Adăugarea de evenimente incomplete. Teoreme de adăugare și multiplicare a probabilităților. Evenimente dependente și independente. Relații între evenimente

Dependența evenimentelor este înțeleasă în probabilist. sens, nu în funcțional. Aceasta înseamnă că, prin apariția unuia dintre evenimentele dependente, este imposibil să judecăm fără ambiguitate apariția altui. Dependența probabilistă înseamnă că apariția unuia dintre evenimentele dependente modifică probabil probabilitatea celuilalt. Dacă probabilitatea nu se modifică, atunci evenimentele sunt considerate independente.

Definiție: Lăsați - un spațiu probabilist arbitrar - unele evenimente aleatorii. Ei spun asta eveniment DARnu depinde de eveniment ÎN , Dacă probabilitatea condiționată coincide cu o probabilitate necondiționată:

Dacă, atunci spun că evenimentul DARdepinde de eveniment ÎN.

Conceptul de independență este simetric, adică dacă evenimentul DARnu depinde de eveniment ÎNApoi evenimentul ÎNnu depinde de eveniment DAR. Într-adevăr, lăsați-o. Atunci. Așa că spun doar evenimentele DAR și ÎN Independent.

Din regula de multiplicare a probabilităților, se implică următoarea definiție simetrică a independenței evenimentelor.

Definiție: Evenimente DARși ÎN,definită pe același spațiu de probabilitate numit independent, în cazul în care un

În cazul în care un , apoi evenimente DARși ÎN numit dependent.

Rețineți că această definiție dreapta și în cazul în care sau .

Proprietățile evenimentelor independente.

1. Dacă evenimente DAR și ÎN sunt independente, atunci următoarele perechi de evenimente sunt, de asemenea, independente :.

▲ Să dovedim, de exemplu, independența evenimentelor. Imaginați-vă un eveniment DAR la fel de: . Deoarece evenimentele sunt incomplete și din cauza independenței evenimentelor DAR și ÎN Avem asta. De aici, ceea ce înseamnă independență. ■.

2. Dacă un eveniment DAR nu depinde de evenimente ÎN 1 și La 2.care sunt incomplete () , Apoi evenimentul DAR nu depinde de suma.

▲ Într-adevăr, folosind Axiom de Aditivitate de probabilitate și independență a evenimentului DAR de la evenimente ÎN 1 și La 2.Avem:

Relația dintre conceptele de independență și incompletență.

Lasa DARși ÎN - orice evenimente care au o probabilitate non-zero: deci. Dacă evenimentele DAR și ÎN Sunt incoerente (), atunci și, prin urmare, egalitatea nu poate avea loc niciodată. În acest fel, evenimentele incomplete sunt dependente.

Când luăm în considerare mai mult de două evenimente în același timp, perechile de independență insuficient caracterizează relația dintre evenimentele întregului grup. În acest caz, este introdus conceptul de independență în agregat.

Definiție: Evenimentele definite în același spațiu de probabilitate sunt numite independent în agregateDacă pentru oricare dintre ele 2 £ m £ n și orice combinație de egalitate de indexuri este adevărată:

Pentru m \u003d 2. De independență, agregatul urmează independența perechilor evenimentelor. Opusul este incorect.

Exemplu. (Bernstein S.N.)

Experimentul aleator este de a arunca tetraedrul drept (tetrahedra). Există o față care a scăzut cartea. Privea de tetraedra este pictată după cum urmează: 1 față - alb, 2 fețe - negru,
3 cadru - roșu, 4 margini - conține toate culorile.

Luați în considerare evenimentele:

DAR \u003d (Pierdere. culoare alba}; B. \u003d (Pierdere neagră);

C. \u003d (Pierderea roșie).

În consecință, evenimente DAR, ÎN și DIN sunt în perechi independente.

Dar, .

Prin urmare, evenimente DAR, ÎN și DIN Independent în agregat nu sunt.

În practică, de regulă, independența evenimentelor nu se instalează, verificându-l prin definiție, ci dimpotrivă: consideră că evenimentele independente de orice considerații externe sau, ținând cont de circumstanțele experimentului aleator și să utilizeze independența pentru a găsi probabilitatea activității evenimentelor.

Teorema (multiplicarea probabilităților pentru evenimente independente).

Dacă evenimentele definite în același spațiu de probabilitate sunt independente în agregat, probabilitatea activității lor este egală cu produsul probabilităților:

▲ Dovada teoremei rezultă din determinarea independenței evenimentelor într-un set sau a teoremei generale de multiplicare a probabilității, luând în considerare faptul că

Exemplul 1 (un exemplu tipic de găsire a probabilităților condiționate, conceptul de independență, teorema adăugării de probabilități).

Circuitul electric constă din trei elemente independente de lucru. Probabilitățile eșecurilor fiecăruia dintre elemente sunt egale.

1) Găsiți probabilitatea unui eșec al schemei.

2) Se știe că schema a refuzat.

Care este probabilitatea ca în același timp să refuze:

a) 1 element; b) elementul 3?

