Găsiți toate derivatele. Reguli pentru calcularea instrumentelor derivate. Funcția indicativă derivată
Derivat
Calculul derivatului funcției matematice (diferențiere) este o sarcină foarte frecventă la rezolvarea cea mai mare matematică. Pentru funcțiile matematice simple (elementare), aceasta este o chestiune destul de simplă, deoarece tabelele derivatelor pentru funcțiile elementare au fost pregătite și ușor accesibile. Cu toate acestea, constatarea unei funcții matematice complexe derivate nu este o sarcină trivială și adesea necesită eforturi considerabile și costuri de timp.
Găsiți un derivat online
Serviciul nostru online vă permite să scăpați de computere lungi fără sens și găsiți un derivat online Pentru un moment. Și utilizând serviciul nostru situat pe site www.syt.Puteți calcula derivat online atât din funcția elementară, cât și de la un complex, care nu rezolvă în formă analitică. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu altele sunt: \u200b\u200b1) Nu există cerințe stricte pentru metoda de introducere a unei funcții matematice de a calcula derivatul (de exemplu, atunci când introduceți funcția Xinus, îl puteți introduce ca păcat x sau păcat ( x) sau păcatul [x] și t. d.); 2) Calculul online derivat are loc instantaneu în modul pe net Și absolut este gratuit; 3) Vă permitem să găsiți un derivat al funcției din orice ordine, schimbarea ordinului derivatului este foarte ușor și de înțeles; 4) Vă permitem să găsiți un derivat aproape de orice funcție matematică online, chiar foarte dificilă, inaccesibilă pentru rezolvarea altor servicii. Răspunsul este întotdeauna corect și nu poate conține erori.
Utilizarea serverului nostru vă va permite să faceți 1) calculați un derivat online pentru dvs., salvat de la calculul lung și obositor, în timpul căruia ați putea face o eroare sau o greșeală; 2) Dacă calculați singur derivatul funcției matematice, atunci vă oferim posibilitatea de a compara rezultatul cu calculele serviciului nostru și asigurați-vă că soluția este loizantă sau găsirea erorii întrerupte; 3) Utilizați serviciul nostru în loc să utilizați tabele de diferite funcții, unde este adesea necesar să găsiți funcția dorită.
Tot ce aveți nevoie este necesar găsiți un derivat online - Este folosit de serviciul nostru
Calculul derivat - una dintre cele mai importante operațiuni în calculul diferențial. Mai jos este un tabel de găsire a derivaților de funcții simple. Norme de diferențiere mai complexe, vezi alte lecții:- Tabel de derivați ai funcțiilor exponențiale și logaritmice
Derivați ai funcțiilor simple
1. Derivația numărului este zeroc '\u003d 0.
Exemplu:
5 '\u003d 0.
Explicaţie:
Derivatul arată viteza de modificare a valorii funcției atunci când argumentul se schimbă. Deoarece numărul nu se schimbă în nici un caz - viteza schimbării sale este întotdeauna zero.
2. Derivat de variabila egală cu unitatea
x '\u003d 1.
Explicaţie:
Cu fiecare creștere a argumentului (X) pe unitate, valoarea funcției (rezultatul calculelor) crește la aceeași dimensiune. Astfel, rata de schimbare a valorii funcției y \u003d x este echitabilă cu rata de schimbare a valorii argumentului.
3. Derivatul variabilei și multiplicatorul este egal cu acest factor
cx '\u003d S.
Exemplu:
(3x) '\u003d 3
(2x) \u003d 2
Explicaţie:
În acest caz, cu fiecare schimbare a argumentului funcției ( h.) Valoarea sa (y) crește din timp. Astfel, rata de schimbare a valorii funcției în ceea ce privește rata de schimbare a argumentului este exact egală din.
De unde rezultă asta
(Cx + b) "\u003d c
care este, diferențial funcție liniară Y \u003d KX + B este egal cu coeficientul unghiular al înclinării (k).
4. Modul de derivat de module egală cu cea privată variabilă la modulul său
| x | "\u003d x / | x | cu condiția ca x ≠ 0
Explicaţie:
Deoarece derivatul variabil (vezi Formula 2) este egal cu unitatea, derivatul modulului se distinge numai de faptul că valoarea funcției schimbărilor funcției se schimbă la opusul când punctul de origine al originii este traversat (Încercați să desenați o funcție a y \u003d | x | și asigurați-vă că el însuși. Valoare și returnează expresia x / | x |. Când x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - Unitate. Adică, cu valorile negative ale variabilei x de fiecare dată când o schimbare de argument, valoarea funcției este redusă la exact aceeași valoare și cu pozitiv - dimpotrivă, crește, dar exact același înțeles.
