Ecuații cu modulul definirea valorii absolute a modulului. Portal educațional Interpretarea geometrică a conceptului

Exerciții pentru muncă independentă:

Rezolvarea inegalităților:

№3. <3х–3,

nr. 4. x 2 -3 + 2> 0,

nr. 5. x 2 -x<3,

nr 6. x 2 -6x + 7-<0,

nr. 7. 3 + x 2 –7> 0,

№8. >.

Lecția numărul 7... Rezolvarea inegalităților care conțin o valoare absolută cu parametri.

Exemplu. La ce valori A inegalitatea este adevarata: ax 2 + 4 + a + 3<0 ?

La x0 avem ax 2 + 4x + a + 3<0 ... Coeficientul senior A trebuie să fie negativ, discriminantul trebuie să fie mai mic decât zero.

A<0, Д=16-4a (a + 3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; A<-4 și a> 1;

abscisa vârfului parabolei x 0 = -v / 2a = - 4 / 2a = -2 / a 0, Unde A<-4 .

La NS<0 avem ax 2 –4x + a + 3<0 ... Argumentând într-un mod similar, obținem: A<-4 .

Răspuns: la A<-4 această inegalitate este valabilă pentru toate valorile reale ale lui x.

Exerciții pentru muncă independentă:

Rezolvarea inegalităților cu parametri:

nr 2. (Ha)<0,

Numarul 3. Există valori ale a pentru care inegalitatea ax 2> 2 + 5 nu are solutii?

Lecțiile numărul 8 - 9... Metoda intervalelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților care conțin un modul.

Să luăm în considerare metoda intervalelor prin exemplul de rezolvare a ecuației

- + 3-2 = x + 2.

Pentru a rezolva această inegalitate, trebuie să extindeți modulele. Pentru a face acest lucru, selectați intervale, la fiecare dintre care expresiile de sub semnul modulului iau numai valori pozitive sau negative. Găsirea unor astfel de intervale se bazează pe următoarea teoremă: dacă pe intervalul (a; c) funcția f este continuă și nu dispare, atunci ea păstrează un semn constant pe acest interval.

Pentru a selecta intervalele de constanță, găsim punctele în care expresiile scrise sub modul dispar:

x + 1 = 0, x = -1; x = 0; x – 1 = 0, x = 1; x – 2 = 0, x = 2.

Punctele obținute vor împărți linia dreaptă în intervalele necesare. Să definim semnele expresiilor

x + 1, x, x – 1, x – 2 la aceste intervale:

Având în vedere semnele, să deschidem modulele. Ca rezultat, obținem un set de sisteme echivalent cu această ecuație:

Ultimul set se reduce la forma:

Rezolvarea multimii de sisteme si a ecuatiei date: -2; NS 2.

Tehnica folosită se numește metoda intervalului... Este folosit și pentru a rezolva inegalitățile.

Rezolvați inegalitatea: + x – 2<0.

1) Aflați zerourile expresiei: x 2 -3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Împărțiți linia de coordonate în intervale și setați semnul expresiei x 2 -3x la fiecare interval:

3) Să deschidem modulul:

Rezolvarea primului sistem:, rezolvarea celui de-al doilea. Soluția acestei inegalități: .

Exerciții pentru muncă independentă:

№3

Lecția numărul 10 - 11... Rezolvarea inegalităților de formă , prin tranziții echivalente.

Luați în considerare inegalitățile de formă și. Acceptăm următoarea teoremă fără demonstrație: pentru orice valoare a lui a, inegalitateaeste echivalent cu un sistem de inegalități și inegalitateaeste echivalentă cu mulțimea de inegalități

Luați în considerare un exemplu: rezolvați inegalitatea: >x + 2.

Folosind teorema formulată, trecem la mulțimea de inegalități:

Sistemul și inegalitatea 0x> 2 nu au solutii. Prin urmare, soluția pentru mulțime (și această inegalitate) este NS.

Exerciții pentru muncă independentă:

Lecția numărul 12. Aplicarea proprietăților valorii absolute la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

La rezolvarea unor sarcini se folosesc proprietățile modulului. (Dacă este necesar, repetați-le, vezi lecția numărul 1).

Să ilustrăm aplicarea proprietăților modulelor atunci când rezolvăm următoarele exemple.

În prezent, la examenele finale la cursul de liceu și la examenele de admitere la diferite instituții de învățământ se propun ecuații cu un modul și parametri, a căror rezolvare provoacă adesea dificultăți elevilor. Să luăm în considerare soluția diferitelor tipuri de ecuații, caracteristica unificatoare pentru care va fi doar prezența unui semn de valoare absolută.

Descarca:

Previzualizare:

Rezolvarea ecuațiilor care conțin semnul modulului (valoare absolută)

În prezent, la examenele finale la cursul de liceu și la examenele de admitere la diferite instituții de învățământ se propun ecuații cu un modul și parametri, a căror rezolvare provoacă adesea dificultăți elevilor. Să luăm în considerare soluția diferitelor tipuri de ecuații, caracteristica unificatoare pentru care va fi doar prezența unui semn de valoare absolută.

Prin definiție prin modulul (valoarea absolută) unui număr real a (notat cu | a |) acest număr în sine se numește dacă a≥0 , și numărul opus-a dacă a

, pentru a≥0 și, pentru a

Geometric | a | înseamnă distanța pe linia de coordonate de la punctul care reprezintă numărul A , înainte de începerea numărătorii inverse. Valoarea absolută a lui zero este zero, iar dacă a ≠ 0 , apoi pe linia de coordonate sunt două puncte a și -a echidistant de zero, ale cărui valori absolute sunt| a | = | -a |.

Înainte de a începe studiul metodelor de rezolvare a ecuațiilor care conțin semnul unei valori absolute, este necesar să se obțină o înțelegere clară a efectului acestui semn asupra numerelor. În esență, definiția modulului introduce o nouă operație unară asupra mulțimii numerelor reale, adică. o operație efectuată pe un număr, spre deosebire de operațiile binare mai cunoscute de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Puteți verifica înțelegerea corectă a semnului modulului în exercițiile de următoarele tipuri.

1. Care este diferența?

2. Care este suma?

3. Care este fracția?

4. Este adevărată afirmația: dacă, atunci a = b?

5. Este adevărată afirmația: dacă a = b, atunci?

6. La ce valori NS egalitatea este adevarata:

A). x = | x |; b). –X = | -x |; v). –X = | x |?

7. Are ecuația rădăcini și, dacă da, câte:

A). | x | = 0; b). | x | = 1; v). | x | = -3; G). | -x | = 2; e). | x | = 1,2?

8. Înregistrați expresia fără semn pentru valoarea absolută:

A). |x + 2 |; b). | x + 2 | + x; v). -2 | x + 2 | -x; G). | 2 |;

e). -2 | 2-x | + 2-x; e). | x- | x ||; g). | x + 2 | x || + 2x.

Sarcina 3.1, Egalitatea poate fi adevărată

Și dacă da, când?

Următorul răspuns este adesea întâlnit: „Această egalitate este adevărată în cazul în care numerele a și b au semne diferite”. Răspunsul nu este complet pentru că nu spune nimic despre cazul în care unul dintre aceste numere ajunge la zero. Aici s-a făcut o greșeală comună, care constă în caracterul incomplet al clasificării efectuate. În acest caz, trebuie avut în vedere că, pe lângă numerele pozitive și negative, există și zero.Răspuns corect: la .

Luați în considerare câteva cazuri speciale de ecuații cu un modul.

1. Rezolvarea ecuației.

Prin definiția valorii absolute, această ecuație se împarte într-un set de două sisteme mixte:

F (x) = a f (-x) = a

Din moment ce functia este par, atunci rădăcinile sale vor exista în perechi de numere opuse, adică. dacă α este o rădăcină a unei ecuații, atunci –α va fi și o rădăcină a acestei ecuații. Prin urmare, este suficient să rezolvi doar unul dintre aceste două sisteme.

Exemplul 1 ... Rezolvați ecuația 2 | x | -4,5-0,5 | x | = 7,5.

Această ecuație este destul de simplă și, până acum, nu are sens să o scrieți sub forma a două sisteme, dar puteți pur și simplu să aduceți altele similare și să regrupați: 1,5 | x | = 12 → | x | = 8 → x 1 = -8, x 2 = 8.

Exemplul 2 ... Rezolvați ecuația x 2 - | x | = 6.

După cum am menționat mai sus, ecuația se împarte în două sisteme, dar datorită parității funcției, un singur sistem poate fi rezolvat, fără a uita să adăugați valori de semne opuse soluțiilor obținute.

X 2 -x-6 = 0, x 1 = -2, x 2 = 3

X≥0 x≥0

Soluția sistemului va fi valoarea x = 3 , iar soluția acestei ecuații are două valori: x 1 = -3, x 2 = 3.

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, grafic, pentru valori nenegative NS trasează o funcție y 1 = f (x) , răsturnați-l simetric față de axă OU în zona valorilor negative NS și apoi grafică funcția y 2 = a ... Soluția va fi abscisele punctelor de intersecție ale graficelor la 1 si la 2.

2. Rezolvarea unei ecuații de formă.

Soluția unei astfel de ecuații se împarte într-un set de două sisteme mixte:

F (x) = φ (x) f (x) = - φ (x)

φ (x) φ (x)

3. Rezolvarea ecuațiilor de forma.

Găsiți rădăcinile binomurilor sub valoarea absolută:…

Fie x 1 2 k ... Această ecuație se rezolvă secvenţial în intervalele:(-∞, x 1],,…, Ecuația ia forma-x 2 + 5x-6 = 5x-x 2 -6 iar după transformări nu depinde de x: -6 = -6. Prin urmare, x poate fi oricare dintre intervalul considerat.

Soluția finală a ecuației NS.

Exemplul 3 ... Rezolvați ecuația| x 2 -1 | = - | x | +1

Primul modul oferă două puncte caracteristice x 1 = -1, x 2 = 1 , al doilea punct de modul x = 0 ... Gama de valori acceptabile este împărțită în patru intervale(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , în fiecare dintre care, la deschiderea modulelor, trebuie să privim cu atenție semnul expresiilor în picioare.

