3 funcții și grafica lor. Funcție liniară. Proprietățile funcției Kosinus

Pentru a începe, încercați să găsiți zona de definiție a câmpului:

Face față? Comparați răspunsurile:

In regula? Bine făcut!

Acum, să încercăm să găsim gama de valori de funcții:

Găsite? Comparaţie:

Cache? Bine făcut!

Încă o dată vom lucra cu diagramele, doar acum o zonă mai complicată - găsiți și definirea câmpului și funcția valorilor funcției.

Cum să găsiți și să definiți zona și valorile câmpului (opțiune avansată)

Asta sa întâmplat:

Cu diagrame, cred că ți-ai dat seama. Acum, să încercăm în concordanță cu formulele pentru a găsi zona de definiție a câmpului (dacă nu știți cum să o faceți, citiți Pro):

Face față? Studiu răspunsuri:

1. Deoarece expresia de alimentare trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. Deoarece este imposibil să se împărtășească zero și expresia de hrănire nu poate fi negativă.
3. De la, respectiv, deloc.
4. Deoarece este imposibil să împărtășiți zero.

Cu toate acestea, avem un alt moment nu dezasamblat ...

Repet încă o dată și fac un accent pe el:

Observat? Cuvântul "numai" este un element foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degetele voastre.

Să presupunem că avem o funcție specificată direct. . Când înlocuim această valoare în "regula" și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem o masă de valori diferite și să construim un grafic al acestei caracteristici pentru a vă asigura că acest lucru.

"Uite! - Spui, - "Întâlnește de două ori!" Deci, poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că "" este găsit de două ori departe de a fi acuzat parabola în ambiguitate!

Faptul este că, atunci când se calculează, am primit un Igrek. Și când se calculează cu un IGner. Deci, totul este adevărat, parabola este o funcție. Uită-te la program:

A dat seama? Dacă nu, iată un exemplu de viață de fapt care este departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au familiarizat atunci când prezintă documente, fiecare dintre ei a spus conversației în care locuiește:

Sunt de acord, este destul de realist că mai mulți tipi trăiesc într-un singur oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Este ca și reprezentarea logică a "parabolei" noastre - câteva x x corespunde aceluiași jucător.

Acum veniți cu un exemplu când dependența nu este funcția. Să presupunem că aceiași tipi au fost spuse la ce specialități au depus documente:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate trimite în siguranță documente atât pentru una cât și pentru mai multe direcții. Adică un element Multiple este pus în linie cu mai multe elemente seturi. Respectiv, aceasta nu este o funcție.

Verificați-vă cunoștințele în practică.

Determinați în desene, care este o funcție și ce nu:

A dat seama? Dar eu. răspunsuri:

• Funcția este în, e.
• Funcția nu este - a, b, d, D.

Întrebați de ce? De ce, de aceea:

În toate desenele, cu excepția ÎN) și E) Unul cont pentru unul!

Sunt sigur acum, puteți distinge cu ușurință funcția de la nu o funcție, spuneți ce este un argument și ce variabilă dependentă este, precum și definirea zonei de valori de argumentare admise și funcția de determinare a funcției. Treceți la următoarea secțiune - Cum setați o funcție?

Modalități de stabilire a unei funcții

Ce părere aveți cuvintele medii "SET FUNCTION"? Așa este, înseamnă să explicați tuturor, despre ce funcție în acest caz vorbim. Și explică astfel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și să vă atrageți de oameni în explicația dvs. a funcțiilor grafice au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se stabilește o funcție? Cea mai ușoară modalitate care a fost utilizată de mai multe ori în acest articol - cu ajutorul formulei. Scriem o formulă și, înlocuind valoarea în ea, calculează valoarea. Și cum vă amintiți, formula este legea, regula prin care noi și o altă persoană devine clar modul în care X se transformă în joc.

De obicei, acesta este modul în care fac - în sarcini, vedem deja funcțiile gata făcute de formule, totuși, există și alte modalități de a stabili o funcție despre care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea "Cum altfel pot specifica A funcţie?" pune într-un capăt mort. Vom înțelege totul în ordine, dar începem cu un mod analitic.

Modalitatea analitică de a seta funcția

Metoda analitică este o funcție de sarcină utilizând formula. Acesta este cel mai universal și exhaustiv calea libuoasă. Dacă aveți o formulă, atunci știți despre funcția absolut totul - puteți face un semn de valori, puteți construi un program, determinați unde funcția crește și unde scade, în general, să îl exploreze pe programul complet.