Decizie. Luați în considerare evenimentele \u003d (refuzat k.- element) și eveniment DAR\u003d (A refuzat schema). Apoi evenimentul DAR Se pare ca sub forma:

1) Deoarece evenimentele și inconsecvențele nu sunt, axiomul de aditivitate a probabilității P3) nu este aplicabil și pentru găsirea unei probabilități ar trebui să utilizeze teorema generală a adăugării de probabilități, în conformitate cu care

Evenimente distinse dependente și independente. Două evenimente sunt numite independente dacă apariția uneia dintre ele nu schimbă probabilitatea celuilalt. De exemplu, dacă două linii automate funcționează în atelier, în condiții de producție nu sunt interdependente, atunci aceste linii se opresc sunt evenimente independente.

Mai multe evenimente sunt numite independent în agregateDacă vreunul dintre ele nu depinde de niciun alt eveniment și de nici o combinație a restului.

Evenimentele sunt numite dependentDacă unul dintre ele afectează probabilitatea celuilalt. De exemplu, două instalații de producție sunt asociate cu un singur ciclu tehnologic. Apoi probabilitatea unui eșec al unuia dintre ele depinde de ce starea este diferită. Probabilitatea unui eveniment B calculată în asumarea implementării unui alt eveniment A se numește probabilitate condițională Evenimentele prin intermediul este notat de P (A | B).

Condiția de independență a evenimentului B din evenimentul A este înregistrată ca P (B | a) \u003d P (B), iar starea dependenței sale este în forma P (B | a) ≠ P (B).

Probabilitatea evenimentelor în testele lui Bernoulli. Formula Poisson.

Teste independente repetate, testele Bernoulli sau Schema Bernoullitestele sunt numite dacă de fiecare dată există doar două ieșiri - apariția unui eveniment A sau probabilitatea acestor evenimente rămâne neschimbată pentru toate testele. Această diagramă simplă a testelor aleatorii are o importanță deosebită în teoria probabilității.

Cel mai renumit exemplu al testelor din Bernoulli este experiența cu o aruncare consecventă a monedei drepte (simetrice și omogene), unde evenimentul A este pierderea, de exemplu, "stema", ("Loski").

Lăsați într-o anumită experiență probabilitatea evenimentului A este egală P (a) \u003d p, unde, unde P + Q \u003d 1. Efectuați experiența n ori, sugerând că testele individuale sunt independente, ceea ce înseamnă că rezultatul oricăruia dintre acestea nu este legată de rezultatele testelor anterioare (sau ulterioare). Noi găsim probabilitatea evenimentelor și a ori de câte ori, să spunem numai în primele teste K. Lăsați evenimentul să ajungă la concluzia că cu n testarea unui eveniment și apare exact K ori în primele teste. Evenimentul poate fi reprezentat ca

Deoarece experimentele am fost asumate independent

41) [PR2] Dacă puneți o întrebare despre apariția unui eveniment A K, o dată în încercarea n într-o ordine arbitrară, evenimentul este ideea

Numărul diferitor termeni în partea dreaptă a acestei egalități este egal cu numărul de teste de la N de K, astfel încât probabilitatea evenimentelor pe care le denotăm este egală cu

Secvențele de evenimente formează un grup complet de evenimente independente. . Într-adevăr, de la independența evenimentelor pe care le primim

Uneori se spune direct cu privire la starea problemei, dar cel mai adesea este necesar să se efectueze o analiză independentă. Nu există un punct de referință lipsit de ambiguitate, iar dependența fie a independenței evenimentelor rezultă din raționamentul logic natural.

Pentru a nu turnați totul într-o singură grămadă, sarcini pentru evenimente dependente Voi posta următoarea lecție, dar pentru moment vom lua în considerare cele mai frecvente în practică teoremele:

Sarcini privind teoremele de a adăuga inconsecvențe
și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente

Acest tandem, pe evaluarea mea subiectiv, funcționează în aproximativ 80% din sarcini în funcție de subiectul în cauză. Hit Hits și real clasic de teorie a probabilității:

Sarcina 5.

Doi împușcători au făcut o singură lovitură la țintă. Probabilitatea de a intra pentru prima săgeată este de 0,8, pentru a doua - 0,6. Găsiți șansa ca:

a) doar un singur shooter va ajunge la țintă;
b) Cel puțin unul dintre împușcături va ajunge la țintă.

Decizie: Probabilitatea de a intra / a rata o săgeată, evident, nu depinde de eficacitatea unei alte săgeții.

Luați în considerare evenimentele: A 1.- primul shooter va ajunge la țintă;

A 2. - A doua săgeți vor ajunge la țintă.

Cu conditie: R.(A 1.) = 0,8; R.(A 2.) = 0,6.

Vom găsi probabilitățile evenimentelor opuse - faptul că săgețile corespunzătoare vor pierde:

1 - = 1 – 0,8 = 0,2;

1 - = 1 – 0,6 = 0,4;

a) Luați în considerare evenimentul: ÎN - Doar un shooter va ajunge la țintă. Acest eveniment este alcătuit din două rezultate incomplete:

Primele săgeți vor primi șiAl 2-lea rău
sau
Prima rată și Al doilea va cădea.

În limbaj algebre de evenimente Acest fapt este înregistrat prin următoarea formulă: În \u003d. +

În primul rând, utilizați teoremele adăugării de probabilități ale evenimentelor incomplete, apoi - teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

P (B) \u003d P ( + ) = + R ( ) + R ( ) = R ( ) × R ( ) +R ( ) × R ( ) =

0,8 × 0,4 + 0,2 × 0,6 \u003d 0,32 + 0,12 \u003d 0,44 - probabilitatea că va fi doar o singură lovitură.

b) Luați în considerare evenimentul: DIN - Cel puțin unul dintre împușcături va ajunge la țintă.