A). x (-∞; -1): x 2 -1 = x + 1, x 2 -x-2 = 0 ... Rădăcinile acestei ecuații x 1 = -1, x 2 = 2 nu se încadrează în golul deschis selectat. Un punct important trebuie făcut aici. La împărțirea intervalului de valori admisibile în intervale, punctele caracteristice sunt incluse în intervale la discreția dvs., fiecare punct caracteristic poate fi inclus în ambele intervale, a căror limită servește sau numai într-unul dintre ele. Acest lucru nu va duce la o eroare.

b). x [-1; 0]: -x 2 + 1 = x + 1, x 2 + x = 0, x 1 = -1, x 2 = 0. Ambele rădăcini sunt incluse în intervalul considerat și, prin urmare, sunt soluții ale ecuației inițiale.

v). x (0; 1]: -x 2 + 1 = -x + 1, x 2 -x = 0, x 1 = 0, x 2 = 1 ... A doua rădăcină se află între ele.

G). x (1; + ∞): x 2 -1 = -x + 1, x 2 + x-2 = 0, x 1 = -2, x 2 = 1 ... Ambele rădăcini nu sunt incluse în decalaj.

Soluția finală a acestei ecuații conține trei rădăcini: x 1 = -1, x 2 = 0, x 3 = 1.

În toate exemplele de ecuații cu module prezentate, a fost posibilă o soluție grafică, uneori chiar mai rapidă decât o enumerare lungă a tuturor intervalelor în care intervalul de valori permise este împărțit prin puncte caracteristice.

Exerciții de antrenament.

1. | x + 5 | = | 10 + x |

1. | 3x + 1 | + x = 9
2. | x-3 | +2 | x + 1 | = 4

La rezolvarea inegalităților care conțin o necunoscută sub semnul unei valori absolute se folosește aceeași tehnică ca și la rezolvarea unei ecuații care conține o necunoscută sub semnul unei valori absolute și anume: soluția inegalității inițiale se reduce la rezolvarea mai multor inegalități considerate pe intervale de constanţă de semn a expresiilor stând sub semnele unei valori absolute mărite.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea

Rezolvare: Se consideră intervalele de constanță ale expresiei x 2 - 2, stând sub semnul valorii absolute.

1) Să presupunem că

atunci inegalitatea (*) ia forma

Intersectia multimii de solutii la aceasta inegalitate si inegalitatea x 2 -2 0 este prima multime de solutii la inegalitatea initiala (Fig. 1): x (-2; -].

• 2) Să presupunem că x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

Intersecția mulțimii de soluții ale acestei inegalități și inegalitatea х 2 - 2

Răspuns: x (-2; -1).

Spre deosebire de ecuații, inegalitățile nu pot fi verificate direct. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, puteți verifica grafic dacă rezultatele sunt corecte. Într-adevăr, scriem inegalitatea exemplului în formă

Să construim funcțiile y 1 = x 2 - 2 și y 2 = -x incluse în părțile din stânga și din dreapta inegalității luate în considerare și să găsim acele valori ale argumentului pentru care y 1

În fig. 3, zona umbrită a axei absciselor conține valorile x dorite. Soluția inegalităților care conțin semnul mărimii absolute poate fi uneori redusă semnificativ prin utilizarea egalității x 2 = x 2.

Figura 3

Exemplu: Rezolvați inegalitatea

Soluție: Inegalitatea inițială pentru toate x -2 este echivalentă cu inegalitatea

x - 1> x + 2. (**)

Punând la pătrat ambele părți ale inegalității (**), după reducerea termenilor similari, obținem inegalitatea

Luând în considerare setul de valori admisibile ale inegalității inițiale determinate de condiția x -2, obținem în final că inegalitatea (*) este valabilă pentru tot x (-; -2) (- 2; -1/2) .

Răspuns: (-; -2) (- 2; -1/2).

Exemplu: Găsiți cel mai mic număr întreg x care satisface inegalitatea:

Rezolvare: Deoarece x +1 0 și, prin condiție, x +1 0, această inegalitate este echivalentă cu următoarea: 2x + 5> x +1. Acesta din urmă, la rândul său, este echivalent cu sistemul de inegalități - (2x + 5)

• - (2x + 5)
• 2x + 5> x +1,

Cel mai mic număr întreg x care satisface acest sistem va fi inegalitățile, este 0. Rețineți că x -1, altfel expresia din partea stângă a acestei inegalități este lipsită de sens.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea:

Raspunsul 1; 1].

Exemplu: Rezolvați inegalitatea

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Soluţie. x 2 - 3x + 2 este negativ la 1

• 2. - Ѕ? NS? 1. Avem inegalitatea x2 - x - 2? 0. Soluția lui este -1? NS? 2. Prin urmare, întregul segment -Ѕ? X? 1 satisface inegalitatea.
• 4.x? 2. Inegalitatea este aceeași ca în cazul 2. Doar x = 2 este potrivit.

Răspuns: 5 - 41 2? NS? 2.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Soluţie. Să rezolvăm această inegalitate într-un mod non-standard.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 -x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 -x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 -x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerovo

MOU „Școala Gimnazială Nr. 37”

Curs opțional

pentru elevii din clasele 10-11

Ecuații, inegalități și sisteme,

Compilat de:

Kaplunova Zoia Nikolaevna

profesor de matematică

Notă explicativă ……………………………………… ..pagina 2

Plan academic și tematic ………………………………… ... p. 6

Lista de cuvinte cheie …………………………………… ... pagina 7

Literatură pentru profesor ……………………………………… ..pagina 8

Literatură pentru studenți …………………………… ... pagina 8

Notă explicativă.

Sarcina principală a predării matematicii la școală este de a asigura o stăpânire solidă și conștientă de către elevi a sistemului de cunoștințe și deprinderi matematice necesare în viața de zi cu zi și activitățile de muncă pentru fiecare membru al societății moderne, suficiente pentru a studia disciplinele conexe și a-și continua educația.

Odată cu rezolvarea problemei principale, un studiu mai profund al matematicii prevede formarea unui interes stabil pentru materie la elevi, identificarea și dezvoltarea abilităților lor matematice, o orientare către profesii care sunt semnificativ legate de matematică și pregătirea pentru studiu. in universitati.

Rămâne relevantă problema diferențierii predării matematicii, ceea ce permite, pe de o parte, asigurarea unei pregătiri matematice de bază, iar pe de altă parte, satisfacerea nevoilor tuturor celor care manifestă interes pentru materie.

Programul acestui curs „Ecuații, inegalități și sisteme care conțin semnul unei valori absolute” oferă studiul unor astfel de probleme care nu sunt incluse în cursul de matematică în școala de bază în întregime, dar necesare pentru studierea ulterioară a acesteia.

Conceptul de valoare absolută (modul) este una dintre cele mai importante caracteristici ale unui număr atât în ​​domeniul numerelor reale, cât și în domeniul numerelor complexe. Acest concept este utilizat pe scară largă nu numai în diferite secțiuni curs şcolar, dar și la cursurile superioare de matematică, fizică și științe tehnice studiate în universități. De exemplu, în teoria calculelor aproximative se folosesc conceptele de erori absolute și relative ale unui număr aproximativ. În mecanică și geometrie sunt studiate conceptele de vector și lungimea acestuia (modulul unui vector). În analiza matematică, conceptul de valoare absolută a unui număr este conținut în definițiile unor astfel de concepte de bază, cum ar fi o limită, o funcție mărginită etc. Problemele legate de valorile absolute se găsesc adesea la olimpiadele de matematică, examenele de admitere la universitate și examenul de stat unificat.

Programa școlară a cursului de matematică nu prevede generalizarea și sistematizarea cunoștințelor despre modulele, proprietățile acestora, primite de elevi pe toată perioada de studiu.

Astfel, acest curs „Ecuații, inegalități și sisteme care conțin semnul absolutului” are scopul de a extinde cursul de bază de algebră și de a începe analiza și oferă studenților posibilitatea de a se familiariza cu tehnicile și metodele de bază de finalizare a sarcinilor asociate cu module. Trezește interesul de cercetare pentru aceste probleme, dezvoltă gândirea logică, contribuie la dobândirea de experiență cu o sarcină care este mai mare decât nivelul de complexitate cerut.

Cursul „Ecuații, inegalități și sisteme care conțin semnul valorii absolute” este destinat pregătirii de specialitate a elevilor din clasele 10-11 și este conceput pentru 34 de ore (1 oră pe săptămână).

În procesul de predare a acestui curs se propune folosirea diverselor metode de intensificare a activității cognitive a elevilor, precum și a diverselor forme de organizare a muncii lor independente.

Pe parcursul studierii acestui curs, studenții stăpânesc materialul teoretic și îndeplinesc sarcini practice. Rezultatul stăpânirii programului de curs este prezentarea lucrări creativeîn lecția finală

La studierea cursului, se asigură controlul testului.

Obiectivele cursului:

* generalizarea și sistematizarea, extinderea și aprofundarea cunoștințelor pe tema „Valoarea absolută”;

* Dobândirea deprinderilor practice în realizarea sarcinilor cu modulul;

*creșterea nivelului pregătire matematică elevi.

Obiectivele cursului

* dotați elevii cu un sistem de cunoștințe pe tema „Valoarea absolută”

* să-și formeze abilitățile de aplicare a acestor cunoștințe la rezolvarea unor probleme de complexitate variabilă;

* pregatirea elevilor pentru examen;

* să formeze abilități de muncă independentă, lucru în grup;

* pentru a forma abilități de lucru cu literatura de referință;

Cerințe pentru nivelul de asimilare a materialului educațional

Ca urmare a studierii programului de curs, studenții au ocazia

cunoașteți și înțelegeți:

* definiții, concepte și algoritmi de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de inegalități și sisteme cu un modul;

* reguli pentru trasarea graficelor de funcții care conțin semnul valorii absolute;

A fi capabil să:

* aplică definiția, proprietățile valorii absolute ale unui număr real la rezolvarea unui număr real la rezolvarea unor probleme specifice;

* rezolvarea de ecuații, inegalități, sisteme de ecuații și inegalități care conțin o variabilă sub semnul modulului;

* să poată efectua independent studii mici.

1.Introducere 1h.

Scopurile si obiectivele cursului. Subiectele abordate în curs și structura acestuia. Cunoașterea literaturii, teme ale operelor de creație.

