Ceea ce este unghiul adiacent. Unghiuri verticale. Ce este un unghi adiacent

Ce este un unghi adiacent

Unghi- Aceasta este o formă geometrică (figura 1), formată din două grinzi de OA și OB (partea unghiului), emanând de la un punct O (vârful colțului).

Unghiuri similare - Două unghi, suma este de 180 °. Fiecare dintre aceste unghiuri completează pe celălalt unghiul extins.

Unghiuri similare - (Agles Ajentes) sunt astfel încât au un vârf total și o parte comună. În cea mai mare parte, sub acest nume, există astfel de unghiuri că celelalte două părți se află în direcții opuse ale unei linii drepte efectuate prin.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o parte în comun, iar alte partide ale acestor unghiuri sunt semicercuri suplimentare.

smochin. 2.

În figura 2, unghiurile A1B și A2B sunt adiacente. Ei au o parte comună B, iar părțile A1, A2 sunt semi-simplicabile suplimentare.

smochin. 3.

Figura 3 prezintă un AB drept, punctul C este situat între punctele A și B. Punctul D este punctul care nu se află pe un AB direct. Se pare că colțurile BCD și ACD adiacente. Acestea au partea totală a CD-ului, iar părțile laterale ale CA și CB sunt suplimentare semicirculare directe AB, deoarece punctele A, B sunt separate prin punctul de plecare C.

Teorema unghiurilor adiacente

Teorema: Suma unghiurilor adiacente este de 180 °

Dovezi:
Unghiurile A1B și A2B adiacente (vezi figura 2) Beam B trece între părțile laterale ale A1 și A2 ale unghiului extins. În consecință, suma unghiurilor A1B și A2B este egală cu colțul expandat, adică la 180 °. Teorema este dovedită.

Un unghi egal cu 90 ° este numit direct. Din teorema de pe cantitatea de unghiuri adiacente, rezultă că unghiul, adiacent unghiului drept este, de asemenea, un unghi drept. Unghiul mai mic de 90 ° este numit ascuțit, iar unghiul este mai mare de 90 ° - stupid. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180 °, înseamnă un unghi, adiacent unui unghi ascuțit - un unghi stupid. Și unghiul adiacent cu un unghi stupid este un colț ascuțit.

Unghiuri similare - Două unghiuri cu un vârf total, una dintre marginea cărora este generală, iar părțile rămase se află pe o linie dreaptă (care nu coincide). Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.

Definiție 1. Unghiul este numit o parte a unui avion limitat la două raze cu un început total.

Definiție 1.1. Unghiul se numește o figură constând dintr-un punct - vârful unghiului - și două semicercuri diferite, care provin din acest punct, partidele unghiului.
De exemplu, unghiul de cel mai bun pe Fig va lua în considerare primele două linii drepte intersectate. Când treceți colțurile liniei drepte. Există cazuri speciale:

Definiția 2. Dacă partea unghiului este semi-simplicabilă suplimentară dreaptă, unghiul este numit extins.

Definiția 3. Un unghi drept este un unghi de 90 de grade.

Definiție 4. Un unghi, mai mic de 90 de grade, este numit un unghi ascuțit.

Definiție 5. Un unghi mai mare de 90 de grade și un grad de 180 mai mici este numit un unghi blond.
intersectează drept.

Definiția 6. Două unghiuri, o parte a căror parte este comună, iar alte partide se află pe o singură direcție, sunt numite adiacente.

Definiție 7. Colțurile care se continuă unul pe altul sunt numite unghiuri verticale.
Figura 1:
legate: 1 și 2; 2 și 3; 3 și 4; 4 și 1.
vertical: 1 și 3; 2 și 4.
Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.
Pentru dovadă, luați în considerare în fig. 4 unghiuri adiacente ale AOS și Vos. Suma lor este unghiul detaliat al AOS. Prin urmare, suma acestor unghiuri adiacente este de 180 de grade.

Smochin. patru.

