r \u003d m \u003d n, matricea superioară trapezoidă este o matrice triunghiulară cu diferite elemente diagonale zero.

27) Acțiune cu matricele

Adăugarea matricelor

Matricea de aceeași dimensiune poate fi pliată.

Suma a două astfel de matrițe A și B se numește matricea C, elementele care sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare ale matricelor A și V. Scrieți simbolic acest lucru: A + B \u003d s.

Este ușor să vedem că adăugarea matricelor este supusă legilor de tranziție și combatere:

(A + B) + C \u003d A + (B + C).

Matricea zero în plus matricele efectuează rolul zero obișnuit atunci când numerele sunt adăugate: A + 0 \u003d A.

Scăderea matricelor.

Diferența dintre două matrice A și în aceeași dimensiune numită Matrix C, astfel încât

Din această definiție rezultă că elementele matricei C sunt egale cu diferența dintre elementele corespunzătoare ale matricelor A și V.

Denotă diferența dintre matricele A și în acest sens: C \u003d A - V.

3. Înmulțirea matricelor

Luați în considerare regula de multiplicare a celor două matrice pătrate de ordinul secundar.

Produsul matricei A de pe matrice B se numește matrice C \u003d AB.

Reguli pentru multiplicarea matricelor dreptunghiulare:

Multiplicarea matricei A pe matrice B are sens atunci când numărul de coloane din matrice A coincide cu numărul de rânduri din matrice V.

Ca urmare a multiplicării a două matrice dreptunghiulare, se obține o matrice, care conține cât mai multe rânduri, câte rânduri se aflau în prima matrice și atât de multe coloane, pe măsură ce coloanele erau în cea de-a doua matrice.

4. Înmulțirea matricei pe număr

Când multiplicarea matricei A la numărul  toate numerele care constituie matricea A sunt înmulțite cu numărul . De exemplu, înmulțiți matricea la numărul 2. Am ajuns, adică Când multiplicarea matricei, multiplicatorul este "introdus" sub semnul matricei.

Transpunerea matricei

Matricea transpusă este o matrice, obținută din matricea inițială o înlocuire a rândurilor către coloane.

În mod oficial, o matrice transpusă pentru matrice o dimensiune M * N este o matrice N * M, definită ca la \u003d a.

De exemplu,

Proprietățile matricelor transpuse

2. (a + b) t \u003d la + bt

28) Conceptul de deficit N-Ordin

Lăsați o masă pătrată constând din numerele situate în N orizontal și în rândurile Noblikal. Cu aceste numere, prin reguli definite, se calculează un număr, care se numește determinantul Ordinului N A și sunt indicate după cum urmează:

(1)

Rândurile orizontale din determinant (1) sunt numite linii, verticale - coloane, numărul determinanților (primul indice înseamnă numărul liniei, al doilea - numărul coloanei, pe intersecția căruia este elementul; i \u003d 1 , 2, ..., N; J \u003d 1, 2, ..., n). Procedura pentru determinant este numărul rândurilor și coloanelor sale.

Imaginar drept, care leagă elementele determinantului, în care ambele indice sunt aceleași, adică. Elemente

se numește diagonală principală, o altă parte diagonală.

Determinantul ordinului N este numit un număr care este o cantitate algebrică de n! Membri, fiecare dintre care - produsul N din elementele sale, luate numai pe unul dintre fiecare linie N și de la fiecare număr de numere de masă pătrate și jumătate (anumiți) membri le iau cu semnele lor, iar restul - cu opusul .

Arătăm cum sunt calculate identificatorii primelor trei comenzi.

Determinantul primei ordini este elementul în sine, adică.

Determinantul de ordinul al doilea este numărul obținut după cum urmează:

(2)

Formula (3) arată că membrii elementelor diagonale principale sunt luate cu semnele lor, precum și elemente situate în vârfurile a două triunghiuri, ale căror fundații sunt paralele cu acesta; Cu membrii opuși - care sunt lucrările elementelor diagonalei laterale, precum și elemente situate în vârfurile a două triunghiuri, care sunt paralele cu ea.

