Lecția matematică pe tema "Construirea unui cerc" (gradul 2). Construcția circulară și conducătorul care găsesc centrul cercului cu o circulație

§ 1 cerc. Noțiuni de bază

În matematică există propuneri în care se explică semnificația unui nume sau a unei expresii. Astfel de propuneri sunt numite definiții.

Să definim conceptul unui cerc. Cercul se numește o formă geometrică constând din toate punctele de plan amplasate la o distanță dată față de acest punct.

Acest punct, să-i spunem punctul O, se numește centrul cercului.

Segmentul care leagă centrul cu orice punct al cercului se numește rază. Există multe segmente, de exemplu, OA, OS, OS. Toate acestea vor avea aceeași lungime.

Segmentul care leagă două puncte ale cercului se numește coardă. Circumferința Mn - Chord.

Coardă, trecând prin centrul circumferinței, se numește diametru. AB este diametrul cercului. Diametrul constă din două raze, înseamnă că lungimea diametrului este de două ori mai mare decât raza. Centrul cercului este mijlocul oricărui diametru.

Orice două puncte de circumferință îl împart în două părți. Aceste părți sunt numite arcuri de circumferință.

Circumferința ANV și AMV - arc.

O parte din avion, care este limitată la cerc, este numită un cerc.

Pentru imaginea cercului din desen utilizează o circulație. Cercul poate fi efectuat pe teren. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați coarda. Un capăt al frânghiei pentru a fixa pe cârligul pegmed în pământ și un alt scop pentru a descrie cercul.

§ 2 Construcții circulare și conducător

În geometrie, multe construcții pot fi efectuate folosind doar o circulație și un conducător fără diviziuni la scară largă.

Folosind doar un conducător, puteți petrece un director direct arbitrar, precum și un director arbitrar, trecând prin acest punct sau trecerea directă prin două date de date.

Cercul vă permite să efectuați un cerc de o rază arbitrară, de asemenea, un cerc cu un centru la un punct dat și o rază egală cu acest segment.

Separat, fiecare dintre aceste instrumente face posibilă efectuarea celor mai simple construcții, dar cu ajutorul acestor două instrumente puteți efectua deja operațiuni complexe, de exemplu,

rezolva astfel de sarcini pentru construirea ca

Construiți un unghi egal cu acest lucru

Construi un triunghi cu aceste partide,

Împărțiți segmentul în jumătate

Prin acest punct, petreceți o perpendiculară directă la acest director etc.

Ia în considerare sarcina.

Sarcina: Pe această rază, a început să amâne segmentul egal cu acest lucru.

Dana Ray de sistem de operare și tăiat AV. Este necesar să se construiască un segment de OD egal cu segmentul AV.

Folosind o circulație, construim un cerc de rază egală cu lungimea segmentului AV, cu centrul la punctul O. Acest cerc va traversa această rază de sistem de operare la un moment dat D. OD segment este un segment dorit.

Lista de referinte:

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. Pentru educația generală. Organizații / HP. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev și colab. - M.: Iluminare, 2013. - 383 c.: Il.
2. Gavrilova n.f. Evoluții în funcție de clasa de geometrie 7. - M.: "WAKO", 2004. - 288C. - (pentru a ajuta profesorul școlar).
3. Belitskaya o.v. Geometrie. clasa a 7-a. Partea 1. Teste. - Saratov: Lyceum, 2014. - 64 p.

Propunerea în care se numește semnificația unei anumite expresii sau a unui nume, se numește definiție. Am întâlnit deja definiții, de exemplu, cu definiția unghiului, unghiuri adiacente, triunghiul înclinat etc. Să dăm definiția unei alte forme geometrice - cerc.

Definiție

Acest punct este numit circle Center., și un segment care leagă centrul cu orice punct al cercului, - cerc radius. (Fig.77). Din determinarea cercului rezultă că toate razele au aceeași lungime.

Smochin. 77.

Un segment care leagă două puncte din cerc este numit coarda ei. Coardă, trecând prin centrul cercului, se numește diametru.

În figura 78, segmente de AV și EF-coarde ale cercului, segmentul CD - diametrul cercului. Evident, diametrul cercului este de două ori raza. Centrul cercului este mijlocul oricărui diametru.