Comunicarea matematicii cu muzică

"Frucând pe artă și știință, despre relațiile lor reciproce și contradicții, am ajuns la concluzia că matematica și muzica sunt pe polițele extreme ale spiritului uman pe care toate cele două antipode sunt limitate și determinate de toate activitățile spirituale creative ale omului și Că totul este situat între ele, că omenirea a creat în domeniul științei și artei. "
NiGauses.
Se pare că arta este foarte distrasă de matematică. Cu toate acestea, conectarea matematicii și a muzicii se datorează atât istoric cât și intern, în ciuda faptului că matematica este cea mai abstractă a științelor, iar muzica este cea mai distrasă tip de artă.
Consultanța determină plăcerea de a auzi sunetul unui șir
Baza acestui sistem muzical a fost două legi care poartă numele a două mari oameni de știință - Pitagora și Archite. Acestea sunt aceste legi:
1. Două corzi sonore definesc consistența, dacă lungimile lor se referă ca întregi care formează numărul triunghiular 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4, adică Cum 1: 2, 2: 3, 3: 4. Mai mult decât atât, cu atât este mai mic numărul N în ceea ce privește N: (n + 1) (n \u003d 1,2,3), faptul că intervalul rezultat.
2. Frecvența oscilației W Sounding String este invers proporțională cu lungimea L.
w \u003d a: l,
unde A este caracterizarea coeficientului proprietăți fizice siruri de caractere.

De asemenea, vă voi sugera atenția o parodie amuzantă a disputei a două matematicieni \u003d)

Geometria în jurul SUA

Geometria din viața noastră are un înțeles important. Datorită faptului că, atunci când privim în jur, nu va fi dificil să observăm că înconjoară diferite forme geometrice. Ne confruntăm peste tot: pe stradă, în sala de clasă, acasă, în parc, în sala de gimnastică, într-o cantină școlară, în principiu, oriunde am fost. Dar lecția de astăzi este un cărbune adiacent. Prin urmare, să ne uităm în jur și să încercăm să găsim colțuri în acest mediu. Dacă vă uitați cu atenție pe fereastră, puteți vedea că unele ramuri ale copacului formează unghiuri adiacente și în partiții de pe poartă, pot fi văzute multe unghiuri verticale. Dați exemplele dvs. de unghiuri adiacente pe care le observați în mediul înconjurător.

Exercitiul 1.

1. Aici, pe tabelul de pe standul de carte există o carte. Ce fel de colț se formează?
2. Dar studentul lucrează pentru un laptop. Ce unghi vezi aici?
3. Ce unghi formează un cadru de fotografie pe suport?
4. Ce credeți că este posibil, astfel încât două unghiuri adiacente să fie egale?

Sarcina 2.

Înainte de a descrie o figură geometrică. Ce este această figură, spune-o? Acum numele tuturor unghiurilor adiacente pe care le puteți vedea pe această formă geometrică.

Sarcina 3.

Înainte de tine, imagine de desen și picturi. Luați în considerare cu atenție și spuneți-mi ce fel de captură vedeți în imagine și ce unghiuri în imagine.

Rezolvarea sarcinilor

Dictarea matematică pentru repetarea materialului învățat anterior

Rezolvați sarcinile:

1. Poate suma a 3 unghiuri formate cu intersecția de 2 linii drepte, egală cu 100 °? 370 °?
2. Găsiți toate perechile de unghiuri adiacente. Și acum unghiuri verticale. Denumiți aceste colțuri.

3. Este necesar să găsiți un unghi atunci când este de trei ori mai mult decât adiacent la acesta.
4. Două linii drepte travesc împreună. Ca urmare a acestei intersecții, s-au format patru colțuri. Determină amploarea oricare dintre acestea, cu condiția ca:

a) suma a 2 unghiuri de patru 84 °;
b) Diferența de 2 unghiuri a acestora este de 45 °;
c) un unghi de 4 ori mai mic decât al doilea;
D) Suma a trei dintre aceste colțuri este de 290 °.

Lecția totală

1. Denumiți unghiurile care se formează atunci când traversează 2 linii drepte?
2. Denumiți toate perechile posibile de colțuri din figură și determinați aspectul lor.