Exemplul 2. Calculați determinantul al treilea ordin:

Decizie. Profitând de regula triunghiurilor, ajungem

Calculul cuantificatorii a patra și ordinul ulterior poate fi redus la calcularea determinanților a doua și a treia ordine. Acest lucru se poate face folosind proprietățile determinanților. Mergem la considerație.

N-TH Ordine Proprietăți determinante

Proprietate 1. Atunci când înlocuiți rândurile de coloane (tranpose), valoarea determinantă nu se va schimba, adică

Proprietate 2. Dacă cel puțin un rând (șir sau coloană) constă din zerouri, atunci determinantul este zero. Dovada este evidentă.

De fapt, atunci la fiecare membru al determinantului, unul dintre multiplicatori va fi zero.

Proprietate 3. Dacă există două rânduri paralele învecinate (corzi sau coloane) în definiție (rânduri sau coloane), determinantul va schimba semnul la opusul, adică

Proprietate 4. Dacă determinantul are două rânduri paralele identice, determinantul este zero:

Proprietate 5. Dacă în determinant două rânduri paralele sunt proporționale, atunci determinantul este zero:

Proprietate 6. Dacă toate elementele determinantului în picioare într-un rând, multiplicați același număr, valoarea determinantului se va schimba în acest număr de număr:

Corolar. Factorul general conținut în toate elementele unui rând poate fi făcut pentru un semn al determinantului, de exemplu:

Proprietatea 7. Dacă în determinant toate elementele unui rând sunt reprezentate ca sumă a celor două componente, este egală cu suma a doi determinanți:

Proprietatea 8. Dacă elementele corespunzătoare ale unui rând paralel la un multiplicator permanent sunt adăugate la elementele oricărui rând la un multiplicator permanent, valoarea determinantului nu se va schimba:

Proprietate 9. Dacă adăugați o combinație liniară a elementelor corespunzătoare ale mai multor rânduri paralele la elemente ale rândului I, valoarea determinantului nu se va schimba:

Linii de ordine secundare.
Elipsă și ecuația canonică. Cerc

După un studiu aprofundat direct pe avion Continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Tarifele duble, și vă invit să vizitați galeria pitorească a elipsei, hiperball, parabola, care sunt reprezentanți tipici linii de ordinul doi. Excursia a început deja și mai întâi informatie scurta Despre întreaga expunere pe diferite etaje ale muzeului:

Conceptul unei linii algebrice și a ordinii sale

Linia de pe avion este chemată algebric, dacă in. sistemul de coordonate de afinitate Ecuația sa are o formă în care este un polinom constând din termenii speciilor (- un număr valid - numere întregi ne-negative).

După cum puteți vedea, ecuația liniei algebrice nu conține sinusuri, cosinie, logaritmi și alte Beaumuda funcționale. Numai "Ikers" și "Igareki" în Întregul negativ grade.

Ordine de comandă Este egal cu sensul maxim al componentelor acestuia.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de linie algebrică și ordinea sa nu depinde de alegere sistemul de coordonate de afinitatePrin urmare, pentru cea mai ușoară a ființei, credem că toate calculele ulterioare au un loc de a fi în coordonatele carteziei.

Ecuația generală. Liniile de ordine a doua are o vedere în cazul în care - Numere valabile arbitrare ( Este obișnuit să înregistrați cu un multiplicator "dublu")În plus, coeficienții nu sunt egali în același timp zero.

Dacă, ecuația simplifică și dacă coeficienții sunt simultan egali cu zero, atunci este exact ecuația generală "Flat" directcare reprezintă prima linie de ordine.

Mulți au înțeles sensul noilor termeni, dar, totuși, pentru a absorbi materialul materialului, degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniei, trebuie să treceți toți termenii ecuațiile sale și fiecare dintre ele găsesc cantități de grade Variabilele primite.