5. Derivat de gradul egal cu produsul numărului de acest grad și variabil la gradul redus de unul
(x c) "\u003d cx c-1, cu condiția ca X C și CX C-1 să fie definite și C ≠ 0
Exemplu:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x 2
Să memoreze formula:
Faceți gradul variabilei "în jos" ca un multiplicator și apoi reduceți gradul de grad pe unitate. De exemplu, pentru x 2 - doi s-au dovedit a fi înaintea ICA, apoi un grad redus (2-1 \u003d 1) ne-a dat doar 2x. Același lucru sa întâmplat pentru X3 - primele trei "coborâți", reducem-o pe unitate și în loc de cubul avem un pătrat, adică 3x 2. Un pic "nu științific", dar foarte ușor de reținut.
6. Derivat 1 / x.
(1 / x) \u003d - 1 / x 2
Exemplu:
Deoarece fracțiunea poate fi reprezentată ca o construcție a unui grad negativ
(1 / x) "\u003d (x -1)", apoi puteți aplica formula din regula 5 a tabelului derivat
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2
7. Derivat cu o diplomă variabilă în numitor
(1 / x c) "\u003d - C / x C + 1
Exemplu:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3
8. Derivatul rădăcină (variabilă derivată sub rădăcină pătrată)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2
Exemplu:
(√x) "\u003d (x 1/2)", astfel încât să puteți aplica formula din regula 5
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Variabila derivativă în cadrul gradului aleatoriu
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)
Funcția derivată este una dintre temele complexe din programul școlar. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea a ceea ce este derivat.
Acest articol vorbeste pur si simplu despre ceea ce este un derivat si pentru ceea ce are nevoie. Nu ne vom strădui să ne străduim pentru strictețea matematică a prezentării. Cel mai important lucru este să înțelegeți semnificația.
Ne amintim de definiția:
Derivatul este viteza schimbării funcției.
În imaginea - grafica a trei funcții. Ce credeți că crește mai repede?
Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare viteză de schimbare, adică cel mai mare derivat.
Iată un alt exemplu.
Kostya, Grisha și Matvey au primit simultan un loc de muncă. Să vedem cum sa schimbat venitul lor în cursul anului:
În program imediat totul poate fi văzut, nu-i așa? Venitul osului pentru o jumătate de an a crescut mai mult de două ori. Și veniturile Grisha au crescut, dar destul de puțin. Și venitul lui Matthew a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, iar viteza de schimbare a funcției, adică derivat- Diferite. În ceea ce privește Matei - venitul său este derivat negativ.
Intuitiv, evaluăm cu ușurință viteza de schimbare a funcției. Dar cum o faci?
De fapt, ne uităm la cât de cool se ridică graficul (sau în jos). Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă cu o schimbare în x. Evident, aceeași funcție la diferite puncte poate avea o valoare diferită a derivatului - adică poate varia mai repede sau mai lent.
Funcția derivată este indicată.
Afișați cum să găsiți utilizând graficul.
Un grafic este tras o anumită funcție. Luați un punct cu un Abscisa pe el. Revenim la acest punct tangent la funcția grafică. Vrem să evaluăm cât de răciți un grafic al unei funcții. Valoare confortabilă pentru acest lucru - unghiul de înclinare tangentă.
Derivatul funcției la punct este egal cu tangentul unghiului de înclinare, realizat în graficul funcției în acest moment.
Vă rugăm să rețineți - ca un unghi de etichetare tangentă, luăm un unghi între direcția tangentă și pozitivă a axei.
Uneori elevii întreabă ce tangent la grafica funcției. Acesta este un drept, având un singur punct comun cu un program pe acest complot și, după cum se arată în figura noastră. Arată ca un tangent circumferinței.
Vom găsi. Ne amintim că tangentul unghiului acut în triunghi dreptunghiular Este egal cu atitudinea opusului catehe la cea adiacentă. Din triunghi:
Am găsit un derivat cu ajutorul unui grafic, nici măcar cunoașterea funcției Formula. Astfel de sarcini sunt adesea găsite în examenul din matematică la număr.
Există un alt raport important. Amintiți-vă că direcția este dată de ecuație
Valoarea din această ecuație este numită coeficientul unghiular direct. Este egal cu tangentul unghiului de înclinare directă spre axă.
.
Obținem asta
Ne amintim această formulă. Ea exprimă sensul geometric derivat.
Derivatul funcției la punct este egal cu coeficientul unghiular al tangentului, realizat în graficul funcției în acest moment.
Cu alte cuvinte, derivatul este egal cu unghiul de înclinare tangentă.
Am spus deja că aceeași funcție la diferite puncte poate avea un alt derivat diferit. Să vedem cum derivatul este asociat cu comportamentul funcției.
Desenați un grafic al unei anumite funcții. Lăsați această funcție să crească pe unele secțiuni, pe alții - scade, cu viteze diferite. Și chiar dacă această caracteristică va exista un punct de maxim și minim.