Teme pentru acasă:

1. Găsiți raportul dintre gradul de unghiuri adiacente atunci când unul dintre ele este de 54 ° mai mult decât al doilea.
2. Găsiți unghiurile care sunt formate cu intersecția de 2 linii drepte, cu condiția ca una dintre colțuri să fie egală cu suma celorlalte două colțuri adiacente acesteia.
3. Este necesar să se găsească unghiuri adiacente atunci când bisectorul uneia dintre ele se formează cu un al doilea unghi, care este mai mult de un al doilea unghi cu 60 °.
4. Diferența în 2 unghiuri adiacente este o treime din suma acestor două unghiuri. Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.
5. Diferența și suma a 2 unghiuri adiacente sunt tratate ca 1: 5, respectiv. Găsiți unghiuri adiacente.
6. Diferența dintre două adiacente este de 25% din suma lor. Cum valorile a 2 unghiuri adiacente? Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.

Întrebări:

1. Care este unghiul?
2. Care sunt tipurile de colțuri?
3. Ce caracteristică a unghiurilor adiacente?

Două linii drepte BA și BC (blestem 13) intersectează în același punct B formează un unghi la punctul b.

Definirea unghiului. Unghiul se numește o parte nedefinită a planului, delimitată de două linii drepte intersectate. Unghiul este valoarea care definește înclinația unei linii drepte la altul.

Partea laterală a colțului. Liniile intersectate sunt numite laturile unghiului.

În partea de sus a colțului. Punctul de intersecție a două linii se numește vârful unghiului. Amploarea unghiului nu depinde de lungimea părților, astfel încât partea unghiului poate fi continuată să continue.

Numele colțului. A) Colțurile numesc scrisoarea în picioare în partea de sus; Deci colțul pe dracu. 13 numit unghiul lui B. b) Dacă în partea de sus a mai multor unghiuri, atunci unghiurile sunt numite trei litere care stau în partea superioară și două laturi. În acest caz, scrisoarea este pronunțată și scrisă în mijloc.

La naiba. 13 unghi B chemați unghiul ABC. Linii BA și BC - două laturi, iar punctul B este partea superioară a colțului.

Astfel, unghiul ABC este un unghi al lui B sau

angle abc \u003d unghi B.

Semnul unghiului. Colțul cuvântului este uneori familiar∠ .

Astfel, egalitatea anterioară prezintă scrisul:

În cazul în care mai multe linii ies din punct, la punctul B, există mai multe unghiuri.

La naiba. 14 De la punctul B, linii directe BA, BC, BD și în partea de sus a B sunt unghiuri ABC, CBD, ABD.

Adiționați unghiurile. Două unghiuri sunt numite adiacente atunci când au un vârf comun, o parte comună, iar celelalte două se află pe ambele părți ale generalului.

ABC și unghiurile CBD (blestemate 14) Unghiuri adiacente. Ei au un vertex total B, partea totală a BC, iar celelalte două partide BA și BD se află un top, iar celălalt de la fundul total al BC.

Unghiurile își schimbă valoarea dacă înclinația unei părți este schimbată la altul. Din cele două unghiuri având un vârf comun, unghiul din interiorul care este plasat un alt unghi este numit un unghi mare. În desenul 14.

ug. Abd\u003e ug. ABC și UG. CBD.< уг. ABD.

Pentru a avea conceptul de valoare reciprocă a două unghiuri care au diferite vârfuri, se suprapun un unghi la altul. Când se aplică, își combină vârfurile și pe o parte, atunci direcția celeilalte părți va oferi posibilitatea de a compara valoarea lor. Pentru a compara două unghiuri ABC și DEF (DAMN 15), impuneți un unghi de def la un unghi ABC, astfel încât partea EF să meargă de-a lungul laterală BC, punctul E a fost combinat cu un punct B; Apoi partidul Ed poate lua trei poziții: poate coincide cu partea BA, se încadrează în interiorul și în afara unghiului ABC.

a) Dacă linia Ed coincide cu linia BA, unghiurile sunt numite egale

ug. Abc \u003d ug. Def.

b) Dacă linia Ed cade în interiorul unghiului ABC și ia poziția BG, unghiul ABC va fi mai mare decât unghiul DEF

ug. Abc\u003e ug. Def.

c) Dacă linia Ed cade un unghi ABC în direcția BH, unghiul ABC este mai mic decât unghiul de def

ug. Abc.< уг. DEF.