De exemplu:

termenul conține "x" în gradul I;
Termenul conține "Igrek" în primul grad;
Nu există variabile în termen, prin urmare suma gradelor lor este zero.

Acum vom înțelege de ce ecuația stabilește linia al doilea Ordin:

termenul conține "x" în gradul 2;
Termenul de grade de variabile: 1 + 1 \u003d 2;
Termenul conține "Igrek" în gradul 2;
Toți ceilalți termeni - mai puțin diplomă.

Valoarea maximă: 2

Dacă adăugați la ecuația noastră pentru a adăuga, spuneți, va determina deja a treia linie de ordine. Evident, viziunea generală a ecuației liniei de ordin 3 conține un "set complet" al componentelor, suma gradelor variabilelor în care este egală cu trei:
unde coeficienții nu sunt egali în același timp zero.

În cazul în care adăugați unul sau mai mulți termeni adecvați care conțin atunci vorbirea se va întâmpla deja linii de ordinul 4, etc.

Cu liniile algebrice ale ordinelor 3, 4 și superioare, va trebui să ne confruntăm cu mai mult de o dată, în special atunci când vă întâlnim sistemul de coordonate polar.

Cu toate acestea, să ne întoarcem la ecuația generală și să reamintim cele mai simple variații școlare. Ca exemple, parabola, a căror ecuație este ușor de dus la aspectul general, iar hiperbolul cu o ecuație echivalentă este. Cu toate acestea, nu totul este atât de neted ....

Esență esențială ecuația generală. Este că aproape întotdeauna nu este clar ce fel de linie se întreabă. Chiar și în cel mai simplu caz, nu vă imaginați imediat că este o hiperbolă. Astfel de pliuri sunt bune numai pe Masquerade, prin urmare, o sarcină tipică este luată în considerare în cursul geometriei analitice rularea ecuației liniei de ordinul 2 la canonic.

Care este viziunea canonică a ecuației?

Aceasta este forma standard general acceptată a ecuației, atunci când într-o chestiune de secunde devine clar care obiect geometric pe care îl determină. În plus, specia canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor sarcini practice. Deci, de exemplu, prin ecuația canonică "Flat" directÎn primul rând, este imediat clar că este drept și în al doilea rând, punctul aparținând este vector elementar și de ghidare.

Evident, oricare dintre ele prima linie de comandă Este drept. La etajul al doilea nu așteptăm un salariu, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor secundare

Cu ajutorul unui set special de acțiune, orice ecuație a liniei de ordinul secundar este furnizată la unul dintre următoarele tipuri:

(și - numere valide pozitive)

1) - ecuația elipsă canonică;

2) - ecuația hiperbolului canonic;

3) - ecuația parabolei canonice;

4) – imaginar elipsă;

5) - o pereche de linii drepte intersectate;

6) - cuplu imaginar intersectarea liniilor drepte (cu un singur punct de intersecție reală la începutul coordonatelor);

7) - pereche de linii drepte paralele;

8) - cuplu imaginar linii drepte paralele;

9) - un cuplu de coincis direct.

Un număr de cititori pot avea impresia incompletenței listei. De exemplu, în paragraful 7, ecuația stabilește un cuplu direct , axele paralele și întrebarea apare: și unde este ecuația care determină axele drepte și paralele ale ordonantului? Raspunde nu este considerat canonic. Direct reprezintă același cuplu de caz standard ridicat la 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nimic nu este fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă nouă specii diferite Linii de ordine a 2-a, dar în practică găsite cel mai adesea ellipse, Hyperbole și Parabola.

În primul rând, luați în considerare elipsa. Ca de obicei, mă voi concentra pe acele momente care au o mare importanță pentru a rezolva problemele și dacă aveți nevoie de o concluzie detaliată a formulelor, teoreme de dovezi, vă rugăm să contactați, de exemplu, manualul Bazyleva / Atanasyan sau Alexandrov.