Luați în considerare o funcție. Ce este egal?

"Ce înseamnă?" - Te întrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că expresia în paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat pur și simplu. În consecință, indiferent de argumentul (expresia în paranteze), îl scriem în loc de exprimare.

În exemplul nostru va funcționa astfel:

Luați în considerare o altă sarcină asociată cu modul analitic pentru a seta funcția pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, când.

Sunt sigur că la început, ați fost înspăimântați, văzând o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic teribil în ea!

Totul ca în exemplul trecut: indiferent de argumentul (expresia în paranteze), îl scriem în loc de exprimare. De exemplu, pentru o funcție.

Ce trebuie făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în schimb -:

reduceți expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Încercați acum să găsiți valoarea următoarelor expresii:

1. , în cazul în care un
2. , în cazul în care un

Face față? Comparați răspunsurile: Suntem obișnuiți ca funcția să aibă felul

Chiar și în exemplele noastre, specificăm funcția în acest fel, cu toate acestea, puteți seta analitic funcția într-un formular implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singuri această caracteristică.

Face față?

Așa am construit-o.

Ce ecuație am retras în cele din urmă?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că programul va fi linia dreaptă. Să facem un semn pentru a determina care puncte aparțin dreptului nostru:

Asta e ceea ce am spus despre ... unul corespunde unui singur.

Să încercăm să tragem ce sa întâmplat:

Asta avem o funcție?

Corect, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu desenul. Ce a ieșit?

"Pentru că o valoare corespunde mai multor valori!"

Ce concluzie putem face de la asta?

Așa este corect, funcția nu poate fi întotdeauna exprimată în mod clar și nu întotdeauna ceea ce "deghizat" sub funcție este o funcție!

Modul tabular de a seta funcția

După cum implică numele, această metodă este un semn simplu. Da da. Ca cel cu tine deja făcut. De exemplu:

Aici ați observat imediat modelul - Igrek este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina de a "gândi foarte bine": ce credeți că este echivalent cu o funcție specificată sub forma unui tabel, funcții?

Nu vom argumenta mult timp și vom atrage!

Asa de. Desenizăm o funcție specificată de Wallpaper:

Vezi diferenta? Punctul nu este la punctele notate! Uită-te mai atent:

Acum a văzut? Când specificăm o funcție în mod tabar, reflectăm numai acele puncte pe care le avem în masă și linia (ca în cazul nostru) merge doar prin ele. Când am stabilit funcția cu un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la. Aceasta este o astfel de caracteristică. Membru!

Metodă grafică pentru construirea unei funcții

Metoda grafică de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabilă. Ne tragem funcția noastră și o altă persoană interesată poate găsi ceea ce este egal cu jocul la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt unele dintre cele mai frecvente.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ceea ce vorbim la început - nu fiecare "Zagulin" tras în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Doar în cazul în care vă voi copia aici definiția că funcția este:

De regulă, oamenii sunt de obicei numiți cele trei moduri de a seta funcțiile pe care le dezasamblez sunt analitice (folosind formula), tabuar și grafic, uitați complet că funcția poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte simplu!

O descriere verbală a funcției

Cum să descrieți verbal funcția? Luați exemplul nostru recent -. Această caracteristică poate fi descrisă "pentru fiecare valoare valabilă a IX corespunde valorii sale triple." Asta e tot. Nimic dificil. Desigur, veți observa - "Există funcții atât de complexe care sunt verbal care vor cere pur și simplu imposibil!" Da, există acelea, dar există funcții care descriu verbal mai ușor decât setarea formulei. De exemplu: "Fiecare valoare naturală a lui X corespunde diferenței dintre numerele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în înregistrarea numărului este luată pentru reducerea. Acum, luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, este redusă, apoi:

Tipuri de bază de funcții

Acum ne întoarcem la cel mai interesant lucru - luați în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat / lucrați și veți lucra în cursul școlii și de la Institutul de Matematică, adică vom cunoaște cu ei, ca să spunem și să le dau o scurtă descriere. Pentru mai multe informații despre fiecare funcție, citiți în secțiunea relevantă.

Funcție liniară

Funcția vederii, unde, numere reale.