24 de ore)

Determinarea valorii absolute. Interpretarea geometrică a conceptului de modul. Operații pe valori absolute. ... Aplicarea proprietăților modulelor la rezolvarea problemelor.

3. Grafice de funcții care conțin semnul valorii absolute (8 ore)

Reguli și algoritmi pentru construirea graficelor de funcții. Definiția unei funcții pare. Transformări geometrice ale graficelor funcțiilor care conțin semnul modulului. Trasare de bază cu exemple ale celor mai simple funcții. Ecuații grafice: y = f | x |; y = f (- | x |); y = | f (x) |; y = | f | x ||; | y | = f (x), unde f (x) ≥0; | y | = | f (x) |

4.Ecuații care conțin valori absolute.(10 ore)

Extinderea modulului prin definiție, trecerea de la ecuația originală la un sistem echivalent, pătrarea ambelor părți ale ecuației, metoda intervalelor, metoda grafică, folosind proprietățile valorii absolute. Ecuații de forma: | f (x) | = 0; f | x | = o; | f (x) | = g (x); | f (x) | = | g (x) |;

Metoda de modificare a variabilelor la rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Metoda intervalelor la rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Ecuații de forma: | f (x) | ± | f (x) | ± | f (x) | ±… ± | f (x) | = 0; | f (x) | ± |) f (x) | ± | f (x) | ±… ± | f (x) | = g (x).

Rezolvarea grafică a ecuațiilor care conțin valori absolute.

5.Inegalități care conțin valori absolute (10 ore)

Inegalități cu o necunoscută. Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților

cu modul | f (x) |> a. Inegalitati de forma a | f (x) |> g (x); | f (x) |> | g (x) |.

6. Lecția finală (1 oră)

Prezentarea lucrărilor de creație.

Secțiunea III. Plan academic-tematic

Secțiunea IV. Lista de cuvinte cheie.

Algoritm, ecuație, inegalitate, modul, grafic, axe de coordonate, translație paralelă, simetrie centrală și axială, metoda intervalului, trinom pătratic, polinom, factorizare polinomială, formule de înmulțire redusă, ecuații simetrice, ecuații de returnare, proprietăți ale valorii absolute, domeniul lui definiție, interval de valori valide.

Secţiunea V. Literatură pentru profesor.

1. Bashmakov M.I. Ecuații și inegalități. (Text) / M.I. Bashmakov.-M .: VZMSh

la Universitatea de Stat din Moscova, 1983.-138s.

2. Vilenkin N. Ya et al. Algebră și analiză matematică nota 11. (Text) / N. Ya.

Vilenkin-M .: Educație, 2007.-280s.

3. Gaidukov I.I. Valoare absolută. (Text) / Gaidukov I.I. –M .: Educație, 1968.-96 p.

4. Gelfand I. M. et al. Funcții și grafică.(Text) / I. M. Gelfand- M .: MCNMO,

5.Goldich V.A. Zlotin S.E. t 3000 de probleme în algebră (Text) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350s.

6.Kolesnikova S.I. Matematica. Pregătire intensivă pentru Unul

Examen de stat. (Text) / Kolesnikova S.I. - M .: Iris-press 2004.-299s.

7.Nikolskaya I.L. Curs optional de matematica. (Text) / I.L. Nikolskaya

M .: Educație, 1995.-80.

8.Olekhnik S.N. și alte ecuații și inegalități. Metode nestandard de soluție.

(Text) /. Olekhnik S.N.-M .: Butard, 2002.-219s.

Secțiunea VI. Literatură pentru studenți

1. Goldich V.A. Zlotin S.E. t 3000 de probleme în algebră (Text) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350s.

2.Kolesnikova S.I. Matematica. Pregătire intensivă pentru Unul

... pentrula alegere o anumită materie academică (în cadrul curriculumului, secțiunea: „ Electivecursuri") v 10 -11 clase... și, de asemenea, în sistem educatie suplimentara. Pentru aceste categorii elevilor a dezvoltat și implementat formarea în rețea cursuripe toata lumea ...

Conținutul principal al cursului

Valoarea absolută a numărului. Proprietăți de bază (1h).

Determinarea valorii absolute a unui număr sau modul. Înregistrarea analitică a definiției. Sensul geometric. Proprietăți de bază. Referință istorică.

Scopul principal este sistematizarea și generalizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Valoarea absolută”, primite de aceștia în clasele a VI-a și a VIII-a; luați în considerare semnificația geometrică a valorii absolute și proprietățile de bază; dați informații istorice despre introducerea termenului „modul” și „semnul modulului”; luați în considerare exemple, a căror soluție se bazează pe definiția modulului.

Rezolvarea ecuațiilor cu module (3h).

Rezolvarea ecuațiilor liniare, pătratice cu module, precum și a ecuațiilor care conțin o valoare absolută, cu parametri.

scopul principal- interpretarea geometrică a unei expresii și utilizarea acesteia pentru rezolvarea ecuațiilor de formă; luați în considerare rezolvarea ecuațiilor liniare pe baza definiției modulului; soluția ecuațiilor pătratice care conțin semnul valorii absolute, precum și soluția grafică a ecuațiilor care conțin valoarea absolută, cu parametri.

Rezolvarea inegalităților cu module (3h).

Rezolvarea inegalităților liniare, pătrate cu module, precum și a inegalităților care conțin o valoare absolută, cu parametri.

scopul principal- să dezvolte capacitatea de a rezolva inegalități liniare cu un modul în diverse moduri (folosind sensul geometric, pătrarea inegalității, folosind inegalitatea dublă); inegalități pătrate care conțin semnul unei valori absolute, folosind o schiță schematică a unui grafic al funcției pătrate, precum și metoda intervalelor; pentru a da o idee despre cum se rezolvă inegalitățile care conțin o valoare absolută cu parametri.

Metoda intervalului (2h).

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin o valoare absolută folosind metoda intervalelor.

scopul principal - să-i învețe pe școlari să rezolve ecuații și inegalități care conțin o valoare absolută folosind metoda intervalelor; formulați o teoremă pe care se bazează căutarea intervalelor de constanță; aflarea zerourilor modulului.

Inegalități de formă, rezolvate prin tranziții echivalente (2h).

Rezolvarea unei inegalități de formă prin tranziții echivalente la un set de inegalități, iar inegalitatea - la un sistem de inegalități.

scopul principal- să consolideze conceptul de echivalență, cunoscut elevilor din clasa a VIII-a; formulați (și demonstrați în clasa „puternică”) proprietatea unei tranziții echivalente de la inegalitate la o mulțime și de la o inegalitate la un sistem.

Aplicarea proprietăților valorii absolute la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților (1h).

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților (liniare, pătrate, grade mai mari decât secunda), precum și a sistemelor de ecuații și inegalități folosind proprietățile valorii absolute.

scopul principal- repetați, dacă este necesar, principalele proprietăți ale modulului; să-i învețe pe elevi să rezolve ecuații și inegalități (liniare, pătratice, grade mai mari decât a doua), precum și sisteme de ecuații și inecuații folosind proprietățile valorii absolute; arătați tehnici grafice atunci când înregistrați un răspuns; extindeți clasa de ecuații cu modul (se consideră o ecuație cu două variabile).

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu modul pe dreapta de coordonate (1h).

Rezolvarea ecuațiilor liniare și a inegalităților cu modul pe dreapta de coordonate.

scopul principal- repetați formula pentru distanța dintre două puncte A ( x 1) și B ( x 2) linie de coordonate; să învețe elevii cum să rezolve ecuații și inegalități cu un modul pe o dreaptă de coordonate.

Modulul și transformarea rădăcinilor (1h).

Aplicarea conceptului de modul la operarea cu rădăcini aritmetice. Conversia expresiilor iraționale care folosesc un modul pentru a le rezolva.

scopul principal- să dezvolte capacitatea de a efectua transformări ale expresiilor care conțin rădăcină pătrată, în care se folosește modulul.

Modul și ecuații iraționale (2h).

Rezolvarea ecuațiilor iraționale folosind metoda extragerii unui pătrat complet sau introducerea unei noi variabile.

scopul principal- repeta definirea ecuatiilor irationale cunoscute elevilor din clasa a VIII-a; arata prin exemple solutia ecuatiilor irationale asociate cu necesitatea utilizarii modulului.

Plan academic-tematic

Lista de literatură pentru profesori

• V.I. Golubev Valoarea absolută a numărului la concursurile de matematică (pe baza materialelor de la principalele universități ale țării) .- Lviv: Kvantor, 1991.
• Golubev V. Metode eficiente de rezolvare a problemelor pe tema „Valoarea absolută” .- M .: Chistye prudy, 2006.
• Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Pregătirea pre-profil a elevilor de clasa a IX-a la matematică.- M .: 5 pentru cunoaștere, 2006.
• Rurukin A.N. Un ghid pentru pregătirea intensivă pentru examenul de matematică „Absolvență, admitere, USE pentru 5+.” - M .: VAKO, 2006.
• Smykalova E.V. Matematică (module, parametri, polinoame), pregătire pre-profil, clasele 8-9 - Sankt Petersburg: SMIO-Press, 2006.

Lista de literatură pentru studenți

• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica. Materiale de referinţă.- M .: Educaţie, 1988.
• Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Un manual de matematică pentru candidații la universități. - Moscova: Nauka, 1973.
• V.V. Zorin Un manual de matematică pentru solicitanții la universități. - M.: Liceu, 1974.
• Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Probleme de complexitate crescută în algebră și principiile analizei.- Moscova: Educație, 1990.
• Kalnin R.A. Algebră și funcții elementare, editura „Nauka”, ediția principală a literaturii fizice și matematice.- Moscova: Nauka, 1975.
• Krulikovsky N.N. Probleme de matematică pentru liceeni.- Tomsk: ed. Universitatea din Tomsk, 1973.
• Nesterenko Yu.V., Olekhnik S.N., Potapov M.K. Probleme ale examenelor de admitere la matematică), Moscova: Nauka, 1986.
• Sharygin I.F. Matematică pentru elevii de liceu, Moscova, „Bustard”, 1995.

Materiale metodice

Lecția numărul 1: Determinarea valorii absolute a unui număr (modulul unui număr), a semnificației sale geometrice și a proprietăților de bază.