Elipsă și ecuația canonică

Spelling ... vă rugăm să nu repetați erorile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de "cum să construiască un ellibse", "diferența de elips de la oval" și excentricitatea elefului.

Ecuația canonică a unei elipse are o vedere în cazul în care există numere valide pozitive și. Voi defini definiția unei elipse mai târziu, dar pentru moment fiind timpul să vă relaxați de la șir și să rezolvați o sarcină comună:

Cum de a construi o elipsă?

Da, aici să o luăm și să trageți. Sarcina este adesea găsită și o parte semnificativă a studenților nu se confruntă complet cu desenul:

Exemplul 1.

Construi o elipsă dată de ecuație

Decizie: Mai intai oferim ecuatia la forma canonica:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfurile elipseicare sunt la puncte. Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația.

În acest caz :


Secțiune Apel axa mare elipsă;
secțiune – axa mică;
număr Apel mare semi-ochi elipsă;
număr – o jumătate de secvență mică.
În exemplul nostru :.

Pentru a vă imagina rapid modul în care una sau altă elipsă pare suficient pentru a privi semnificațiile "A" și "Fii" ecuației sale canonice.

Totul este bine, pliat și frumos, dar există o nuanță: am făcut un desen folosind programul. Și puteți desena un desen cu orice aplicație. Cu toate acestea, în realitatea aspră de pe masă există o foaie de hârtie carcasă, iar în mâinile noastre conduc mouse-ul de dans. Oamenii cu talent artistic, desigur, pot argumenta, dar există șoareci și tu și tu (deși, mai mici). Deci, nu e de mirare că omenirea a inventat un conducător, o circulație, transport și alte dispozitive simple de desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să putem trage cu ușurință elipsa, știind una de noduri. În cazul în care nu era, dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semi-axe. Alternativ, puteți reduce scala și, în consecință, dimensiunea desenului. Dar, în general, este extrem de de dorit să găsim puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrice și algebrice. Nu-mi place construcția cu ajutorul unei circulații și a liniei datorită celui mai scurt algoritm și o magnitudine semnificativă a desenului. În caz de necesitate extremă, vă rugăm să consultați manualul și, în realitate, este mult mai rațional să utilizați instrumentele de algebră. Din ecuația elipsei de la Cernivik, i-am exprimat rapid:

Apoi, ecuația se dezintegrează în două funcții:
- determină arcul superior al elipsei;
- determină arcul inferior elipsă.

Elipsa dată de ecuația canonică este simetrică în ceea ce privește axele de coordonate, precum și față de origine. Și acest lucru este excelent - simetria aproape întotdeauna adăpând freebies. Evident, este suficient să se ocupe de primul trimestru de coordonare, deci avem nevoie de o funcție . Găsirea unor puncte suplimentare cu abscissiuni . Aruncați trei SMS pe calculator:

Desigur, este frumos că, dacă se face o eroare gravă în calcul, se va afla imediat în timpul construcției.

Observăm despre desenul punctelor (roșu), simetrice pe celelalte arce (culoarea albastră) și conectați cu ușurință linia All Company:


Schița inițială este mai bine să citească fin subțire și numai apoi să dea creion. Ca rezultat, ar trebui să fie o elipsă destul de demnă. Apropo, nu vrei să știi ce fel de curbă?

Determinarea elipsei. Se concentrează pe elipsa și excentricitatea elipsei

Ellipse este un caz special de oval. Cuvântul "oval" nu ar trebui să fie înțeles în sensul solar ("copilul a pictat un oval", etc.). Acesta este un termen matematic care a dislocat formularea. Scopul acestei lecții nu este luarea în considerare a teoriei ovalelor și a diferitelor tipuri de specii, care practic nu se concentrează în cursul standard al geometriei analitice. Și, în conformitate cu nevoile mai relevante, mergem imediat la definiția strictă a elipsei:

Elipsă - acesta este un set de puncte din avion, cantitatea de distanțe la fiecare dintre care din două puncte de date numite focus Ellipses - Există o valoare permanentă, numerică egală cu lungimea axei mari a acestei elipse :.
În același timp, distanțele dintre focalizare sunt mai mici decât această valoare :.