Graficul acestei funcții este drept, prin urmare construirea unei funcții liniare este redusă la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziția directă a planului de coordonate depinde de coeficientul unghiular.

Zona de definiție a funcției (zona AKA a valorilor de argumentare admise) -.

Zona de valoare -.

Funcția patrată

Tip funcția unde

Graficul funcției este PARABOLA, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, atunci când - în sus.

Multe proprietăți ale funcției patratice depind de valoarea discriminantă. Discriminanța se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate față de valoarea și coeficientul este prezentată în imagine:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremumul acestei funcții (punctul vertexului pearabol) și coeficientul (direcțiile ramurilor parabolice)

Proporționalitate inversă

Funcția stabilită cu formula unde

Numărul este numit coeficientul proporționalității inverse. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolelor sunt în diferite pătrate:

Domeniu - .

Zona de valoare -.

Rezumatul și formulele de bază

1. Funcția se numește o regulă prin care fiecare element al setului este pus în conformitate cu un singur element al setului.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de la cealaltă;
• - valoare variabilă sau argument;
• - Valoarea dependentă se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică, în conformitate cu orice formulă particulară care reflectă dependența de aceeași valoare de la cealaltă.

2. Valorile admise ale argumentului, sau zona de definiție a funcției este ceva care este asociat cu posibil, în care funcția are sens.

3. Zona valorilor funcției - Aceasta este valorile primite, cu valori admise.

4. Există 4 metode pentru setarea funcției:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• o descriere verbală.

5. Tipuri de bază de funcții:

• : Unde, - numere reale;
• :, Unde;
• :, Unde.

1. Funcția liniară fracționată și programul său

Funcția formei y \u003d p (x) / q (x), unde p (x) și q (x) sunt polinomii, numită o funcție rațională fracționată.

Cu conceptul de numere raționale, probabil știți deja. În mod similar funcții raționale - Acestea sunt funcții care pot fi reprezentate ca două polinoame private.

Dacă o funcție rațională fracționată este o două funcții liniare private - polinomii de gradul întâi, adică Funcția tipului.

y \u003d (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționat.

Rețineți că în funcțiile y \u003d (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altfel funcția devine linia y \u003d ax / d + b / d) și că A / C ≠ B / D (altfel funcție constantă). Funcția liniară fracționată este determinată cu toate numerele valide, cu excepția x \u003d -D / c. Graficele funcțiilor liniare fracționate în formă nu diferă de grafica cunoscută de y \u003d 1 / x. Curba, care este numită un grafic al funcției y \u003d 1 / x, se numește hiperboloc. Cu o creștere nelimitată x într-o valoare absolută, funcția y \u003d 1 / x este limitată nelimitată de valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa Abscisa: dreptul se apropie de sus și de partea stângă. Drept, la care se apropie ramurile hiperbolului, sunt numite asimptotami..

Exemplul 1.

y \u003d (2x + 1) / (x - 3).

Decizie.

Evidențiam întregul număr: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).

Acum este ușor să vedeți că programul acestei funcții este obținut din graficul funcției y \u003d 1 / x prin următoarele transformări: o schimbare de 3 segmente unice spre dreapta, întinzându-se de-a lungul axei OY de 7 ori și a Treceți la 2 segmente unice în sus.

Orice fracțiune y \u003d (ax + b) / (cx + d) poate fi înregistrată în același mod, subliniind "întreaga parte". În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare fracționate au hiperborale, se deplasează diferit de-a lungul axelor de coordonate și se întind de-a lungul axei Oy.

Pentru a construi un grafic al unei funcții liniare fracționare arbitrare, nu este necesar să se transforme o fracțiune care specifică această funcție pentru a converti. După cum știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficientă pentru a găsi direct, la care se apropie ramurile sale - asimptote ale hiperbolului x \u003d -d / c și y \u003d A / C.

Exemplul 2.

Găsiți funcția grafică Asymptotes Y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).

Decizie.

Funcția nu este definită la X \u003d -1. Deci, linia dreaptă X \u003d -1 servește drept asimptote verticale. Pentru a găsi asimptote orizontale, aflați care se apropie valorile funcției y (x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.

Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției pe x:

y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

La X → ∞, fracțiunea se va strădui pentru 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este dreaptă y \u003d 3/2.

Exemplul 3.

Construiți un grafic al funcției y \u003d (2x + 1) / (x + 1).