Smochin. 78.

Orice două puncte de circumferință sunt împărțite în două părți. Fiecare dintre aceste părți se numește o circumferință de arc. Figura 79 ALB și AMV - ARC, limitate la punctele A și V.

Smochin. 79.

Pentru imaginea cercului în utilizarea desenului circular (Figura 80).

Smochin. 80.

Pentru a efectua un cerc pe pământ, puteți utiliza frânghia (figura 81).

Smochin. 81.

O parte a planului delimitată de cerc este numită un cerc (figura 82).

Smochin. 82.

Construcția circulară și conducătorul

Ne-am ocupat deja de construcții geometrice: au fost petrecute drepte, segmente, egale cu datele, unghiurile, triunghiurile și alte figuri. În același timp, am folosit un conducător pe scară largă, o circulație, un transportator, un kit de desen.

Se pare că multe construcții pot fi efectuate folosind doar o circulație și un conducător fără diviziuni la scară largă. Prin urmare, în geometrie alocă special acele sarcini pentru construcția, care sunt rezolvate folosind doar aceste două unelte.

Ce se poate face cu ajutorul lor? Este clar că conducătorul vă permite să cheltuiți un director arbitrar, precum și construiți o linie dreaptă care trece prin două puncte de date. Cu ajutorul unei circulații, se poate efectua un cerc al unei raze arbitrare, precum și un cerc cu un centru la un punct dat și o rază egală cu acest segment. Prin efectuarea acestor operațiuni simple, vom putea rezolva multe sarcini interesante pentru construcție:

construi un unghi egal cu acest lucru;
prin acest punct, petreceți o perpendiculară directă față de acest drept;
împărțiți acest segment în jumătate și alte sarcini.

Să începem cu o sarcină simplă.

O sarcină

Pe această rază, a început să amâne segmentul egal cu acest lucru.

Decizie

Voi descrie cifrele, datele în starea problemei: ray OS și tăiat AB (fig.83, a). Apoi, construim cercul razei AV cu centrul O (figura 83, b). Acest cerc va traversa raza de operare la un moment dat D. Cut OD este dorit.

Smochin. 83

Exemple de sarcini pentru construirea

Construiți un unghi egal cu acest lucru

O sarcină

Amânarea din acest razei un unghi egal cu acest lucru.

Decizie

Acest unghi este realizat în Figura 84. Este necesar să se construiască un unghi egal cu unghiul A, astfel încât una dintre laturile sale să coincide cu fasciculul.

Smochin. 84.

Conduceți cercul unei raze arbitrare cu centrul în partea de sus a unghiului. Această circumferință traversează partea unghiului la punctele B și C (fig.85, A). Apoi, circumferința aceleiași raze cu centrul la începutul acestei Ohm. Traversează fasciculul la punctul D (fig.85, b). După aceea, construim un cerc cu centrul D, a căror rază este egală cu aeronava. Cercul cu centrele O și D se intersectează la două puncte. Unul dintre aceste puncte va fi notat de litera E. Doveim că colțul meu este dorit.

Smochin. 85.

Luați în considerare triunghiurile ABC și ODE. Segmentele AV și AC sunt raza cercului cu centrul A și segmentele de OD și raza cercului cu centrul O (vezi figura 85, b). Deoarece în construcția acestor cercuri au raze egale, apoi AB \u003d OD, AC \u003d OE. De asemenea, pe construcția de soare \u003d de.

În consecință, Δ abc \u003d δ ode în funcție de trei laturi. Prin urmare, ∠Doe \u003d ∠bac, adică unghiul de mine construit este egal cu acest colț A.

Aceeași construcție poate fi efectuată pe pământ, dacă în loc de circulație, utilizați frânghia.

Construirea colțului bisectorului

O sarcină

Construiți bisectorul acestui unghi.

Decizie

Acest unghi este descris în Figura 86. Conduceți circumferința unei raze arbitrare cu centrul din partea de sus a A. Va trece partea unghiului la punctele B și C.

Smochin. 86.

Apoi, există două cercuri de aceeași rază a aeronavei cu centre la punctele B și C (numai părți ale acestor cercuri sunt descrise în figură). Se intersectează la două puncte, dintre care cel puțin unul se află în interiorul unghiului. Denotă după litera lui E. Doveim că fasciculul Aye este un bisector al acestui unghi al dvs.