Acum va fi mai clar:

Imaginați-vă că punctul albastru "merge" de elipsă. Deci, indiferent de punctul de elipsă, vom lua, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Ne asigurăm că, în exemplul nostru, valoarea sumei este într-adevăr opt. Puneți mental punctul "em" în vârful drept al elipsei, atunci: ceea ce trebuia să verifice.

Pe definiția elipsei, se bazează o altă metodă de desen. Matematică mai mare, uneori, cauza tensiunii și stresului, deci este timpul să efectuați o altă sesiune de descărcare. Luați Watman sau o foaie mare de carton și fixați-o la masă cu două garoafe. Acestea vor fi trucuri. Bifați o filet verde legați pălăriile de lipire și trageți-l cu un creion. Gâtul creionului va fi la un moment dat care aparține elipsei. Acum începeți să păstrați un creion pe o foaie de hârtie, păstrând fire verde. puternic întins. Continuați procesul până când vă întoarceți la punctul de plecare ... excelent ... Desenul poate fi transmis pentru a verifica medicul la profesor \u003d)

Cum să găsiți focul unei elipse?

În exemplul dat, am portretizat punctele "gata făcute" ale accentului, iar acum vom învăța cum să le producem din geometria subsolului.

Dacă elipsa este stabilită de ecuația canonică, atunci focul său au coordonate , unde este distanța de la fiecare dintre concentrarea spre centrul de simetrie a elipsei.

Calculele sunt mai ușoare pentru benzile de abur:

Fotografiile! Cu valoarea "CE" este imposibil să se identifice coordonatele specifice de focalizare!Repet ceea ce este Distanța de la fiecare dintre focalizarea spre centru (care, în cazul general, nu este obligat să se afle la începutul coordonatelor).
Și, în consecință, distanța dintre focus ar trebui, de asemenea, legată de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi transferată într-un alt loc, iar valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce focul își schimbă în mod natural coordonatele. Luați în considerare acest moment În cursul studiului ulterior al subiectului.

Ellipses excentricitatea și sensul său geometric

Eccentricitatea elipsă se numește relația care poate lua valori în interior.

În cazul nostru:

Aflăm cum forma unei elipse depinde de excentricitatea sa. Pentru aceasta fixați vârfurile stângi și drepte Elipsa examinată, adică valoarea unei semi-axe mari va rămâne constantă. Apoi formula excentricității va lua forma :.

Să începem să aducem valoarea excentricității la una. Acest lucru este posibil numai dacă. Ce înseamnă? ... Amintiți-vă de trucuri . Aceasta înseamnă că concentrarea elipsei va fi "sfâșiată" de-a lungul axei abscisa la vârfurile laterale. Și, din moment ce "segmentele verzi nu sunt de cauciuc", atunci elipsa va începe în mod inevitabil să se desprindă, transformând totul într-o savură din ce în ce mai subtilă, lovind pe axă.

În acest fel, cu cât este mai apropiată valoarea excentricității elipse la una, elipse mai mult.

Acum simulați procesul opus: Focalizează elipsele S-au dus unul la altul, apropiindu-se cu centrul. Aceasta înseamnă că valoarea "CE" devine mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde la zero :.
În același timp, "segmentele verzi" vor, dimpotrivă, "devine aproape" și vor începe să "împingă" linia de elipsă în sus și în jos.

În acest fel, cu cât este mai apropiată valoarea excentricității față de zero, elipsa este mai asemănătoare... vedem termenul limită atunci când trucurile au reunit cu succes la începutul coordonatelor:

Cercul este un caz special al unei elipse

Într-adevăr, în cazul egalității semi-axelor, ecuația elipsă canonică ia forma care este transformată reflexiv într-o ecuație bine cunoscută a cercului cu un centru la începutul coordonatelor razei "A".