Decizie.

Subliniem fracțiunea "întreaga parte":

(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d

2 - 1 / (x + 1).

Acum este ușor să vedeți că graficul acestei funcții este obținut din funcția funcției y \u003d 1 / x prin următoarele transformări: o schimbare cu o unitate la stânga, maparea simetrică în raport cu Ox și o trecere la 2 unică segmentează axa Oy.

Zona de definiție D (y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).

Gama de valori ale E (y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).

Punct de intersecție cu axe: C OY: (0; 1); C ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele zonei de definiție.

Răspuns: Figura 1.

2. Funcția rațională fracționată

Luați în considerare o funcție rațională fracționată a formei y \u003d p (x) / q (x), unde p (x) și q (x) sunt polinomii, gradul de mai sus primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Dacă funcția y \u003d p (x) / q (x) este două polinoame private ale gradului de mai sus, atunci programul său va fi, de regulă, este mai complicat și uneori este dificil să-l construim cu toți detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.

Lăsați fracția - corectă (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P (X) / Q (x) \u003d A 1 / (X - K1) M1 + A 2 / (X - K1) M1-1 + ... + A M1 / \u200b\u200b(X - K1) + .. . +.

L 1 / (X - K S) MS + L 2 / (X - K S) MS-1 + ... + L MS / (X - K S) + ... +

+ (B 1 x + C1) / (x 2 + P 1 x + Q 1) M1 + ... + (B M1 x + C M1) / (x 2 + P 1 x + Q 1) + .. . +.

+ (M 1 x + N 1) / (X2 + P T X + Q T) M1 + ... + (m m1 x + n m1) / (x 2 + p t x + q t).

Evident, un grafic al unei funcții raționale fracționate poate fi obținut ca suma graficelor fracțiilor elementare.

Graficele de construcție a funcțiilor raționale fracționate

Luați în considerare mai multe modalități de a construi grafice de o funcție rațională fracționată.

Exemplul 4.

Construiți un grafic al funcției y \u003d 1 / x 2.

Decizie.

Folosind graficul funcției y \u003d x 2 pentru a construi graficul y \u003d 1 / x 2 și utilizați recepția "diviziunii" graficelor.

Zona de definiție d (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).

Regiunea valorilor E (y) \u003d (0; + ∞).

Nu există puncte de intersecție cu axe. Funcția este chiar. Crește cu toate x din intervalul (-∞; 0), scade cu x de la 0 la + ∞.

Răspuns: Figura 2.

Exemplul 5.

Construiți un grafic al funcției y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Decizie.

Zona de definiție d (y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Aici obișnuiam să obținem descompunere pe multiplicatori, tăieturi și aducerea funcției liniare.

Răspuns: Figura 3.

Exemplul 6.

Construiți un grafic al funcției y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Decizie.

Zona de definiție D (Y) \u003d R. Deoarece funcția este chiar, atunci graficul este simetric în raport cu axa ordonată. Înainte de a construi un grafic, convertim din nou expresia prin alocarea întregii părți:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Rețineți că alocarea unei părți întregi în formula unei funcții raționale fracționate este una dintre principalele în construcția de grafice.

Dacă x → \u200b\u200b± ∞, apoi y → 1, adică Direct y \u003d 1 este o asimptota orizontală.

Răspuns: Figura 4.

Exemplul 7.

Luați în considerare funcția y \u003d x / (x 2 + 1) și încercați să găsiți cu exactitate cea mai mare valoare, adică. Cel mai înalt punct al jumătății dreptului grafică. Pentru a construi cu exactitate acest program, cunoașterea de astăzi nu este suficientă. Evident, curba noastră nu poate "ridica" foarte mare, pentru că Numitorul este destul de repede începe să "depășească" numitorul. Să vedem dacă valoarea funcției este egală cu 1. Pentru a face acest lucru, este necesar să se rezolve ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini valide. Deci, presupunerea noastră nu este adevărată. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să știți când ecuația este A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Înlocuiți pătratul de ecuație original: AX 2 - X + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție atunci când 1-4a 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare a \u003d 1/2.

Răspuns: Figura 5, Max Y (x) \u003d ½.