Mai întâi de toate, gândiți-vă - ce înseamnă "cel puțin unul"? În acest caz, acest lucru înseamnă că va cădea sau săgețile primare (a doua miss) sau Al doilea (primul răutăcios) sau Ambele săgeată imediat - totalul 3 rezultatul incomplet.

FASHION FAIDER.: Având în vedere probabilitatea gata făcută de punctul anterior, evenimentul este convenabil să se supună sub forma următoarelor evenimente inconsistente:

cineva va cădea (eveniment în rândul său, de la 2 incomodare) sau
Ambele săgeții vor cădea - am denotăm această scrisoare de eveniment D..

În acest fel: C \u003d b + d.

P (D) \u003d P (A 1 A2) \u003d P (A 1) × P (A 2) \u003d0,8 × 0.6 \u003d 0.48 - Probabilitatea ca cea de-a doua săgeți să cadă și A doua săgeți va primi.

Prin formarea probabilităților de evenimente inconsistente:

P (c) \u003d P (B + D) \u003d P (B) + P (D) \u003d0,44 + 0,48 \u003d 0,92. - Probabilitatea a cel puțin unei lovituri de țintă.

Metodă a celei de-a doua: Luați în considerare evenimentul opus: - Ambele săgețile vor pierde.

Prin teorema de multiplicare a evenimentelor independente:

P () \u003d p () \u003d p () × p () \u003d 0,2 × 0,4 \u003d 0,08.

Ca urmare: P (c) = 1 – R () = 1 – 0,08 = 0,92.

Atentie speciala Plătiți cea de-a doua metodă - în general, este mai rațională.

În plus, există o alternativă, a treia cale de soluționare bazată pe teorema, care va fi luată în considerare în următoarea lecție: Teorema adăugării de evenimente comune.

! Dacă vă familiarizați cu materialul pentru prima dată, atunci pentru a evita confuzia, următorul paragraf este mai bine să săriți.

Metoda a treia: Evenimente A. 1 și A. 2 sunt în comun și, prin urmare, suma lor este 1 + A. 2 exprimă evenimentul "Cel puțin un shooter va ajunge la țintă" (a se vedeaalgebra a evenimentelor ). Deteorema adăugării probabilității de evenimente comune și cel mai probabil să multiplicați probabilitățile de evenimente independente:

P (A. 1 + A. 2) \u003d P (și 1) + P (a 2) –P (A. 1 × a. 2) \u003d P (și 1) + P (a 2) – P (A. 1) × P (a 2) =

= 0,8 + 0,6 – 0,8 × 0,6 = 1,4 – 0,48 = 0,92

Efectuați verificați: Evenimente, ÎN și D. (0, 1 și 2 lovit, respectiv) Formează un grup complet, astfel încât suma probabilităților lor ar trebui să fie egală cu una:

P () + P (b) + P (d) \u003d0,08 + 0,44 + 0,48 = 1Ceea ce trebuia să verifice.

Răspuns: a) probabilitatea ca un singur shooter să cadă în țintă, egal cu 0,44,

b) probabilitatea ca cel puțin unul dintre împușcători să cadă în țintă, egal cu 0,92

Sarcini similare:

Sarcina 6. pentru o soluție independentă

Două senzori de funcționare independent sunt instalați pentru alarma de incendiu. Probabilitatea ca în timpul focului, senzorul va funcționa, pentru primul și cel de-al doilea senzor, 0,5 și 0,7 sunt, respectiv, egali. Găsiți șansa ca în foc:

a) ambii senzori vor refuza;
b) Ambii senzori vor funcționa.
c) utilizarea teasea de adăugare a probabilităților de evenimente care formează un grup complet, Găsiți probabilitatea ca numai un singur senzor să funcționeze în timpul focului. Verificați rezultatul prin calculul direct al acestei probabilități (folosind teoremele de adăugare și multiplicare).

Aici, independența dispozitivelor este scrisă direct în condiția ca, apropo, este o rafinament important. Soluția de probă este decorată în stil academic.

Cum să fie dacă aceleași probabilități sunt date într-o problemă similară, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți exact același lucru!

Sarcina 7.

Shooterul cade în țintă cu aceeași probabilitate la fiecare lovitură. Care este probabilitatea ca probabilitatea de a cel puțin unei lovituri la trei fotografii să fie 0.973.

Decizie: Denotați - probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare împușcătură.
Și după - probabilitatea lui Miseh cu fiecare împușcătură.

Și evenimentele vor fi colectate:
- la 3 fotografii, săgețile vor cădea în țintă cel puțin o dată;
- Săgețile de 3 ori pierdute.

Cu condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus:

Pe de altă parte, pe teorema de multiplicare a probabilităților evenimentelor independente:

În acest fel:

- Probabilitatea pierderii cu fiecare împușcătură.

Ca urmare:
- Probabilitatea de a lovi cu fiecare împușcătură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2:Într-o cutie de 10 butoane roșii și 6 albastru. Două butoane sunt extrase. Care este probabilitatea ca ei să fie monocromi?