Adăugarea, scăderea, multiplicarea și împărțirea unghiurilor. Două unghiuri adiacente ABC și CBD (Cher. 14) formează un unghi ABC. Abd unghiul se numește colțuri ABC și CBD. Acest lucru este exprimat în scris de egalitate:

∠ABD \u003d ∠ABC + ∠Cbd (A)

Egalitatea (A) implică egalitate:

∠ABC \u003d ∠ABD - ∠cbd

∠cbd \u003d ∠ABD - ∠ABC,

i.E. ABC Unghiul este diferența în unghiurile ABD și CBD, iar unghiul CBD este diferența dintre unghiurile ABD și ABC.

Dacă la punctul O (blestem 16) există mai multe unghiuri egale adiacente, adică dacă

∠AOB \u003d ∠boc \u003d ∠cod \u003d ∠doe

că unghiul AOC egal cu cantitatea de unghiuri AOB și Boc este egal cu două colțuri AOB,

∠Aoc \u003d ∠aob + ∠boc, următorul. ∠Aoc \u003d 2AOB.

Unghiul AOD este egal cu trei colțuri AOB

Înapoi, unghiul AOB este o jumătate de unghi, un al treilea unghi AOD, Aoe Ae.

AOB \u003d 1 AOC \u003d 1/3 AOD \u003d ¼ aoe.

De aici aducem asta colțuri modul în care valorile nu pot fi doar pliate și deduse, ci și multiplicate și împărțite pe un număr abstructiv.

Dacă din două unghiuri adiacente ACD și DCB (CH 17) două laturi ale CA și CB se află pe o linie dreaptă, ele sunt numite adiacente.

. Reclamate astfel de unghiuri, care au o parte comună, iar celelalte două se află pe o linie dreaptă.

Dacă linia CD se întoarce în jurul punctului C, ia poziția CE, unghiul ACD este redus la unghiul ACE, iar unghiul BCD este în creștere în unghiul lui BCE. Linia CD, continuând să se rotească, poate avea o astfel de poziție că două unghi adiacente vor fi egale. Când două unghiuri adiacente ACD și DCB sunt egale (Cher.18), ele sunt numite corner direct.

În acest caz, linia CD este numită perpendiculară pe linia AB sau pur și simplu perpendiculară pe linia AB.

În desenul 19, un colț drept este desenat fără altul legat de acesta.

Unghiul drept este unul dintre unghiurile adiacente egale.

Perpendictor Există o linie dreaptă care formează un unghi drept diferit.

În desenul 18 unghiuri ACD și DCB, rămânând adiacente și egale, obțineți numele de colțuri directe. Linia DC va fi perpendiculară pe linia AB. O astfel de atitudine reciprocă de două linii este uneori exprimată în scris: CD ⊥ AB.

Deoarece linia AB va fi, de asemenea, perpendiculară pe linia CD, atunci linia AB și CD va fi reciproc perpendiculară, adică dacă CD ⊥ AB, atunci și Ab ⊥ CD.

Exclusiv perpendicular. Durata întâlnirii reciproce a două linii perpendiculare se numește talpa perendiculară.

Punctul C (Cher. 18) Există o talpă perpendiculară CD.

La fiecare punct al liniei AB, puteți efectua perpendicular pe linia AB.

Pentru a efectua perpendicular pe linia (ab) din punctul culminant pe linie, înseamnă a restabili perpendicularul. Conduita perpendicular (DC) la linia (AB) de la litera (d) situată în afara dreptului, înseamnă omite perpendicular (Lampa 18).

Linia înclinată . Orice linie nu este secreticulară în alta se numește linia înclinată spre el.

În desenul 20, linia CE va fi înclinată pe linia AB, iar linia CD este perpendiculară pe linia AB.

Unghiul BCE este mai puțin direct, iar ACE unghiul este mai direct. Unghiul BCE este numit ascuțit, iar Ace unghiul este blunt.

Colt ascutit există fiecare colț mai puțin direct, dar unghi obtuz există un drept mai mare.

Colțurile simonice și multimam. Două unghi ascuțite sau două stupide sunt numite același nume și două unghiuri, dintre care unul acut, iar celălalt stupid, sunt numiți Multi-One.

Formele liniei CE înclinate (caracteristici 20) cu o sferă de un unghi adiacent AB, dintre care unul este mai mic, iar celălalt este mai direct, adică unul ascuțit și celălalt stupid.

Teorema 3.. De la un punct luat pe o linie dreaptă, puteți reinstala doar un singur perpendicular pe el.

