Instruire în matematică pe tema „Ecuații” (nota 5). Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple Pentru 5 soluție

O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Astăzi vom afla cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 = 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 = 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o adevărată egalitate decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 = 13 în loc de x necunoscut pentru a înlocui numărul 2, atunci obținem egalitatea corectă 3 · 2 +7 = 13. Prin urmare, valoarea x = 2 este soluția sau rădăcina a ecuației.

Și valoarea x = 3 nu transformă ecuația 3x + 7 = 13 într-o adevărată egalitate, deoarece 3 · 2 +7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x = 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Orice soluție ecuatii lineare se reduce la rezolvarea ecuațiilor formei

ax + b = 0.

Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației în dreapta, schimbând semnul din fața lui b în opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci х = - b / a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 = 11.

Mutați 2 din partea stângă a ecuației spre dreapta, în timp ce schimbați semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x = 11 - 2.

Scade apoi
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9: 3.

Prin urmare, valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x = 0. Această ecuație are infinit de multe soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b este, de asemenea, egal cu 0. Orice număr este o soluție la această ecuație.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 5 (x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 = 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x = - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată termeni similari:
0x = 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece înmulțind orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm membrii care conțin necunoscute în stânga și membri liberi în dreapta:
x - x = 5 - 8.

Iată termeni similari:
0x = - 3.

Răspuns: nu există soluții.

Pe poza 1 arată schema de rezolvare a ecuației liniare

Să compunem schemă generală soluții de ecuații într-o singură variabilă. Luați în considerare soluția la exemplul 4.

Exemplul 4. Să se rezolve ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere, obținem
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, extindem parantezele:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Să grupăm într-o parte membrii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - membri liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată termeni similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la - 22, Primim
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate conform următoarei scheme:

a) aduceți ecuația la întreaga sa formă;

b) deschideți parantezele;

c) grupați termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației și termenii liberi în cealaltă;

d) aduc membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma ax = b, care a fost obținută după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Atunci când rezolvi multe altele ecuații simple trebuie să începi nu cu primul, ci cu al doilea ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Găsiți necunoscutul x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare găsite în examenul principal de stare.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Răspuns: - 0, 125

Exemplul 7. Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) = 8x - 7.

- 30 + 18x = 8x - 7

18x - 8x = - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3 (3x - 4) = 4,7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemplul 9. Găsiți f (6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f (6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvați ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x = 6 - 2, x = 4.

Dacă x = 4, atunci
f (6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Răspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, dacă doriți să vă ocupați mai bine de soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline recomandă, de asemenea, vizionarea unui nou tutorial video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Lecția numărul 33

Subiect: Ecuații

Obiectivele lecției:

Să generalizeze și să sistematizeze cunoștințele elevilor pe tema studiată, să continue să lucreze la formarea abilității de a rezolva ecuații și probleme prin elaborarea de ecuații.

Îmbunătățiți abilitățile de calcul ale elevilor

Încurajați o atitudine responsabilă față de învățare.

Criterii de succes

Știu …

Am înțeles …

Eu pot ….

În timpul orelor

Moment introductiv - motivațional

Prieteni matematici
Absolut toată lumea are nevoie de ea.
Lucrați cu sârguință la lecție
Și succesul vă va aștepta cu siguranță!

Astăzi continuăm să învățăm cum să rezolvăm ecuații și probleme prin construirea unei ecuații.

Actualizarea cunoștințelor

Pentru a finaliza sarcinile, vom repeta conceptele de bază necesare rezolvării ecuațiilor și problemelor care sunt rezolvate prin metoda de întocmire a ecuațiilor.

( )

Ce egalitate se numește ecuație?

Ce număr se numește rădăcina ecuației?

Ce înseamnă să rezolvi o ecuație?

Cum se verifică dacă ecuația este rezolvată corect?