Aveți întrebări? Nu știu cum să construim funcții grafice?
Pentru a obține un ajutor pentru tutore - înregistrare.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

Construiți o funcție

Vă aducem atenția un serviciu pentru a părăsi programele de funcții online, toate drepturile la care fac parte companii Desmos.. Pentru a introduce funcții, utilizați coloana din stânga. Puteți introduce manual fie folosind o tastatură virtuală în partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu un program, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Avantajele programelor de construcție online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția de grafice specificate implicit (de exemplu, elipse x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
• Abilitatea de a salva grafice și de a obține un link pe ele care devine disponibil tuturor pe Internet.
• Managementul scalei, culoarea liniei
• Abilitatea de a construi grafice cu puncte, utilizarea constantelor
• Clădirea simultană mai multe grafice de funcții
• Construcția de grafice în sistemul de coordonate polar (Utilizare R și θ (\\ ETA))

Cu noi sunt ușor de construit grafice de complexitate variabilă. Clădirea este făcută instantaneu. Serviciul este în cerere pentru găsirea punctelor de intersecție a funcțiilor, pentru imaginea graficelor pentru a le deplasa în continuare la cuvânt, ca ilustrații la rezolvarea sarcinilor, pentru a analiza caracteristicile comportamentale ale funcțiilor funcțiilor. Browserul optim pentru lucrul cu programele de pe această pagină este Google Chrome. Când utilizați alte browsere, corectitudinea muncii nu este garantată.

Studiul proprietăților funcțiilor și a graficelor lor ocupă un loc semnificativ atât în \u200b\u200bmatematica școlară, cât și în cursurile ulterioare. Mai mult decât atât, nu numai în cursuri de analiză matematică și funcțională, și nu numai în alte secțiuni de matematică mai mare, dar și în cele mai înguste elemente profesionale. De exemplu, în economie - funcțiile de utilitate, costuri, funcții de cerere, aprovizionare și consum ..., în funcții de control radio și funcții de răspuns, în statistici - funcții de distribuție ... pentru a facilita studiul suplimentar al funcțiilor speciale, Trebuie să învățați să utilizați în mod liber funcțiile grafice elementare. Pentru a face acest lucru, după ce ați studiat următorul tabel, vă recomandăm să transmiteți linkul "Conformarea graficelor funcțiilor".

Numele funcției.	Formula funcția.	Funcția de programare	Numele graficului.	cometariu
Liniar	y \u003d kx.		Drept	Cel mai simplu caz privat al dependenței liniare este proporționalitatea directă. y \u003d kx.Unde k. ≠ 0 - Coeficientul de proporționalitate. În imagine, un exemplu pentru k. \u003d 1, adică De fapt, graficul dat ilustrează o dependență funcțională care specifică egalitatea valorii valorii funcției argumentului.
Liniar	y. = kX. + b.		Drept	Dependență generală liniară: coeficienți k. și b. - orice numere valide. Aici k. = 0.5, b. = -1.
Patratic	y \u003d X. 2		Parabolă	Cel mai simplu caz de dependență patratic este o parabolă simetrică cu un vârf la începutul coordonatelor.
Patratic	y \u003d AX. 2 + bx. + c.		Parabolă	Cazul general de dependență patrată: coeficientul a. - un număr valabil arbitrar nu este zero ( a. aparține r, a. ≠ 0), b., c. - orice numere valide.
Putere	y \u003d X. 3		Parabola cubică.	Cel mai simplu caz pentru un grad ciudat. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea "Mișcarea graficelor funcțiilor".
Putere	y \u003d X. 1/2		Funcția de programare y. = √x.	Cel mai simplu caz pentru gradul fracționat ( x. 1/2 = √x.). Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea "Mișcarea graficelor funcțiilor".
Putere	y \u003d k / x		Hiperbolă	Cel mai simplu caz pentru o scurtă durată ( 1 / x \u003d x -1) - dependența proporțională înapoi. Aici k. = 1.
Indicativ	y. = e x.		Expozant	O dependență exponențială se numește o funcție indicativă pentru fundație. e. - număr irațional de aproximativ egal la 2,7182818284590 ...
Indicativ	y \u003d a x		Funcția indicativă grafică	a. \u003e 0 I. a. a.. Aici este un exemplu pentru y \u003d 2 x (a. = 2 > 1).
Indicativ	y \u003d a x		Funcția indicativă grafică	Funcția indicativă este definită pentru a. \u003e 0 I. a. ≠ 1. Grafica distractivă depinde în mod semnificativ de valoarea parametrului a.. Aici este un exemplu pentru y \u003d 0,5 x (a. = 1/2 < 1).
Logaritm	y. \u003d ln. x.			Funcția de logo-uri grafice pentru bază e. (Logaritmul natural) se numește uneori logaritmică.
Logaritm	y. \u003d Jurnal. Un X.		Programați funcția logaritmică	Logaritmii sunt definiți pentru a. \u003e 0 I. a. ≠ 1. Grafica distractivă depinde în mod semnificativ de valoarea parametrului a.. Aici este un exemplu pentru y. \u003d log 2. x. (a. = 2 > 1).
Logaritm	y \u003d jurnal. Un X.		Programați funcția logaritmică	Logaritmii sunt definiți pentru a. \u003e 0 I. a. ≠ 1. Grafica distractivă depinde în mod semnificativ de valoarea parametrului a.. Aici este un exemplu pentru y. \u003d log 0.5. x. (a. = 1/2 < 1).
Sinus	y. \u003d Păcat. x.		Sinusoid	Funcția trigonometrică Sinus. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea "Mișcarea graficelor funcțiilor".
Cosinus	y. \u003d Cos. x.		Kosinusoid.	Funcția cosinică trigonometrică. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea "Mișcarea graficelor funcțiilor".
Tangentă	y. \u003d Tg. x.		Tangensoid.	Funcția trigonometrică tangentă. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea "Mișcarea graficelor funcțiilor".
Cotangentă	y. \u003d CTG. x.		Kotanensoid.	Caracteristică trigonometrică Cotangen. Cazurile cu coeficienți sunt studiate în secțiunea "Mișcarea graficelor funcțiilor".