Luați în considerare triunghiurile ACE și AVE. Ele sunt egale cu trei laturi. De fapt, AE este o partidă comună; AC și AV sunt egale ca razele aceleiași circumferințe; CE \u003d fi în construcție.

Din egalitatea triunghiului Ace și Ave, rezultă că ∠cae \u003d ∠bae, adică fasciculul AE - Biseric al acestui unghi tău.

cometariu

Este posibil să se împartă acest unghi în două unghiuri egale folosind o circulație și un conducător? Este clar că este posibil - pentru că trebuie să efectuați bisectorul acestui unghi.

Acest unghi poate fi împărțit și în patru colțuri egale. Pentru a face acest lucru, este necesar să o împărțiți la jumătate și apoi fiecare jumătate de divizare încă o dată în jumătate.

Este posibilă împărțirea acestui unghi în trei unghiuri egale folosind o circulație și un conducător? Această sarcină numită Nume probleme ale unghiului de trizsecțieTimp de multe secole au atras atenția matematicienilor. Numai în secolul al XIX-lea a fost demonstrat că, pentru un unghi arbitrar, această construcție este imposibilă.

Construcția de linii perpendiculare

O sarcină

Dana direct și îndreptați-o. Construiți o linie dreaptă care trece prin acest punct și perpendicular pe acest director direct.

Decizie

Acest lucru direct a și acest punct M, aparținând acestui drept, descris în Figura 87.

Smochin. 87.

Pe razele directe A, emanând de la punctul M, amânarea segmentelor egale MA și MV. Apoi vom construi două cercuri cu centrele A și în Radius AV. Se intersectează la două puncte: P și Q.

Vom petrece direct prin punctul M și unul dintre aceste puncte, de exemplu, direct dl (a se vedea figura 87) și dovedește că acest lucru este dorit, adică că este perpendicular cu acest director.

De fapt, deoarece RM median este un triunghi de echilibru RAV este, de asemenea, înălțime, apoi pm ⊥ a.

Construirea mijlocului tăieturii

O sarcină

Construiți un mijloc al acestui segment.

Decizie

Lăsați AB - acest segment. Vom construi două cercuri cu centrele A și în Radius AV. Se intersectează la punctele P și Q. Vom petrece direct PQ. Punctul de intersecție a acestei linii cu un segment AB și există un mijloc dorit al segmentului AV.

De fapt, triunghiurile Apq și BPQ sunt egale cu trei laturi, prin urmare ∠1 \u003d ∠2 (figura 89).

Smochin. 89

În consecință, segmentul RO - Bisectris al unui triunghi fără triunghi al ANOSE și, prin urmare, mediană, adică punctul din mijlocul segmentului AV.

Sarcini

143. Care segmente descrise în figura 90 sunt: \u200b\u200ba) coarde ale cercului; b) diametre ale cercului; c) raza cercului?

Smochin. 90.

144. Dezactivarea diametrelor AB și CD - cerc. Dovedește că: a) coarde BD și vorbitorii sunt egali; b) coardele de anunț și soare sunt egale; c) ∠Bad \u003d ∠BCD.

145. Diametrul MK - diametrul cercului cu centrul O, și MR și RK - acorduri egale din acest cerc. Găsiți ∠Pom.

146. Cutând diametrele AB și CD - cerc cu centrul O. Găsiți perimetrul triunghiului AOD, dacă este cunoscut faptul că CV \u003d 13 cm, AV \u003d 16 cm.

147. În cercul cu centrul punctului, punctele A și On, astfel încât unghiul de AOS este direct. Tăiați soarele - diametrul cercului. Demonstrează că acordurile AV și AC sunt egale.

148. Există două puncte A și V. Având în vedere continuarea razei și amâna segmentul soarelui, astfel încât soarele \u003d 2AV.

149. Dana drept A, punctul B, care nu se află pe el și segmentul PQ. Construiți un punct m pe o linie și astfel încât BM \u003d PQ. Este sarcina întotdeauna?

150. Cercul este dat, punctul A, care nu se află pe el și segmentul PQ. Construiți punctul M pe cerc, astfel încât AM \u003d PQ. Este sarcina întotdeauna?