Dana Direct ab și punct c (caracteristici 20).

Este necesar să se dovedeascăcă este posibil să se recupereze doar un singur perpendicular.

Dovezi. Putem propune de la punctul C la linia AB pentru a restabili două CD-uri perpendiculare (blestemate 20) și CE. De către proprietatea perpendiculară

ug. Dcb \u003d ug. ACD (A)
Ug. Bce \u003d ug. As.

Dacă se aplică la prima parte a ultimului unghi de inegalitate ECD, primim inegalitate

ug. BCE + UG. ECD\u003e UG. Ace, sau ug. Bcd\u003e ug. As.

Înlocuind UG în această inegalitate. Bcd egal cu un unghi de ACD (A), ajungem

ug. DCA\u003e Ug. AS

inegalitatea este, evident, ridicolă, deoarece unii nu pot fi mai mult decât întregul său, prin urmare presupunerea că puteți restabili două perpendiculare, duce la absurditate, deci este falsă. Sugestia presupunerii se bazează pe considerația că este imposibil să se aducă o concluzie greșită din poziția corectă, prin urmare, teorema noastră este adevărată.

Modul de a dovedi validitatea acestei teoreme printr-o indicație a imposibilității și a absordării oricărei alte ipoteze se numește metoda de probă din opusul sau metoda de a aduce la absurditate.

Teorema 4.. Toate colțurile drepte sunt egale.

Să presupunem că avem două perechi de unghiuri directe: o pereche este unghiurile ACD și DCB, iar celelalte unghiuri ale lui EGH și HGF, prin urmare, CD ⊥ AB și HG ⊥ EF (BAMN 21).

Este necesar să se demonstreze că unghiurile directe sunt egale.

Dovezi. Să lăsăm linia EF pe linia g la un punct C, apoi linia GH va merge de-a lungul liniei CD, pentru că numai o perpendiculară poate fi reparată de la punctul C, prin urmare, unghiul direct DCB \u003d unghiul HGF direct.

Concluzie. Un unghi drept este constanta valorii.

Măsurați colțurile. La măsurarea unghiurilor, unghiul direct, ca valoare permanentă, este luată pe unitate comparativă. Mărimea este indicată de litera d.

În acest caz
Orice colț ascuțit< d,
Orice unghi tare\u003e D.

Toate unghiurile sunt exprimate cu Direct. De exemplu, ei spun: acest unghi este ½ d, 2/3 D etc.

Teorema 5.. Suma a două unghiuri adiacente este egală cu două drepte.

Abdicate unghiurile ACD și DCB sunt date (blestem 22).

Este necesar să se demonstreze că ACD + DCB \u003d 2D.

Dovezi. De la punctul C restabiliți cel perpendicular CE, atunci

ACD \u003d ACE + ECD \u003d D + ECD
DCB \u003d ECD - ECD \u003d D - ECD

Plierea acestor egalități, avem:

ACD + DCB \u003d ACE + ECB \u003d 2D (care este necesar pentru a dovedi).

Două unghi adiacente se completează unul pe altul la două linii drepte și, prin urmare, numit colțurile sunt suplimentare.

De la teorema 5 implică corolar. O pereche de unghiuri adiacente este egală cu o altă pereche de unghiuri adiacente.

Teorema 6. (Teorema inversă 5). Dacă suma a două unghiuri adiacente este egală cu două drepte, atunci celelalte două părți se află pe o linie dreaptă.

Lăsați suma celor două unghiuri ACD și DCB adiacente să fie egale cu două directe (blestemate 23).

Este necesar să demonstreze că linia dreaptă ACB.

Dovezi. Să presupunem că ACB are o linie întreruptă și că continuarea liniei AC va fi linia CE, atunci

Două valori de egalitate și aceeași treime egală (Axiom 3), prin urmare

ACD + DCB \u003d ACD + DCE

de unde vine

concluzie este ridicolă (partea este egală cu întregul, a se vedea AKS. 1), prin urmare, linia ACB este o linie dreaptă (care trebuie să demonstreze).

Teorema 7.. Suma unghiurilor având un vârf la un punct și distanțate pe o parte a liniei drepte este egală cu două directe.

ACD, DCE, ECF, FCG, unghiurile GCB sunt date, având un vârf total la punctul C și distanțate pe o parte dreaptă AB (BAMN 24).