Funcțiile și graficele sunt unul dintre cele mai interesante subiecte din matematica școlară. Este o păcat pe care o trece ... lecții anterioare și elevii din trecut. Este pentru totdeauna lipsit de timp în liceu. Și acele funcții care trec în clasa a 7-a sunt o funcție liniară și parabola - prea simplă și simplă pentru a arăta toată varietatea unor sarcini interesante.

Abilitatea de a construi grafice de funcții este necesară pentru a rezolva problemele cu parametrii pentru examenul din matematică. Aceasta este una dintre primele țări ale analizei matematice din universitate. Acesta este un subiect atât de important încât avem intensive speciale pentru elevii de liceu și profesorii de la Moscova și online. Și de multe ori participanții spun: "Este păcat că nu știm asta înainte".

Dar asta nu este tot. Din cauza conceptului de funcții și a reală, "adult" începe matematica. La urma urmei, adăugarea și scăderea, multiplicarea și divizarea, fracțiile și proporțiile sunt toate aritmetice. Transformarea expresiilor este o algebră. Și matematică - știință nu numai despre numere, ci și despre relațiile de amploare. Limba de funcții și grafice este de înțeles și fizică, atât biologi, cât și economist. Și, așa cum a spus Galileo Galilee, "Cartea naturii este scrisă în limba matematicii".

Mai precis, Galileo Galiley a spus acest lucru: "Matematica este un alfabet, prin care Domnul a tras universul".

Subiecte pentru repetare:

1. Construiți un program de funcții

Sarcina familiară! Acestea au fost îndeplinite în opțiunile OGE în matematică. Acolo au fost considerate complexe. Dar nu există nici un lucru dificil aici.

Simplificăm funcția Formula:

Program de funcții - direct cu o scufundare

2. Construiți un program de funcții

Evidențiați funcția din formula funcției:

Graficul funcției - hiperbolă, deplasată cu 3 la dreapta cu x și 2 în sus Y și întins de 10 ori comparativ cu graficul funcției

Alocarea întregii părți este o recepție utilă utilizată în rezolvarea inegalităților, a graficelor și evaluarea valorilor întregi în sarcinile din numere și proprietățile acestora. El vă va întâlni, de asemenea, în primul an când trebuie să luați integrale.