Verificarea executării teme pentru acasă (Slide numărul 2)

(verificarea temelor se face folosind un autotest)

Soluție studentească cu vorbire

(x - 87) - 27 = 36

87 - (41 + y) = 22

x - 87 = 36 + 27

41 + y = 87 - 22

x - 87 = 63

41 + y = 65

x = 63 + 87

y = 65 - 41

x = 150

y = 24

Examinare

(150 – 87) - = 36

87 – (41 + 24) = 22

63 – 27 = 36

87 – 65 = 22

36 = 36 (corect)

22 = 22 (adevărat)

Munca orală

1. Numiți numerele ecuațiilor (ecuațiile sunt scrise pe tablă) în care trebuie să găsiți termenul.
În ce ecuații este necunoscută diminuată?
În ce ecuații trebuie să găsiți scăderea?
În ce ecuații este necunoscut termenul?
Găsiți rădăcinile ecuațiilor.

x + 21 = 40; 2) a - 21 = 40; 3) 50 = a + 31; 4) s - 23 = 61; 5) 42 = 70 - y;

6) 38 - x = 38; 7) 25 - a = 25; 8) x + 32 = 32; 9) y - 0 = 27; 10) 60 - c = 35

(Slide numărul 3)

Lucrul în grupuri
Găsiți un număr necunoscut:

1) Adăugați 71 la necunoscut, obțineți 100.
(x + 71 = 100)
x = 100 - 71
x = 29
2) Produsul a două numere 72, un factor este 12, găsiți al doilea factor.
12 * X = 72
X = 72: 12
X = 6
3) Când împărțim un număr la 9 în coeficient, obținem 11. Aflați acest număr.
x: 9 = 31
x = 31 * 9
x = 279

Lucrul la ecuații (Slide numărul 5)

Elevii sunt invitați să compună trei ecuații conform condițiilor și să rezolve aceste ecuații în următoarea ordine:
1) Diferența dintre suma numerelor „x” și 40 este mai mare decât numărul 31 cu 50.
(Ecuația este rezolvată cu comentarii)
2) Numărul 70 este mai mare decât suma numărului 25 și „y” cu 38.
(Elevii rezolvă ecuația independent, iar unul dintre elevi notează soluția pe spatele tablii)
3) Diferența dintre numărul 120 și numărul "a" este mai mică decât numărul 65 cu 53.
(Soluția la ecuație este scrisă în întregime pe tablă, după care întreaga clasă discută soluția la ecuație)

Lucrați la sarcini (diapozitivul numărul 6)

Problema numărul 1
În cutie erau mai multe mere. După ce au mai fost introduse 32 de mere, sunt 81. Câte mere erau inițial în cutie?

Ce spune problema? Ce acțiuni ai făcut cu merele? Ce trebuie să învățați în această sarcină? Ce trebuie indicat cu o scrisoare?
Să presupunem că au fost x mere în coș. După ce au mai fost introduse 32 de mere, au existat (x + 32) mere și, în funcție de starea problemei, au fost 81 de mere în coș.
Deci, putem compune ecuația:
x + 32 = 81,
x = 81 - 32,
x = 49

Coșul conținea inițial 49 de mere.
Răspuns: 49 mere.

Problema numărul 2
În atelier erau 70 (m) țesături. Rochii au fost cusute dintr-o parte a țesăturii și alte 18 (m) au fost folosite pentru pantaloni, după care au rămas 23 (m). Câți metri de țesătură au mers rochiile?

Ce spune problema? Ce ai făcut cu țesătura? Ce trebuie să învățați în această sarcină? Ce trebuie indicat cu o scrisoare?
Să se cheltuiască țesături x (m) pe rochii. Apoi (x + 18) metri de țesătură erau folosiți pentru a coase rochii și pantaloni. Prin starea problemei, se știe că au mai rămas 23 m.
Deci putem face o ecuație:
70 - (x + 18) = 23,
x + 18 = 70 - 23,
x + 18 = 47,
x = 47 - 18,
x = 29.

Rochiile foloseau 29 de metri de țesătură.
Răspuns: 29 de metri.

Muncă independentă (Slide numărul 7)

Studenților li se oferă lucrări independente în două versiuni.