Valoarea absolută (sau modulul) unui număr real a se numește însuși acest număr, dacă este nenegativ, iar acest număr, luat cu semnul opus, dacă este negativ.

Modulul numărului a se notează după cum urmează: Stabilind o conexiune între modulul unui număr și numărul în sine, obținem o înregistrare analitică a definiției:

=

Modulul unui număr este și distanța de la origine la punctul care reprezintă acest număr pe linia de coordonate. Aceasta este sens geometric modul. Acea. sunt utilizați termenii „modul”, „valoare absolută” sau „valoare absolută” a unui număr. În conformitate cu definiția de mai sus = 5, = 3, = 0. Valoarea absolută a unui număr poate fi definită și ca cea mai mare dintre numerele a și - a.

Notă istorică: termenul „modul” (din latinescul modulus – măsură) a fost introdus de matematicianul englez R. Cotes (1682-1716), iar semnul modulului a fost introdus de matematicianul german K. Weierstrass (1815-1897). ), în 1841.

Principalele proprietăți ale modulului:

Să luăm în considerare exemple, a căror soluție se bazează pe definiția modulului.

Nr. 1. Rezolvați ecuația = 4.

Prin definiția modulului; NS= 4 sau NS=-4.

№ 2. Rezolvați ecuația: = 3.

O ecuație este echivalentă cu o combinație de două ecuații:

Unde: x 1= 2 și x 2=-1.

№ 3. Rezolvați ecuația: = -2.

Prin proprietatea 1: modulul oricărui număr real este un număr nenegativ, concluzionăm că nu există o soluție.

№ 4. Rezolvați ecuația: = NS–5.

Pentru aceeași proprietate 1: NS–50, NS 5.

№ 5. Rezolvați ecuația: + NS=0.

= - x, NS 0.

№ 6. Rezolvați ecuația: = NS+2.

Spre deosebire de exemplul anterior, partea dreaptă a acestei ecuații conține o expresie variabilă. Prin urmare, ecuația are o soluție cu condiția ca NS+ 20, adică x-2. Atunci noi avem:

2x + 1 = x +2 sau

2x + 1 = - x - 2.

Acea. la x -2, avem:

Rezolvarea ecuatiilor:

Lecția numărul 2... Rezolvarea ecuațiilor liniare cu module.

La rezolvarea ecuațiilor liniare se folosește fie semnificația geometrică a modulului unui număr, fie dezvăluirea semnului modulului. Să luăm un exemplu: Rezolvați ecuația

a) Folosim sensul geometric al modulului numărului. Să scriem ecuația ca: + = 7. Atunci d = x-5- distanta fata de punct NS la punctul 5 pe linia numerică, f = x - (- 2)- distanta fata de punct NS la punctul (-2) După starea problemei, suma acestor distanțe d + f = 7... Să desenăm punctele 5 și -2 pe linia numerică. Este ușor de verificat că pentru orice număr din segmentul [-2; 5] suma distanțelor d + f este egală cu lungimea segmentului AB, adică. 7. Este la fel de ușor să stabiliți asta pentru puncte x sau x> 5 suma distanțelor d + f> 7... Prin urmare, soluția ecuației este intervalul.

b) Să extindem semnul modulului. Pentru a face acest lucru, trageți punctele -2 și 5 pe linia numerică. Aceste puncte îl împart în trei intervale. Luați în considerare semnele modulelor în fiecare dintre intervale.

În intervalul 1 (x obținem: - (x-5) - (x + 2) = 7 sau –X + 5 –x – 2 = 7 sau - 2x + 3 = 7, de unde obținem: x = -2... Dar acest punct nu este inclus în intervalul considerat. De aceea x = -2 nu este o solutie.

In intervalul 2: NS primim: - (x-5) + (x + 2) = 7 sau 7=7. Deoarece s-a dovedit egalitatea corectă, orice punct din acest interval este o soluție a acestei ecuații.

In intervalul 3 (x> 5) primim: (x-5) + (x + 2) = 7 sau 2x-3 = 7, Unde x = 5... Punct x = 5 nu este inclusă în intervalul considerat și nu este o soluție a ecuației.

Deci, soluția acestei ecuații: -2x5.

Rezolvarea ecuatiilor:

Lecția numărul 3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu modul.

Să luăm în considerare soluția ecuațiilor pătratice cu module folosind exemple:

#1. Rezolvați ecuația

Să introducem înlocuitorul = y, apoi la la 0 ecuația ia forma:

y 2 –6у + 8 = 0, de unde y 1 = 2 și y 2 = 4.a x = 2 sau -2; 4 sau -4.

nr 2. Rezolvați ecuația:

Ecuația este echivalentă cu sistemul: De unde NS=1.

Numarul 3. Rezolvați ecuația:

2NS – 1.

Ecuația are o soluție cu condiția ca 2 NS–10, iar egalitatea este posibilă cu condiția: valorile expresiilor x 2 + x-1 și 2 NS–1 sunt identice sau opuse. Acea. avem: x0,5. Să compunem ecuațiile: x 2 + x–1=2NS–1 sau x 2+NS–1=-(2NS-1); rezolvând care, obținem

nr. 4. Găsiți rădăcinile ecuației: .

Reprezentăm această ecuație sub forma: = NS 2 - 1, de unde:

x - 1 = x 2 - 1,

sau x - 1 = - (x 2 - 1).

x 2 - 1 la x - 1și x 1 Rezolvând ecuațiile, obținem din prima: x = 0și x = 1, din a doua: x = -2și x = 1.

Răspuns: x = 1; x = -2.

nr. 5. Găsiți rădăcinile întregi ale ecuației: =.

Folosind definiția unui modul, ajungem la concluzia că egalitatea este posibilă dacă valorile expresiilor x – x 2 –1și 2x + 3-x 2 sunt egale sau opuse, adică această ecuație este echivalentă cu o combinație de două ecuații:

Rezolvând mulțimea, obținem rădăcinile acestei ecuații: x = -4; -0,5; 2.Între acestea: -4 și 2.

nr 6. Rezolvați ecuația: = 2x 2 –3x + 1.

Să notăm expresia 3x-1-2x 2 scrisoare A... Atunci această ecuație va lua forma: = -a... Pe baza înregistrării analitice a definiției modulului, putem concluziona că această ecuație este echivalentă cu inegalitatea: 3x – 1-2x 2 0, rezolvând care, obținem răspunsul: x0,5și x1.

Exerciții pentru munca independentă.

Rezolvați ecuația:

Nr. 1. = x 2 + x – 20.

nr 2. + 3x -5 = 0,

Numarul 3. = (x – 1) (x + 1),

nr. 4. x 2 –6 + 5 = 0,

nr. 5. x 2 + 8 = 9,

nr. 6. = x 2 -6x + 6,

nr. 7. x = -8.

Lecția numărul 4. Rezolvarea ecuațiilor care conțin o valoare absolută cu parametri.

Luați în considerare un exemplu: Rezolvați o ecuație cu un parametru

Să construim grafice ale funcțiilor y = 3-xși y =. Programa y = 3-x este fix și nu depinde de parametru. Programa y = obtinut din graficul functiei y =, depinde de parametru A... Prin urmare, vom lua în considerare 3 cazuri:

Acest caz, după cum se vede din figură, va fi pentru A. Graficele acestor funcții se intersectează într-un singur punct B. Luați în considerare triunghiul ABC, în care unghiul A este egal cu unghiul B și este egal cu 45 0, trageți înălțimea VD în acest triunghi. pentru că triunghiul ABC este isoscel, atunci VD este și mediana acestui triunghi. Prin urmare, abscisa punctului D NS= (a + 3) / 2.

Acest caz are loc când A= 3. Atunci graficele funcțiilor coincid în segmentul AB și abscisa oricărui punct al acestei raze este o soluție a acestei ecuații, adică. NS

În acest caz A> 3. Se poate observa că graficele funcțiilor nu se intersectează, adică. nu au puncte comune. Prin urmare, ecuația nu are soluție.

Exerciții pentru muncă independentă:

Rezolvați ecuațiile:

Numarul 3. (a – 2) = a – 2,

nr. 4. a 2 x 2 + a = 0.

Lecția numărul 5. Rezolvarea inegalităților liniare cu module.

Inegalitățile care conțin o variabilă sub semnul modulului sunt rezolvate în moduri diferite; luați în considerare un exemplu destul de simplu:

# 1: Rezolvați inegalitatea:

Prima modalitate: avem:> 4,

Geometric, expresia înseamnă distanța pe o linie de coordonate dintre puncte NSși 2.5. Deci trebuie să găsim toate aceste puncte NS care sunt la mai mult de 2 distanță de punctul 2.5 sunt puncte din intervale x și x> 4,5.

Al doilea mod: Deoarece ambele părți ale inegalității date sunt nenegative, vom pătra ambele părți ale acestei inegalități: 2> 4 2.

(2x – 5) 2> 4 2,

(2x – 5) 2 –16> 0,

(2x – 5–4) (2x – 5 + 4)> 0,

2 (x – 4,5) 2 (x – 0,5)> 0,

(x – 4,5) (x – 0,5)> 0.

Aplicând metoda spațierii, obținem: x, 5 și x> 4,5.

Metoda trei: Exprimarea 2x – 5 poate fi nenegativ sau negativ. Acestea. avem o combinație de două sisteme:

Unde: x și x> 4,5.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul # 2: Rezolvarea inegalității:

Această inegalitate este echivalentă cu o combinație a două sisteme:

Din primul sistem obținem 2x, din a doua -1-1

Exemplul nr. 3. Rezolvați inegalitatea: 3 x + 3.

Această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea dublă -x-33x – 3x + 3 sau sistem

Avem : 0x3.

Exerciții pentru muncă independentă:

Rezolvarea inegalităților:

№3. ->-2.

Lecția numărul 6. Rezolvarea inegalităților pătrate cu module.

Luați în considerare exemplul #1. Rezolvați inegalitatea: + x – 2.

Această inegalitate poate fi rezolvată prin metoda intervalelor. Luați în considerare o altă soluție bazată pe următoarea afirmație: pentru orice valoare a lui a, inegalitatea este echivalentă cu sistemul de inegalități: ,și inegalitateaeste echivalentă cu mulțimea de inegalități.