Este necesar să dovedească acest lucru

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB \u003d 2D.

Dovezi. Știm că suma a două unghiuri ACF și FCB adiacente este egală cu două directe (t. 5).

Deoarece ACF \u003d ACD + DCE + ECF și FCB \u003d FCG + GCB, înlocuind unghiurile ACF și FCB ale valorilor lor, găsiți:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB \u003d 2D (care este necesar pentru a dovedi).

Teorema 8.. Suma tuturor unghiurilor situate în jurul unui punct este egală cu patru drepte.

AOB, Boc, Cod, Doe, unghiurile EOA, având un vârf total O și aranjate în jurul punctului O (blestem 25).

Este necesar să dovedească acest lucru

AOB + BOC + COD + DOO + EOA \u003d 4D.

Dovezi. Continuați lateral EO în direcția OG (Cher. 25), atunci

Similar

Gob + boc + cod + doe \u003d 2d.

Plierea acestor egalități, avem:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE \u003d 4D.

Din moment ce AOG + GOB \u003d AOB, atunci

EOA + AOB + BOC + COD + DOE \u003d 4D (CHDD).

Unghiul ACB cu unghiul DCE și un unghi de BCD cu un unghi de asul sunt numite verticale (cap 26).

Unghiuri verticale. Aceste unghiuri sunt numite verticale, în care părțile laterale sunt compuse din continuarea laturilor unui alt unghi.

Teorema 9.. Unghiurile verticale sunt egale unul cu celălalt.

Unghiurile verticale sunt date (CH. 26) ACB și DCE, doar BCD și Ace.

Este necesar să demonstreze că ACB \u003d DCE și BCD \u003d ACE.

Dovezi. Pe baza teoremei 5 există egalitate:

ACB + BCD \u003d 2D (ca suma a două unghiuri adiacente)
Bcd + dce \u003d 2d

prin urmare,

ACB + BCD \u003d BCD + DCE

de unde, la un colț egal al BCD, găsim

În mod similar, dovedește asta

∠BCD \u003d ∠ACE.

Echivalentbisector. ) Există o linie care împărtășește unghiul în jumătate.

Pe desenul 27 BD există un bisector dacă ∠ABD \u003d ∠dbc.

Teorema 10..

Se oferă unghiuri adiacente ABB și BCD (Cher. 28). Biserica lor a liniei CF și CE scutură unghiurile adiacente ale BCD și BCA în jumătate, prin urmare BCF \u003d FCD, ACE \u003d BCE.

Este necesar să se dovedească faptul că CE ⊥ cf.

Dovezi. Prin condiție

Bc \u003d ½ ACB, bcf \u003d ½ bcd

Plierea acestor egalități, avem:

ECB + BCF \u003d ½ ACB + ½ BCD \u003d ½ (ACB + BCD).

Deoarece ACB + BCD \u003d 2D, atunci

BCB + BCF \u003d ½ · 2d \u003d D.

Deoarece ECB + BCF \u003d ECF, atunci

Unghiul de ECF drept, adică liniile CE și CF sunt perpendiculare reciproc (CHDD).

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o parte comună, iar alte partide ale acestor unghiuri sunt raze suplimentare. În figura 20, unghiurile AOV și BRE au fost legate.

Suma unghiurilor adiacente este de 180 °

Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.

Dovezi. Ra Du (vezi figura 1) trece între părțile laterale ale unghiului extins. prin urmare ∠ AOV + ∠ BRE \u003d 180 °.

Din teorema 1 rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente sunt egale.

Colțurile verticale sunt egale

Două unghiuri sunt numite verticale dacă laturile aceluiași unghi sunt razele suplimentare ale laturilor celuilalt. AOV și unghiurile de cod, BOD și AOC, formate cu intersecția celor două directe, sunt verticale (figura 2).

Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.

Dovezi. Luați în considerare unghiurile verticale ale AOS și codul (vezi figura 2). Unghiul BOD este adiacent pentru fiecare dintre unghiurile AOS și COD. Prin teorema 1 ∠ AOS + ∠ BOD \u003d 180 °, ∠ Cod + ∠ BOD \u003d 180 °.

De aici concluzionăm că ∠ Ah \u003d ∠ Cod.