Opțiunea 1

Opțiunea 2

Rezolvați ecuațiile:

1) 320 - x = 176

1) 450 - y = 246

2) y + 294 = 501

2) x + 386 = 602

Makarova T.P., GBOU Scoala Gimnazială Nr. 618 Instruirea „Ecuații” Clasa a 5-a

Instruire pentru clasa a 5-a pe tema „Ecuații” în 2 versiuni

Makarova Tatiana Pavlovna,

Profesor Scoala Gimnazială GBOU nr. 618, Moscova

Continent: clasa a V-a

Instruirea vizează testarea cunoștințelor și abilităților elevilor pe tema „Ecuații”. Instruirea este destinată elevilor din clasa a V-a pentru manualul N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhova și alții. Manual pentru clasa a 5-a. - M.: Mnemosina, 2013. - 288p. Testul conține două variante paralele de dificultate egală, nouă sarcini fiecare (4 sarcini cu o gamă de răspunsuri, 3 sarcini cu răspuns scurt, 2 sarcini cu o soluție detaliată).

Această instruire este pe deplin conformă cu standardul educațional al statului federal (a doua generație), poate fi utilizată în timpul controlului clasei și poate fi folosită și de elevii de clasa a 5-a pentru muncă independentă pe această temă.

Pentru a finaliza testul, sunt alocate 15-25 de minute de lecție. Cheile sunt incluse.

Instruire pentru clasa a 5-a pe tema „Ecuații”. Opțiunea 1.

№p / p

Exercițiu

Răspuns

Rezolvați ecuația

574

1124

1114

1024

Găsiți rădăcina ecuației

(156-X )+43=170.

1) Rădăcina ecuației este semnificația literei.

2) Rădăcina ecuației (23 - NS) - 21 = 2 nu este un număr natural.

3) Pentru a găsi necunoscutul scăzut, este necesar să scădem diferența de la cel redus.

4) Ecuația x - x= 0 are exact o rădăcină.

Petya a conceput un număr. Dacă adăugăm 43 la acest număr și adăugăm 77 la total, obținem 258. La ce număr s-a gândit Petya?

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

Rezolvați ecuația: (5 cu – 8) : 2 = 121: 11.

Rezolvați ecuația: 821 - ( m + 268) = 349.

Găsiți semnificația numărului A dacă 8 A + 9NS= 60 și NS=4.

Rezolvați problema folosind o ecuație. Biblioteca avea 125 de cărți despre matematică. După ce elevii au luat mai multe cărți și apoi au fost returnate 3 cărți, au fost 116. Câte cărți au luat elevii?

Rezolvați ecuația:

456 + (NS – 367) – 225 =898

Instruire pentru clasa a 5-a pe tema „Ecuații”. Opțiunea 2.

№p / p

Exercițiu

Răspuns

Partea 1. Atribuire cu răspunsuri multiple

Rezolvați ecuația

525

1081

535

1071

Găsiți rădăcina ecuației

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

Indicați numerele afirmațiilor corecte:

1) O ecuație este o egalitate care conține o literă, a cărei valoare trebuie găsită.

2) Orice numar natural este rădăcina ecuației

3) Rădăcina ecuației este valoarea literei, la care se obține expresia numerică corectă din ecuație.

4) Pentru a găsi un dividend necunoscut, trebuie să adăugați un divizor la coeficient.

Dasha a conceput un număr. Dacă adunăm 43 la acest număr și scădem 77 din suma primită, obținem 258. Ce număr are în vedere Dasha?

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

Partea 2. Sarcină cu un răspuns scurt

Rezolvați ecuația: 63: (2 NS – 1) = 21: 3.

Rezolvați ecuația: 748 - ( b +248) = 300.

Găsiți semnificația numărului A dacă 7 A – 3NS= 41 și NS=5.

Partea 3. Sarcini cu o soluție detaliată

Rezolvați problema folosind o ecuație. În depozit erau 197 utilaje. După ce o parte a fost vândută și alte 86 au fost aduse, mai sunt încă 115 utilaje rămase în depozit. Câte mașini ați vândut în total?