Prin urmare, inegalitatea noastră este echivalentă cu sistemul de inegalități: rezolvand care, obtinem:

Să notăm răspunsul: (1-; 2-).

Exemplul #2. Găsiți soluții întregi la inegalitate: 2x-x 2... Problema se reduce la rezolvarea unui set de două sisteme de inegalități:

Să rezolvăm primul sistem: din prima inegalitate avem: x1; x2.

din a doua: 2x 2 -5x + 20, sau 0,5x2.

Notând soluțiile găsite ale primei și celei de-a doua inegalități ale primului sistem pe dreapta de coordonate, găsim intersecția soluțiilor.

Acea. 0,5x1și x = 2... Aceasta este soluția primului sistem.

Să rezolvăm al doilea sistem: din prima inegalitate avem: 1- (x 2 -3x + 2) 2x – x 2, sau - x 2 + 3x – 2–2x + x 2 0, sau x2.

După ce am observat soluțiile găsite ale primei și celei de-a doua inegalități ale celui de-al doilea sistem pe linia de coordonate, obținem: 1

Combinarea soluțiilor găsite ale sistemelor de inegalități 0,5x1; x = 2; 1 0,5x2 si asa mai departe. soluții întregi vor fi x = 1și x = 2.

Exerciții pentru muncă independentă:

Rezolvarea inegalităților:

nr. 4. x 2 -3 + 2> 0,

nr 6. x 2 -6x + 7-

nr. 7. 3 + x 2 –7> 0,

№8. >.

Lecția numărul 7... Rezolvarea inegalităților care conțin o valoare absolută cu parametri.

Exemplu. La ce valori A inegalitatea este adevarata: ah 2 + 4 + a + 3?

La x0 avem ax 2 + 4x + a + 3. Coeficientul senior A trebuie să fie negativ, discriminantul trebuie să fie mai mic decât zero.

a 16–4a (a + 3) 0; ai a> 1;

abscisa vârfului parabolei x 0 = -v / 2a = - 4 / 2a = -2 / a 0, Unde A.

La x avem ax 2 –4x + a + 3. Argumentând într-un mod similar, obținem: A.

Răspuns: la și această inegalitate este valabilă pentru toate valorile reale ale lui x.

Exerciții pentru muncă independentă:

Rezolvarea inegalităților cu parametri:

Numarul 3. Există valori ale a pentru care inegalitatea ax 2> 2 + 5 nu are solutii?

Lecțiile numărul 8 - 9... Metoda intervalelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților care conțin un modul.

Să luăm în considerare metoda intervalelor prin exemplul de rezolvare a ecuației

- + 3-2 = x + 2.

Pentru a rezolva această inegalitate, trebuie să extindeți modulele. Pentru a face acest lucru, selectați intervale, la fiecare dintre care expresiile de sub semnul modulului iau numai valori pozitive sau negative. Găsirea unor astfel de intervale se bazează pe următoarea teoremă: dacă pe intervalul (a; c) funcția f este continuă și nu dispare, atunci ea păstrează un semn constant pe acest interval.

Pentru a selecta intervalele de constanță, găsim punctele în care expresiile scrise sub modul dispar:

x + 1 = 0, x = -1; x = 0; x – 1 = 0, x = 1; x – 2 = 0, x = 2.

Punctele obținute vor împărți linia dreaptă în intervalele necesare. Să definim semnele expresiilor

x + 1, x, x – 1, x – 2 la aceste intervale:

Având în vedere semnele, să deschidem modulele. Ca rezultat, obținem un set de sisteme echivalent cu această ecuație:

Ultimul set se reduce la forma:

Rezolvarea multimii de sisteme si a ecuatiei date: -2; NS 2.

Tehnica folosită se numește metoda intervalului... Este folosit și pentru a rezolva inegalitățile.

Rezolvați inegalitatea: + x – 2

1) Aflați zerourile expresiei: x 2 -3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Împărțiți linia de coordonate în intervale și setați semnul expresiei x 2 -3x la fiecare interval:

3) Să deschidem modulul:

Rezolvarea primului sistem:, rezolvarea celui de-al doilea. Soluția acestei inegalități: .

Exerciții pentru muncă independentă:

№3

Lecția numărul 10 - 11... Rezolvarea inegalităților de formă , prin tranziții echivalente.

Luați în considerare inegalitățile de formă și. Acceptăm următoarea teoremă fără demonstrație: pentru orice valoare a lui a, inegalitateaeste echivalent cu un sistem de inegalități și inegalitateaeste echivalentă cu mulțimea de inegalități

Luați în considerare un exemplu: rezolvați inegalitatea: >x + 2.

Folosind teorema formulată, trecem la mulțimea de inegalități:

Sistemul și inegalitatea 0x> 2 nu au solutii. Prin urmare, soluția pentru mulțime (și această inegalitate) este NS.

Exerciții pentru muncă independentă:

Lecția numărul 12. Aplicarea proprietăților valorii absolute la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

La rezolvarea unor sarcini se folosesc proprietățile modulului. (Dacă este necesar, repetați-le, vezi lecția numărul 1).

Notă explicativă

Matematica este o limbă vorbită nu numai de știință și tehnologie, matematica este limba civilizației umane. Ea a pătruns practic în toate sferele vieții umane. Producția modernă, informatizarea societății, introducerea modernului tehnologia Informatiei necesită cunoștințe matematice.

Educația matematică contribuie la formarea culturii generale a unei persoane. Studiul matematicii contribuie la educația estetică a unei persoane, la înțelegerea frumuseții și grației raționamentului matematic.

Cursul opțional „Ecuații și inegalități care conțin semnul valorii absolute” a fost creat pentru implementare în 9 clase.

Cursul este conceput pentru a extinde cunoștințele și abilitățile studenților asupra problemelor legate de conceptul de valoare absolută a unui număr, construcția graficelor de funcții și soluția grafică a ecuațiilor și inegalităților care conțin semnul valorii absolute.

Conceptul de valoare absolută (modul) este una dintre cele mai importante caracteristici ale unui număr atât în ​​domeniul realului, cât și în cel al numerelor complexe. Acest concept este utilizat pe scară largă nu numai în diferitele secțiuni ale cursului de matematică școlară, ci și în cursurile de matematică superioară, fizică și științe tehnice studiate în universități. De exemplu, în teoria calculelor aproximative se folosesc conceptele de erori absolute și relative ale unui număr aproximativ. În mecanică și geometrie sunt studiate conceptele de vector și lungimea acestuia (modulul unui vector). În analiza matematică, conceptul de valoare absolută a unui număr este conținut în definițiile unor astfel de concepte de bază, cum ar fi o limită, o funcție mărginită etc. Probleme legate de valorile absolute sunt adesea întâlnite la olimpiadele de matematică, examenele de admitere la universitate și examenul de stat unificat.

Cursul va ajuta profesorul să pregătească elevii pentru olimpiadele de matematică în cea mai bună calitate, trecând de OGE, Examen de stat unificat și examene de admitere la universități.

Programul de curs opțional presupune o cunoaștere a teoriei și practicii problemelor luate în considerare și este conceput pentru 34 de ore: 7,5 ore de prelegeri și 26,5 ore de pregătire practică.

Conținutul cursului este împărțit în opt secțiuni, inclusiv o introducere și o lecție finală. Un profesor, în funcție de nivelul de pregătire al elevilor, de nivelul de complexitate al materialului studiat și de percepția asupra acestuia de către studenți, poate să nu preia toate subiectele pentru studiu, în timp ce crește numărul de ore pentru studierea altora. Profesorul poate modifica și nivelul de dificultate al materialului prezentat.

Programul conține subiecte de muncă creativă și o listă de literatură pe subiectele propuse.

În procesul de studiere a acestui curs, se presupune că se utilizează diverse metode de îmbunătățire a activității cognitive a școlarilor, precum și diferite forme de organizare a muncii lor independente.

Rezultatul însușirii programului de curs este prezentarea de către școlari a lucrărilor creative individuale și de grup la lecția finală.

Obiectivele cursului:

• formarea interesului constant al elevilor pentru matematică;
• însuşirea cunoştinţelor matematice specifice necesare aplicării în practică;
• pregătirea pentru asimilarea conștientă curs sistematic algebră și geometrie;
• generalizarea și sistematizarea, extinderea și aprofundarea cunoștințelor pe tema „Valoarea absolută”; dobândirea de abilități practice pentru îndeplinirea sarcinilor cu modulul; creşterea nivelului de pregătire matematică a şcolarilor.

Obiectivele cursului:

• să formeze capacitatea elevilor de a construi grafice ale funcţiilor care conţin semnul unei valori absolute, folosind metoda transformărilor geometrice, de a rezolva ecuaţii şi inegalităţi cu module;
• să-și formeze abilitățile de aplicare a acestor cunoștințe în rezolvarea diferitelor probleme de complexitate variată;
• pregătirea elevilor pentru examen;
• dezvoltarea abilităților de muncă independentă, lucru în grupuri mici;
• dezvoltarea abilităților de lucru cu cărți de referință, cu un computer;
• să formeze abilitățile și abilitățile muncii de cercetare;
• contribuie la dezvoltarea gândirii algoritmice a elevilor;
• contribuie la formarea unui interes cognitiv pentru matematică.

(1 oră pe săptămână, total 34 de ore)

1. Introducere (1 h.)

Scopurile și obiectivele cursului opțional. Subiectele abordate în curs și structura acestuia. Cunoașterea literaturii, teme ale operelor de creație. Cerințe pentru participanții la curs. Licitație „Ce știu despre valoarea absolută?”

2. Valoarea absolută a numărului real a (4 ore)

Valoarea absolută a numărului real a. Module de numere opuse. Interpretarea geometrică a noțiunii de modul a. Modulul sumei și modulul diferenței unui număr finit de numere reale. Modulul diferenței dintre valorile absolute a două numere. Modulul lucrării și modulul privatului. Operații pe valori absolute. Simplificarea expresiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Aplicarea proprietăților modulelor la rezolvarea problemelor olimpiadei.