Decizie : total: 10 + 6 \u003d 16 butoane în cutie.
căile pot scoate 2 butoane din cutie;
căile pot elimina 2 butoane roșii;
În metodele pot fi eliminate 2 butoane albastre.
Prin definiție clasică:
- probabilitatea ca două butoane roșii să fie extrase din cutie;
- Probabilitatea ca două butoane albastre să fie extrase din cutie.
Prin formarea probabilităților de evenimente inconsistente:
- Probabil că două butoane monocrome vor fi extrase din cutie.
Răspuns: 0,5

Sarcina 4: În trei urne există 6 bile alb și 4 negru. De la fiecare urnă scoateți-l pe noroi de o singură minge. Găsiți șansa ca: a) toate cele trei bile vor fi albe; b) Toate cele trei bile vor fi o culoare.

Decizie : Luați în considerare evenimentele: - Dintre cele 1, 2 și 3 urne, respectiv, o minge albă va fi extrasă. Definiția probabilității clasice:

Apoi, probabilitatea de extracție a mingelor negre din urnele corespunzătoare sunt egale:

a) Luați în considerare evenimentul: - Din fiecare url va fi extras pe prima minge albă.
Acest eveniment este exprimat ca o lucrare. (de la primul ur gen va fi extras de BSHși din cea de-a doua urnă va fi extrasă de BSHși Din al treilea urn va fi extras de BSH).
Prin teorema de multiplicare a evenimentelor independente:

Teoreme de adăugare și multiplicare a probabilităților.
Evenimente dependente și independente

Titlul pare înfricoșător, dar în realitate totul este foarte simplu. În această lecție, ne vom familiariza cu teoremele de a adăuga și de multiplicarea probabilităților evenimentelor și, de asemenea, vom analiza sarcinile tipice care, împreună cu tocot cu probabilitate clasică Vom întâlni cu siguranță sau, cel mai probabil, ne-am întâlnit deja pe drum. Pentru a studia efectiv materialele acestui articol, trebuie să știți și să înțelegeți termenii de bază teoriile de probabilitate Și să poată efectua cea mai simplă acțiune aritmetică. După cum puteți vedea, este nevoie de un pic și, prin urmare, Bold Plus în activ este practic garantată. Dar, pe de altă parte, a avertizat din nou de la o atitudine superficială față de exemple practice - subtilitățile sunt de asemenea suficiente. Noroc:

Teorema adăugării de probabilitate de evenimente incomplete: Probabilitatea unuiu din două non-paturi evenimente sau (nici o diferență ce)este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

Un fapt similar este valabil pentru evenimente mai inconspicuoase, de exemplu, pentru trei evenimente inconsistente și:

Dream Teorem \u003d) Cu toate acestea, un astfel de vis este supus unor dovezi care pot fi găsite, de exemplu, în tutorial V.E Gmurman.

Faceți cunoștință cu noi lucruri care nu au întâmpinat încă concepte:

Evenimente dependente și independente

Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent Dacă probabilitatea apariției oricare dintre ei nu depinde Din aspectul / defecțiunea evenimentelor rămase ale setului chestionate (în toate combinațiile posibile). ... Ce este acolo pentru a extrage fraze comune:

Teorema de multiplicare a evenimentelor industriale: Probabilitatea apariției comune a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Să ne întoarcem la cel mai simplu exemplu al primei lecții în care sunt aruncate două monede și următoarele evenimente:

- Eagle cade pe prima monedă;
- Eagle cade pe cea de-a doua monedă.

Vom găsi probabilitatea unui eveniment (va apărea un vultur pe prima monedă și Un vultur va apărea pe cea de-a doua monedă - Ne amintim cum să citim lucrul evenimentelor!) . Probabilitatea unui vultur care se încadrează pe o monedă nu depinde de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente.

În mod similar:
- probabilitatea că prima monedă va cădea o grămadă și pe cea de-a doua grabă;
- probabilitatea ca un vultur să apară pe prima monedă și pe cea de-a doua grabă;
- probabilitatea ca o grămadă să apară pe prima monedă și pe Vulturul 2.

Rețineți că formularul de evenimente grupul complet Și suma probabilităților lor este egală cu una :.

Teorema de multiplicare este evident distribuită și pentru evenimente mai independente, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea ofensivului lor comun este :. Practica pe exemple specifice:

Sarcina 3.

În fiecare din cele trei cutii există 10 detalii. În primul sertar, 8 părți standard, în al doilea - 7, în a treia - 9. Din fiecare cutie, este exomedat de la fiecare detaliu. Găsiți probabilitatea ca toate detaliile să fie standard.

Decizie: Probabilitatea de extragere a unei părți standard sau non-standard a oricărei casete nu depinde de piesele care vor fi extrase din alte casete, prin urmare, sarcina se referă la evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:

- detaliile standard sunt extrase din primul sertar;
- detaliile standard sunt extrase din sertarul 2;
- O parte standard este extrasă din caseta a 3-a.

Prin definiție clasică:
- Probabilități corespunzătoare.

Eveniment vă interesează (Detaliile standard vor fi extrase din prima cutie și De la al doilea standard și din standardul 3) Este exprimată de lucrare.

Prin teorema de multiplicare a evenimentelor independente:

- Probabilitatea ca din trei cutii să fie extrasă cu o parte standard.