Corolarul 1. Unghiul, unghiul adiacent, este un unghi drept.

Luați în considerare două intersectări directe AC și BD (figura 3). Ei formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 din figura 3), atunci unghiurile rămase sunt, de asemenea, drepte (unghiuri 1 și 2, 1 și 4 - adiacente, unghiuri 1 și 3 - verticale). În acest caz, ei spun că aceste direcții se intersectează în unghi drept și se numesc perpendicular (sau reciproc perpendicular). Perpendicularitatea difuzoarelor directe și a BD este indicată după cum urmează: AC ⊥ BD.

Un mijloc de mijloc perpendicular pe segment este numit drept, perpendicular pe acest segment și trecerea prin mijlocul său.

En - perpendicular la drept

Luați în considerare o dreaptă A și punctul A, care nu se află pe ea (figura 4). Conectați un punct al unui segment cu un punct drept A. Segmentul A se numește perpendicular condus de la punctul A pentru a direcționa A, dacă este direct și perpendicular. Punctul H se numește baza perpendiculară.

Desenul pătrat.

Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe linie, puteți efectua perpendicular pe această linie dreaptă și cu doar una.

Pentru a efectua perpendicular pe desenul de la punctul la o linie dreaptă, se utilizează un kit de desen (fig.5).

Cometariu. Formularea teoremei este de obicei formată din două părți. Într-o parte se spune că este dat. Această parte este numită starea teoremei. Într-o altă parte, se spune că ar trebui să fie dovedită. Această parte este numită încheierea teoremei. De exemplu, starea teoremei 2 - colțurile verticale; Concluzie - aceste colțuri sunt egale.

Tot teorema poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea ei să înceapă cu cuvântul "dacă", iar concluzia este cuvântul "care". De exemplu, teorema 2 poate fi exprimată în detaliu: "Dacă două unghiuri verticale, atunci sunt egale".

Exemplul 1. Unul dintre unghiurile adiacente este de 44 °. Ce este altul?

Decizie. Denotă gradul de celălalt unghi prin intermediul X, apoi conform teoremei 1.
44 ° + x \u003d 180 °.
Rezolvarea ecuației rezultate, constatăm că x \u003d 136 °. În consecință, un alt unghi este de 136 °.

Exemplul 2. Să presupunem că în figura 21, unghiul de cod este de 45 °. Care sunt unghiurile AOS și AOS?

Decizie. Prin urmare, unghiurile verticale de cod și AOG, prin urmare, conform teoremei 1.2, ele sunt egale, adică ∠ AOS \u003d 45 °. Unghiul de AOC adiacent cu un unghi de cod, ceea ce înseamnă că teorema 1.
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ cod \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

Exemplul 3. Găsiți unghiuri adiacente dacă unul dintre ele este de 3 ori mai mare decât celălalt.

Decizie. Denotă un grad de un unghi mai mic prin x. Apoi, gradul de unghi mai mare va fi un SQ. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180 ° (teorema 1), apoi x + зх \u003d 180 °, unde x \u003d 45 °.
Astfel, unghiurile adiacente sunt egale cu 45 ° și 135 °.

Exemplul 4. Suma celor două unghiuri verticale este de 100 °. Găsiți magnitudinea fiecăruia dintre cele patru colțuri.

Decizie. Lăsați problema să corespundă problemei 2. Unghiurile de cod verticale cu AOS sunt egale (teorema 2), ceea ce înseamnă că măsurile lor de diplomă sunt egale. Prin urmare, ∠ cod \u003d ∠ ao \u003d 50 ° (suma lor în condiții este de 100 °). Unghiul BOD (de asemenea, un unghi al AOS) adiacent unghiului de cod și, prin urmare, prin teorema 1
∠ BOD \u003d ∠ AOS \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

"Definiția liniilor drepte paralele" - Muncă independentă. Sarcini. Punct. Lecția de geometrie. Semne de paralelism direct. Suma colțurilor unilaterale. Îmbunătățirea abilităților de probă prin teoreme. Segmente paralele. Alegeți desenele cu intersectare dreaptă. Rezolvarea sarcinilor. Desenele pe care sunt afișate raze paralele. Teorema. Colțuri. Secantă. Numere de desenare. Determinarea liniilor drepte paralele.