151. Colțul ascuțit al dvs. și fasciculul XY sunt date. Construiți un unghi YXZ, astfel încât ∠yxz \u003d 2∠bac.

152. Dan este un unghi stupid. Construiți fasciculul Oh, astfel încât unghiurile Hoa și Hove sunt unghiuri egale.

153. Direct A și Point M, care nu se află pe ea. Construiți o dreaptă, trecând prin punctul M și perpendicular pentru a direcționa a.

Decizie

Construim un cerc cu un centru la un moment dat, intersectămând acest drept A la două puncte, care sunt date litere A și B (figura 91). Apoi, construim două cercuri cu centrele A și B, trecând prin punctul M. Aceste circumferințe se intersectează la punctul M și la un alt punct, pe care îl denotăm litera N. Vom cheltui direct Mn și dovedit că acest lucru este dorit, adică Este perpendicular să direcționeze a.

Smochin. 91.

De fapt, triunghiurile AMN și BMN sunt egale cu trei laturi, prin urmare ∠1 \u003d ∠2. Rezultă că segmentul MS (C - punctul de intersecție al direcției A și Mn) este un bisector al unui triunghi al Triunghiului în mod egal și, prin urmare, înălțimea. Astfel, Mn ⊥ AV, adică Mn ⊥ a.

154. Dan triunghi abc. Construiți: a) Biserici de AK; b) VM medie; c) Înălțimea triunghiului CH. 155. Folosind circul și linia, construiți un unghi egal cu: a) 45 °; b) 22 ° 30.

Răspunsuri la sarcini

152. Notă. Mai întâi construi bisector al anosului anoso.

Această lecție este dedicată studiului circumferinței și cercului. De asemenea, profesorul va învăța liniile distincte închise și deblocate. Veți fi familiarizați cu proprietățile principale ale cercului: centrul, raza și diametrul. Aflați definițiile lor. Învață să determinați raza dacă diametrul este cunoscut și invers.

Dacă umpleți spațiul din interiorul cercului, de exemplu, trageți un cerc cu o circulație pe hârtie sau carton și tăiați, apoi obțineți un cerc (fig.10).

Smochin. 10. Cercul

Un cerc - Aceasta face parte dintr-un avion limitat de un cerc.

Condiție:Vitya Vlyasklekin a atras în circumferința sa (figura 11) 11 diametre. Și când am recalculat razele, am primit 21. A contorizat corect corect?

Smochin. 11. Ilustrație pentru sarcină

Decizie:radius ar trebui să fie de două ori mai mare decât diametrele, deci:

Vitya a numărat greșit.

Bibliografie

1. Matematică. Gradul 3. Studii. Pentru educația generală. instituții cu adj. pe un electron. Mass-media. La 2 ore. 1 / [M.I. Moro, Ma. Bantova, G.V. Beltyukova et al.] - A doua ed. - M.: Iluminare, 2012. - 112 c.: Il. - (Școala din Rusia).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematică, 3 clase. - M.: Graful Ventaniei.
3. Peterson l.g. Matematică, 3 clase. - M.: JUVEN.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. Școală-assistant.ru ().

Teme pentru acasă

1. Matematică. Gradul 3. Studii. Pentru educația generală. instituții cu adj. pe un electron. Mass-media. La 2 ore. 1 / [M.I. Moro, Ma. Bantova, G.V. Beltyukova et al.] - A doua ed. - M.: Iluminare, 2012., Artă. 94 Nr. 1, Artă. 95 Nr. 3.

2. Glisați ghicitul.

Trăim cu un frate prietenos

Ne distrăm atât de distractiv

Am pus o cană pe foaie (figura 12),

Apelați un creion.

Sa dovedit ceea ce aveți nevoie -

Chemat ...

3. Este necesar să se determine diametrul cercului, dacă se știe că raza este de 5 m.

4. * Cu ajutorul unei circulatii, trageți doua cercuri cu raza: a) 2 cm si 5 cm; b) 10 mm și 15 mm.

În sarcinile de a construi o circulară și un conducător sunt considerate instrumente ideale, în special conducătorul nu are diviziuni și are doar o parte a lungimii infinite, iar zirculul poate avea o soluție mică arbitrar mare sau arbitrar.

Clădiri admise. Următoarele operațiuni sunt permise în sarcinile de construcție:

1. Marcați punctul:

• punct arbitrar al avionului;
• punct arbitrar pe o linie dreaptă dată;
• un punct arbitrar pe un anumit cerc;
• punct de intersecție de două direcții specifice;
• puncte de intersecție / atingere Circumferința directă și dată specificată;
• punct de intersecție / atingere a două cercuri specificate.

2. Utilizarea liniei Puteți construi o linie dreaptă:

• arbitrar direct în avion;
• arbitrare drept, trecând printr-un punct specificat;
• direct, trecând prin două valori de referință.

3. Cu ajutorul unei circulații, puteți construi un cerc:

• cercul arbitrar în avion;
• un cerc arbitrar cu un centru la un moment dat;
• un cerc arbitrar cu o rază egală cu distanța dintre două puncte specificate;
• cercul cu un centru la un punct dat și o rază egală cu distanța dintre două puncte specificate.

Rezolvarea sarcinilor pentru construire. Soluția la problema de construcție conține trei părți esențiale:

1. Descrierea metodei de construire a unui obiect dorit.
2. Dovada a ceea ce obiectul construit în metoda descris este într-adevăr dorit.
3. Analiza metodei descrise de construire a aplicabilității sale diferite opțiuni Condiții inițiale, precum și pe subiectul unicității sau nerespectării soluției obținute prin metoda descrisă.

Construirea unui segment egal cu acest lucru. Lăsați fasciculul cu începutul la $ o $ și $ AB $. Pentru a construi pe fasciculul segmentului $ op \u003d AB $ trebuie să construiți un cerc cu un centru la $ o $ $ - $ RADIUS. Punctul de intersecție a fasciculului cu un cerc va fi punctul dorit de $ p $.

Construiți un unghi egal cu acest lucru. Lăsați fasciculul cu începutul la $ o $ și $ ABC $. C Centru la un punct $ în $ Construim un cerc cu o rază arbitrară de $ R $. Introduceți punctele de intersecție ale cercului cu raze $ BA $ și $ BC $, respectiv $ A "$ și $ C" $.

Construim un cerc cu un centru la $ o $ Radius. Punctul de trecere a circumferinței cu fasciculul denotă $ p $. Construim un cerc cu un centru la un punct $ p $ de raza $ a "b" $. Punctul de trecere a cercurilor pe care le denunțăm $ Q $. Vom deține un $ OQ $.

Obținem un unghi de $ poq $ egal cu un unghi de $ ABC $, ca $ Pok $ și $ ABC $ triunghiuri sunt egale cu trei laturi.

Construirea unui mijloc de mijloc perpendicular pe un segment. Construim două cercuri intersectate ale unei raze arbitrare cu centre la capetele segmentului. Prin conectarea a două puncte ale intersecției lor, obținem un mijloc de mijloc perpendicular.

Building Bisector. Desenați un cerc al unei raze arbitrare cu un centru în partea superioară a colțului. Construim două circumferințe intersectate ale unei raze arbitrare cu centre în punctele de intersecție a primului cerc cu părțile laterale ale unghiului. Prin conectarea vârfului unghiului cu oricare dintre punctele de intersecție ale acestor două cercuri, obținem bisectorul unghiului.

Construirea sumei a două segmente.Pentru a construi pe această rază, un segment egal cu suma a două date de segmente, trebuie să aplicați metoda de construire a unui segment egal cu acest lucru.

Construirea sumei a două unghiuri. Pentru a amâna de la această rază un unghi egal cu suma a două date de colțuri, trebuie să aplicați metoda de construire a unui unghi egal cu acest lucru de două ori.

Găsind mijlocul segmentului. Pentru a observa mijlocul acestui segment, trebuie să construiți un mijloc perpendicular pe segment și să marcați punctul de intersecție al perpendicularului cu segmentul în sine.

Construirea perpendiculară directă prin acest punct. Lăsați-o să fie obligată să construiască o dreaptă, perpendiculară și să treacă prin acest punct. Realizăm cercul unei raze arbitrare cu centrul în acest moment (indiferent dacă este direct sau nu), traversând linia dreaptă la două puncte. Construim un mijloc de mijloc perpendicular pe segmentul cu capetele din punctele de intersecție ale cercului cu o linie dreaptă. Aceasta va fi linia dreaptă perpendiculară dorită.

Construirea unei paralele drepte prin acest punct. Lăsați-o să fie necesară construirea unei drepte, paralele date și trecerea prin acest punct în afara dreptului. Construim un drept, trecând prin acest punct perpendicular pe acest director. Apoi construim o direcție directă, trecând prin acest punct perpendicular pe perpendicularul construit. Primit direct și va fi dorit.

Cercul este numit o linie de curbă închisă, fiecare punct al cărui punct este situat la aceeași distanță de la un punct o, numit centrul.

Linii drepte care leagă orice punct al cercului cu centrul său, apelați rază R.

Direct AV Conectarea a două puncte de circumferință și trecerea prin centrul său Oh, numită diametru D.

Sunt numite părți ale cercurilor arcs..

CD drept care leagă două puncte pe cercul numit chordoy..

Drept Mn, care are doar unul punct total Cu un cerc numit tangentă.

O parte a unui cerc limitat de cordul CD și ARC, numit sigment..

O parte din cercul delimitată de două raze și arc este numită sector.

Două linii orizontale și verticale reciproc perpendiculare intersectează în centrul cercului sunt numite axe ale cercului.

Unghiul format de două Radii Cola a sunat unghiul central.

Două raza perpendiculară reciprocă Alcătuiesc un unghi de 90 0 și limitați 1/4 din cerc.

Realizăm un cerc cu axe orizontale și verticale, care îl împart pe părțile egale 4R. Circulate sau cărbune efectuate sub 45 0, două linii perpendiculare reciproc împărtășesc cercul pe cele 8 părți egale.

Împărțirea cercului pe 3 și 6 părți egale (mai multe 3 trei)

Pentru împărțirea cercului la 3, 6 și mai multe, numărul de părți, efectuăm circumferința razei specificate și a axei corespunzătoare. Diviziunea poate fi pornită de la punctul de intersecție al axei orizontale sau verticale cu un cerc. Raza specificată a cercului este amânată secvențial de 6 ori. Apoi punctele obținute de pe cerc sunt conectate secvențial de liniile drepte și formează înscrierea corectă înscrisă. Conectarea punctelor prin intermediul unui triunghi echilateral și împărțirea cercului în trei părți egale.

Construcția pentagonului corect este efectuată după cum urmează. Realizăm două axe reciproc perpendiculare a cercului egal cu diametrul cercului. Împărțim jumătatea dreaptă a diametrului orizontal în jumătate cu Arc R1. Din punctul obținut "A" În mijlocul acestui segment R2, efectuăm un arc al cercului la intersecția cu un diametru orizontal la punctul "B". Radius R3 din punctul "1" conduce un arc de circumferință la intersecția cu un cerc dat (T.5) și scoateți partea inferioară a pentagonului corect. Distanța "B-O" dă partea dreaptă a decagonului.

Împărțirea circumferinței asupra numărului N-număr de aceleași părți (construirea poligonului drept cu n părți)

Se efectuează după cum urmează. Realizăm axa perpendiculară orizontală și verticală a cercului. Din cercul superior "1", efectuați un unghi arbitrar la linia directă axei verticale. Pe setarea segmentelor egale de lungime arbitrară, numărul căruia este egal cu numărul de părți în care împărțim acest cerc, de exemplu 9. Sfârșitul ultimului segment se conectează cu punctul inferior al diametrului vertical. Realizăm liniile paralele cu secțiunile rezultate ale segmentelor amânate înainte de intersecția cu un diametru vertical, separarea diametrului vertical al acestui cerc la numărul specificat de piese. Radius egală cu diametrul cercului, de la punctul inferior al axei verticale, efectuăm un Arc MN la intersecția cu continuarea axei orizontale a cercului. De la punctele M și N, realizăm razele prin care punctele (sau ciudate) de împărțire a diametrului vertical la intersecția cu cercul. Segmentele rezultate ale cercului vor fi cele dorite, deoarece Punctele 1, 2, .... 9 Împărțiți cercul la 9 (n) părți egale.