Răspuns: 0,504

După invitarea exercițiilor cu sertare, vom fi așteptați ca nu mai puțin interesante urne:

Sarcina 4.

În trei urne există 6 bile alb și 4 negru. De la fiecare urnă scoateți-l pe noroi de o singură minge. Găsiți șansa ca: a) toate cele trei bile vor fi albe; b) Toate cele trei bile vor fi o culoare.

Bazându-se pe informațiile primite, ghiciți cum să se ocupe de elementul de plajă ;-) Soluția de probă aproximativă este decorată cu un stil academic cu o pictură detaliată a tuturor evenimentelor.

Evenimente dependente. Evenimentul este numit dependent Dacă probabilitatea lui depinde De la unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Pentru exemple, nu este necesar să mergem - suficient pentru cel mai apropiat magazin:

- Mâine la ora 19.00 în vânzare va fi pâine proaspătă.

Probabilitatea acestui eveniment depinde de setul de alte evenimente: dacă vor exista mâine proaspătă mâine, va dura până la 7 pm sau nu, etc. În funcție de circumstanțele diferite, acest eveniment poate fi atât de fiabil, cât și imposibil. Astfel, evenimentul este dependent.

Pâine ... și, așa cum au cerut romani, ochelari:

- La examen, elevul va primi un bilet simplu.

Dacă nu mai mergeți mai întâi, evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea sa va depinde de ce bilete s-au întins deja pentru colegii de clasă.

Cum de a determina dependența / independența evenimentelor?

Sarcini privind teoremele de a adăuga inconsecvențe
și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente

Acest tandem, pe evaluarea mea subiectiv, funcționează în aproximativ 80% din sarcini în funcție de subiectul în cauză. Hit Hits și real clasic de teorie a probabilității:

Sarcina 5.

Doi împușcători au făcut o singură lovitură la țintă. Probabilitatea de a intra pentru prima săgeată este de 0,8, pentru a doua - 0,6. Găsiți șansa ca:

a) doar un singur shooter va ajunge la țintă;
b) Cel puțin unul dintre împușcături va ajunge la țintă.

Decizie: Probabilitatea de a intra / a rata o săgeată, evident, nu depinde de eficacitatea unei alte săgeții.

Luați în considerare evenimentele:
- primul shooter va ajunge la țintă;
- A doua săgeți vor ajunge la țintă.

Cu condiție :.

Vom găsi probabilitățile evenimentelor opuse - faptul că săgețile corespunzătoare vor pierde:

a) Luați în considerare evenimentul: - doar un shooter va cădea în țintă. Acest eveniment este alcătuit din două rezultate incomplete:

Primele săgeți vor primi șiAl 2-lea rău
sau
Prima rată și Al doilea va cădea.

În limbaj algebre de evenimente Acest fapt este înregistrat prin următoarea formulă:

În primul rând, utilizați teoremele adăugării de probabilități ale evenimentelor incomplete, apoi - teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

- Probabil că va fi doar o singură lovitură.

b) Luați în considerare un eveniment: - Cel puțin unul dintre împușcături va cădea în țintă.

FASHION FAIDER.: Având în vedere probabilitatea gata făcută de punctul anterior, evenimentul este convenabil să se supună sub forma următoarelor evenimente inconsistente:

cineva va cădea (eveniment constând în afara a 2 rezultate incomplete) sau
Ambele săgeții vor cădea - denotăm acest eveniment prin scrisoare.

În acest fel:

Prin teorema de multiplicare a evenimentelor independente:
- probabilitatea ca cea de-a doua săgeți să ajungă și Săgețile 2 vor cădea.

Prin formarea probabilităților de evenimente inconsistente:
- Probabilitatea a cel puțin unei lovituri de țintă.

Metodă a celei de-a doua: Luați în considerare evenimentul opus: - Ambele săgețile vor pierde.

Prin teorema de multiplicare a evenimentelor independente:

Ca urmare:

Acordați o atenție deosebită celei de-a doua metode - în cazul general este mai rațional.

În plus, există o alternativă, a treia cale de soluționare, bazată pe defolisită deasupra teoremei adăugării de evenimente comune.

! Dacă vă familiarizați cu materialul pentru prima dată, atunci pentru a evita confuzia, următorul paragraf este mai bine să săriți.

Metoda a treia : Evenimentele sunt în comun și, prin urmare, suma lor exprimă evenimentul "Cel puțin un shooter va cădea în țintă" (a se vedea algebra a evenimentelor). De teorema adăugării probabilității de evenimente comune și cel mai probabil să multiplicați probabilitățile de evenimente independente:

Efectuați verificați: Evenimente și (0, 1 și 2 lovit, respectiv) Formează un grup complet, astfel încât suma probabilităților lor ar trebui să fie egală cu una:
Ceea ce trebuia să verifice.

Răspuns:

Cu un studiu solid al teoriei probabilităților, se vor întâlni zeci de sarcini de conținut militar și, care este caracteristică, după aceea nimeni nu vrea să tragă - sarcinile aproape darului. De ce nu simplificați șablonul? Vom confirma înregistrarea:

Decizie: Cu conditie: - Probabilitatea shooterilor corespunzi. Apoi probabilitățile dorințelor lor:

a) pe teoremele de adăugare a probabilităților de probabilități incompatibile și multiplicate ale evenimentelor independente:
- Probabilitatea ca un singur shooter să cadă în țintă.

b) pe teorema multiplicării probabilităților de evenimente independente:
- Probabilitatea ca ambele săgeată să rămână.