3. Grafice de ecuații (inclusiv funcții), a căror expresie analitică conține semnul valorii absolute (5 ore)

Aplicarea programului de calculator „Advanced Grapher” în construcția graficelor de funcții, a căror expresie analitică conține semnul modulului. Reguli și algoritmi pentru construirea graficelor de ecuații, a căror expresie analitică conține semnul modulului. Grafice de ecuații

Grafice ale unora dintre cele mai simple funcții, date explicit și implicit, a căror expresie analitică conține semnul modulului. Grafice de ecuații (inclusiv funcții), a căror expresie analitică conține semnul valorii absolute în sarcinile olimpiadei.

4. Ecuații care conțin valori absolute (11 ore)

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Extinderea modulului prin definiție, trecerea de la ecuația originală la un sistem echivalent, pătrarea ambelor părți ale ecuației, metoda intervalelor, metoda grafică, folosind proprietățile valorii absolute. Ecuații de formă

Metoda de schimbare a variabilelor pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Metoda intervalelor la rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Ecuații de formă

O metodă de dezvăluire secvențială a unui modul atunci când se rezolvă ecuații care conțin un „modul într-un modul”. Rezolvarea grafică a ecuațiilor care conțin valori absolute. Utilizarea proprietăților valorii absolute la rezolvarea ecuațiilor. Ecuații cu parametri care conțin valori absolute. Apărarea sarcinilor olimpiadei rezolvate.

5. Inegalități care conțin valori absolute (7 ore)

Inegalitățile de formă

Inegalitățile de formă

Metoda intervalelor de rezolvare a inegalităților care conțin semnul modulului. Inegalități cu parametrii care conțin valori absolute. Inegalități cu două variabile.

Sisteme de ecuații și inegalități care conțin valori absolute.

Alte probleme în soluţionarea cărora se foloseşte conceptul de valoare absolută.

6. Lecția finală (1 oră)

Calendar-planificare tematică

Lista materialelor educaționale

1. Bashmakov M.I. Ecuații și inegalități. - M.: VZMSh la Universitatea de Stat din Moscova, 1983.

2. Vilenkin N.Ya. și alte Algebră și analiză matematică. 11 cl. - M .: Educație, 1993.

3. Gaidukov I.I. Valoare absolută. - M .: Educație, 1968.

4. Galitsky M.L. si altele.Culegere de probleme la algebra 8 - 9 clase. - M .: Educație, 1995.

5. Govorov V.M. şi altele.Culegere de probleme competitive la matematică.- M .: Educaţie, 1983.

6. Gornshtein P.I. si altele.Sarcini cu parametri. - M .: Ileksa, Harkov: Gimnaziul, 2003.

7. Kolesnikova S.I. Matematica. Curs intensiv de pregătire pentru Statul Unificat

Examen. M.: Ayris-press, 2004.

8. Merzlyak A.G. si altele.Simulator algebric. - M .: Ileksa, 2001.

9. Mordkovich A.G. Algebră. 8 cl. - M .: Mnemosina, 2000.

10. Neshkov K.I. si altele.Seturi. Relaţie. Numerele. Cantitatile. - M .: Educație, 1978.

11. Nikolskaya I.L. Curs optional de matematica. - M .: Educație, 1995.

12. Olekhnik S.N. și alte ecuații și inegalități. Metode nestandard de soluție. 10 - 11 cl. -

M .: Dropia, 1995.

13. Sharygin I.F. Curs optional la matematica clasele 10 - 11. - M .: Educație, 1989.

14. Manual electronic „Algebra 7 - 11”.

15. Yastrebinetskiy G.A. Sarcini cu parametri. - M .: Educație, 1986.

Teme de lucru creative

1. Aplicarea modulului în mecanică și algebră vectorială.
2. Modulul în definirea limitei.
3. Erori.
4. Un proiect de memoriu de reguli și algoritmi pentru trasarea graficelor ecuațiilor (inclusiv funcții), a căror expresie analitică conține semnul modulului.
5. Realizarea unui joc „Loto matematic” pe tema „Grafe de ecuații, a căror expresie analitică conține semnul modulului”.
6. Proiectul semnalelor de referință prin metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților cu un modul.
7. Cele mai simple funcții, specificate explicit și implicit, a căror expresie analitică conține semnul modulului și graficele acestora.

Sarcinile pentru construirea de grafice ale funcției „modul” și sarcinile cu parametri sunt în mod tradițional unul dintre cele mai dificile subiecte din matematică, prin urmare este întotdeauna inclus în sarcinile de nivel avansat și înalt ale GIA și USE.

Conceptul de „modul” este studiat la școală din clasa a VI-a, iar la nivel, doar definiții și calcule, în ciuda faptului că este utilizat pe scară largă în multe secțiuni ale cursului de matematică școlară, de exemplu, în studiul erori absolute și relative ale numărului aproximativ; în geometrie și fizică se vor studia conceptele de vector și lungimea acestuia (modulul unui vector). Conceptele modulului sunt utilizate în cursurile superioare de matematică, fizică și științe tehnice studiate în studii superioare. institutii de invatamant.

Absolvenții se confruntă cu o problemă - să promoveze cu succes examenul de stat în clasa a IX-a, iar mai târziu examenul de stat unificat.

Anul acesta, la lecțiile de matematică, ne-am familiarizat cu conceptul funcție liniarăși a învățat cum să-și construiască programul. S-a arătat că acest grafic este luat ca bază pentru construirea funcției „modul”. În plus, profesorul a spus că ecuațiile vin în unul și mai multe module. Am decis să studiez mai profund această temă, mai ales că îmi va fi de folos la promovarea examenelor.

Temă „O metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin o valoare absolută”

scopul muncii: studiul posibilității construcției raționale a graficelor cu module pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul și un parametru

Studiați teoria rezolvând metode de ecuații cu un modul.

Învață să rezolvi ecuații de gradul I care conțin semnul valorii absolute.

Clasificarea metodelor grafice de rezolvare a ecuațiilor.

Analizați avantajele și dezavantajele diferitelor metode de reprezentare grafică a funcțiilor „modulului”.

Aflați ce este un parametru

Aplicați metode raționale pentru a rezolva ecuații cu un parametru

Obiect - metode de rezolvare a ecuațiilor cu un modul

Metoda grafică a subiectului pentru rezolvarea ecuațiilor

Metode de cercetare: teoretice și practice:

teoretic - acesta este studiul literaturii pe tema de cercetare; informații pe internet;

practică este analiza informațiilor obținute în studiul literaturii de specialitate, a rezultatelor obținute prin rezolvarea ecuațiilor cu un modul în diverse moduri;

compararea metodelor de rezolvare a ecuațiilor, subiectul raționalității utilizării lor la rezolvarea diverselor ecuații cu un modul.

Concepte și definiții

1.1.Conceptul de „modul” este utilizat pe scară largă în multe secțiuni ale cursului școlar de matematică, de exemplu, în studiul erorilor absolute și relative ale numărului aproximativ; în geometrie și fizică se studiază conceptele de vector și lungimea acestuia (modulul unui vector). Conceptele modulului sunt utilizate în cursurile de matematică, fizică și științe tehnice superioare studiate în instituțiile de învățământ superior.

Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură”. Acest cuvânt are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, fizică și tehnologie, ci și în arhitectură, programare și alte științe exacte.Se crede că termenul a fost sugerat să fie folosit de Cotes, un student al lui Newton. Semnul modulului a fost introdus în secolul al XIX-lea de către Weierstrass.

În arhitectură, modulul este setul inițial de unitate de măsură pentru o anumită structură arhitecturală.În inginerie, acesta este un termen folosit în diferite domenii ale tehnologiei care servește la desemnarea diferiților coeficienți și cantități, de exemplu, modulul de elasticitate, modulul. În matematică, modulul are mai multe semnificații, dar îl voi privi ca fiind valoarea absolută a unui număr.

Definiție : Modulul (valoarea absolută) al unui număr real A acest număr în sine se numește dacă A≥0 sau numărul opus - A, dacă iar modulul lui zero este zero.

Modulul este distanța pe o dreaptă de coordonate de la zero la un punct.

1.2. O ecuație cu modul este o ecuație care conține o variabilă sub semnul absolut (sub semnul modul). Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia sau demonstrarea faptului că nu există rădăcini. Metode de rezolvare a ecuațiilor cu un modul:

1. Prin definiția modulului - „înlăturarea modulului”. Decizia se bazează pe definiție.

2. Metoda analitică este rezolvarea ecuațiilor folosind transformări ale expresiilor incluse în ecuație și proprietățile modulului.

3. Metoda intervalelor: extinderea modulului la intervale și semiintervale formate din „zerurile” modulelor.

4.Metoda grafică. Esența acestei metode este reprezentarea grafică a acestor funcții reprezentând părțile stânga și dreaptă ale ecuației. Dacă graficele se intersectează, atunci abscisele punctelor de intersecție ale acestor grafice vor fi rădăcinile acestei ecuații.

1.3 Metode de trasare a graficelor de funcții cu modul

1.3.1. A-prioriu. Sunt construite două drepte y = kx + b, unde x> 0, y = -kh + b, unde x

1.3.2 Metoda simetriei. Un grafic este reprezentat grafic y = kx + b, pentru x> 0. O parte a dreptei pentru x

1.3.3 Conversia funcțiilor:

a) y = | x | + n graficul se deplasează în sus de-a lungul axei ordonatelor în unități

b) y = | x | -n graficul este deplasat în jos pe ordonată

c) y = | x + n | graficul este deplasat spre stânga de-a lungul axei absciselor

d) y = | x -n | graficul este deplasat spre dreapta de-a lungul axei absciselor

1.3.4. Metoda intervalelor. Linia de coordonate este împărțită în intervale și semiintervale prin zerouri de module. În continuare, folosind definiția modulului, pentru fiecare dintre zonele găsite, obținem o ecuație care trebuie rezolvată în acest interval și obținem o funcție.

1.3.5. Metoda de extindere a regiunilor zerourilor. În cazul în care există mai multe module, este mai convenabil să nu extindeți modulele, ci să folosiți următoarea afirmație: suma algebrică a modulelor n expresiile liniare este o funcție liniară pe bucăți, al cărei grafic este format din n+1 segmente de linie dreaptă.

Apoi graficul poate fi construit de n+2 puncte, n dintre care sunt rădăcinile expresiilor intramodulare, încă unul este un punct arbitrar cu o abscisă, cel mai mic dintre cele mai mici dintre aceste rădăcini, iar ultimul cu o abscisă, cel mai mare dintre rădăcinile mai mari.