Una dintre cele mai importante abilități în admiterea în clasa a 5-a este capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații. Întrucât clasa a 5-a nu este încă atât de departe de scoala primara, atunci nu există atât de multe tipuri de ecuații pe care un student le poate rezolva. Vă vom prezenta toate tipurile de bază ale ecuațiilor pe care trebuie să le puteți rezolva dacă doriți înscrie-te la o școală de fizică și matematică.

Tipul 1: „bulbos”
Acestea sunt ecuații care sunt aproape susceptibile să vă apară atunci când admiterea la orice școală sau un cerc de clasa 5 ca sarcină separată. Sunt ușor de distins de altele: variabila este prezentă o singură dată în ele. De exemplu, sau.
Ele sunt rezolvate foarte simplu: trebuie doar să „ajungeți” la necunoscut, treptat „înlăturând” tot ceea ce nu este necesar - ca și cum ar fi să curățați o ceapă - de unde și numele. Pentru a o rezolva, este suficient să ne amintim câteva reguli din clasa a doua. Să le enumerăm pe toate:

Plus

termen1 + termen2 = sumă
termen1 = sumă - termen2
termen2 = sumă - termen1

Scădere

scăzut - scăzut = diferență
scăzut = scăzut + diferență
scăzut = scăzut - diferență

Multiplicare

factor1 * factor2 = produs
factor1 = produs: factor2
factor2 = produs: factor1

Divizia

dividend: divizor = coeficient
dividend = divizor * coeficient
divizor = dividend: quotient

Să luăm un exemplu de aplicare a acestor reguli.

Rețineți că împărțim pe și ajungem. În această situație, cunoaștem divizorul și coeficientul. Pentru a găsi dividendul, trebuie să înmulțiți divizorul cu coeficientul:

Ne-am apropiat puțin de noi. Acum vedem asta adăugat și obținut. Deci, pentru a găsi unul dintre termeni, trebuie să scădem termenul cunoscut din sumă:

Și încă un „strat” este eliminat din necunoscut! Acum vedem o situație cu o valoare cunoscută a produsului () și un factor cunoscut ().

Acum situația „a scăzut - scăzut = diferență”

Și ultimul pas este produsul cunoscut () și unul dintre factori ()

Tipul 2: ecuații cu paranteze
Ecuațiile de acest tip se întâlnesc cel mai adesea în probleme - 90% din toate problemele pentru admiterea în clasa a 5-a... Spre deosebire de "ecuații de ceapă" variabila poate apărea aici de mai multe ori, deci este imposibil să o rezolvi folosind metodele din paragraful anterior. Ecuații tipice: sau
Dificultatea principală este deschiderea corectă a parantezelor. După ce am reușit să facem acest lucru corect, ar trebui să aducem termeni similari (numere la numere, variabile la variabile), iar după aceea obținem cel mai simplu "ecuație de ceapă" că știm să rezolvăm. Dar mai întâi lucrurile.

Paranteze extinse... Vom da câteva reguli care ar trebui utilizate în acest caz. Dar, după cum arată practica, elevul începe să deschidă corect parantezele numai după 70-80 de probleme rezolvate. Regula de bază este următoarea: orice factor din afara parantezelor trebuie înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Iar minusul din fața parantezei schimbă semnul tuturor expresiilor din interior. Deci, regulile de bază ale divulgării:

Aducerea similară... Totul este mult mai ușor aici: transferând termenii prin semnul egal, trebuie să vă asigurați că pe de o parte există doar termeni cu necunoscutul, iar pe de altă parte - numai numere. Regula de bază este aceasta: fiecare termen realizat își schimbă semnul - dacă a fost cu, va deveni c și invers. După un transfer reușit, este necesar să se numere numărul total de necunoscute, numărul final stând pe cealaltă parte a egalității decât variabilele și să se rezolve primul "ecuație de ceapă".