La acest punct, funcția crește. Tangentă la grafic, realizată la punct, formează un unghi ascuțit cu o direcție pozitivă a axei. Deci, la punctul derivat este pozitiv.
La acest punct, funcția noastră scade. Tanner în acest moment formează un unghi stupid cu o direcție pozitivă axă. Deoarece tangentul unghiului plictisitor este negativ, un derivat este negativ la punct.
Asta se pare:
Dacă funcția crește, derivatul său este pozitiv.
Dacă scade, derivatul său este negativ.
Și ceea ce va fi la punctele maxime și minim? Vedem că la punctele (punctul maxim) și (punct minim) tangent orizontal. În consecință, unghiul de înclinare tangentă tangentă la aceste puncte este zero, iar derivatul este, de asemenea, zero.
Punctul este un punct maxim. În acest moment, funcția de creștere este înlocuită de descendent. În consecință, semnul modificărilor derivate într-un punct cu un "plus" la "minus".
La punct - punctul minim - derivatul este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la "minus" la "plus".
Concluzie: Cu ajutorul unui derivat, puteți afla despre comportamentul funcției tot ce ne interesează.
Dacă derivatul este pozitiv, atunci funcția crește.
Dacă derivatul este negativ, funcția scade.
În punctul maxim, derivatul este zero și schimbă semnul de la "plus" la "minus".
În punctul minim, derivatul este, de asemenea, zero și schimbă semnul de la "minus" la "plus".
Scriu aceste concluzii sub forma unei mese:
| crește | punct maxim | scădea | punct de minim | crește | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Vom face două clarificări mici. Unul dintre ele va avea nevoie de tine la rezolvarea sarcinilor de utilizare. Altele - în primul an, cu un studiu mai grav al funcțiilor și derivatelor.
Un caz este posibil atunci când instrumentul derivat al funcției la un moment dat este zero, dar nu maxim, nici o funcție minimă în acest moment în acest moment. Aceasta este așa-numita :
La punctul tangent la grafica orizontală și derivatul este zero. Cu toate acestea, funcția funcției a crescut - și după ce punctul continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - a fost pozitiv și a rămas.
De asemenea, se întâmplă că, la punctul maxim sau minim, derivatul nu există. În diagramă, aceasta corespunde unei ruperea ascuțită atunci când tangentul este imposibil în acest moment.
Și cum să găsiți un derivat dacă funcția nu este specificată de program, ci prin formula? În acest caz, aplicat
Se numește procesul de găsire a unei funcții derivate diferenţiere. Derivatul trebuie să găsească într-o serie de sarcini ale cursului de analiză matematică. De exemplu, atunci când găsiți puncte extremum și inflexiune a graficei funcției.
Cum să găsești?
Pentru a găsi o funcție derivată, trebuie să cunoașteți tabelul funcțiilor elementare derivate și să aplicați regulile de diferențiere de bază:
- TakeAway Constant pentru un semn derivat: $$ (Cu) "\u003d C (U)" $$
- Derivatul cantității / diferenței de funcții: $$ (U \\ PM V) "\u003d (U)" \\ PM (v) "$$
- Derivatul lucrării a două funcții: $$ (U \\ CDOT V) "\u003d U" V + UV "$$
- Fracția derivată: $$ \\ bigg (\\ frac (u) (v) \\ bigg) "\u003d \\ frac (u" v - UV ") (v ^ 2) $$
- Funcția complexă derivativă: $$ (F (x))) "\u003d f" (g (x)) \\ cdot g "(x) $$
Exemple de soluții
| Exemplul 1. |
| Găsiți funcția derivată $ y \u003d x ^ 3 - 2x ^ 2 + 7x - 1 $ |
| Decizie |
|
Derivatul diferenței de frecvență / diferența este egal cu cantitatea / diferența de derivați: $$ y "\u003d (x ^ 3 - 2x ^ 2 + 7x - 1)" \u003d (x ^ 3) "- (2x ^ 2)" + (7x) "- (1)" \u003d $$ Folosind regula derivatului funcției de putere $ (x ^ P) "\u003d px ^ (p-1) $ avem: $$ y "\u003d 3x ^ (3-1) - 2 \\ cdot 2 x ^ (2-1) + 7 - 0 \u003d 3x ^ 2 - 4x + 7 $$ De asemenea, sa luat în considerare faptul că derivatul constantei este zero. Dacă este imposibil să vă rezolvați sarcina, apoi să ne trimiteți-o. Vom oferi o decizie detaliată. Vă puteți familiariza cu cursul de calcul și învățați informații. Acest lucru vă va ajuta în timp util la profesor! |
| Răspuns |
| $$ y "\u003d 3x ^ 2 - 4x + 7 $$ |