1.4. Avem ecuația ax + b = c.În această ecuație NS- necunoscut, a, b, c- coeficienți care pot lua diferite valori numerice. Coeficienții stabiliți în acest fel se numesc parametri. O ecuație cu parametri definește mai multe ecuații (pentru toate valorile posibile ale parametrilor).

toate acestea sunt ecuații care sunt stabilite de o ecuație cu parametri ax + b = c.

Rezolvarea unei ecuații cu parametri înseamnă:

Indicați la ce valori ale parametrilor are rădăcini ecuația și câte dintre ele sunt la valori diferite ale parametrilor.

Găsiți toate expresiile pentru rădăcini și indicați pentru fiecare dintre ele valorile parametrilor la care această expresie determină rădăcina ecuației.

1.5.Concluzii:

Deci există metode diferite trasarea graficelor cu un modul care trebuie investigat pentru posibilitatea utilizării lor raționale.

Analiza metodelor de reprezentare grafică a funcțiilor care conțin un modul și aplicație

3 metoda intervalelor

4.Analitic

3.Module imbricate

||| x n | m || = a

1.După definiția modulului

2.Grafic

Concluzie: astfel, clasificarea ecuațiilor ne oferă metode generale de rezolvare a tuturor tipurilor de ecuații - acesta este, prin definiție, un modul și o metodă grafică.

2.2.Analiza plotului.

2.2.1. Tipul 1. Construcție y = | x |

2.2.1.1.A-prioriu.

1. Construiți o linie dreaptă y = x

2.Selectați partea dreptei la x 0

3. Construiți o linie dreaptă y = -x

4. Selectați partea dreptei la x

2.2.1.2. Metoda simetriei

1. Construiți o linie dreaptă y = x

2. Construiți simetria în jurul axei absciselor la x

5. Selectați părți de linii drepte la intervale

2.2.2.2.Metoda de extindere a regiunii zero

1.Zerourile: 3 și 1; zonă extinsă: 2.4.0

2.Calculați valorile în: 3,1,2,4,0 este: -2, -2, -2, 0, 0

3.Plasați punctele cu coordonatele lor și conectați

Concluzie: Metoda de extindere a regiunii zerourilor este mai rațională

2.2.3. Tip 3. Module imbricate - „matryoshka”

ȘI Să urmăm construcția y = || x | -1 |

2.2.3.1.După definiția modulului

După definiția modulului principal, avem:

1) x> 0 y = | x | -1

2. „Eliminați” următorul modul:

Modul: y = x-1, x> 0 și y = -x + 1 x

y = -x + 1 x> 0 y = x-1 x

3. Construim grafice

2.2.3.2 Metoda simetriei

1.y = | x | -1

y = x-1, simetrie

2. Simetrie față de axa absciselor părții din grafic, unde x-1

Concluzie: metoda simetriei este mai rațională.

2.2.4. Să rezumăm analiza rezultatelor într-un tabel:

Cunoștințe și abilități

dezavantaje

A-prioriu

Definirea modulului

Aflați: cum sunt determinate coordonatele punctelor dreptelor

Să fie capabil să selecteze o parte a unei linii drepte prin inegalitate

Soluții voluminoase

Aplicarea unui corp mare de cunoștințe

La „scoaterea” modulului, pot fi făcute greșeli

Metoda simetriei

Să cunoască și să fie capabil să aplice funcții de transformare

Construiți simetrie în jurul axei absciselor

Metoda de spațiere

Găsiți zerourile modulelor

Definiți intervale și semiintervale

Extindeți modulele

Calculați module

Dați termeni similari

Construiți drept

Soluții voluminoase

O mulțime de calcule și conversii la eliminarea zerourilor

Este nevoie de mult timp

Corectitudinea determinării intervalelor și semiintervalelor

Metoda de expansiune Zeros

Găsiți zerourile modulelor

Să poată extinde zona de zerouri

Să fiți capabil să calculați module în aceste puncte

Să poată reprezenta punctele după coordonatele lor

Toleranță la erori de calcul

Metoda de transformare a funcției

Cunoașteți algoritmul de conversie

Să poată reprezenta punctele după coordonatele lor

Să fie capabil să calculeze coordonatele punctelor

Să fie capabil să aplice un algoritm de conversie

Cunoașterea algoritmilor de transformare a graficului

Concluzie: analizând tabelul, ajungem la concluzia că metoda de simetrie și extindere a ariei zerourilor este cea mai rațională, deoarece conțin cea mai mică cantitate de acțiuni de construit, ceea ce înseamnă că economisesc timp.

2.3.Aplicarea metodelor de trasare rațională la rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru

2.3.1. Rezolvați ecuația:

Construim y =

și y = 0,5-x

2.Zona extinsa: -1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Desenați linii și raze

2.3.2. UTILIZARE 2009 Găsiți toate valorile lui a, pentru fiecare dintre ele ecuația

, are exact 1 rădăcină. a = 7. pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia și analiza diferite metode de plotare. În urma analizei și comparării metodelor de graficare, s-au obținut următoarele concluzii:

Traducerea unei probleme algebrice într-o limbă G Rafiks vă permite să evitați soluțiile greoaie;

La rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul și un parametru, metoda grafică este mai vizuală și relativ mai simplă;

La construirea graficelor care conțin 2 module și o „păpușă de cuibărit”, metoda simetriei este mai practică;

Deși metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor este aproximativă, întrucât acuratețea depinde de linia de unitate selectată, grosimea creionului, unghiurile la care liniile se intersectează etc., dar această metodă vă permite să estimați numărul de rădăcini ale ecuațiilor pentru rezolvarea ecuațiilor cu un parametru.

Având în vedere că una dintre cele mai populare sarcini de la examen și GIA sunt ecuațiile cu un modul, atunci principalul meu rezultat este că pot rezolva ecuații cu un modul și un parametru într-un mod grafic.

Bibliografie

1. Dankova I. „Pregătirea pre-profil în matematică”, Moscova, 2006.

2. Lucrări extracurriculare la matematică. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3. Matematică. Tutorial editat de Muravya L.Ya., Moscow Bridge, 1994.

4. Matematică. Clasele 8-9: o colecție de cursuri opționale. Numărul-2 Autor-compilator: M.E. Kozina., Volgograd: Profesor, 2007

5. Yastrebinetskiy G.A. Sarcini cu parametri. M, 2006

Sarcinile pentru construirea de grafice ale funcției „modul” și sarcinile cu parametri sunt în mod tradițional unul dintre cele mai dificile subiecte din matematică, prin urmare este întotdeauna inclus în sarcinile de nivel avansat și înalt ale GIA și USE.

Conceptul de „modul” este studiat la școală din clasa a VI-a, iar la nivel, doar definiții și calcule, în ciuda faptului că este utilizat pe scară largă în multe secțiuni ale cursului de matematică școlară, de exemplu, în studiul erori absolute și relative ale numărului aproximativ; în geometrie și fizică se vor studia conceptele de vector și lungimea acestuia (modulul unui vector). Conceptele modulului sunt utilizate în cursurile de matematică, fizică și științe tehnice superioare studiate în instituțiile de învățământ superior.

Absolvenții se confruntă cu o problemă - să promoveze cu succes examenul de stat în clasa a IX-a, iar mai târziu examenul de stat unificat.

Anul acesta, la lecțiile de matematică, ne-am familiarizat cu conceptul de funcție liniară și am învățat cum să-i trasăm graficul. S-a arătat că acest grafic este luat ca bază pentru construirea funcției „modul”. În plus, profesorul a spus că ecuațiile vin în unul și mai multe module. Am decis să studiez mai profund această temă, mai ales că îmi va fi de folos la promovarea examenelor.

Temă „O metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin o valoare absolută”

scopul muncii : studiul posibilității construcției raționale a graficelor cu module pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul și un parametru

Studiați teoria rezolvând metode de ecuații cu un modul.

Învață să rezolvi ecuații de gradul I care conțin semnul valorii absolute.

Clasificarea metodelor grafice de rezolvare a ecuațiilor.

Analizați avantajele și dezavantajele diferitelor metode de reprezentare grafică a funcțiilor „modulului”.

Aflați ce este un parametru

Aplicați metode raționale pentru a rezolva ecuații cu un parametru

Obiect - metode de rezolvare a ecuațiilor cu un modul

Metoda grafică a subiectului pentru rezolvarea ecuațiilor

Metode de cercetare: teoretice și practice:

teoretic - acesta este studiul literaturii pe tema de cercetare; informații pe internet;

practică este analiza informațiilor obținute în studiul literaturii de specialitate, a rezultatelor obținute prin rezolvarea ecuațiilor cu un modul în diverse moduri;

compararea metodelor de rezolvare a ecuațiilor, subiectul raționalității utilizării lor la rezolvarea diverselor ecuații cu un modul.

Capitolul I

Concepte și definiții

1.1.Conceptul de „modul” este utilizat pe scară largă în multe secțiuni ale cursului școlar de matematică, de exemplu, în studiul erorilor absolute și relative ale numărului aproximativ; în geometrie și fizică se studiază conceptele de vector și lungimea acestuia (modulul unui vector). Conceptele modulului sunt utilizate în cursurile de matematică, fizică și științe tehnice superioare studiate în instituțiile de învățământ superior.

Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură”. Acest cuvânt are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, fizică și tehnologie, ci și în arhitectură, programare și alte științe exacte.Se crede că termenul a fost sugerat să fie folosit de Cotes, un student al lui Newton. Semnul modulului a fost introdus în secolul al XIX-lea de către Weierstrass.

În arhitectură, modulul este setul inițial de unitate de măsură pentru o anumită structură arhitecturală.În inginerie, acesta este un termen folosit în diferite domenii ale tehnologiei care servește la desemnarea diferiților coeficienți și cantități, de exemplu, modulul de elasticitate, modulul. În matematică, modulul are mai multe semnificații, dar îl voi privi ca fiind valoarea absolută a unui număr.

Definiție : Modulul (valoarea absolută) al unui număr real A acest număr în sine se numește dacă A≥0 sau numărul opus - A, dacă A<0; modulul zero este zero.

Modulul este distanța pe o dreaptă de coordonate de la zero la un punct.