În practică, este mai frecventă înregistrare cu litera "Vorbiți" "ER" :. Raza se numește lungimea segmentului, fiecare punct al cercului scos din centru la distanța razei.

Rețineți că definiția unei elipse rămâne complet corectă: focul a coincis și suma lungimilor segmentelor coincide pentru fiecare punct de circumferință - există o valoare permanentă. Ca distanța dintre focalizare, atunci excentricitatea oricărei circumferințe este zero.

O circumferință este construită cu ușurință și rapidă, suficientă pentru a brava o circulație. Cu toate acestea, uneori este necesar să se afle coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem familiarizat - oferim ecuația cu vesele vesele:

- funcția semicercului superior;
- funcția semicercului inferior.

După care găsim valorile dorite, diferenţial, integra Și faceți alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este referit, dar cum să trăiești în lume fără iubire? Sarcina creativă pentru soluții de sine

Exemplul 2.

Faceți o ecuație elipsă canonică dacă este cunoscută una dintre concentrațiile sale și o jumătate de axă mică (centrul se află la începutul coordonatelor). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și descrieți o linie în desen. Calculați excentricitatea.

Soluție și desen la sfârșitul lecției

Adăugați acțiune:

Rotiți și elipse paralele

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume, cu condiția, a cărei mister este chinuită de mințile inventive de la prima mențiune a acestei curbe. Așa că am revizuit elipsa Dar, în practică, nu se poate îndeplini ecuația ? La urma urmei, aici, pare să fie ca o elipsă!

Această ecuație este rară, dar într-adevăr se întâlnește. Și determină cu adevărat elipsa. Scoateți misticii:

Ca rezultat al construcției, elipsa noastră nativă a fost obținută, rotită la 90 de grade. I.E, - aceasta este Înregistrare unannic. Ellipses. . Record! - ecuația Nu specifică o altă elipsă, deoarece nu există puncte (focus), ceea ce ar satisface definiția elipsei.

Ecuația elipsă canonică are forma

unde a este o jumătate mare; B - Semi-axă mică. Punctele F1 (C, 0) și F2 (-C, 0) - C sunt numite

a, B - semi-axe ale elipsei.

Concentrarea focalizării, excentricitatea, directorul elipzului, dacă este cunoscută ecuația canonică.

Determinarea hiperbolelor. Focalizează hiperbola.

Definiție. Hiperbolul se numește o multitudine de puncte de avion, pentru care modulul diferenței de distanță din două puncte de date, numit Focus există o valoare constantă, distanțe mai mici între focalizare.

Prin definiție R1 - R2 | \u003d 2A. F1, F2 - focalizează hiperbele. F1f2 \u003d 2c.

Ecuația canonică Hyperbola. Semi-ochi hiperbles. Construcția hiperbolurilor, dacă este cunoscută ecuația canonică.

Ecuația canonică:

Hiperbolul mare de jumătate axă este jumătate din distanța minimă dintre cele două ramuri ale hiperbolelor, pe pozitive și laturi negative axă (stânga și dreaptă față de începutul coordonatelor). Pentru o ramură situată pe partea pozitivă, va fi o jumătate de cale:

Dacă o exprimați printr-o secțiune conică și excentricitate, atunci expresia ia forma:

Focalizarea focalizării, excentricitatea, directorul Hyperbola, dacă este cunoscută ecuația canonică.

Eccentricitatea Hyperbolas

Definiție. Raportul se numește o excentricitate a hiperberilor, unde c -

jumătate din distanța dintre focalizare, a - semi-axe valide.

Având în vedere faptul că C2 - A2 \u003d B2:

Dacă A \u003d B, E \u003d, atunci hiperbolul se numește egal (echilateral).