Apoi: - probabilitatea ca cel puțin unul dintre împușcători să ajungă la țintă.

Răspuns:

În practică, puteți utiliza orice opțiune pentru proiectare. Desigur, mult mai des merg scurta, dar nu trebuie sa uiti prima cale - este si mai mult, dar este mai informativ - este clar in ea, ce, de ce și de ce Constă și se înmulțește. În unele cazuri, stilul hibrid este adecvat atunci când literele majuscule este convenabil să se desemneze doar câteva evenimente.

Sarcini similare pentru soluții de sine:

Sarcina 6.

Aici, independența dispozitivelor este scrisă direct în condiția ca, apropo, este o rafinament important. Soluția de probă este decorată în stil academic.

Cum să fie dacă aceleași probabilități sunt date într-o problemă similară, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți exact același lucru! (care, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)

Sarcina 7.

Probabilitatea de a viza ținta cu primul shooter la o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca obiectivul să nu fie uimit după ce a efectuat prima și a doua săgeată cu o singură lovitură este de 0,08. Care este probabilitatea de a învinge scopul celui de-al doilea shooter la o singură lovitură?

Și acesta este un puzzle mic, care este decorat într-un mod scurt. Condiția poate fi reformulată mai concis, dar nu voi redo originalul - în practică este necesar să se deplasăm în fabricarea mai mult decât potrivită.

Întâlniți - el este cel mai mare care a atins un număr nemăsurat de părți \u003d):

Sarcina 8.

Lucrătorul servește trei mașini. Probabilitatea ca în timpul schimbării prima mașină să fie necesară setarea este de 0,3, a doua - 0,75, a treia - 0,4. Găsiți șansa ca în timpul schimbării:

a) toate mașinile vor necesita setări;
b) doar o singură mașină va necesita configurare;
c) Cel puțin o mașină va necesita setări.

Decizie: Din curând, în această condiție, nu se spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci funcționarea fiecărei mașini ar trebui considerată non-dependentă de activitatea altor mașini.

Prin analogie cu numărul de sarcini 5, aici puteți introduce evenimentul că mașinile corespunzătoare vor necesita setări în timpul schimbării, scrieți probabilitatea, găsiți probabilitățile evenimentelor opuse etc. Dar, cu trei obiecte, nu mai este foarte asemănător să proiecteze sarcina - va fi lungă și plictisitoare. Prin urmare, este considerabil mai profitabil să utilizați stilul "rapid":

Cu condiție: - probabilitatea ca în timpul schimbării mașinilor corespunzătoare să fie necesară tinctură. Apoi probabilitatea ca ei să nu genereze atenția:

Unul dintre cititorii descoperit aici o typo rece, nu voi corecta corect \u003d)

a) pe teorema de multiplicare a probabilităților evenimentelor independente:
- Probabilitatea ca în timpul schimbării toate cele trei mașini să fie necesară setări.

b) eveniment "În timpul unei schimbări, o singură mașină va necesita setări" constă din trei rezultate incomplete:

1) prima mașină va necesita Atenţie și A doua mașină nu necesita și A 3-a Machine. nu necesita
sau:
2) prima mașină nu necesita Atenţie și A doua mașină va necesita și A 3-a Machine. nu necesita
sau:
3) prima mașină nu necesita Atenţie și A doua mașină nu necesita și A 3-a Machine. va necesita.

Conform teoremelor adăugării probabilităților de probabilități incompatibile și multiplicate ale evenimentelor independente:

- Probabilitatea ca în timpul schimbării, o singură mașină va necesita o setare.

Cred că acum ar trebui să fii clar, de unde a venit expresia

c) calculați probabilitatea ca mașinile să nu necesite setările și apoi probabilitatea evenimentului opus:
- Faptul că cel puțin o mașină va necesita configurare.

Răspuns:

Elementul "Noi" poate fi rezolvat peste cantitatea în care - probabilitatea ca în timpul schimbării doar două mașini să fie necesară setări. Acest eveniment, la rândul său, include 3 rezultate incomplete, care sunt semnate de analogie cu clauza FII. Încercați-vă să găsiți probabilitatea de a verifica întreaga sarcină cu ajutorul egalității.

Sarcina 9.

Dintre cele trei arme au produs un volei pentru țintă. Probabilitatea de a intra la o singură lovitură este numai de la prima armă egală cu 0,7, de la al doilea - 0,6, de la a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil va intra în obiectiv; 2) Doar două proiectile vor intra în obiectiv; 3) Scopul va fi uimit de cel puțin două ori.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Și din nou despre coincidențe: dacă, conform stării, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7; 0,7 și 0,7), atunci trebuie urmat același algoritm de soluție exact.

În concluzie, vom analiza un alt puzzle comun:

Sarcina 10.

Shooterul cade în țintă cu aceeași probabilitate la fiecare lovitură. Care este probabilitatea ca probabilitatea de a cel puțin unei lovituri la trei fotografii să fie 0.973.

Decizie: Denotați - probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare împușcătură.
Și după - probabilitatea lui Miseh cu fiecare împușcătură.