3. Construiți un program de funcții

Se pare că se dovedește din graficul funcției de întindere de 2 ori, reflecție vertical și treceți la 1 sus pe verticală

4. Construiți un program de funcții

Principalul lucru este succesiunea corectă a acțiunilor. Scriem funcția Formula într-o formă mai convenabilă:

Acționăm în ordine:

1) graficul funcției y \u003d Sinx schimbări în partea stângă;

2) cântă de 2 ori pe orizontală,

3) Întindeți de 3 ori pe verticală,

4) Schimbarea pentru 1 sus

Acum vom construi mai multe grafice de funcții raționale fracționate. Pentru a înțelege mai bine modul în care facem acest lucru, citiți articolul "Comportamentul funcției în infinit. Asimptotes. "

5. Construiți un program de funcții

Zona de definiție a funcției:

Funcția zero: și

Direct X \u003d 0 (axa Y) - funcția de asimptota verticală. Asimptotă - Direct, la care funcția este infinit de îndeaproape adecvată, dar nu o intersectează și nu fuzionează (a se vedea subiectul "Comportamentul funcției în infinit. Asympotes")

Există alte asimptote din funcția noastră? Pentru a afla acest lucru, să vedem cum se comportă funcția atunci când X tinde spre infinit.

Vom deschide paranteze în formula funcției:

Dacă X se străduiește pentru infinit, acesta caută zero. Direct este o asimptota înclinată la grafica funcției.

6. Construiți un program de funcții

Aceasta este o funcție rațională fracționată.

Zona definiției funcției.

Funcția ZEROS: Puncte - 3, 2, 6.

Intervalele funcțiilor funcției definesc utilizând metoda intervalului.

Asimptote verticale:

Dacă X se străduiește pentru infinit, atunci se străduiește pentru 1. Deci, asimptota orizontală.

Iată o schiță de grafică:

O altă recepție interesantă este adăugarea de grafică.

7. Construiți un program de funcții

Dacă X se străduiește pentru infinit, atunci graficul funcției va fi infinit aproape de asimptot înclinat

Dacă X se străduiește pentru zero, atunci funcția se comportă ca aceasta și vedem pe grafic:

Așa că am construit un program al cantității de funcții. Acum, programul de lucru!

8. Construiți un program de funcții

Zona de definiție a acestei funcții este numere pozitive, deoarece este definită doar x pozitiv X

Valorile funcției sunt zero cu (când logaritmul este zero), precum și la puncte, undeva

Când valoarea (cos x) este egală cu una. Valoarea funcției la aceste puncte va fi egală

9. Construiți un program de funcții

Funcția este determinată atunci când este chiar, deoarece este un produs de două funcții impare și un grafic este simetric cu privire la axa ordonată.

Funcții zero - la puncte, undeva

Dacă X se străduiește pentru infinit, tinde la zero. Dar ce se va întâmpla dacă x caută zero? La urma urmei, X, și Sin X va deveni mai puțin și mai puțin. Cum se va comporta privat?

Se pare că dacă X se străduiește pentru zero, atunci caută o unitate. În matematică, această afirmație se numește "prima limită minunată".

Dar cum rămâne cu derivatul? Da, în cele din urmă am ajuns la ea. Derivatul ajută la construirea mai precis a graficelor de funcții. Găsiți punctele maxime și minime, precum și valorile funcției la aceste puncte.

10. Construiți un program de funcții

Zona de definiție a funcției - toate numerele valide ca

Funcția este ciudată. Graficul său este simetric la începutul coordonatelor.

La X \u003d 0, valoarea funcției este zero. La valoarea funcției este pozitivă, cu negativ.

Dacă X se străduiește pentru infinit, acesta caută zero.

Găsiți o funcție derivată
Conform formulării derivatului privat,

Dacă sau

La acest punct, derivatul modifică semnul de la "minus" la "plus" - punctul minim al funcției.

La acest punct, derivatul modifică semnul de la "plus" la "minus", - punctul funcției maxime.

Găsiți valorile funcției la x \u003d 2 și la x \u003d -2.

Grafica grafică este construită convenabil în funcție de un algoritm specific sau o schemă. Amintiți-vă, ați studiat-o la școală?

Schema generală pentru construirea unei funcții a funcției:

1. Zona de definiție a funcției

2. Valorile funcției

3. Paritate - ciudat (dacă există)

4. Periodicitate (dacă există)

5. ZEROS de funcții (puncte în care graficul traversează axa coordonatei)

6. Intervalele funcției simbolului (adică lacunele pe care este strict pozitivă sau strict negativă).

7. Asimptotes (dacă există).

8. Comportamentul funcției în infinit

9. Funcția derivată

10. lacunele de creștere și descendente. Puncte și valori maxime și minime la aceste puncte.