Directorii hiperbolici

Definiție. Două hiperble de axe valabile drepte și perpendiculare și situate simetric față de centru la o distanță de A / E, se numesc dipercole de hiperbole. Ecuațiile lor :.

Teorema. Dacă R este distanța de la un punct arbitrar m de hiperbola la orice focalizare, D este distanța de la același punct la focalizarea corespunzătoare a directei, raportul R / D este o valoare permanentă egală cu excentricitatea.

Definiția parabola. Focus și director al Parabolei.

Parabolă. Un parabol se numește o locație geometrică a punctelor, fiecare dintre acestea fiind îndepărtată în mod egal dintr-un anumit punct fix și dintr-o linie dreaptă fixă. Punctul din care este în discuție în definiție se numește centrul Parabolei și directorul direct -.

Ecuația parabolei canonice. Parametri parametri. Construi o parabolă.

Ecuația parabolei canonice în sistemul de coordonate dreptunghiulare: (sau, dacă schimbați locurile axei).

Construcția parabolei la o valoare dată a parametrului P se efectuează în următoarea secvență:

Axa simetriei parabolei se efectuează și segmentul KF \u003d P este întârziat pe acesta;

Prin punctul K perpendicular pe axa de simetrie este efectuată de directorul DD1;

Cut KF se împarte în jumătate obțineți o parabolă de vârf 0;

De la vârful un număr de puncte arbitrare 1, 2, 3, 5, 6 cu creșterea treptată a distanței dintre ele;

Prin aceste puncte se efectuează axe parabolice perpendiculare auxiliare;

Pe liniile auxiliare fac serif de o rază egală cu distanța de la o linie dreaptă către director;

Punctele obținute sunt conectate printr-o curbă netedă.

Curbele de ordinul doi În avion se numește linii definite de ecuații în care variabilele de coordonate x. și y. Conținute într-un grad al doilea. Acestea includ elipse, hiperbole și parabola.

Vederea generală a ecuației curbei de a doua ordine este următoarea:

unde A, B, C, D, E, F - numere și cel puțin unul dintre coeficienți A, B, C Nu egale cu zero.

La rezolvarea problemelor cu curbele de ordinul secundar, ecuațiile elipse canonice, hiperbolele și parabolele sunt cel mai adesea luate în considerare. Este ușor să se mute la ecuații comune, acest lucru va fi dedicat unui exemplu de 1 sarcini cu elipse.

Elipsă dată de ecuația canonică

Determinarea elipsei. Elipsa este setul de toate punctele din avion, astfel încât cantitatea de distanțe față de puncte, numită Focus, este valoarea constantă și mare decât distanța dintre focalizare.

Focalizarea sunt indicate ca în figura de mai jos.

Ecuația elipsă canonică are forma:

unde a. și b. (a. > b.) - lungimea semi-axa, adică jumătate din lungimile segmentelor tăiate de elipsa pe axele de coordonate.

Direct, trecând prin concentrarea elipsei, este axa sa de simetrie. O altă axă de simetrie a elipsei este dreaptă, trecând prin mijlocul segmentului perpendicular pe acest segment. Punct DESPRE Intersecțiile acestor directori servesc ca centru al simetriei elipsei sau pur și simplu centrul elipsei.

Abisul Abscisa Ellipse traversează la puncte ( a., DESPRE) și (- a., DESPRE), iar axa ordonată - la puncte ( b., DESPRE) și (- b., DESPRE). Aceste patru puncte sunt numite vârfuri ale elipsei. Segmentul dintre vârfurile elipsei de pe axa Abscisa se numește axa sa mare și pe axa ordonată - o axă mică. Segmentele lor de la vârf în centrul elipsei se numesc semi-axe.

În cazul în care un a. = b. Ecuația elipsei ia forma. Aceasta este ecuația unui cerc de rază a. , Iar cercul este un caz special al unei elipse. Elipsa poate fi obținută din cercul razei a. Dacă strângeți-o înăuntru a./b. Odată de-a lungul axei Oy. .