1.2. O ecuație cu modul este o ecuație care conține o variabilă sub semnul absolut (sub semnul modul). Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia sau demonstrarea faptului că nu există rădăcini. Metode de rezolvare a ecuațiilor cu un modul:

1. Prin definiția modulului - „înlăturarea modulului”. Decizia se bazează pe definiție.

2. Metoda analitică este rezolvarea ecuațiilor folosind transformări ale expresiilor incluse în ecuație și proprietățile modulului.

3. Metoda intervalelor: extinderea modulului la intervale și semiintervale formate din „zerurile” modulelor.

4.Metoda grafică. Esența acestei metode este reprezentarea grafică a acestor funcții reprezentând părțile stânga și dreaptă ale ecuației. Dacă graficele se intersectează, atunci abscisele punctelor de intersecție ale acestor grafice vor fi rădăcinile acestei ecuații.

1.3 Metode de trasare a graficelor de funcții cu modul

1.3.1. A-prioriu. Sunt construite două drepte y = kx + b, unde x> 0, y = -kh + b, unde x<0

1.3.2 Metoda simetriei. Un grafic este reprezentat grafic y = kx + b, pentru x> 0. O parte a dreptei pentru x<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3 Conversia funcțiilor:

a) y = | x | + n graficul se deplasează în sus de-a lungul axei ordonatelor în unități

b) y = | x | -n graficul este deplasat în jos pe ordonată

c) y = | x + n | graficul este deplasat spre stânga de-a lungul axei absciselor

d) y = | x -n | graficul este deplasat spre dreapta de-a lungul axei absciselor

1.3.4. Metoda intervalelor. Linia de coordonate este împărțită în intervale și semiintervale prin zerouri de module. În continuare, folosind definiția modulului, pentru fiecare dintre zonele găsite, obținem o ecuație care trebuie rezolvată în acest interval și obținem o funcție.

1.3.5. Metoda de extindere a regiunilor zerourilor. În cazul în care există mai multe module, este mai convenabil să nu extindeți modulele, ci să folosiți următoarea afirmație: suma algebrică a modulelor n expresiile liniare este o funcție liniară pe bucăți, al cărei grafic este format din n+1 segmente de linie dreaptă.

Apoi graficul poate fi construit de n+2 puncte, n dintre care sunt rădăcinile expresiilor intramodulare, încă unul este un punct arbitrar cu o abscisă, cel mai mic dintre cele mai mici dintre aceste rădăcini, iar ultimul cu o abscisă, cel mai mare dintre rădăcinile mai mari.

1.4. Avem ecuația ax + b = c.În această ecuație NS- necunoscut, a, b, c- coeficienți care pot lua diferite valori numerice. Coeficienții stabiliți în acest fel se numesc parametri. O ecuație cu parametri definește mai multe ecuații (pentru toate valorile posibile ale parametrilor).

toate acestea sunt ecuații care sunt stabilite de o ecuație cu parametri ax + b = c.

Rezolvarea unei ecuații cu parametri înseamnă:

Indicați la ce valori ale parametrilor are rădăcini ecuația și câte dintre ele sunt la valori diferite ale parametrilor.

Găsiți toate expresiile pentru rădăcini și indicați pentru fiecare dintre ele valorile parametrilor la care această expresie determină rădăcina ecuației.

1.5.Concluzii:

Astfel, există diferite metode de trasare a graficelor cu un modul, care trebuie investigate pentru posibilitatea utilizării lor raționale.

Capitolul II

Analiza metodelor de reprezentare grafică a funcțiilor care conțin un modul și aplicație

« Graficul este o linie vorbitoare

care poate spune multe"

M.B. Balk

2.1. Studiind tipurile de ecuații cu un modul, am văzut că acestea pot fi împărțite pe tipuri și metode de soluție.

Masa. Clasificarea tipurilor de ecuații și metodele lor de rezolvare.

Tipul ecuației

Tipul ecuației

Metoda de rezolvare

1.Ecuația cu un singur modul

| x n | = a

| x | n = a

1.După definiția modulului

2.Grafic

3.Analitice

2.Ecuația care conține 2 module

| x n | | x m | = a

1.După definiția modulului

2.Grafic

3 metoda intervalelor

4.Analitic

3.Module imbricate

||| x n | m || = A

1.După definiția modulului

2.Grafic

Concluzie: astfel, clasificarea ecuațiilor ne oferă metode generale de rezolvare a tuturor tipurilor de ecuații - acesta este, prin definiție, un modul și o metodă grafică.

2.2.Analiza plotului.

2.2.1. Tipul 1. Construcție y = | x |

2.2.1.1.A-prioriu.

1. Construiți o linie dreaptă y = x

2.Selectați partea dreptei la x 0

3. Construiți o linie dreaptă y = -x

4. Selectați partea dreptei la x<0

2.2.1.2. Metoda simetriei

1. Construiți o linie dreaptă y = x

2. Construiți simetria în jurul axei absciselor la x<0

2.2.1.3. Construcție y = | x -2 |

1. Construiți o linie dreaptă y = x-2

2. Selectați o parte a liniei drepte la x-2 0

3. Construiți o linie dreaptă y = -x + 2

4. Selectați o parte a liniei drepte la x-2<0

Concluzie: metoda simetriei este mai rațională

2.2.2. Tipul 2.

Sarcină: construiți un grafic y =

2.2.2.1.Metoda de spațiere

1. pe
obținem y = -x + 3 + 1-x-4; y = -2x

2.pe
obținem = -x + 3-1 + x-4; y = -2

3.pe
obținem y = x-3-1 + x-4; y = 2x-8

4. Construiți toate liniile drepte.

5. Selectați părți de linii drepte la intervale

2.2.2.2.Metoda de extindere a regiunii zero

1.Zerourile: 3 și 1; zonă extinsă: 2.4.0

2.Calculați valorile în: 3,1,2,4,0 este: -2, -2, -2, 0, 0

3.Plasați punctele cu coordonatele lor și conectați

Concluzie: Metoda de extindere a regiunii zerourilor este mai rațională

2.2.3. Tip 3. Module imbricate - „matryoshka”

ȘI Să urmăm construcția y = || x | -1 |

2.2.3.1.După definiția modulului

După definiția modulului principal, avem:

1) x> 0 y = | x | -1

2) x<0 у=-|х|+1

2. „Eliminați” următorul modul:

Modul: y = x-1, x> 0 și y = -x + 1 x<0

y = -x + 1 x> 0 y = x-1 x<0

3. Construim grafice

2.2.3.2 Metoda simetriei

1.y = | x | -1
y = x-1, simetrie

2. Simetrie față de axa absciselor părții din grafic, unde x-1<0

Concluzie: metoda simetriei este mai rațională.

2.2.4. Să rezumăm analiza rezultatelor într-un tabel:

Cunoștințe și abilități

dezavantaje

A-prioriu

Definirea modulului

Aflați: cum sunt determinate coordonatele punctelor dreptelor

Să fie capabil să selecteze o parte a unei linii drepte prin inegalitate

Soluții voluminoase

Aplicarea unui corp mare de cunoștințe

La „scoaterea” modulului, pot fi făcute greșeli

Metoda simetriei

Să cunoască și să fie capabil să aplice funcții de transformare

Construiți simetrie în jurul axei absciselor

Cunoașterea algoritmilor de transformare a graficului

Metoda de spațiere

Găsiți zerourile modulelor

Definiți intervale și semiintervale

Extindeți modulele

Calculați module

Dați termeni similari

Să poată reprezenta punctele după coordonatele lor

Construiți drept

Soluții voluminoase

O mulțime de calcule și conversii la eliminarea zerourilor

Este nevoie de mult timp

Corectitudinea determinării intervalelor și semiintervalelor

Metoda de expansiune Zeros

Găsiți zerourile modulelor

Să poată extinde zona de zerouri

Să fiți capabil să calculați module în aceste puncte

Să poată reprezenta punctele după coordonatele lor

Toleranță la erori de calcul

Metoda de transformare a funcției

Cunoașteți algoritmul de conversie

Să poată reprezenta punctele după coordonatele lor

Să fie capabil să calculeze coordonatele punctelor

Să fie capabil să aplice un algoritm de conversie

Cunoașterea algoritmilor de transformare a graficului

Concluzie: analizând tabelul, ajungem la concluzia că metoda de simetrie și extindere a ariei zerourilor este cea mai rațională, deoarece conțin cea mai mică cantitate de acțiuni de construit, ceea ce înseamnă că economisesc timp.

2.3.Aplicarea metodelor de trasare rațională la rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru

2.3.1. Rezolvați ecuația:

Construim y =
și y = 0,5-x

2.Zona extinsa: -1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Desenați linii și raze

2.3.2. UTILIZARE 2009 Găsiți toate valorile lui a, pentru fiecare dintre ele ecuația
, are exact 1 rădăcină. a = 7. pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia și analiza diferite metode de plotare. În urma analizei și comparării metodelor de graficare, s-au obținut următoarele concluzii:

Traducerea unei probleme algebrice într-o limbă G Rafiks vă permite să evitați soluțiile greoaie;

La rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul și un parametru, metoda grafică este mai vizuală și relativ mai simplă;

La construirea graficelor care conțin 2 module și o „păpușă de cuibărit”, metoda simetriei este mai practică;

Deși metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor este aproximativă, întrucât acuratețea depinde de linia de unitate selectată, grosimea creionului, unghiurile la care liniile se intersectează etc., dar această metodă vă permite să estimați numărul de rădăcini ale ecuațiilor pentru rezolvarea ecuațiilor cu un parametru.

Având în vedere că una dintre cele mai populare sarcini de la examen și GIA sunt ecuațiile cu un modul, atunci principalul meu rezultat este că pot rezolva ecuații cu un modul și un parametru într-un mod grafic.

Bibliografie

1. Dankova I. „Pregătirea pre-profil în matematică”, Moscova, 2006.

2. Lucrări extracurriculare la matematică. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3. Matematică. Manual editat de L.Ya. Muravya, Moscow Bridge, 1994.

4. Matematică. Clasele 8-9: o colecție de cursuri opționale. Numărul-2 Autor-compilator: M.E. Kozina., Volgograd: Profesor, 2007

5. Yastrebinetskiy G.A. Sarcini cu parametri. M, 2006