În acest videoclip, vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care este cea mai simplă dintre ele?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai în primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

Extindeți parantezele, dacă există;
Mutați termeni care conțin o variabilă pe o parte a semnului egal și termeni fără o variabilă pe cealaltă;
Aduceți termeni similari în stânga și în dreapta semnului egal;
Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $ x $.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Faptul este că uneori, după toate aceste mașinării, coeficientul la variabila $ x $ se dovedește a fi zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când primiți ceva de genul $ 0 \ cdot x = 8 $, adică există un zero în stânga și un număr diferit de zero în dreapta. În videoclipul de mai jos, vom analiza simultan mai multe motive pentru care este posibilă o astfel de situație.
Soluția este toate numerele. Singurul caz când acest lucru este posibil este că ecuația a fost redusă la construcția $ 0 \ cdot x = 0 $. Este destul de logic că, indiferent de $ x $ pe care îl înlocuim, va rezulta în continuare „zero egal cu zero”, adică egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează totul în problemele din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate cam în același mod:

În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
Apoi aduceți similar
În cele din urmă, profitați de variabilă, adică tot ceea ce este asociat cu o variabilă - termenii în care este conținută - ar trebui transferat într-o singură direcție și tot ceea ce a rămas fără ea ar trebui transferat pe cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare pe fiecare parte a egalității obținute și, după aceea, rămâne doar să împărțiți la coeficientul la "x" și vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru arată frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii cu experiență din liceu pot face greșeli ofensatoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei greșelile se fac fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau astfel încât soluția să fie întreaga linie numerică, adică orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, după cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare

Pentru început, permiteți-mi să scriu din nou întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

Extindeți parantezele, dacă există.
Secretăm variabilele, adică tot ce conține „x” este transferat pe o parte și fără „x” - pe cealaltă.
Prezentăm termeni similari.
Împărțim totul în coeficientul la „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor din viața reală de ecuații liniare simple

Problema numărul 1

În primul pas, ni se cere să extindem parantezele. Dar ele nu sunt în acest exemplu, așa că omitem această etapă. În al doilea pas, trebuie să profităm de variabile. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai să scriem:

Oferim termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru a fost deja făcut. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțiți la coeficient:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Așa că am primit răspunsul.

Problema numărul 2

În această sarcină, putem observa parantezele, deci să le extindem:

Atât în stânga, cât și în dreapta, vedem aproximativ aceeași construcție, dar să procedăm conform algoritmului, adică secretăm variabilele:

Iată altele similare:

La ce rădăcini se efectuează. Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $ x $ este orice număr.

Problema numărul 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\ [\ left (6-x \ right) + \ left (12 + x \ right) - \ left (3-2x \ right) = 15 \]

Există mai multe paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, au doar semne diferite în față. Să le deschidem:

Realizăm al doilea pas deja cunoscut de noi:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Hai să numărăm:

Realizăm ultimul pas - împărțim totul la coeficientul la "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuațiile liniare

În afară de sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
Chiar dacă există rădăcini, poate fi zero între ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și restul, nu ar trebui să-l discriminați în niciun fel sau să presupuneți că dacă obțineți zero, atunci ați făcut ceva greșit.

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, atunci îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus... Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: obținem ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui fapt simplu vă va permite să evitați greșelile stupide și dureroase din liceu, atunci când astfel de acțiuni sunt luate de la sine.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum, construcțiile vor deveni mai complexe și va apărea o funcție pătratică atunci când se efectuează diverse transformări. Cu toate acestea, nu ar trebui să vă fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare, toți monomii care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar anulați.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este extinderea parantezelor. Să o facem foarte atent:

Acum pentru confidențialitate:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Iată altele similare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că scriem în răspuns:

\ [\ varnothing \]

sau fără rădăcini.