Exemplul 1.Verificați dacă linia specificată de ecuația globală este , Ellipse.

Decizie. Producem transformarea ecuației generale. Folosim transferul unui membru gratuit în partea dreaptă, divizia de sol a ecuației pentru același număr și reducerea fracțiunilor:

Răspuns. Ecuația obținută prin transformările rezultate este ecuația canonică a elipsei. În consecință, această linie este o elipsă.

Exemplul 2.Faceți o ecuație elipsă canonică dacă semi-axa sa este, respectiv, 5 și 4.

Decizie. Ne uităm la formula ecuației canonice a elipsei și înlocuitorul: o jumătate mare este a. \u003d 5, semi-axa mai mică este b. \u003d 4. Obținem ecuația canonică a elipsei:

Puncte și verde marcat pe axa mai mare unde

numit. focus.

numit. excentricitate elipsă.

Atitudine b./a. caracterizează elipsa "combustibil". Cu cât această atitudine, cu atât mai puternică, elipsa este trasă de-a lungul unei axe mari. Cu toate acestea, gradul de epuizare a elipsei este mai des acceptat să se exprime prin excentricitate, formula fiind dată mai sus. Pentru diferite elipse, excentricitatea variază între 0 și 1, rămânând întotdeauna mai mică de una.

Exemplul 3.Faceți o ecuație elipsă canonică dacă distanța dintre focalizare este 8 și axa mare este de 10.

Decizie. Facem concluzii necomplicate:

Dacă axa mare este egală cu 10, atunci jumătate, adică el a. = 5 ,

Dacă distanța dintre focalizare este de 8, atunci numărul c. Din coordonatele focalizate este egal cu 4.

Înlocuim și calculați:

Rezultatul este ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 4.Faceți o ecuație elipsă canonică dacă axa sa mare este de 26 și excentricitatea.

Decizie. După cum rezultă din dimensiunea axei mai mari și din ecuația excentricității, semi-axa mare a elipsei a. \u003d 13. Din ecuația escentrisitte, exprimăm numărul c.necesare pentru a calcula lungimea unei axe mai mici:

.

Calculați pătratul lungimii celei mai mici semi-axe:

Facem o ecuație elipsă canonică:

Exemplul 5.Determină focul unei elipse date de ecuația canonică.

Decizie. Ar trebui să găsiți un număr c.Definirea primelor coordonate ale focusului elipsei:

.

Avem focalizarea elipsei:

Exemplul 6.Elipse se concentrează pe axa BOU. Simetric în raport cu începutul coordonatelor. Face o ecuație elipsă canonică dacă:

1) Distanța dintre Focus 30 și o axă mare 34

2) Axa mică 24 și una dintre accentul este la punctul (-5; 0)

3) excentricitatea și unul dintre accentul este la punctul (6; 0)

Continuăm să rezolvăm problemele de pe elipsă împreună

Dacă există un punct arbitrar al elipsei (desenul este indicat de verde în partea dreaptă superioară a elipsei) și - distanța până la acest punct de la focalizare, atunci formulele pentru distanțe sunt următoarele:

Pentru fiecare punct aparținând elipsei, cantitatea de distanțe de la focalizare este valoarea constantă, egală cu 2 a..

Ecuații definite de ecuații

numit. directoare Elipses (în linii roșii de desen de-a lungul marginilor).

Din cele două ecuații de mai sus, rezultă că pentru orice punct al elipsei

,

unde și - distanțele acestui punct în fața directorului și.

Exemplul 7.Dan Ellipse. Face ecuația directorului său.

Decizie. Ne uităm la ecuația regizorului și descoperim ceea ce este necesar pentru a găsi excentricitatea elipsă, adică .. Toate datele pentru acest lucru sunt. Calculati:

.

Obținem ecuația direcției elipsei:

Exemplul 8.Creați o ecuație elipsă canonică dacă focalizarea este punctele, iar direcția este directă.