"Proiectul" triunghi "" - rezultatele de învățare planificate. Materiale pentru educația diferențiată. Materiale tipărite. Software. Sarcini metodice. De ce trebuie să studiem proprietățile triunghiurilor. Identificați interesele și experiența studenților înșiși. Informatii despre proiect. Colectarea și sistematizarea informațiilor pe această temă. rezumat Proiect. Estimarea ratei. Ce triunghi poate fi considerat cel principal. Activități de instruire.

"Sarcini de geometrie" Gradul 7 "- Unghiuri. Oe - Bissektris. Tăiați difuzoarele AOB \u003d 45. Boc \u003d 23. Informații geometrice inițiale. Edk \u003d 36. CUT FD. Abd \u003d 100. Măsurarea unghiurilor. Tăiat ab. OC - \u200b\u200bBISSECTRIX. Măsurarea segmentelor. ABC \u003d 72. CUT MP. Tăiați ke. Od - bisector. AOB \u003d 55. Unghiuri verticale. Tăiați un anunț. Tăiat df. Unghiuri similare. Tăiat kn.

"Sarcini pentru inegalitatea unui triunghi" - inegalitatea triunghiului. Diagonală. Lungimea oricărei părți a triunghiului. Contradicţie. Secțiune. Patrulater. Triunghi. Consecințele inegalității triunghiului. Puncte în interiorul unui cvadrangle. În patrulater, orice parte este mai mică decât cantitatea de restul. Partea triunghiului. Întreg.

"Sarcini pe desene gata făcute" - Biserică. Condiții. Unghiul de tine Dovedi: Difuzoare FB LL. Sarcini pe desene finite. Găsiți: FM. Semne de linii paralele drepte. Dovedește: un ll b. A găsi. Dovedește: AB LL DF. Dovedește: AK BISSECTRICE. Găsiți paralel drept. Dovedește: CD-ul LL. Cf-bisector. Specificați paralel drept. Găsiți condițiile în care AB LL DC. Drept. Secantă. Dovedi: AB LL CD. Dovedește: AV LL CD. O sarcină. Paralel drept.

"Geometria" sarcini pentru construirea "" - unghi de construcție. Segment diviziune în jumătate. Construiți un unghi egal cu acest lucru. Sarcini pentru construirea. Regula și circula. Clădire. Construirea drepturilor perpendiculare. Înclinați drept. Construirea unui triunghi. Building Bisector.

Fiecare unghi, în funcție de magnitudinea sa, are numele:

Vizualizarea colțului	Dimensiune în grade	Exemplu
Acut	Mai puțin de 90 °
Drept	Egal cu 90 °. Pe desen, unghiul drept este de obicei denotat de un simbol petrecut pe o parte a unghiului față de altul.
Prost	Mai mult de 90 °, dar mai puțin de 180 °
A plecat	Egal cu 180 ° Unghiul desfășurat este egal cu suma a două colțuri drepte, iar unghiul drept este jumătate din unghiul extins.
Convex	Mai mult 180 °, dar mai puțin de 360 \u200b\u200b°
Deplin	Egală cu 360 °

Sunt numite două unghiuri adiacentDacă au un total total, iar celelalte două părți constituie o linie dreaptă:

Colțuri Mop. și Pon. adiacente deoarece raze Op. - partea generală și alte două părți - Om. și PE. Alcătuiesc drept.

Partea generală a unghiurilor adiacente este numită oblică de a direcționape care alte două părți se află numai în cazul în care unghiurile adiacente nu sunt egale între ele. Dacă unghiurile adiacente sunt egale, atunci partidul lor comun va fi perpendicular.

Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.

Sunt numite două unghiuri verticalDacă părțile laterale ale unui colț completează liniile directe ale lateralei unui alt unghi:

Colțurile 1 și 3, precum și unghiurile 2 și 4 - verticale.

Unghiurile verticale sunt egale.

Dom dovedi că unghiurile verticale sunt egale:

Suma ∠1 și ∠2 este un unghi extins. Iar suma ∠3 și ∠2 este un unghi extins. Astfel încât aceste două sume sunt egale:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

În această egalitate, în stânga și la dreapta există un termen egal - ∠2. Egalitatea nu se rupe dacă este termenul din stânga și în partea dreaptă a omiterii. Apoi ajungem.