Și evenimentele vor fi colectate:
- cu 3 împușcați, shooterul va cădea în țintă cel puțin o dată;
- Săgețile de 3 ori pierdute.

Cu condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus:

Pe de altă parte, pe teorema de multiplicare a probabilităților evenimentelor independente:

În acest fel:

- Probabilitatea pierderii cu fiecare împușcătură.

Ca urmare:
- Probabilitatea de a lovi cu fiecare împușcătură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

În sarcina considerată, puteți pune întrebări suplimentare despre probabilitatea unei singure lovituri, doar două lovituri și probabilitatea a trei hit-uri țintă. Schema soluției va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare:

Cu toate acestea, diferența semnificativă fundamentală este că există teste independente repetatecare sunt efectuate în mod consecvent, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.

La evaluarea probabilității oricărui eveniment aleatoriu, este foarte important să reprezentăm predefinitiv dacă probabilitatea (probabilitatea unui eveniment) a evenimentelor de interes pentru noi diferă de modul în care se dezvoltă alte evenimente. În cazul unei scheme clasice, când toate rezultatele sunt în mod egal, putem evalua deja valorile probabilității unui individ de interes în mod independent. Putem face acest lucru chiar dacă evenimentul este un set complex de mai multe rezultate elementare. Și dacă sunt mai multe evenimente aleatoare se întâmplă simultan sau secvențial? Cum afectează acest lucru probabilitatea evenimentelor de interes pentru noi? Dacă arunc un os de mai multe ori și vreau să cad "șase", și nu sunt norocos tot timpul, înseamnă că este necesar să creșteți pariul, deoarece, potrivit teoriei probabilităților, eu M-am vorbit? Din păcate, teoria probabilității nu aprobă așa ceva. Nici oase, nici hărți, nici o monedă nu știu cum să memoreze că ne-au demonstrat ultima oară. Ei nu-mi pasă complet, pentru prima dată sau la a zecea oară astăzi am destinul meu. De fiecare dată când repet aruncarea, știu doar un singur lucru: de data aceasta probabilitatea "șase" este din nou egală cu o șasea. Desigur, acest lucru nu înseamnă că numărul de care aveți nevoie nu va cădea niciodată. Aceasta înseamnă doar faptul că pierderea mea după prima aruncare și după orice altă aruncare - evenimente independente. Evenimentele A și B sunt numite independente dacă implementarea uneia dintre ele nu afectează probabilitatea unui alt eveniment. De exemplu, probabilitățile de înfrângere a obiectivului în primul rând de două arme nu depind de faptul dacă ținta a lovit un alt instrument, astfel încât evenimentele "Primul pistol a lovit scopul" și "al doilea instrument a lovit scopul" independent. Dacă două evenimente a și în independent și probabilitatea fiecăruia dintre ele este cunoscută, probabilitatea apariției simultane și a evenimentelor A și a evenimentelor din (desemnate AB) poate fi calculată utilizând următoarea teoremă.

Teorema multiplicării probabilității pentru evenimente independente

P (ab) \u003d P (a) * P (b) Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Exemplul 1.. Probabilitățile de introducere a țintei în filmarea primului și celui de-al doilea scule sunt egale: P 1 \u003d 0,7; p 2 \u003d 0,8. Găsiți probabilitatea de a intra într-un volei cu ambele arme în același timp.

așa cum am văzut deja evenimente A (prima lovitură de arme) și în a doua lovitură de instrumente) este independentă, adică. P (AV) \u003d P (A) * P (C) \u003d P1 * P2 \u003d 0,56. Ce se întâmplă cu estimările noastre dacă evenimentele sursă nu sunt independente? Să schimbăm ușor exemplul anterior.

Exemplul 2. Două săgeți la concursuri trage ținte și dacă unul dintre ei împușcă o etichetă, adversarul începe să fie nervos, iar rezultatele sale se deteriorează. Cum să transformi această situație de zi cu zi într-o sarcină matematică și să contureze modalități de ao rezolva? Este intuitiv că este necesar să împărțiți cumva cele două opțiuni pentru dezvoltarea evenimentelor, să compilați două scenarii, două sarcini diferite. În primul caz, dacă adversarul a ratat, scenariul va fi favorabil pentru atletul nervos și precizia ei va fi mai mare. În al doilea caz, dacă adversarul și-a dat seama de șansa sa, probabilitatea de a atinge ținta pentru cel de-al doilea atlet este redusă. Pentru separarea scenariilor posibile (ele sunt adesea numite ipoteze), vom folosi adesea schema de "probabilitate". Această schemă este similară în sensul copacului deciziilor cu care probabil ați avut deja să vă ocupați. Fiecare ramură este un scenariu separat de dezvoltare a evenimentului, doar acum are eIGENVALUE Așa-numita probabilitate condiționată (Q 1, Q2, Q 1 -1, Q 2-1).

Această schemă este foarte convenabilă pentru analiza evenimentelor aleatorii consecutive. Rămâne să aflați o altă întrebare importantă: Unde provin valorile inițiale ale probabilităților în situații reale? La urma urmei, teoria probabilității lucrează cu aceleași monede și se joacă oasele? De obicei, aceste estimări sunt luate din statistici, iar atunci când nu există informații statistice, realizăm propria noastră cercetare. Și adesea nu este necesar să o porniți din colectarea datelor, ci din această întrebare, ce informații ar trebui să avem nevoie.