Exemplul nr. 2

Urmăm aceiași pași. Primul pas:

Mutați totul cu variabila la stânga și fără ea la dreapta:

Iată altele similare:

Evident, această ecuație liniară nu are o soluție, așa că o scriem astfel:

\ [\ varnothing \],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe de soluție

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: pot exista fie una, fie nici una, sau infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am considerat două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de a dezvălui, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Notă: se înmulțește fiecare termen individual... În interior există doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după efectuarea acestor transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase, puteți extinde parantezele din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după aceasta. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că există un semn minus în fața parantezelor, ceea ce înseamnă că tot ce coboară doar schimbă semnele. În acest caz, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și minusul principal.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător atrag atenția asupra acestor fapte mici, aparent nesemnificative. Deoarece rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, în care incapacitatea de a efectua în mod clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni ziua și veți perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul într-un singur rând. Dar, în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea ecuațiilor liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum, este deja dificil să numim cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Problema numărul 1

\ [\ left (7x + 1 \ right) \ left (3x-1 \ right) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Să multiplicăm toate elementele din prima parte:

Să facem reclamația:

Iată altele similare:

Realizăm ultimul pas:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare a coeficienților cu funcție pătratică, aceștia s-au anihilat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.

Problema numărul 2

\ [\ left (1-4x \ right) \ left (1-3x \ right) = 6x \ left (2x-1 \ right) \]

Să facem primul pas îngrijit: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din a doua. În total, ar trebui să existe patru termeni noi după transformări:

Acum, să efectuăm cu atenție multiplicarea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Iată termeni similari:

Din nou, am primit răspunsul final.

Nuanțe de soluție

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim parantezele în care există mai mult decât este un termen, atunci acest lucru se face în conformitate cu următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțiți cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și înmulțim în mod similar cu fiecare element din al doilea. Drept urmare, obținem patru termeni.

Suma algebrică

Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin 1-7 dolari înțelegem design simplu: scade șapte dintr-unul. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Astfel diferă suma algebrică de cea aritmetică obișnuită.

Odată ce, când efectuați toate transformările, fiecare adunare și multiplicare, începeți să vedeți construcții similare cu cele descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră atunci când lucrați cu polinoame și ecuații.

În concluzie, să ne uităm la câteva alte exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele pe care tocmai le-am analizat și, pentru a le rezolva, va trebui să ne extindem ușor algoritmul standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție

Pentru a rezolva astfel de probleme, va trebui să adăugăm încă un pas algoritmului nostru. Dar mai întâi, voi reaminti algoritmul nostru:

Extindeți parantezele.
Variabile separate.
Aduceți altele similare.
Împărțiți după factor.

Din păcate, acest algoritm excelent, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin adecvat atunci când avem fracții în față. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Totul este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care se poate face atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăpați de fracțiuni. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:

Scapă de fracțiuni.
Extindeți parantezele.
Variabile separate.
Aduceți altele similare.
Împărțiți după factor.

Ce înseamnă „a scăpa de fracțiuni”? Și de ce se poate face acest lucru atât după cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice cu numitorul, adică peste tot în numitor este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci scăpăm de fracții.

Exemplul nr. 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left ((((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

Atenție: totul se înmulțește cu „patru” o dată, adică. Doar pentru că aveți două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulțiți cu patru. Să notăm:

\ [\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

Acum să deschidem:

Facem izolarea variabilei:

Reducem termeni similari:

\ [- 4x = -1 \ left | : \ left (-4 \ right) \ right. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Am obținut soluția finală, mergem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Aici efectuăm aceleași acțiuni:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Problema a fost rezolvată.

De fapt, asta este tot ceea ce am vrut să spun astăzi.

Puncte cheie

Principalele constatări sunt următoarele:

Cunoașteți algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor liniare.
Abilitatea de a deschide paranteze.
Nu vă faceți griji dacă aveți funcții pătratice undeva, cel mai probabil se vor micșora în procesul de transformări ulterioare.
Rădăcinile în ecuații liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există deloc rădăcini.

Sper că această lecție te va ajuta să stăpânești un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, accesați site-ul, rezolvați exemplele prezentate acolo. Rămâneți la curent, mai sunt multe lucruri interesante care vă așteaptă!