Exemplul 3. Să presupunem că trebuie să evaluăm în oraș cu o populație de o sută de mii de rezidenți volumul pieței pentru un produs nou, care nu este subiectul, de exemplu, pentru un balsam pentru îngrijirea părului pictat. Luați în considerare schema "copacului de probabilitate". În același timp, valoarea probabilității pe fiecare "ramură" trebuie să evaluăm aproximativ. Deci, capacitatea noastră de piață estimează:

1) de la toți locuitorii orașului Femei 50%,

2) de toate femeile doar 30% păr de vopsea de multe ori,

3) Dintre acestea doar 10% se bucură de balsam pentru păr pictat,

4) Dintre acestea, doar 10% pot câștiga curajul de a încerca un produs nou,

5) Dintre acestea, 70% cumpără de obicei totul de la noi, dar de la concurenții noștri.

Conform legii de multiplicare a probabilităților, determinăm probabilitatea evenimentelor de interes pentru noi a \u003d (un rezident al orașului cumpără acest nou balsam) \u003d 0,00045. Înmulțiți această valoare a probabilității pentru numărul de locuitori ai orașului. Ca rezultat, avem doar 45 de cumpărători potențiali și dacă considerăm că un bubble al acestui fond este suficient timp de câteva luni, comerțul nu este prea ocupat. Cu toate acestea, există beneficii din estimările noastre. În primul rând, putem compara predicțiile unor idei de afaceri diferite, în scheme pe care le vor avea diferite "dezvoltare" și, desigur, valorile de probabilitate vor fi, de asemenea, diferite. În al doilea rând, așa cum am spus, valoare aleatorie Nu pentru că se numește aleatoriu, că nu depinde de nimic deloc. Pur și simplu nu este conștient de valoarea sa exactă în avans. Știm că numărul mediu de cumpărători poate fi crescut (de exemplu, cu ajutorul publicității unui nou produs). Deci, este logic să se concentreze asupra acelei "dezvoltare", unde distribuția probabilităților nu ne convine în mod deosebit, asupra factorilor că suntem capabili să influențăm. Luați în considerare un alt exemplu cantitativ al studiului comportamentului clientului.

Exemplul 3. În timpul zilei, piața alimentară vizitează o medie de 10.000 de persoane. Probabilitatea ca vizitatorul de piață să intre în pavilionul produselor lactate este de 1/2. Se știe că în acest pavilion în medie de vânzare pe zi 500 kg de diverse produse. Este posibil să se susțină că achiziția medie din pavilion cântărește doar 100 g?

Discuţie.

Desigur, este imposibil. Este clar că nu toți cei care au intrat în pavilion, ca rezultat, ceva a cumpărat ceva acolo.

După cum se arată în diagramă pentru a răspunde la întrebarea greutății medii a achiziției, trebuie să găsim răspunsul la întrebare, care este probabilitatea ca o persoană care a venit la pavilion să cumpere ceva acolo. Dacă nu există astfel de date la dispoziția noastră și avem nevoie de ele, va trebui să le obțineți singur, după ce ați vizionat vizitatorii pavilionului de ceva timp. Să presupunem că observațiile noastre au arătat că numai cea de-a cincea din vizitatorii pavilionului cumpără ceva. De îndată ce aceste estimări sunt obținute de noi, sarcina devine simplă. Dintre cei 10.000 de persoane care vin pe piață, 5000 vor intra în pavilionul produselor lactate, cumpărăturile vor fi doar 1000. Greutatea medie de cumpărare este de 500 de grame. Este interesant de remarcat faptul că, pentru a construi o imagine completă a ceea ce se întâmplă, logica "Baters" condiționată ar trebui determinată în fiecare etapă a raționamentului nostru, precum și dacă am lucrat cu o situație "specifică" și nu cu probabilități.

Sarcini pentru auto-test.

1. Să presupunem că există un circuit electric constând din seria N de elemente conectate, fiecare dintre care funcționează independent de restul. Probabilitatea P este cunoscută în ordinea fiecărui element. Determinați probabilitatea funcționării întregii zone a lanțului (evenimentul A).

2. Studentul știe 20 din 25 de întrebări de examen. Găsiți probabilitatea ca studentul să știe cele trei întrebări oferite de el.

3. Producția constă din patru etape consecutive, fiecare dintre care echipamentele funcționează, pentru care probabilitățile de eșec pentru scenă sunt egale cu P1, P 2, P 3 și P 4. Găsiți probabilitatea ca într-o lună să nu existe o singură oprire de producție din cauza funcționării defectuoase a echipamentelor.

Adăugarea de evenimente incomplete. Teoreme de adăugare și multiplicare a probabilităților. Evenimente dependente și independente. Relații între evenimente

Teoreme de adăugare și multiplicare a probabilităților. Evenimente dependente și independente

Evenimente dependente și independente

Cum de a determina dependența / independența evenimentelor?

Sarcini privind teoremele de a adăuga inconsecvențeși multiplicarea probabilităților evenimentelor independente

Teorema multiplicării probabilității pentru evenimente independente

Teoreme de adăugare și multiplicare a probabilităților.
Evenimente dependente și independente

Sarcini privind teoremele de a adăuga inconsecvențe
și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente